Теорема Гаусса-Маркова
Систематизация, накопление и закрепление знаний о теореме Остроградского Карла Фридриха Гаусса и ее применении. Исторические аспекты, связанные с теоремой, основные положения и характеристика области ее применения. Электростатических поля в вакууме.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 24.10.2009 |
| Размер файла | 569,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
8
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Теорема Гаусса-Маркова, основные положения
1.1. Исторические аспекты, связанные с теоремой Гаусса-Маркова
1.2. Теорема Гаусса-Маркова
Глава 2. Применение теоремы Гаусса-Маркова
2.1. Теорема Гаусса в дифференциальной форме
2.2. Теорема Гаусса для электростатических полей в вакууме
Заключение
Список литературы
Введение
В науке часто бывает, что один и тот же закон можно сформулировать по-разному. По большому счету, от формулировки закона ничего не меняется с точки зрения его действия, однако новая формулировка помогает теоретикам несколько иначе интерпретировать закон и испытать его применительно к новым природным явлениям. Именно такой случай мы и наблюдаем с теоремой Гаусса, которая, по существу, является обобщением закона Кулона, который, в свою очередь, явился обобщением всего, что ученые знали об электростатических зарядах на момент, когда он был сформулирован.
Немецкий математик из числа великих, не уступающий по рангу Ньютону или Архимеду. Родился в Брауншвейге (Braunschweig), в семье крестьян. Гениальные способности в математике проявил уже в раннем детстве, и пораженный его удивительным талантом учитель начальной школы убедил родителей Карла не определять мальчика в ремесленное училище, а дать ему возможность продолжить образование. В возрасте четырнадцати лет Гаусс буквально потряс своими обширными познаниями графа Брауншвейгского, и тот выделил юноше именную стипендию. Большинство своих важнейших математических открытий Гаусс сделал еще до присвоения ему ученой степени доктора наук Гёттингенским университетом в 1799 году, а спустя два года он опубликовал свой самый фундаментальный труд «Трактат о математике» (Disquisitiones Mathematicae), который посвятил своему влиятельному покровителю.
Речь в трактате шла о теории чисел -- разделе математики, занимающемся, в частности, натуральными числами и соотношениями между ними, такими как Великая теорема Ферма. Занятий математикой Гаусс не оставлял и впоследствии, сформулировав ряд принципов теории вероятностей и математической статистики, включая распределение случайных величин вокруг среднего значения, получившее название распределения Гаусса.
В 1801 году, после открытия первого астероида Цереры, Гаусс обратился к астрономии. Для расчета параметров его орбиты он разработал метод наименьших квадратов, позволяющий полностью рассчитать орбиту астероида по результатам всего трех измерений его положения на околосолнечной орбите. Пять лет спустя ученый был назначен директором Гёттингенской обсерватории и оставался на этом посту до конца жизни. Кроме того, Гаусс первым всерьез занялся изучением земного магнетизма, и не случайно единица напряженности магнитного поля названа гауссом в его честь.
Целью данной курсовой работы является систематизация, накопление и закрепление знаний о теореме Остроградского-Гаусса и ее применении.
Для реализации вышеуказанной цели в работе необходимо решить следующие задачи:
- рассмотреть исторические аспекты, связанные с теоремой Остроградского-Гаусса;
- изучить основные положения теоремы Остроградского-Гаусса;
- охарактеризовать область применения теоремы Остроградского-Гаусса.
Цель и задачи работы обусловили выбор ее структуры. Работа состоит из введения, глав, заключения, списка использованной при написании работы литературы.
Такое построение работы наиболее полно отражает организационную концепцию и логику излагаемого материала.
При написании работы возникли трудности с поиском библиографической базы, посвященной освещению изучаемого вопроса в связи со слабой изученностью указанной тематики, однако глубокое и всестороннее изучение источников обусловило подробное раскрытие выбранной темы работы.
Глава 1. Теорема Гаусса-Маркова, основные положения
1.1 Исторические аспекты, связанные с теоремой Гаусса-Маркова
В 1828 г. 27-летний русский математик М. В. Остроградский доложил на заседании Петербургской Академии наук о своих исследованиях в области переноса тепла, а вскоре опубликовал по этим результатам статью «Note sur la theorie de la chaleur» (Заметка по теории теплоты) в журнале Парижской Академии наук Mem. l'Acad. 1, 5/XI, p. 129, где в самом общем виде была доказана следующая формула которая является ничем иным, как иной формой записи приведенного выше выражения в векторных обозначениях.
Дальше следует вопрос: почему теорема о дивергенции часто называется все-таки теоремой Остроградского-Гаусса, т.е. почему здесь указывается и имя Гаусса, а порой, чаще всего в английской и немецкой литературе, только его имя и упоминается? Дело в том, что в 1813 г. Гаусс опубликовал фундаментальную работу «Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodo nova tractata», в которой он исследовал задачу о притяжении точки трехосным эллипсоидом. Здесь он впервые развил процедуру сведения объемного интеграла к поверхностному для простых функций в выражении и для нескольких частных случаев ограничивающих поверхностей.
Более того, в 1830 г. в работе «Allgemeine Lehrsaetze in Beziehung auf die im verkehrten Verhaeltnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstossungskraefte» («Общие теоремы относительно сил притяжения и отталкивания, действующих обратно пропорционально квадрату расстояния») Гаусс доказал теорему о среднем для гравитационного потенциала, которой мы часто пользуемся в том числе в электродинамике, а именно: среднее значение потенциала по поверхности шара, внутри которого не содержится притягивающих масс, равно его значению в центре. Следом была выведена формула
где интегрирование ведется по поверхности, ограничивающей массу , а под знаком интеграла стоит производная потенциала вдоль внутренней нормали к поверхности . Таким образом, здесь Гаусс в явном виде записал интегральное соотношение, соответствующее теореме о дивергенции для частного случая кулоновских полей. Поэтому появление имени Гаусса при цитировании теоремы о дивергенции для кулоновский полей вполне закономерно. Однако следут помнить о том, что эта теорема в общем виде была доказана впервые Остроградским. Далеко не всегда (особенно в последние годы) это обстоятельство принимается в расчет, а иногда приводит и к таким несуразным высказываниям, одно из которых побудило меня написать эту заметку.
Трудно сказать, по какой причине имя Остроградского вытирается при цитировании теоремы о дивергенции. Таких причин может быть в действительности несколько. Самая банальная состоит в том, что произнести «теорема Гаусса» проще, чем «теорема Остроградского-Гаусса», особенно для нерусскоговорящего. Однако, не последнюю роль могут играть соображения приоритета со стороны того или иного научного сообщества. Как уже я упоминал выше, в Германии и в англоязычных странах упоминается в большинстве случаев только имя Гаусса, иногда имена Грина и Стокса (теорема Стокса - это также теорема о конверсии процедуры интегрирования к меньшему числу измерений, а именно преобразование поверхностного интеграла к линейному - она известна как теорема о циркуляции). С другой стороны, во французской литературе, часто называется только имя Остроградского. Традиции цитирования в нашей стране, как правило во все времена были более корректны, поэтому чаще всего теорема о дивергенции называется у нас теоремой Остроградского-Гаусса. Разумеется, каждый из нас волен соотносить эти теоремы с теми именами, которые ему наиболее симпатичны (или удобопроизносимы), но при этом не следует забывать о достойном отношении к тем людям, наследием которых мы пользуемся.
1.2 Теорема Гаусса-Маркова
Экспериментально установленные закон Кулона и принцип суперпозиции позволяют полностью описать электростатическое поле заданной системы зарядов в вакууме. Однако, свойства электростатического поля можно выразить в другой, более общей форме, не прибегая к представлению о кулоновском поле точечного заряда.
Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле - поток Ц вектора напряженности электрического поля. Понятие потока вектора аналогично понятию потока вектора скорости при течении несжимаемой жидкости. Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка ДS. Произведение модуля вектора на площадь ДS и на косинус угла б между вектором и нормалью к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку ДS (рис. 1):
ДЦ = EДS cos б = EnДS,
где En - модуль нормальной составляющей поля
Рис. 1. К определению элементарного потока ДЦ.
Рассмотрим теперь некоторую произвольную замкнутую поверхность S. Если разбить эту поверхность на малые площадки ДSi, определить элементарные потоки ДЦi поля через эти малые площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток Ц вектора через замкнутую поверхность S (рис.2):
В случае замкнутой поверхности всегда выбирается внешняя нормаль.
Рис. 2. Вычисление потока Ф через произвольную замкнутую поверхность S.
Теорема Гаусса утверждает: Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную е0.
Для доказательства рассмотрим сначала сферическую поверхность S, в центре которой находится точечный заряд q. Электрическое поле в любой точке сферы перпендикулярно к ее поверхности и равно по модулю
где R - радиус сферы. Поток Ц через сферическую поверхность будет равен произведению E на площадь сферы 4рR2. Следовательно,
Окружим теперь точечный заряд произвольной замкнутой поверхностью S и рассмотрим вспомогательную сферу радиуса R0 (рис.3).
Рис. 3. Поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность S, окружающую заряд.
Рассмотрим конус с малым телесным углом ДЩ при вершине. Этот конус выделит на сфере малую площадку ДS0, а на поверхности S - площадку ДS. Элементарные потоки ДЦ0 и ДЦ через эти площадки одинаковы. Действительно,
ДЦ0 = E0ДS0, ДЦ = EДS cos б = EДS '.
Здесь ДS ' = ДS cos б - площадка, выделяемая конусом с телесным углом ДЩ на поверхности сферы радиуса r.
Так как а следовательно ДЦ0 = ДЦ. Отсюда следует, что полный поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность, охватывающую заряд, равен потоку Ц0 через поверхность вспомогательной сферы:
Аналогичным образом можно показать, что, если замкнутая поверхность S не охватывает точечного заряда q, то поток Ц = 0. Такой случай изображен на рис. 2. Все силовые линии электрического поля точечного заряда пронизывают замкнутую поверхность S насквозь. Внутри поверхности S зарядов нет, поэтому в этой области силовые линии не обрываются и не зарождаются.
Обобщение теоремы Гаусса на случай произвольного распределения зарядов вытекает из принципа суперпозиции. Поле любого распределения зарядов можно представить как векторную сумму электрических полей точечных зарядов. Поток Ц системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность S будет складываться из потоков Цi электрических полей отдельных зарядов. Если заряд qi оказался внутри поверхности S, то он дает вклад в поток, равный если же этот заряд оказался снаружи поверхности, то вклад его электрического поля в поток будет равен нулю.
Таким образом, теорема Гаусса доказана.
Теорема Гаусса является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции. Но если принять утверждение, содержащееся в этой теореме, за первоначальную аксиому, то ее следствием окажется закон Кулона. Поэтому теорему Гаусса иногда называют альтернативной формулировкой закона Кулона.
Используя теорему Гаусса, можно в ряде случаев легко вычислить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией и общую структуру поля можно заранее угадать.
Примером может служить задача о вычислении поля тонкостенного полого однородно заряженного длинного цилиндра радиуса R. Эта задача имеет осевую симметрию. Из соображений симметрии, электрическое поле должно быть направлено по радиусу. Поэтому для применения теоремы Гаусса целесообразно выбрать замкнутую поверхность S в виде соосного цилиндра некоторого радиуса r и длины l, закрытого с обоих торцов (рис. 4).
Рис. 4. Вычисление поля однородно заряженного цилиндра. OO' - ось симметрии
При r ? R весь поток вектора напряженности будет проходить через боковую поверхность цилиндра, площадь которой равна 2рrl, так как поток через оба основания равен нулю. Применение теоремы Гаусса дает:
де ф - заряд единицы длины цилиндра.
Отсюда
Этот результат не зависит от радиуса R заряженного цилиндра, поэтому он применим и к полю длинной однородно заряженной нити.
Для определения напряженности поля внутри заряженного цилиндра нужно построить замкнутую поверхность для случая r < R. В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Ц = E2рrl. Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.
Аналогичным образом можно применить теорему Гаусса для определения электрического поля в ряде других случаев, когда распределение зарядов обладает какой-либо симметрией, например, симметрией относительно центра, плоскости или оси. В каждом из таких случаев нужно выбирать замкнутую гауссову поверхность целесообразной формы. Например, в случае центральной симметрии гауссову поверхность удобно выбирать в виде сферы с центром в точке симметрии. При осевой симметрии замкнутую поверхность нужно выбирать в виде соосного цилиндра, замкнутого с обоих торцов (как в рассмотренном выше примере). Если распределение зарядов не обладает какой-либо симметрией и общую структуру электрического поля угадать невозможно, применение теоремы Гаусса не может упростить задачу определения напряженности поля.
Рассмотрим еще один пример симметричного распределения зарядов - определение поля равномерно заряженной плоскости (рис. 5).
Рис. 5. Поле равномерно заряженной плоскости. у - поверхностная плотность заряда. S - замкнутая гауссова поверхность.
В этом случае гауссову поверхность S целесообразно выбрать в виде цилиндра некоторой длины, закрытого с обоих торцов. Ось цилиндра направлена перпендикулярно заряженной плоскости, а его торцы расположены на одинаковом расстоянии от нее. В силу симметрии поле равномерно заряженной плоскости должно быть везде направлено по нормали. Применение теоремы Гаусса дает:
где у - поверхностная плотность заряда, т. е. заряд, приходящийся на единицу площади.
Полученное выражение для электрического поля однородно заряженной плоскости применимо и в случае плоских заряженных площадок конечного размера. В этом случае расстояние от точки, в которой определяется напряженность поля, до заряженной площадки должно быть значительно меньше размеров площадки.
Глава 2 Применение теоремы Гаусса-Маркова
2.1 Теорема Гаусса в дифференциальной форме
В курсе векторного анализа доказывается очень полезная теорема. Она связывает интеграл от вектора по поверхности с интегралом дивергенции этого вектора по объёму:
Её можно использовать для вывода теоремы Гаусса в дифференциальной форме:
Циркуляция вектора Е
Из механики известно, что любое стационарное поле центральных сил является консервативным, т.е. работа этих сил не зависит от пути. А зависит только от начальной и конечной точки. Именно таким свойством обладает электростатическое поле систем неподвижных зарядов. Если в качестве пробного заряда взять положительный единичный заряд, то работа сил поля равна:
Этот интеграл берётся по некоторой линии (пути), поэтому его называют линейным.
Из независимости от пути следует, что по замкнутому контуру интеграл будет равен нулю:
Определение. Интеграл от вектора по замкнутому контуру (пути) называется циркуляцией вектора и обозначают С или (рис.6).
8
рис.6. Интеграл от вектора по замкнутому контуру
Теорема о циркуляции вектора Е
Циркуляция вектора Е в любом электростатическом поле равна нулю:
Следствие 1. В электростатическом поле силовые линии незамкнуты.
Действительно если бы какая ни будь силовая линия была бы замкнута, то взяв по ней циркуляцию, мы получили бы интеграл отличным от нуля (скалярное произведение Е и dl по всему контуру будет положительно, а следовательно и вся сумма-интеграл тоже больше нуля).
Поле, циркуляция которого равна нулю, называется потенциальным.
Ротор поля Е
Рассмотрим отношение циркуляции вектора Е к площади ограниченной контуром. Оказывается это отношение стремиться к некоторому пределу при S>0 , причём этот предел зависит от ориентации контура в пространстве. Ориентация контура задаётся вектором нормали n к плоскости контура и связано с направлением обхода правилом правого винта.
Предел, получаемый при заданной операции, представляет собой скалярную величину, которая ведёт себя как проекция вектора на вектор нормали к плоскости контура, по которому берётся циркуляция:
Получим выражение для ротора в декартовой системе координат. Для этого выберем очень маленький контур в виде прямоугольника лежащий в плоскости х,у (рис.7.)
8
рис.7. Контур в виде прямоугольника лежащий в плоскости х,у
Запишем интеграл - циркуляцию по этому контуру:
Так как под интегралом стоит скалярное произведение, то знаки расставлены в соответствие с направлением единичных векторов базиса.
Теперь разделим результат на площадь контура и возьмём предел, так как нормаль направлена на нас из рисунка, то это будет z-вая проекция ротора:
Аналогично получим х и у проекции ротора:
,
.
Собрав все три проекции вектора вместе можно записать вектор в виде определителя:
Ротор ещё иногда называют вихрем.
2.2 Теорема Гаусса для электростатических полей в вакууме
Электрическое поле бесконечной заряженной плоскости Для нахождения поля Е воспользуемся теоремой Гаусса.
Силовые линии электрического поля идут перпендикулярно к поверхности, а эквипотенциальные поверхности параллельно поверхности, следовательно нужно выбрать поверхность в виде параллелепипеда или цилиндра.
Поток вектора Е через боковую поверхность цилиндра равен нулю. Следовательно, запишем поток только через торцы:
,
или векторном виде
Потенциал в пространстве от бесконечной плоскости найдём, положив его равным нулю на самой плоскости ц(0)=0:
Окончательно
Поле двух параллельных заряженных плоскостей
Пусть имеется две параллельные плоскости заряженные противоположно у- и у+. Поле по обе стороны от этих плоскостей равно нулю, так как они взаимно компенсируют друг друга. А внутри между плоскостями поле удваивается:
.
Пусть на левой плоскости помещённой нами в начало координат потенциал равен нулю. Тогда между плоскостями потенциал равен:
.
Окончательно
Величину, являющуюся пределом отношения потока поля через замкнутую поверхность к объёму, при стремлении объёма к нулю, называют дивергенцией поля:
Вычислим дивергенцию для некоторого неоднородного поля Е в декартовой системе координат. Выделим для определённости малый объём dxdydz в виде куба, с гранями параллельными осям. Куб пронизывает поток поля Е. Так как поле неоднородно, то через противоположные грани протекают разные потоки
8
рис.8. Противоположные грани протекают разные потоки
При выводе нужно учесть, что к грани площадью ДxДy перпендикулярен вектор Еz , грани ДzДy вектор Еx, грани ДxДz вектор Еу. Так как интеграл берётся по замкнутой поверхности , то по каждому направлению нужно вычесть потоки через соответствующие грани, при этом вектор Е получает приращение.
Тогда предел можно расписать в виде:
Итак, дивергенцию можно записать так:
Пусть заряд q находится в объёме V, охватываемом поверхностью S.
Разделим формулу теоремы Гаусса на V:
Возьмём предел от этого выражения при V>0. Средняя плотность заряда <с> будет стремиться к значению плотности с в данной точке, а предел от левой части есть дивергенция:
Это и есть выражение теоремы Гаусса в дифференциальной форме.
В дифференциальной форме теорема Гаусса является локальной теоремой: дивергенция поля в данной точке зависит только от плотности заряда в той же точке и больше ни от чего.
В тех точках поля, где дивергенция положительна, мы имеем источники поля (положительные заряды), в тех, где отрицательна, - стоки (отрицательные заряды).
Выражение для дивергенции зависит от системы координат. Например, в сферических координатах:
Векторные поля у которых дивергенция равна нулю, называются соленоидальными.
Дивергенция по латыни означает «расхождение» или «расходимость».
Заключение
Вообще говоря, в математике, физике и астрономии найдется немного областей, развитию которых не посодействовал замечательный гений Карла Фридриха Гаусса. В 1831 году он вместе со своим молодым коллегой Вильгельмом Вебером (Wilhelm Weber, 1804-1891) занялся изучением электричества и магнетизма и вскоре сформулировал и доказал теорему, названную его именем. Чтобы понять, в чем заключается ее смысл, представьте себе изолированный точечный электрический заряд q. А теперь представьте, что он окружен замкнутой поверхностью. Форма поверхности в теореме не важна -- это может быть пусть даже сдутый воздушный шарик. В каждой точке окружающей заряд поверхности, однако, наблюдается электрическое поле, образованное зарядом, а произведение напряженности этого электрического поля на сколь угодно малую единицу площади окружающей заряд поверхности, через которую проходят силовые линии поля, называется потоком напряженности электрического поля, и можно рассчитать поток напряженности, приходящийся на каждый элемент поверхности. Теорема Гаусса как раз и гласит, что суммарный поток напряженности электрического поля, проходящий через окружающую заряд поверхность, пропорционален величине заряда.
Интересное следствие из нее получается, если применить эту теорему к сплошному металлу. Представьте себе цельнометаллический предмет и воображаемую замкнутую поверхность внутри него. Полный электрический заряд внутри такой поверхности будет нулевым, поскольку внутри окажется равное число положительных и отрицательных зарядов -- протонов атомных ядер и электронов соответственно. Следовательно, поток напряженности электрического поля, проходящий через такую замкнутую поверхность, также будет равен нулю. Поскольку это верно для любой замкнутой поверхности внутри металла, это означает, что внутри металла не существует и не может существовать электрического поля.
Это свойство металлов часто используется экспериментаторами и инженерами-связистами для защиты высокочувствительных приборов от наведенных извне электрических помех. Обычно прибор просто окружается защитным медным экраном. Согласно теореме Гаусса, внешние электрические поля просто не в состоянии проникнуть внутрь такой оболочки и создать помехи работе прибора.
Другое интересное следствие теоремы Гаусса заключается в том, что если в дороге вас застала гроза, самое безопасное для вас -- не выходить из машины, поскольку там вы окружены цельнометаллическим экраном. Даже если в ваш автомобиль ударит молния, внутри вам ничего не будет угрожать, поскольку весь разряд пройдет по корпусу и уйдет в землю. Резина, скорее всего, сгорит, зато сами вы останетесь в целости и сохранности.
Список литературы
1. Айзенцон, А.Е. Курс физики / А.Е. Айзенцон - М.: Высшая школа, 2006.
2. Брюханов, А.В. Толковый физический словарь / А.В. Брюханов, Г.Е. Пустовалов, И.В. Рыдник - М.: Русский язык, 2000.
3. Грибов, Л.А. Основы физики / Л.А. Грибов, Н.И.Прокофьева - М.: Гардарика, 2000.
4. Джанколи Д. Физика: В 2-х т. Т. 1: Пер. с англ. - М.: Мир, 2000
5. Дикусар, Л.Д. Физика. Контрольные работы и методическое руководство для самостоятельной работы студентов очно-заочной и заочной формы обучения / Л.Д. Дикусар - Новосибирск: СГГА, 2002.
6. Дущенко В. П., Кучерук И. М. Общая физика. - К.: Высшая школа, 2005.
7. Енохович А. С. Краткий справочник по физике. - 2-е изд., перераб и доп. - М.: Высшая школа, 2006
8. Зисман Г. А., Тодес О. М. Курс общей физики. В 3 т. - М.: Наука, 2005.
9. Иванов Б.И. Законы физики / Б.И. Иванов - М.: Высшая школа, 2006.
10. Костров А.В. Движение асимметричного баллистического аппарата. M., 2004
11. Кухлинг Х. Справочник по физике: Пер. с нем. - М.: Мир, 2003.
12. Лаврова, И.В. Курс физики / И.В. Лаврова - М.: Просвещение, 2001.
13. Орир, Дж. Физика. Т. 1 / Дж. Орир - М.: Мир, 2001.
14. Савельев И. В. Курс общей физики: Учеб. пособие. - 3-е изд., испр. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 2000
15. Савельев, И.В. Курс физики. Т. 1 / И.В. Савельев - М.: Наука, 2000.
16. Серебряков М.Е. Внутренняя баллистика. М., 2000
17. Трофимова, Т.И. Курс физики / Т.И. Трофимова - М.: Высшая школа, 2000
18. Тюшев, А.Н. Физика в конспективном изложении. Ч. II / А.Н. Тюшев - Новосибирск: СГГА, 2000.
19. Шапиро Я.М. Внешняя баллистика. М., 2006
20. Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике. - М.: Наука, 2002.
Подобные документы
Силовые линии электростатического поля. Поток вектора напряженности. Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса. Вычисление электростатических полей с помощью теоремы Остроградского-Гаусса. Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости.
презентация [2,3 M], добавлен 13.02.2016Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля. Условия на границе раздела двух диэлектрических сред. Вывод основных законов электрического тока в классической теории проводимости металлов.
шпаргалка [619,6 K], добавлен 04.05.2015Свойства силовых линий. Поток вектора напряженности электрического поля. Доказательство теоремы Гаусса. Приложение теоремы Гаусса к расчету напряженности электрических полей. Силовые линии на входе и на выходе из поверхности. Обобщенный закон Кулона.
реферат [61,6 K], добавлен 08.04.2011Предмет, законы и понятия электростатики. Свойства электрических зарядов. Напряжённость электростатического поля. Силовые линии и принцип суперпозиции. Поток вектора напряжённости. Электростатическая теорема Остроградского-Гаусса. Электрические явления.
презентация [413,2 K], добавлен 19.06.2013Четыре типа взаимодействий: гравитационное, электромагнитное, ядерное (сильное), слабое. Фундаментальные свойства зарядов. Закон Кулона. Напряженность поля. Теорема Гаусса. Дифференциальная формулировка закона Кулона. Объемная плотность заряда шара.
реферат [87,3 K], добавлен 21.10.2013Описание теоремы Гаусса как альтернативной формулировки закона Кулона. Расчеты электростатического поля заданной системы зарядов в вакууме и вычисление напряженности поля вокруг заряженного тела согласно данных условий. Сравнительный анализ решений.
контрольная работа [474,5 K], добавлен 23.11.2010Примеры расчета магнитных полей на оси кругового тока. Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса-Остроградского для вектора: основное содержание, принципы. Теорема о циркуляции вектора. Примеры расчета магнитных полей: соленоида и тороида.
презентация [522,0 K], добавлен 24.09.2013Закон повного струму. Рівняння Максвелла для циркуляції вектора напруженості магнітного поля. Використання закону для розрахунку магнітного поля. Магнітний потік та теорема Гаусса. Робота переміщення провідника із струмом і контуру у магнітному полі.
учебное пособие [204,9 K], добавлен 06.04.2009Изучение электромагнитного взаимодействия, свойств электрического заряда, электростатического поля. Расчет напряженности для системы распределенного и точечных зарядов. Анализ потока напряженности электрического поля. Теорема Гаусса в интегральной форме.
курсовая работа [99,5 K], добавлен 25.04.2010Закон сохранения электрического заряда. Взаимодействие электрических зарядов в вакууме, закон Кулона. Сложение электростатических полей, принцип суперпозиции. Электростатическое поле диполя, взаимодействие диполей. Напряженность электростатического поля.
презентация [3,2 M], добавлен 13.02.2016
