Основы теоретической механики

В теоретической механике изучается движение тел относительно других тел, представляющие собой физические системы отсчёта.

Механика позволяет не только описывать, но и предсказывать движение тел, устанавливая причинные связи в определённом, весьма широком, круге явлений.

Основные абстрактные модели реальных тел:

материальная точка - имеет массу, но не имеет размеров;

абсолютно твёрдое тело - объём конечных размеров, сплошь заполненный веществом, причём расстояния между любыми двумя точками среды, заполняющей объём, не изменяются во время движения;

сплошная деформируемая среда - заполняет конечный объём или неограниченное пространство; расстояния между точками такой среды могут меняться.

Из них - системы:

- система свободных материальных точек;

- системы со связями;

- абсолютно твёрдое тело с полостью, заполненной жидкостью, и т.п.

«Вырожденные» модели:

- бесконечно тонкие стержни;

- бесконечно тонкие пластины;

- невесомые стержни и нити, связывающие между собой материальные точки, и т.д.

Из опыта: механические явления протекают неодинаково в разных местах физической системы отсчёта. Это свойство - неоднородность пространства, определяемого физической системой отсчёта. Под неоднородностью здесь понимается зависимость характера протекания явления от места, в котором мы наблюдаем это явление.

Ещё свойство - анизотропность (неизотропность) движение тела относительно физической системы отсчёта может быть различным в зависимости от направления. Примеры: течение реки по меридиану (с севера на юг - Волга); полёт снаряда, маятник Фуко.

Свойства системы отсчёта (неоднородность и анизотропность) затрудняют наблюдение за движением тела.

Практически свободна от этого - геоцентрическая система: центр системы в центре Земли и системы не вращается относительно «неподвижных» звёзд). Геоцентрическая система удобна для расчётов движений на Земле.

Для небесной механики (для тел солнечной системы): гелиоцентрическая система отсчёта, которая движется с центром масс Солнечной системы и не вращается относительно «неподвижных» звёзд. Для этой системы пока не обнаружены неоднородность и анизотропность пространства по отношению к явлениям механики.

Итак, вводится абстрактная инерциальная система отсчёта, для которой пространство однородно и изотропно по отношению к явлениям механики.

Инерциальная система отсчёта - такая, собственное движение которой не может быть обнаружено никаким механическим опытом. Мысленный эксперимент: «точка, одинокая во всём мире» (изолированная) либо покоится, либо движется прямолинейно и равномерно.

Все системы отсчёта движущиеся относительно исходной прямолинейно, равномерно будут инерциальными. Это позволяет ввести единую декартовую систему координат. Такое пространство называется евклидовым.

Условное соглашение - берут правую систему координат (рис. 1).

Время - в классической (нерелятивистской) механике абсолютно, единое для всех систем отсчёта то есть начальный момент - произволен. В отличие релятивистской механики, где применяется принцип относительности.

Состояние движения системы в момент времени t определяется координатами и скоростями точек в этот момент.

Реальные тела взаимодействуют при этом возникают силы, которые меняют состояние движения системы. Это и есть суть теоретической механики.

Как изучается теоретическая механика?

Учение о равновесии совокупности тел некоторой системы отсчёта - раздел статика.

Раздел кинематика: часть механики, в которой изучаются зависимости между величинами, характеризующими состояние движения систем, но не рассматриваются причины, вызывающие изменение состояния движения.

После этого рассмотрим влияние сил.

Раздел динамика: часть механики, в которой рассматривается влияние сил на состояние движения систем материальных объектов.

Принципы построения основного курса - динамики:

1) в основе - система аксиом (на основе опыта, наблюдений);

2) далее - законы внутренней логики (относительная независимость теории).

Постоянно - безжалостный контроль практики. Признак точной науки - наличие внутренней логики (без неё - набор не связанных рецептов)!

Статикой называется та часть механики, где изучаются условия, которым должны удовлетворять силы, действующие на систему материальных точек, для того чтобы система находилась в равновесии, и условия эквивалентности систем сил.

Будут рассмотрены задачи о равновесии в элементарной статике с применением исключительно геометрических методов, основанных на свойствах векторов. Такой подход применяется в геометрической статике (в отличие от аналитической статики, которая здесь не рассматривается).

Положения различных материальных тел будем относить к системе координат, которую примем за неподвижную.

Идеальные модели материальных тел:

1) материальная точка - геометрическая точка с массой.

2) абсолютно твёрдое тело - совокупность материальных точек, расстояния между которыми не могут быть изменены никакими действиями.

Силами будем называть объективные причины, являющиеся результатом взаимодействия материальных объектов, способные вызвать движение тел из состояния покоя или изменить существующее движение последних.

Так как сила определяется вызываемым ею движением, то она также имеет относительный характер, зависящий от выбора системы отсчёта.

Вопрос о природе сил рассматривается в физике.

Система материальных точек находится в равновесии, если, будучи в покое, она не получает никакого движения от сил, на неё действующих.

Из повседневного опыта: силы имеют векторный характер, то есть величину, направление, линию действия, точку приложения. Условие равновесия сил, действующих на твёрдое тело, сводится к свойствам систем векторов.

Обобщая опыт изучения физических законов природы, Галилей и Ньютон сформулировали основные законы механики, которые могут рассматриваться как аксиомы механики, так как имеют в своей основе экспериментальные факты.

Аксиома 1. Действие на точку твёрдого тела нескольких сил равносильно действию одной равнодействующей силы, строящейся по правилу сложения векторов (рис.2).



Рис. 2

Следствие.Силы, приложенные к точке твёрдого тела, складываются по правилу параллелограмма.

Аксиома 2. Две силы, приложенные к твёрдому телу, взаимно уравновешиваются тогда и только тогда, когда они равны по величине, направлены в противоположные стороны и лежат на одной прямой.

Аксиома 3. Действие на твёрдое тело системы сил не изменится, если добавить к этой системе или отбросить от неё две силы, равные по величине, направленные в противоположные стороны и лежащие на одной прямой.

Следствие. Силу, действующую на точку твёрдого тела, можно переносить вдоль линии действия силы без изменения равновесия (то есть, сила является скользящим вектором, рис.3)

Рис. 3

Две категории сил.

1) Активные - создают или способны создать движение твёрдого тела. Например, сила веса.

2) Пассивные - не создающие движения, но ограничивающие перемещения твёрдого тела, препятствующие перемещениям. Например, сила натяжения нерастяжимой нити (рис.4).

Рис. 4

Аксиома 4. Действие одного тела на второе равно и противоположно действию этого второго тела на первое (действие равно противодействию).

Геометрические условия, ограничивающие перемещение точек, будем называть связями.

Условия связи: например,

- стержень непрямой длины l.

- гибкая нерастяжимая нить длиной l.

Силы, обусловленные связями и препятствующие перемещениям, называются силами реакций.

Аксиома 5. Связи, наложенные на систему материальных точек, можно заменить силами реакций, действие которых эквивалентно действию связей.

Когда пассивные силы не могут уравновесить действие активных сил, начинается движение.

Две частные задачи статики

1. Система сходящихся сил, действующих на твёрдое тело

Системой сходящихся сил называется такая система сил, линии действия которой пересекаются в одной точке, которую всегда можно принять за начало координат (рис.5).

Рис. 5

Проекции равнодействующей:

;

;

.

Если , то сила вызывает движение твёрдого тела.

Условие равновесия для сходящейся системы сил:

	или

2. Равновесие трёх сил

Рис. 6

Если на твёрдое тело действуют три силы, и линии действия двух сил пересекаются в некоторой точке А, равновесие возможно тогда и только тогда, когда линия действия третьей силы тоже проходит через точку А, а сама сила равна по величине и противоположно направлена сумме

(рис.6).

Примеры:

Рис. 7		Рис. 8

Рис.9.

Момент силы относительно точки О определим как вектор , по величине равный удвоенной площади треугольника, основанием которого является вектор силы с вершиной в заданной точке О; направление - ортогонально плоскости рассмотренного треугольника в ту сторону, откуда вращение, производимое силой вокруг точки О, видно против хода часовой стрелки. является моментом скользящего вектора и является свободным вектором (рис.9).

Итак: или

,

где ; ; .

,

где F - модуль силы, h - плечо (расстояние от точки до направления силы).



Рис.10.

Моментом силы относительно оси называется алгебраическое значение проекции на эту ось вектора момента силы относительно произвольной точки О, взятой на оси (рис.10).

Это скаляр, не зависящий от выбора точки. Действительно, разложим : || и в плоскости .

О моментах: пусть О1 - точка пересечения с плоскостью . Тогда:

а) от - момент => проекция = 0.

б) от - момент вдоль => является проекцией.

Итак, момент относительно оси - это момент составляющей силы в перпендикулярной плоскости к оси относительно точки пересечения плоскости и оси.

Теорема Вариньона для системы сходящихся сил:

Момент равнодействующей силы для системы сходящихся сил относительно произвольной точки А равен сумме моментов всех составляющих сил относительно той же точки А (рис.11).



Рис. 11

Доказательство в теории сходящихся векторов.

Пояснение: сложение сил по правилу параллелограмма => результирующая сила даёт суммарный момент.

Из основных аксиом статики следуют элементарные операции над силами:

1) силу можно переносить вдоль линии действия;

2) силы, линии действия которых пересекаются, можно складывать по правилу параллелограмма (по правилу сложения векторов);

3) к системе сил, действующих на твёрдое тело, можно всегда добавить две силы, равные по величине, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны.

Элементарные операции не изменяют механического состояния системы.

Назовём две системы сил эквивалентными, если одна из другой может быть получена с помощью элементарных операций (как в теории скользящих векторов).

Система двух параллельных сил, равных по величине и направленных в противоположные стороны, называется парой сил (рис.12).



Момент пары сил - вектор, по величине равный площади параллелограмма, построенного на векторах пары, и направленный ортогонально к плоскости пары в ту сторону, откуда вращение, сообщаемое векторами пары, видно происходящим против хода часовой стрелки.

, то есть момент силы относительно точки В.

Пара сил полностью характеризуется своим моментом.

Пару сил можно переносить элементарными операциями в любую плоскость, параллельную плоскости пары; изменять величины сил пары обратно пропорционально плечам пары.

Пары сил можно складывать, при этом моменты пар сил складываются по правилу сложения (свободных) векторов.

Приведение системы сил, действующих на твёрдое тело, к произвольной точке (центру приведения) - означает замену действующей системы более простой: системой трёх сил, одна из которых проходит через наперёд заданную точку, а две другие представляют пару.

Доказывается с помощью элементарных операций (рис.13).



Рис.13.

Система сходящихся сил и система пар сил .

- результирующая сила .

- результирующая пара .

Что и требовалось показать.

Две системы сил будут эквивалентны тогда и только тогда, когда обе системы приводятся к одной результирующей силе и одной результирующей паре, то есть при выполнении условий:



Общий случай равновесия системы сил, действующих на твёрдое тело

Рис.14.

Приведём систему сил к (рис.14):

- результирующая сила через начало координат;

- результирующая пара, причём, через точку О.

То есть привели к и - две силы, одна из которых проходит через заданную точку О.

Равновесие, если и на одной прямой, равны, направлены противоположно (аксиома 2).

Тогда проходит через точку О, то есть .

Далее: , так как остаётся только эта сила.

Итак, общие условия равновесия твёрдого тела:

, .

Эти условия справедливы для произвольной точки пространства.

Пусть О - начало координат; - результирующая сила; - момент результирующей пары. Пусть точка О1 - новый центр приведения (рис.15).

Рис.15.

и : .

Новая система сил:

Заметим:

.

При изменении точки приведения => меняется только (в одну сторону с одним знаком, в другую - с другим). То есть точка:



совпадают линии и

Аналитически:

(колинеарность векторов)

Или:

; координаты точки О1.

Рис.16.

Это уравнение прямой линии, для всех точек которой направление результирующего вектора совпадает с направлением момента результирующей пары - прямая называется динамой.

Если на оси динамы => , то система эквивалентна одной результирующей силе, которую называют равнодействующей силой системы. При этом всегда

, то есть

.

Четыре случая приведения сил:

1.) ; - динама.

2.) ; - равнодействующая.

3.) ; - пара.

4.) ; - равновесие.

Два векторных уравнения равновесия: главный вектор и главный момент равны нулю

, .

Или шесть скалярных уравнений в проекциях на декартовые оси координат:



Здесь:

Сложность вида уравнений зависит от выбора точки приведения => искусство расчётчика.

Нахождение условий равновесия системы твёрдых тел, находящихся во взаимодействии <=> задача о равновесии каждого тела в отдельности, причём на тело действуют внешние силы и силы внутренние (взаимодействие тел в точках соприкосновения с равными и противоположно направленными силами - аксиома IV, рис.17).

Выберем для всех тел системы один центр приведения. Тогда для каждого тела с номером условия равновесия:

, , ( = 1, 2, …, k)

где , - результирующая сила и момент результирующей пары всех сил, кроме внутренних реакций.

, - результирующая сила и момент результирующей пары сил внутренних реакций.

Формально суммируя по и учитывая по IV аксиоме

получаем необходимые условия равновесия твёрдого тела:

,

Пример.

Равновесие: = ?



Рис.18.

Частный случай общей поставки задачи.

Пусть все действующие силы лежат в одной плоскости - например, листа. Выберем за центр приведения точку О - в этой же плоскости. Получим результирующую силу и результирующую пару в этой же плоскости, то есть

(рис.19)

Замечание.

Систему можно привести к одной результирующей силе.

Условия равновесия:

,

или скалярные:

Очень часто встречаются в приложениях, например, в сопротивлении материалов.

Пример.

С трением шара о доску и о плоскость. Условие равновесия: = ?

Задача о равновесии несвободного твёрдого тела.

Несвободным называется такое твёрдое тело, перемещение которого стеснено связями. Например, другими телами, шарнирными закреплениями.

При определении условий равновесия: несвободное тело можно рассматривать как свободное, заменяя связи неизвестными силами реакции.

Пример.

Теорема. Три силы уравновешивают твёрдое тело только в том случае, когда все они лежат в одной плоскости.

Доказательство.

Выберем за точку приведения точку на линии действия третьей силы. Тогда

(рис.22)

Рис.22.

То есть плоскости S1 и S2 совпадают, причём для любой точки на оси силы , ч.т.д. (Проще: в плоскости только там же для уравновешивания).

Условия равновесия твёрдого тела с одной неподвижной точкой.

Центр приведения - закреплённая точка (рис.23):

Рис.23.

Моменты (условия равновесия):

Для определения реакций => результирующая:

; ; .

Условия равновесия твёрдого тела, способного вращаться вокруг неподвижной оси.

Рис.24.

Закреплены две точки О и О1. Центр приведения: точка О (рис.24).

;

Rx, Ry, Rz в точке О; R`x, R`y, R`z в точке О1; ОО1 = h.

Уравнения равновесия:

Положение тела в пространстве определяется одним параметром, например, углом поворота , который определяется из последнего уравнения:

.

Остальные 5-ть уравнений => нахождение 6-ти проекций реакций связи => задача статически неопределимая. Требуются дополнительные условия деформирования (в сопротивлении материалов).

Условия равновесия твёрдого тела, способного перемещаться параллельно неподвижной плоскости (рис.25).

Рис.25.

Уравнения равновесия:



где , , - проекции активных сил, приложенных в точках (, , ).

Два первых и последнее уравнения - необходимые условия равновесия. Три остальных => реакции, то есть только для закрепления в трёх точках. Иначе => статически неопределимая задача.

Случай опоры на три точки.

Для определения реакций имеем:

,

где ,

.

Решение имеется только при условии:

,

то есть три точки опоры не лежат на одной прямой. Иначе, статическая неопределимость.

Пример.

Рис.26.

Если дано, что опора упругая => .

Тогда для реакции:

(удобно взять начало координат в одной из опор).

Виды опор:



Рис.27.

Уравнения равновесия:

Виды нагрузок:



Рис.28.

Найти: RA, RB.

А = 0 RB

В = 0 RА

Внутренние усилия определяются методом сечений (РОЗУ), состоящим из четырёх этапов:

Р - рассекаем, то есть проводим сечение в том месте, где определяются внутренние усилия;

О - отбрасываем одну из частей и рассматриваем оставшуюся часть;

З - заменяем действие отброшенной части на рассматриваемую внутренними усилиями, которые приводим к центру тяжести сечения. Проецируя приведённые усилия на оси, получаем следующие неизвестные:

N - продольная сила;

Qy, Qz - поперечные силы;

Мкр - крутящий момент;

My, Mz - изгибающие моменты.

Частные случаи.

1) Изгиб (Qz, My).



2) Изгиб ( Qz, My ).

3) Растяжение, сжатие ( N ).

4) Кручение ( Мкр ).



Рис.30.

Кинематикой называется та часть механики, в которой изучаются зависимости между величинами, характеризующими состояние систем, но не рассматриваются причины вызывающие изменение состояние движения.

Кинематика точки. Декартовы координаты.

С неподвижной системой отсчёта связываем декартовую ортогональную систему координат (правую, рис. 31).

Рис.31.

Точка , где

- параметрические уравнения траектории.

где - единичные векторы (орты),

- непрерывны и 2 раза дифференцируемы; 2-е производные - непрерывны.

Непрерывная последовательность точек среды (пространства), занимаемая точкой M, называется траекторией точки М.

Исключая время:

или:

Введём понятия скорости и ускорения:

Рис.32.

т. М t

т. М' t + t

(t - конечное).

Радиусы - векторы: t

t + t +

=

За время t (рис. 32):

(Направление по секущей MM').

Скорость точки в момент времени t получается при t 0, то есть

(Направление по касательной и траектории точки)

Очевидно:

Проекции :

.

Модуль (длина):

Скорость точки М в момент времени t равна производной по времени от радиуса - вектора точки и направлена по касательной к траектории.

Аналогично найдём ускорение (рис. 33).

Рис.33.

Совмещая начало векторов (t) и (t + t) в точке М => за t.

Среднее ускорение:

(направление в сторону вогнутости траектории)

Ускорение точки в момент времени t получается при t 0, то есть

Очевидно:

Ускорение точки в некоторый момент времени равно производной по времени от вектора скорости, или второй производной по времени от радиуса - вектора точки в этот момент времени.

В некоторых задачах - используется производная более высоких порядков, но здесь они пока не нужны.

В механике применяются не только декартовы координаты - часто применяют обобщённые (криволинейные) координаты.

Они бывают удобней, позволяют определить конфигурацию рассматриваемой системы. Часто их называют позиционными. Криволинейными они называются потому, что линии вдоль которых меняется только одна координата, обычно бывают кривыми.

Рассмотрим частный случай криволинейных координат - полярные координаты точки на плоскости: применим далее к задаче движение точек в центральном силовом поле (рис. 34).

Рис.34.

(x, y) - декартовы координаты.

(r, ) - полярные координаты.

Угол => от Ох против часовой стрелки - положительное направление

Формулы преобразования:

x = r cos, y = r sin, где r 0; 0 < 2

(можно рассматривать и ).

Если r = const - концентрические окружности с центром в точке О.

Если = const - прямолинейные лучи из точки О.

Введём два орта:

Найдём производные по углу (рис. 35):

Рис.35.

 (так как r = 1)

при ,

т. е. .

Далее:

при ,

т. е. .

При каждом дифференцировании по ц т. е. происходит поворот на угол .

Выведем формулы проекции скорости и ускорения точки М на направления касательных к координатным линиям в полярных координатах.

Так как , то

Но:

Очевидно:



Для ускорения:

.

Но: .

Очевидно:

Найдём число координат, определяющих положение абсолютно твёрдого тела.

Определить положение тела => определить координаты точки относительно некоторой системы отсчёта в момент времени.

Рис.38.

Пусть Х1 , Х2 , Х3 - неподвижные оси (рис. 38); орты: [декартова система].

, , - оси, жёстко связанные с телом; орты: , , - [декартова система].

Так как координаты точек относительно собственных осей , , не зависят от времени, то задача сводится к определению положения координатных осей, жёстко связанных с телом (подвижных), относительно неподвижных осей Х1 , Х2 , Х3.

Составим таблицу косинусов углов между осями Х и :

- скалярное произведение.

Так как системы координат ортогональны, то скалярное произведение:

,

где

Итак:

Число таких соотношений = 6 (Из 9 - ти в силу симметрии по jи k).

Имеем 6 соотношений для 9 косинусов =>

3 косинуса , не расположенные в одном столбце, или в одной строке, могут быть приняты за независимые, а остальные можем определить из составленных 6 - ти соотношений.

Кроме того => три координаты определяют положение точки О' - начало системы , , .

Но 9 координат и 3 соотношение длин:

Это условия постоянства расстояний между точками в абсолютно твёрдом теле.

Выведем формулу Эйлера для распределения скоростей точек абсолютно твёрдого тела (рис. 39).

,

1) ,

- скорость точки О',

скорость точки Q во вращательном движении тела (так как длина постоянна).

Так как координаты точки Qпостоянны, то

Тогда:

2) ,

где .

Скорость точки Q: .

3) Выразим и производные через направляющие косинусы :

.

Тогда: (в неподвижной системе).

4) Проекция на ось (k= 1,2,3):

.

Скорости точек во вращательном движении - линейные функции координат точек.

5) Получим более простую и наглядную форму закона распределения скоростей, используя свойства функции .

,

Дифференцируем по t:

.

По свойству производной от произведения:

при j= k => ,

при j? k=> .

Свойства:

а) симметрия по kи j;

б) при j= k=>равенство «0»;

в) размерность t-1 , т. е. угловая скорость (угол в радианах), так как - скорость.

г) различных только три =>

Покажем, что

Действительно:



- по аналогии.

Итак:

или:

7) ,

где - единичные вектора, жёстко связанные с телом.

Положим

вектор, где



Назовём вектором мгновенной угловой скорости, а прямая на которой он располагается, в рассматриваемый момент времени, проходящую через точку О' - осью мгновенного вращения, или мгновенной осью.

Таким образом, закон распределения скоростей точек абсолютно твёрдого тела в любом движении:

.

Это формула Эйлера в векторной записи.

Найдём закон распределения.

Дифференцируем по времени формулу Эйлера:

,

Так как , то

=>

двойное векторное произведение

формула Ривальса для распределения ускорений точек абсолютно твёрдого тела (рис. 40).

1) - ускорение начала подвижной системы.

Так как

2) - вращательное ускорение.

3) - осестремительное ускорение.

Рис.40.

Частными видами движения абсолютно твёрдого тела являются поступательное, вращательное и плоскопараллельное.

Поступательным движением абсолютно твёрдого тела будем называть такое движение, при котором отрезок прямой, соединяющей две любые точки тела, остаётся параллельным неподвижной прямой.

Рис.41.

В поступательном движении все точки тела в каждый момент времени имеет одну и ту же скорость и одно и то же ускорение.

Пусть:

Тогда:

Положим:

.

Так как перемещается параллельно первоначальному направлению, то:

Тогда:

(Аналогично из формулы Эйлера при )

Очевидно и наоборот, если скорости всех точек равны между собой в каждый момент времени, то тело движется поступательно.

Пусть:

,

где - вектор постоянной длины и неизвестного направления относительно неподвижной системы.

К тому же тело движется поступательно.

Рассмотрим вращение тела вокруг неподвижной оси.

Пусть две точки А1 и А2 неподвижны. Очевидно, что все точки прямой А1А2 неподвижны. Введём неподвижную систему Х1, Х2, Х3: Х3 по А1А2. Положение тела определяется точками А1, А2, Р, а из трех координат точки Р только одна независимая, так как имеются два уравнения связи. Можно взять угол (рис.42).



Рис.42.

Поясним: введём подвижную систему по

Тогда таблица косинусов:



Распределение скоростей:

Распределение ускорений:

Плоскопараллельным называется такое движение абсолютно твёрдого тела, при котором скорости всех его точек параллельны некоторой неподвижной плоскости .

- плоскость (х1,х2)||( y1,y2).

По формуле Эйлера:

Так как , то

(круговая перестановка - )

или .

Т. е. скалярное произведение векторов

:

В силу произвольности координат y1, y2 точки Р =>

.

Итак: вектор мгновенной угловой скорости расположен на оси .

Обычно рассматривают плоское сечение тела || - фигуру S.



Рис.43.

Положение S определяется тремя параметрами:

1) 2 - е координаты точки О',

2) - угол поворота жёстко связанных осей (рис. 43).

Для точки Р в плоскости ( ):

, где .

Или (совместив с О):

Так как точка в каждый момент времени, в которой скорость в этот момент равна нулю.

Пусть это О*(х1*, х2*).



То есть если , то единственная точка, скорость которой равна нулю. Вычитая (В) из (А) получим:

Если поместить начало координат в точку О*, то в этот момент времени распределение скоростей точек будет таким же, как во вращательном движении вокруг неподвижной оси. Точка О* называется центром мгновенного вращения, или мгновенным центром скоростей.

Пример: нахождение центра мгновенного вращения, если известно направление скоростей двух точек тела (рис. 44).

Рис.44.

Обратное рассуждение:

Если центр найден, то все скорости направлены радиусу - вектору. Поэтому (обратно) для нахождения центра надо проводить к скоростям до пересечения.

Пример: палочка АВ = l скользит по прямым Ох и Oy.

По формуле Ривальса можно найти распределение ускорений, мгновенный центр ускорений, а так же вычислить ускорение центра мгновенного вращения (и скорость мгновенного центра ускорений).

Для описания движения введём неподвижную и подвижную системы координат.

Рассмотрим движение точки М в подвижной системе отсчета , , (рис. 45). Для этого задают:

1) , где - орты подвижной системы.

2) Движение системы относительно неподвижных осей.

Пусть

Найдем скорость точки М в неподвижной системе (дифференцированием):



Очевидно:

- искомая скорость;

- скорость начала подвижной системы.

Найдём с учётом ,

1)

,

где - мгновенная угловая скорость вращения подвижной системы отсчета по формуле Эйлера

2) - назовем относительной производной

Итак:

Если (т. е. нет относительного движения):

Поэтому:

- относительная скорость.

Переносная скорость (навязывается движением системы):

Это скорость того места, где в данный момент времени находится точка М.

Окончательно:

Найдем ускорение точки относительно неподвижной системы отсчета, если заданы относительные координаты и движение подвижной системы.

Дифференцируем:

:

где - ускорение точки О'

здесь - вектор от точки М к мгновенной оси под прямым углом (см. формулу Ривальса)

относительное ускорение (равно 0, если точка М движется в подвижной системе отсчета прямолинейно и равномерно).

Переносное ускорение - определяется как ускорение того места в подвижной системе отсчета, в которой точка М находится в рассматриваемый момент времени; вычисляется по формуле Ривальса:

Ускорение Кориолиса:

Половина ускорения Кориолиса получена при дифференцировании по времени переносной скорости, а вторая половина - при дифференцировании относительной скорости.

- формула Кориолиса.

где ;

;

Формула Кориолиса позволяет вычислить абсолютное ускорение точки, если ее положение определяется координатами относительно подвижной системы отсчета.

Динамикой называется та часть, в которой рассматриваются влияние сил на состояние движения материальных объектов.

В этом разделе в качестве моделей реальных тел принимается материальная точка

Законы Ньютона. Правило сложения сил.

Рассмотрим движение материальной точки (рис. 46) в инерциальной системе отсчёта под действием сил, обусловленных взаимодействием точек с другими точками и телами (т. е. возникающих в результате взаимодействия материальных объектов).

Рис.46.

Заметим, что при движении в неинерциальной системе отсчёта относительные движения частично определяются движением самой системы отсчёта.

Уравнения движения составляются на основе законов Ньютона.

Трактат «Математические начала натуральной философии»:

1687 г. - год возникновения теоретической механики.

Законы Ньютона - идеализированные законы природы, но для практики это допустимо в очень широких пределах.

Введём меры движения.

Количество движения - равно произведению массы m на вектор скорости точки:

,

Где

m = const > 0

мера инертности материи.

Момент количества движения, относительно начала координат (рис. 47):

.

Рис.47.

Кинетическая энергия материальной точки:

(скаляр)

В дальнейшем покажем, что в ряде случаев движение точки наглядней описывается через или Т.

При формулировании законов Ньютона обозначаем:

- сила взаимодействия между точками и ;

- суммарная сила, приложенная к точке М , взаимодействующей со многими точками.

Первый закон Ньютона: материальная точка пребывает в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения относительно инерциальной системы отсчёта до тех пор, пока действующие на неё силы не изменят это состояние.

То есть изолированная точка либо покоится, либо движется прямолинейно и равномерно. Причина изменения движения - вне самой точки.

Второй закон Ньютона: производная по времени от количества движения материальной точки геометрически равна силе, приложенной к точке. Или, при постоянной массе, произведение массы точки на её абсолютное ускорение геометрически равно приложенной к материальной точке силе, т. е.

или , если m = const.

Связь кинематической величины - ускорения с динамической величиной - силой через коэффициент пропорциональности - массу.

Третий закон Ньютона: две любые материальные точки взаимодействуют друг с другом с силами, направленными по прямой, соединяющей эти точки, равными по величине и противоположно направленными (рис. 48).



Рис.48.

Рассмотрим воздействие точки M1 c остальными точками (рис. 49).

Для имеем ускорение:

Принцип независимости действия сил: ускорение , вызываемое силой , определяется только этой силой и не зависит от других сил.

Следствие:

;

Обозначая

Геометрическая сумма ускорений , вызываемых силами взаимодействия точки М1 с остальными точками, пропорциональна геометрической сумме сил взаимодействия - правило параллелограмма для сложения сил.

От чего зависит сила ?

1) от координат точки в данный момент времени;

2) от предистории движения (старение);

3) от окружающей среды (температура);

4) сопротивление воздуха.

и т. д.



Рис.50.

Идеализация: силы зависят только от координат точки, от первых производных и явно от времени:

На практике - допустимо.

Развитие физики привело к изменению некоторых устаревших представлений и к выяснению границ области, в пределах которой справедлива механика Ньютона: его понятие об абсолютном пространстве заменено теперь понятием инерциальной системы отсчёта; установлено, что механика Ньютона - классическая механика - неприменима, если относительные скорости точек сравнимы со скоростью света [это область релятивистской или эйнштейновской механики]; неприменима механика классическая и к изучению явлений микромира [это область квантовой механики]. Но они основаны на классической механики. В остальных областях => классическая механика даёт достаточно точные результаты.

Рассмотрим движение свободной материальной точки в инерциальной системе отсчёта в декартовых координатах. Из 2-го закона Ньютона:

, ,

причём, Fx, Fy, Fz - могут зависеть от координат, первых производных, времени: .

Если известен закон движения (например из кинематики):

, , ,

то => Fx(t), Fy(t), Fz(t). Это первая (прямая) задача динамики точки.

Если известна сила, то для исследования движения необходимо интегрировать дифференциальные уравнения - это вторая (обратная) задача динамики точки.

Формы дифференциальных уравнений движения

1) 2-ой закон Ньютона - для количества движения.

2) Умножим на (векторно):

Или

уравнение момента количества движения.

Почему? - самостоятельно. Учесть

Производная по времени от момента количества движения геометрически равна моменту силы.

Подробная запись (координатная):

3) Умножим скалярно на элементарные перемещения

:

.

уравнение кинетической энергии.

Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе суммы сил, приложенных к точке, на действительном перемещении.

О первых интегралах (законы сохранения).

Из дифференциальных уравнений: функция координат, их производных по времени, являющаяся постоянной в силу уравнений (то есть её производная по времени равна нулю) => называется первым интегралом.

Получим такие условия.

Если

первый интеграл, то

и

1) Если Fx = 0, то

,

интеграл количества движения (закон сохранения количества движения).

2) Если

(то есть проекция момента силы на ось z), то из

,

интеграл момента количества движения (закон сохранения момента количества движения).

3) Получим интеграл энергии.

.

Пусть правая часть есть полный дифференциал некоторой скалярной функции - потенциала силового поля

.

Тогда:

, , .

Работа:

.

Чтобы было полным дифференциалом:

1) - то есть поле стационарно (не зависит от t).

2) , с условиями из высшей математики:

; ;

Или

; ;

Или

Иначе: если

 и , то

и уравнение кинетической энергии будет в полных дифференциалах:

.

Интегрируя:

.

Введём потенциальную энергию:

.

Тогда:

интеграл энергии (закон сохранения механической энергии).

Если силовое поле потенциально и стационарно, то сумма кинетической и потенциальной энергий свободной материальной точки равна постоянной.

Е0 - механическая энергия; находится из начальных условий.

Энергия сохраняется, то есть консервируется => поле называется консервативным.

Покажем, что работа сил консервативного поля не зависит от вида траектории, а равна разности значений функции П в конце и начале перемещения (рис.51).

Рис.51.

Работа:

,

что и требовалось доказать.

.

Работа сил консервативного поля на замкнутом перемещении равна нулю (рис.52).

Рис.52.

1) Сила зависит только от времени - поле однородно, но не стационарно.

.

Тогда:

;

.

Аналогично, для y и z.

2) Проекции силы зависят только от соответствующих координат.

.

Умножая на dx и интегрируя:

.

Дифференцируем снова для проверки:

; .

Положим:

.

Тогда:

(знак берётся из начальных условий).

Разделяя переменные:

.

3) Проекция силы зависит лишь от проекции скорости на эту же ось.

.

Обозначая:

.

Разделяя переменные:

.

Таким образом, в каждом из трёх частных случаев силовых полей по заданным силе, массе и начальным условиям определены выражения для скорости и ускорения точки.

Рассмотрим движение n свободных материальных точек относительно инерциальной системы отсчёта (рис. 53).

Рис.53.

- масса точки .

Масса всей системы:

.

Центром масс системы назовём точку С, радиус - вектор которой равен

,

где .

Основные меры движения системы материальных точек:

1. Суммарное количество движения системы (геометрическая сумма количества движения материальных точек).

, где - скорость точки .

Рассмотрим систему точек с постоянными массами => дифференцируя :

;

где - скорость центра масс.

Итак,

Количество движения системы материальных точек равно количеству движения массы всей системы, сосредоточенной в центре масс.

2. Сумма моментов количества движения или кинетический момент системы:

.

представляется в виде одночлена только в случае одинаковых скоростей всех точек системы.

3. Кинетическая энергия системы:

Тоже не всегда представлена в одночленной форме.

Силы разделим на внешние и внутренние.

Внешние силы действуют со стороны масс, не входящих в систему.

Внутренние силы - силы взаимодействия между точками системы.

Обозначим:

- суммарная внешняя сила к точке

- суммарная сила взаимодействия точки c остальными точками системы.

Деление на внутренние и внешние силы условно.

Получим некоторые свойства внутренних сил.

Рис.54.

Рассмотрим точки и (рис. 54).

Из 3 - го закона Ньютона:

.

Внутренняя сила на точку :

.

Очевидно:

.

Итак, сумма внутренних сил и сумма моментов внутренних сил равны нулю относительно любой точки и любой оси.

Рассмотрим сумму элементарных работ внутренних сил.

Пусть , где ,

- расстояние между точками .

Работа на элементарных действительных перемещениях сил взаимодействия двух точек :

- проекция на , включающая в себя знак

Обозначим сумму элементарных работ внутренних сил :

(d - означает «на элементарных перемещениях»)

Основные (общие) теоремы динамики систем свободных материальных точек являются уравнениями движения систем свободных материальных точек, т. е. математически дифференциальными уравнениями изменений основных мер движения.

1. Для точки уравнение движения относительно инерциальной системы отсчёта:

Перенесём все векторы, не изменяя их направления, в центр масс и сложим геометрически:

.

Производная по времени от количества движения системы свободных материальных точек равна геометрической сумме внешних сил. Это теорема об изменении количества движения системы.

Так как то

.

Это уравнение движения центра масс системы материальных точек с массой, равной массе всей системы, к которой приложена сумма всех внешних сил (главный вектор внешних сил ) или теорема о движении центра масс.

2. Умножим уравнение движения точки слева векторно на и геометрически сложим, перенося векторы в центр масс:

.

Теорема об изменении кинетического момента системы:

Производная по времени от кинетического момента системы свободных материальных точек равна сумме моментов всех внешних сил (главному моменту всех внешних сил).

Существенно: моменты количества движения и моменты сил вычисляются относительно общего неподвижного начала.

3. Умножая скалярно уравнение движения точки

на и суммируя:

Или

.

Теорема об изменении кинетической энергии системы:

Дифференциал кинетической энергии системы свободных материальных точек равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил.

Интегралы уравнений движения системы:

1) Если равен нулю главный вектор внешних сил, то = const, то есть центр масс системы свободных материальных точек движется равномерно и прямолинейно.

2) Если главный момент внешних сил равен нулю, то сохраняется кинетический момент системы свободных материальных точек:

.

3) Если внешние и внутренние силы консервативны, то

Здесь:

- потенциал внешнего силового поля;

- потенциал взаимодействия точек;

- потенциальная энергия системы точек во внешнем поле;

- потенциальная энергия взаимодействующих точек.

Пусть твёрдое тело вращается относительно неподвижной оси. Тогда уравнения движения значительно упрощаются.

Действительно:

1) - кинетический момент.

Во вращательном движении , поэтому

.

Но из .

Итак:

,

где - момент инерции относительно оси вращения Z.

Уравнение движения:

окончательно, .

2) Кинетическая энергия:

.

Итак,

.

Моменты инерции некоторых тел (рис. 55):

1 Тонкий прямой стержень

2. Тонкое кольцо (обод)

3. Сплошной диск

Пример:

Рис.56.

Q - вес обода.

P - вес груза.

Найти a - ускорения груза Р.

По теореме об изменении кинетического момента системы:

Таким образом, при вращательном движении твёрдого тела удобно пользоваться соотношениями теоремы об изменении кинетического момента системы.