Теорема об изменении кинетической энергии. Расчет скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

1 ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ К ИЗУЧЕНИЮ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Задание 1.1

Определить скорость тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным S.

Дано:

m1, кг	m2, кг	m3, кг	m4, кг	, град.	f	S, м
m	ј m	ј m	1/5 m	60	0,10	3

Определить: V₁ - ?.

Решение:

Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:

(1)

Т.к. системы состоят из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями и стержнями, то . Т.к. в начальном положении система находится в покое, то T₀=0.

Следовательно, уравнение (1) принимает вид:

(2)

Найдем скорости всех тел, входящих в систему, относительно скорости тела 1:

V₂ = 0; V_C3 = V₁;

V₄ = 2V_C3 = 2V₁;

Вычислим энергию системы в конечном положении как сумму кинетических энергий тел 1, 2, 3, 4:

(3)

Т.к. для блоков радиусы инерции не даны, значит они однородные цилиндры, следовательно:

;

;

;

;

Найдем энергию системы в конечном положении по формуле (3):

;

Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном перемещении. Работа силы тяжести :

;

Работа силы трения скольжения :

Так как:

, то

;

Работа силы тяжести :

;

Работа силы тяжести :

;

Сумма работ внешних сил определится по формуле:

;

Подставляя известные значения, получаем:

, или ;

Согласно теореме (2) приравняем значения и :

, откуда:

м/с

Рисунок 1 - Схема механизма

Т.к. для блоков радиусы инерции не даны, значит они однородные цилиндры, следовательно:

;

;

;

;

Найдем энергию системы в конечном положении по формуле (3):

;

Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном перемещении. Работа силы тяжести :

;

Работа силы трения скольжения :

Так как:

, то ;

Работа силы тяжести :

;

Работа силы тяжести :

;

Сумма работ внешних сил определится по формуле:

;

Подставляя известные значения, получаем:

, или

;

Согласно теореме (2) приравняем значения и :

, откуда:

м/с

Задание 1.2

Дано: F₁ = 3 кН; F₂ = 4 кН; F₃ = 5 кН; а = 4.4 м; h = 3.3 м

Найти усилие в стержнях 3, 5, 7.

1. Спроецируем силы на ось х



2. Спроецируем силы на ось y

3. Составим уравнение моментов относительно точки А:

4. Составим уравнение сил на ось y

5. Спроецируем на ось х



6. Спроецируем на ось y

Рассмотрим следующий узел

7. Спроецируем все силы на ось х

8. Спроецируем все силы на ось y

Перейдём к следующему узлу.

9. Спроецируем силы на ось y

10. Спроецируем на ось х

Рассмотрим следующий узел

11. Спроецируем на ось y

12. Спроецируем на ось х



Перейдём к следующему узлу.

13. Спроецируем на ось х

14. Спроецируем на ось y

Рассмотрим последний узел

15. Спроецируем на ось y

Произведём расчёт методом Риттера.

16. Вырезаем плоскостью 1:

17. Вырезаем плоскостью 2

18. Вырезаем плоскостью 1

19. Найдём RA

20. Найдём RВ

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

S10

S11

S12

7.23

12.5

6.59

-12.01

2.99

-8.76

-5.01

-12.23

0.05

8.32

-6.59

-5

растянут

растянут

растянут

сжат

растянут

сжат

сжат

сжат

растянут

растянут

сжат

сжат

По методу Риттера

S3	S5	S7
6.67	3	-5

Задание 1.3

Дано: T=2t, t¦A_x, T+A_y, Q+A_y,P¦A_z, Q=1кН; T=4кН; G=2кН; а=30см; b=40см; с=20см; R=20см; r=10см.

Найти: R_A; R_B;



2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ ПО ЗАДАННЫМ УРАВНЕНИЯМ ЕЕ ДВИЖЕНИЯ

Задание 2.1

По заданным уравнениям движения точки М установить вид траектории и для момента времени t=t1 (c) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорение, а также радиус кривизны траектории.

Дано:

x=-4cos(рt/3), см

y=-2sin(рt/3)-3, см

t=1, с

Найти:

y=f(x), V, a, an, aф, с-?

Решение:

1. Определение траектории:

По основному тригонометрическому тождеству sinІx+cosІx=1:

Уравнение траектории - эллипс (рисунок 1).



Рисунок 1

При t=1

М (-2;-4.72)

2. Определение скорости. Зададим скорость точки через ее проекции на оси координат.

,

где , - проекции скорости на оси координат.

Найдем их дифференцируя по времени уравнения движения:



при t=1 с

По найденным проекциям определяем модуль скорости:

3. Определение ускорения. Вектор ускорения равен:

,

где , - это проекции ускорения на координатные оси.

Найдем их дифференцируя по времени уравнения движения:

По найденным проекциям определим модуль ускорения точки:



Модуль касательного ускорения точки равен:

Модуль нормального ускорения можно найти зная что:

После того как найдено нормальное ускорение, радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определим из выражения:

Результаты вычислений для заданного момента времени t=1 с приведены в таблице:

Координаты, см	Скорость, см/с	Ускорение, см/сІ	Радиус кривизны, см
x	y
-2	-4.72	3.6	-1	3.7	2,2	1.88	4.1	3.1	2.7	5

3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ ПОСТУПАТЕЛЬНОМ И ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИЯХ

Дано:

см, см, см, см, см/с, см, с, с, схема механизма.

Найти: уравнение движения, а также скорости и ускорения груза и точки М в момент времени .

Решение.

Уравнение движения груза 1 имеет вид:

(1)

Коэффициенты и могут быть определены из следующих условий:

при с см см/с

при с

4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ АБСОЛЮТНОЙ СКОРОСТИ И АБСОЛЮТНОГО УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ В СЛУЧАЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ПЕРЕНОСНОГО ДВИЖЕНИЯ

Задание 4.1

По заданным уравнениям относительного движения точки М и переносного движения тела D определить для момента времени t=t1 абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки M.

Исходные данные:

Решение:

Будем считать, что в расчетный момент времени плоскость чертежа совпадает с плоскостью окружности D. Положение точки M на теле D определяется расстоянием S_r = OM. При t = 4/3 c

Абсолютную скорость точки M найдем как геометрическую сумму относительной и переносной скоростей:

Модуль относительной скорости:

, где

При t = 4/3 c:

Отрицательный знак у величины показывает, что вектор направлен в сторону убывания S_r.

Модуль переносной скорости:

На основании рисунка 1 составим пропорцию из условий:

При S_r = K =45^o;

=> x = 50^o;

При S_r = 31.41 =x^o;

R_L - радиус окружности L, описываемой той точкой тела, с которой в данный момент совпадает точка M,

R_L = S_r sin50^o + a = 44 см.

При t = 4/3:

Отрицательный знак у величины показывает, что вращение треугольника происходит вокруг оси Oz в сторону, обратную направлению отсчета угла . Поэтому вектор направлен по оси Oz вниз (см. рисунок 2).



Рисунок 2

Переносная скорость:

Вектор направлен по касательной к окружности L в сторону вращения тела. Так и взаимно перпендикулярны, модуль абсолютной скорости точки M определится:

Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:

или

Модуль относительного касательного ускорения:

, где

При t = 4/3 c:

Отрицательный знак показывает, что вектор направлен в сторону отрицательных значений S_r.

Относительное нормальное ускорение:

Т.к. точка М движется по окружности, то .

Модуль переносного вращательного ускорения:

,

где - модуль углового ускорения тела D;

Вектор направлен в ту же сторону, что и .

Модуль переносного центростремительного ускорения:

Вектор направлен к центру окружности L.

Кориолисово ускорение:

;

Модуль кориолисова ускорения:

, где =140^o.

В соответствии с правилом векторного произведения вектор направлен перпендикулярно к плоскости окружности в ту же сторону, что и векторы и .

Модуль абсолютного ускорения точки М находим методом проекций. Согласно выбранным осям:

Результаты расчета сведены в таблице:

	Скорость, см/с		Ускорение, см/с2
-1,46	64,24	-42,74	77,16	-2	93,8	88	91,33	-19.38	80,2	227	-176,2	14,8	287,7