Механические колебания

Механические колебания

В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими) процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными.

Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения.

Механическими колебаниями называются движения тел, точно повторяющиеся через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x=f(t) (1). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени.

Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник, изображенные на рисунке.

Уравнение колебательного движения

Запишем уравнение движения для случая простейшего пружинного маятника, расположенного горизонтально.

На груз массой m, смещенный из положения равновесия на расстояние x, действует внешняя сила , сонаправленная со смещением. С учетом действующих в системе силы трения и силы упругости уравнение движения будет иметь вид:

(2)

Пусть сила трения пропорциональна скорости, т.е. , где r - коэффициент трения (постоянная положительная величина, что справедливо при не очень больших скоростях движения); сила упругости , следовательно, уравнение движения (2) можно записать в скалярной форме (т.к. все векторные величины направлены параллельно горизонтальной оси координат) в виде:

(3)

Уравнение (3) - неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка, правая часть уравнения характеризует внешнее воздействие на систему.

При отсутствии внешних сил () уравнение 3 приобретает вид

 (4)

и в системе возникают свободные колебания. При отсутствии трения уравнение (4) упрощается:

(5),

и колебания, возникающие в системе при отсутствии сил трения, называются собственными.

В этом случае полная механическая энергия колебательной системы остается постоянной, т.е.

.

Решением уравнения (5) является функция вида

x=x_mcos(щt>+ц₀) (6)

Здесь x - смещение тела от положения равновесия, x_m - амплитуда колебаний, т.е. максимальное смещение от положения равновесия, щ - циклическая или круговая частота колебаний, t - время. Величина, стоящая под знаком косинуса ц=щt+ц₀ называется фазой гармонического процесса. При t=0ц=ц₀, поэтому ц₀ называют начальной фазой.

Гармонические колебания

Колебания, описываемые уравнением (6), являются гармоническими.

Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T.

Частота (величина, обратная периоду) показывает, сколько колебаний совершается за единицу времени:

Циклическая частота колебаний связана с частотой и периодом колебаний T соотношениями

На слева рисунке изображены положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить экспериментально при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Интервал времени между последовательными положениями тела равен 1/12 периода.

При колебательном движении тела вдоль прямой линии (ось OX) вектор скорости направлен всегда вдоль этой прямой.

(7)

Появление слагаемого +р/2 в аргументе косинуса означает изменение начальной фазы. Максимальные по модулю значения скорости v_m=щ _m достигаются в те моменты времени, когда тело проходит через положения равновесия (x=0). Аналогичным образом определяется ускорение aтела при гармонических колебаниях:

(8), где

На рисунке слева приведены графики координаты, скорости и ускорения тела, совершающего гармонические колебания.

Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению:

(9)

Таким свойством обладает упругая сила в пределах применимости закона Гука:

Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими (как бы упругими)

Круговую частоту свободных колебаний щ₀ груза на пружине можно найти из уравнения (9):

, откуда или (10)

Частота щ₀ называется собственной частотой колебательной системы. Все физические системы (не только механические), описываемые уравнением

(11)

способны совершать свободные гармонические колебания, так как решением этого уравнения являются гармонические функции вида (6). Уравнение (11) называется уравнением свободных колебаний. Следует обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний щ₀ или период T. Такие параметры процесса колебаний, как амплитуда x_m и начальная фаза ц₀, определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени.

Крутильный маятник

Существует много разновидностей механических колебательных систем, в которых используются силы упругих деформаций. На рисунке слева показан горизонтально расположенный диск, висящий на упругой нити, закрепленной в его центре масс. При повороте диска на угол возникает момент сил M упругой деформации кручения: (12)

Это соотношение выражает закон Гука для деформации кручения. Величина м аналогична жесткости пружины k.

Крутильный маятник широко используется в механических часах. Его называют балансиром. В балансире момент упругих сил создается с помощью спиралевидной пружинки.

Затухающие колебания

Рассмотрим колебания пружинного маятника, уравнение движения которого (согласно уравнению (4)) запишем в виде:

(13)

Первое слагаемое в данном уравнении характеризует силу трения, пропорциональную скорости маятника.

Введем обозначения

С учетом этого решением дифференциального уравнения (13) является выражение

(14)

Амплитуда и начальная фаза могут быть определены, если будут известны два значения смещения в произвольные моменты времени, т.е. так называемые начальные условия. Уравнение (14) описывает затухающие колебания.

Циклическая частота затухающих колебаний определяется выражением (15). Из (14) мы видим, что амплитуда колебаний будет со временем уменьшаться, а из (15) следует, что частота также уменьшается.

Однако во многих случаях, когда трение мало, уменьшением частоты можно пренебречь, и приближенно считать частоту свободных колебаний равной частоте собственных колебаний, т.е. . В этом случае периодичность движения сохраняется, но уравнения уже не являются гармоничными.

Характеристиками затухающих колебаний являются декремент затухания, определяемый из условия

(16),

а также логарифмический декремент затухания

(17)

Логарифмический декремент затухания является постоянной для данной колебательной системы величиной.

Наряду с декрементом пользуются понятием добротности

(18)

Добротность пропорциональна отношению полной энергии W колебательной системы к энергии W_p , теряемой за период:

(19)

Чем выше добротность, тем медленнее затухают колебания.

Затухающие колебания происходят под действием сил, характерных для колебательной системы: силы упругости и силы трения. Однако незатухающие колебания можно получить с помощью внешних сил (см. уравнение (3)). Если внешняя сила периодична, то в системе возникают колебания с частотой изменения этой силы . При совпадении этой частоты с собственной частотой колебаний системы наблюдается резонанс, т.е. резкое увеличение амплитуды колебаний.

Механические волны

Если в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды возбуждены колебания частиц, то вследствие взаимодействия атомов и молекул среды колебания начинают передаваться от одной точки к другой с конечной скоростью. Процесс распространения колебаний в среде называется волной.

Механические волны бывают разных видов. Если при распространении волны частицы среды испытывают смещение в направлении, перпендикулярном направлению распространения, такая волна называется поперечной. Примером волны такого рода могут служить волны, бегущие по натянутому резиновому жгуту или по струне (рисунок слева).

Если смещение частиц среды происходит в направлении распространения волны, такая волна называется продольной. Волны в упругом стержне (рисунок справа) или звуковые волны в газе являются примерами таких волн.

Рассмотрим волну, которая распространяется в пространстве от источника, совершающего гармонические колебания. Если тело, являющееся источником колебаний, движется по закону y=y_mcos(щt)(20), то уравнение волны, распространяющейся от источника колебаний вдоль оси ОХ, будет иметь вид

(21), где (22)

называется волновым числом. Волновое число определяет количество волн, укладывающихся на отрезке 2р м подобно тому, как циклическая частота щ определяет число периодов, укладывающихся на временном отрезке 2р с.

Длиной волны л называют расстояние между двумя соседними точками на оси OX, колеблющимися в одинаковых фазах. Расстояние, равное длине волны л, волна пробегает за период T, следовательно, л=vT (23), где v - скорость распространения волны.

Обращаем внимание, что волна, описываемая уравнением (21), движется вдоль оси ОХ, против оси ОХ будет двигаться волна, описываемая уравнением

Скорость распространения упругой волны зависит от типа деформации и плотности среды, и вычисляется как (24), где Е - модуль соответствующей деформации (сжатия, сдвига, изгиба), с - плотность среды. Скорость распространения волны не имеет никакого отношения к скорости отдельных точек волны, и при малых амплитудах не зависит от амплитуды.

Например, при температуре 20°С скорость распространения продольных волн в воде v?1480м/с, в различных сортах стали v?5-6км/с.

Стоячие волны

Если механическая волна, распространяющаяся в среде, встречается с границей раздела сред, то она может частично отражаться, частично проникать во вторую среду.

Волна, бегущая по резиновому жгуту или струне отражается от неподвижно закрепленного конца; при этом появляется волна, бегущая во встречном направлении. В струне, закрепленной на обоих концах, возникают сложные колебания, которые можно рассматривать как результат сложения (суперпозиции) двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Например, колебания струн, закрепленных на обоих концах, создают звуки во всех струнных музыкальных инструментах.

Волны, бегущие по струне во встречных направлениях, при определенных условиях они могут образовать стоячую волну.

Пусть струна длины l закреплена так, что один из ее концов находится в точке x=0, а другой - в точке x=l (рисунок слева). По струне одновременно распространяются в противоположных направлениях две волны одной и той же частоты:

1) y₁=y_mAcos(щt+kx) - волна, бегущая справа налево;

2) y₂ =-y_m Acos(щt-kx)- волна, бегущая слева направо.

В точке x=0 (один из закрепленных концов струны) падающая волна y₁ в результате отражения порождает волну y₂. При отражении от неподвижно закрепленного конца отраженная волна оказывается в противофазе с падающей. Согласно принципу суперпозиции

y=y₁+y₂= (-2x_msinщt)sinkx

Это и есть стоячая волна. В стоячей волне существуют неподвижные точки, которые называются узлами. Посередине между узлами находятся точки, которые колеблются с максимальной амплитудой. Эти точки называются пучностями.

Оба неподвижных конца струны должны быть узлами. Приведенная выше формула удовлетворяет этому условию на левом конце (x=0). Для выполнения этого условия и на правом конце (x=l), необходимо чтобы kl=nр, где n - любое целое число. Это означает, что стоячая волна в струне возникает не всегда, а только в том случае, если длина l струны равняется целому числу полуволн, т.е.

, где n=1,2,3…

В стоячей волне нет потока энергии. Колебательная энергия, заключенная в отрезке струны между двумя соседними узлами, не транспортируется в другие части струны. В каждом таком отрезке происходит периодическое (дважды за период T) превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно как в обычной колебательной системе.

Распространяющаяся волна несет с собой энергию. Интенсивностью волны называется величина, численно равная потоку энергии, проходящей через поперечное сечение площадью 1м² за 1 с и длиной, равной скоростью волны, т.е.

(25)

Интенсивность зависит от свойств среды (первые два сомножителя), и характера движения точек в волне (выражение в скобках). Величину I называют также плотностью потока энергии.

Звуковые волны

Звуковыми волнами или просто звуком принято называть волны, воспринимаемые человеческим ухом. Диапазон звуковых частот лежит в пределах от 20Гц до 20кГц. Волны с частотой менее 20Гц называются инфразвуком, а с частотой более 20кГц - ультразвуком. Волны звукового диапазона могут распространяться не только в газе, но и в жидкости (продольные волны) и в твердом теле (продольные и поперечные волны). Изучением звуковых явлений занимается раздел физики, который называют акустикой.

При распространении звука в газе атомы и молекулы колеблются вдоль направления распространения волны. Это приводит к изменениям локальной плотности с и давления p. Звуковые волны в газе часто называют волнами плотности или волнами давления.

Скорость распространения звуковых волн определяется инертными и упругими свойствами среды. Скорость распространения продольных волн в любой безграничной однородной среде определяется по формуле

где B - модуль всестороннего сжатия, с - средняя плотность среды. Скорость звука при нормальных условиях (то есть при температуре 0°С и давлении 1атм) равна 331,5м/с, а скорость звука при температуре 20°С и давлении 1атм равна 343м/с.

При восприятии различных звуков человеческое ухо оценивает их прежде всего по уровню громкости, зависящей от интенсивности звуковой волны. Воздействие звуковой волны на барабанную перепонку зависит от звукового давления, то есть амплитуды p₀ колебаний давления в волне. Порог слышимости соответствует значению p₀ порядка 10-¹⁰атм, то есть 10-⁵Па, болевой порог соответствует значению p₀ порядка 10-⁴атм или 10Па. Таким образом, человеческое ухо способно воспринимать волны, в которых звуковое давление изменяется в миллион раз.

Еще одной характеристикой звуковых волн, определяющей их слуховое восприятие, является высота звука. Колебания в гармонической звуковой волне воспринимаются человеческим ухом как музыкальный тон. Колебания высокой частоты воспринимаются как звуки высокого тона, колебания низкой частоты - как звуки низкого тона. Звуки, издаваемые музыкальными инструментами, а также звуки человеческого голоса могут сильно различаться по высоте тона и по диапазону частот. Так, например, диапазон наиболее низкого мужского голоса - баса - простирается приблизительно от 80 до 400Гц, а диапазон высокого женского голоса - сопрано - от 250 до 1050Гц.