Система уравнений для определения токов в электрической цепи

Министерство образования Российской Федерации

Уфимский государственный нефтяной технический университет

Салаватский филиал

Кафедра: "Электротехники"

Контрольная работа № 1

Вариант № 2

Выполнил:

студент группы МЗЗ-01-21

Проверил:

Прачкин В.Г.

Салават 2003 г.

Для электрической цепи, схема которой изображена на рисунке 1, по заданным значениям сопротивлений и ЭДС выполнить следующее:

1) составить систему уравнений, необходимых для определения токов по первому и второму законам Кирхгофа;

2) найти все токи, пользуясь методом контурных токов;

3) проверить правильность решения, применив метод узлового напряжения, предварительно упростив схему, заменив треугольник сопротивлений эквивалентной звездой;

4) определить ток в резисторе методом эквивалентного генератора;

5) определить показание вольтметра и составить баланс мощностей для заданной схемы;

6) построить в масштабе потенциальную диаграмму для внешнего контура.

Дано:

Рисунок 1 - Схема электрической цепи

1) Для электрических цепей постоянного тока законы Кирхгофа записываются следующим образом:

(1)

(2)

Для электрической цепи, схема которой изображена на рисунке 1, необходимо составить систему уравнений, состоящую из трех уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, и трех уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа:

(3)

Подставив численные значения в систему уравнений (3), получим:

(4)

Решая систему уравнений (4) при помощи ЭВМ, получим следующие значения токов:

2) На скелетной схеме электрической цепи (см. рисунок 2) изобразим контурные токи и покажем их направления.

Рисунок 2 - Скелетная схема цепи

Составим систему уравнений для контурных токов по второму закону Кирхгофа для электрической цепи, у которой три независимых контура:

(5)

Где

Подставив численные значения в систему уравнений (5), получим следующую систему уравнений:

(6)

Решая систему уравнений (6) при помощи ЭВМ, получим следующие значения контурных токов:

Определим по первому закону Кирхгофа значения токов во всех ветвях электрической цепи:

(7)

Подставив численные значения, получим:

3) Для применения метода узлового напряжения упростим схему электрической цепи, заменив треугольник сопротивлений эквивалентной звездой.

Расчетная схема электрической цепи постоянного тока с эквивалентной звездой изображена на рисунке 3.

Рисунок 3 - Расчетная схема цепи с эквивалентной звездой

Определим сопротивления ветвей цепи по схеме звезда по известным сопротивлениям сторон треугольника по следующим формулам:

(8)

Подставив численные значения, получим:

Узловое напряжение определяется по формуле:

(9)

Для заданной электрической цепи формула (9) запишется следующим образом:

(10)

Подставив численные значения, получим:

Сила тока ветви определяется по формуле:

(11)

Ток в четвертой ветви (см. рисунок 1) определим из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для контура abcfa:

Отсюда,

(12)

Значения силы токов в пятой и шестой ветвях цепи определим из уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для узлов f и c:

(13)

4) Определение тока в резисторе методом эквивалентного генератора. Сила тока определяется по формуле:

(14)

где - напряжение холостого хода, В;

- входное сопротивление двухполюсника, Ом.

Расчетная схема электрической цепи и эквивалентная схема соединений звезда для метода эквивалентного генератора представлены на рисунке 4.

Рисунок 4 - Расчетная схема и эквивалентная схема соединений звезда

Определим сопротивления ветвей цепи по схеме звезда (см. рисунок 4,б):

(15)

Подставив численные значения сопротивлений, получим:

Входное сопротивление двухполюсника определяется по формуле:

(16)

Определим напряжение холостого хода, составив уравнение по второму закону Кирхгофа:

(17)

Силы токов определим из системы уравнений, составленных по законам Кирхгофа для расчетной схемы (см. рисунок 4,а):

(18)

Подставив численные значения параметров и решая полученную систему уравнений при помощи ЭВМ, получим следующие значения токов:

Подставляя полученные значения токов в формулу (17), получим:

Значение силы тока в резисторе определим по формуле (14):

5) Определим показание вольтметра.

Для этого мысленно сомкнем контур agea (см. рисунок 1) и составим уравнение по второму закону Кирхгофа для этого контура:

(19)

Составим баланс мощностей электрической цепи (см. рисунок 1):

(20)

6) Построим в масштабе потенциальную диаграмму для внешнего контура abcdea (см. рисунок 1). Для этого потенциал точки a принимаем равным нулю, а потенциалы других точек контура определяем по закону Ома, то есть:

 (21)

Подставляя численные значения, получим:

Потенциальная диаграмма представлена на рисунке 5.

Рисунок 5 - Потенциальная диаграмма