Движение механических систем

Задача

Дано:

Найти:

Решение: Видим, что, поскольку имеется только одна опора, каждое уравнение статики будет давать одну реакцию.

Итак, выпишем условия равенства нулю суммарной силы в проекции на ось , на ось , а также равенства нулю суммарного момента сил относительно точки :

Отметим, что равномерно распределенную силу мы заменим точечной силой , линия действия которой отстоит от точкина 3:

Выражая искомые реакции, получим:

Делая численную подстановку, получим значения:

Выполним проверку решения, вычислив момент сил относительно точки приложения силы :

Видим, что величины были найдены верно.

Ответ:

Задача1б.

Дано:

Найти:

Решение: Запишем условия равенства нулю суммарной силы в проекции на ось , на ось , а также условие равенства нулю суммарного момента сил относительно точки :

Отметим, что равномерно распределенную силу мы заменим точечной силой , линия действия которой отстоит от точкина 3:

Выражая искомые реакции, получим:

Делая численную подстановку, получим значения:

Выполним проверку решения, вычислив момент сил относительно точки приложения силы :

Видим, что величины были найдены верно.

Ответ:

Задача1в.

Дано:

Найти:

Решение: Запишем условия равенства нулю суммарной силы в проекции на ось , на ось , а также условие равенства нулю суммарного момента сил относительно точки :

Отметим, что равномерно распределенную силу мы заменим точечной силой , линия действия которой отстоит от точкина 3:

Выражая искомые реакции, получим:

Делая численную подстановку, получим значения:

Выполним проверку решения, вычислив момент сил относительно точки приложения силы :

Видим, что величины были найдены верно.

Ответ:

Определение положения центра тяжести тела.

Определить координаты центра тяжести фигуры, показанной на рис. C8.1.

рис. C8.1

Решение.

Координаты центра тяжести плоской фигуры определяем по формулам:

x = S_y*F; y = S_X/F, где (1)

S_y = ? F_i*x_i; S_x = ? F_i*y_i

Чтобы воспользоваться формулами (1), поделим плоскую фигуру на простые части, для которых легко находятся площади F_i и координаты центров тяжести x_i и y_i.

I фигура - прямоугольник (рис. C8.1 - центр тяжести - С₁)

S₁ = 2*16 = 32 (см²)

x₁ = 8 см

y₁ = 1 см

II фигура - прямоугольник (рис. C8.1 - центр тяжести - С₂)

S₂ = 2*14 = 28 (см²)

x₂= 10 см

y₂= 9 см

III фигура - полукруг (рис. C8.1 - центр тяжести - С₃)

S₃ = 0,5*рR² = 6,283 (см²)

x₁ = 10 см

y₁ = 16 + 4R/3р = 16,849 см

Таким образом, подставляя найденные значения площадей и координат центров тяжести простых фигур в формулы (1), найдем координаты центра тяжести плоской фигуры:



Центр тяжести площади указан на рис. C8.1.

В12 Д1

Дано:

б=30

P=0

l=40 м

Vв=4.5 м/с

h=1.5 м

Найти: Va и d

Решение:

m=

1) m=

OZ: m= -Q+R+Psin

=; P=mg; R=0,5;

m= -Q+0,5+mg sin | :m

= -++g sin

==

=104

=

=

н.у: =10 м/c; l=4;

С==2,16

=

=4 м/c

2) m=

OY: N=Pcos=

OX: m===

= | :m

===

= -

=0,375cos2-10,2t+C

н.у: t=0; =4 м/с;

C= 4-0,375=3,625

=0,375cos2-10,2t+3,625

; =0,375cos2t-10,2t+3,625

=

x=0,2sin2t-5,1+3,625t+C

н.у: =0; =0; => C=0

3. Моделирование и анализ движения механических систем под действием сил.

3.1Анализ движения механических систем с помощью теоремы об изменении кинетической энергии.

Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы

Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя. Учитывая трение скольжения тела 1, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела 1 в тот момент, когда пройденный им пусть станет равным s.

Дано:

Найти:

Решение.

Ответ:



Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил.

Найти уравнения движения тела М массой m, принимаемого за материальную точку и находящегося под действием переменной силы P, при заданных начальных условиях.

Дано:

Решение.

На материальную точку действует сила P и сила тяжести G=mg.

Дифференциальное уравнение движения точки без учета G.

Решаем дифференциальное уравнение подстановкой:



Определим произвольную постоянную С при t₀ = 0

Определим искомую функцию z(t):

Определим произвольную постоянную С₂ при t₀ = 0

- закон движения материальной точки.

Применение теоремы об изменении количества движения к определению скорости материальной точки.

Телу массой m сообщена начальная скорость v₀, направленная вверх по наклонной плоскости, составляющей угол б с горизонтом (рис. Д5.1). На тело действует сила P, направленная в ту же сторону. Зная закон изменения силы P = P(t) и коэффициент f, определить скорость тела в моменты времени t₁, t₂, t₃. Проверить полученный результат для момента времени t₁ с помощью дифференциального уравнения движения.

рис. Д5.1

рис. Д5.2. График изменения силы P

Дано: m=12кг, v₀=3м/с, t₁=3с, t₂=8с, t₃=14с, P₀=60Н, P₁=180Н, P₂=120Н, P₃=120Н, б=42⁰, f =0,15

Решение.

По данным значениям силы P построим график ее изменения (рис.Д5.2).

1) Интервал от 0 до t₁

Теорема об изменении количества движения:



Проверим, что скорость не изменила своего направления:

Уравнение не имеет корней, значит, скорость не изменила своего направления в этом интервале времени.

2) Интервал от t₁ до t₂

Теорема об изменении количества движения:

Проверим, что скорость не изменила своего направления (ф - время от начала второго интервала):



ф*>(t₂-t₁), значит, скорость не изменила своего направления в этом интервале времени.

3) Интервал от t₂ до t₃

Теорема об изменении количества движения:

Проверим значение v₁ в момент времени t₁:

Составим дифференциальное уравнение движения материальной точки:

Определим произвольную постоянную С:



Таким образом:

4. Моделирование и анализ движения механических систем под действием сил

4.1 Определение динамических реакций связей движущихся тел

Применение принципа Даламбера к определению реакций связей

Определить реакции внешних связей механической системы в произвольный момент времени.

Дано:

Найти:

Решение.

Ответ: , , .

Кинематический анализ движения твердого тела, катящегося без скольжения по неподвижной поверхности и имеющего неподвижную точку.

Тело А катится без скольжения по поверхности неподвижного тела B, имея неподвижную точку О. Ось тела А вращается вокруг неподвижной оси Oz и имеет при заданном положении тела А угловую скорость и угловое ускорение . Определить угловую скорость и угловое ускорение точки М в указанном положении тела А. Дано: ОМ₀ = 40 см.

Решение.

1) Определение угловой скорости тела.

Выберем направления координатных осей так, чтобы ось находилась в плоскости x0z.

Угловая скорость тела A равна геометрической сумме угловых скоростей и :

Нам неизвестно , поэтому найдем его из соотношения:

Угловую скорость найдем по теореме косинусов:



2) Определение углового ускорения тела.

Геометрически угловое ускорение - скорость конца вектора , вращающемуся относительно оси 0z с угловой скоростью :

3) Определение скорости точки тела.

Скорость точки М определяем как вращательную относительно мгновенной оси:

4) Определение ускорения точки тела.

Ускорение точки М находим как геометрическую сумму осестремительного и вращательного ускорений: