Содержание

Раздел 1. Понятие производной

1.1 Геометрический смысл производной

1.2 Физический смысл производной

Раздел 2. Приложения производной

2.1 Производная и экстремумы

2.2 Отыскание наибольших и наименьших значений функции на отрезке

2.3 Исследование функций на возрастание и убывание. Достаточное условие экстремума

2.4 Исследование графиков на выпуклость

2.5 Точки перегиба

Раздел 3. Применение производной в физике и геометрии

3.1 Применение производной в геометрии

3.2 Применение производной в физике

Раздел 1. Понятие производной

Касательной к линии l в точке М₀ называется прямая М₀Т - предельное положение секущей М₀М, когда точка М стремится к М₀ вдоль данной линии произвольным образом.

Производной функции y=f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производную функции y=f(x) в точке х₀ обозначают символом f'(x₀) или y'(x₀). Следовательно, по определению

или y'(x0)= lim . (1)

Употребляются и другие обозначения:

= lim , x = lim , если x = f(t).

Термин производная ввел Ж. Лагранж (1797), он же предложил обозначения y', f'(x), f''(x). Обозначения dy/dx впервые встречается у Лейбница (1675).

Нахождение производной от данной функции называется дифференцированием данной функции. Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.

Укажем правила дифференцирования, которые сводят вычисление производных одних функций к вычислению производных других (более простых) функций.

Если функции дифференцируемы в точке , то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в точке , и справедливы следующие формулы:

.(2)

Если функция имеет обратную функцию и в точке производная , то обратная функция дифференцируема в точке и или .

Если функция дифференцируема в точке и , то сложная функция также дифференцируема в и верна следующая формула:

или.(3)

Пример 1.

Найти производную функции .

Решение:

1.2 Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной: производная функции y = f(x) при х=х₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику данной функции в точке М₀ (х₀, f(х₀)), т. е. f'(х₀)=tg б,

где б - угол наклона касательной к оси Ох прямоугольной декартовой системы координат.

Уравнение касательной к линии y = f(x) в точке М₀ (x₀,y₀) принимает вид:y - y₀ = f'(x₀)(x-x₀).(4)

Нормалью к кривой в некоторой ее точке называется перпендикуляр к касательной в той же точке. Если f(х₀) ? 0, то уравнение нормали к линии y=f(x) в точкеМ₀ (x₀,y₀) запишется так:

y - y₀= - (1/f'(x₀)) (x-x₀).(5)

1.3 Физический смысл производной

Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени [t₀; t₀+?t] равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т. е. Vср = ?x/?t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ?t > 0.

lim Vср (t) = (t₀) - мгновенная скорость в момент времени t₀, ?t > 0.

lim = ?x/?t = x'(t₀) (по определению производной).

Итак, (t) =x'(t).

Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции y = f(x) в точке x₀ - это скорость изменения функции f (х) в точке x_0.

Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени.

(t) = x'(t) - скорость,

a(f) = '(t) - ускорение, или a(t) = x"(t).

Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:

ц = ц(t) - изменение угла от времени,

щ = ц'(t) - угловая скорость,

е = ц'(t) - угловое ускорение, или е = ц"(t).

Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:

m = m(х) - масса,

x [0; l], l - длина стержня,

р = m'(х) - линейная плотность.

С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука F = -kx, x - переменная координата, k - коэффициент упругости пружины. Положив щ² =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника

х"(t) + щ²x(t) = 0,(7)

где щ = vk/vm частота колебаний (l/c), k - жесткость пружины (H/m).

Уравнение вида у" + щ²y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений является функция

у = Asin(щt + ц₀) или у = Acos(щt + ц₀),(8)

где А - амплитуда колебаний, щ - циклическая частота, ц₀ - начальная фаза.

Раздел 2. Приложения производной

2.1 Производная и экстремумы

С помощью производных можно исследовать, где функции возрастают, где они убывают, где достигают наибольших и наименьших значений и т. д. Докажем сначала теорему о знаке приращения функции, полезную при таких исследованиях.

Теорема 1. Если в точке a производная функции положительна, , то вблизи этой точки знаки приращения аргумента и приращения функции совпадают. Если же , то вблизи точки знаки приращения аргумента и приращения функции противоположны.

Доказательство. По условию функция имеет производную в точке , и потому ее приращение при переходе от аргумента к аргументу записывается в виде где функция б бесконечно мала при . Если , то при малых значениях сумма положительна вблизи точки , а потому и отличаются лишь положительным множителем. Значит, они имеют одинаковые знаки. Этим доказано, что вблизи точки (т. е. при малых ) знаки приращения аргумента и функции одинаковы.

Если , то при малых значениях сумма отрицательна, а потому знаки и противоположны (от умножения числа на отрицательное число его знак меняется).

Покажем теперь применение производной к исследованию функций на максимум и минимум. Уточним сначала соответствующие понятия.

Определение 1. Функция имеет в точке максимум (соответственно минимум), если ее значение в точке не меньше (соответственно не больше) значений вблизи этой точки.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции. Из данного определения видно, что свойство функции иметь экстремум в точке зависит от значений этой функции в самой этой точке и вблизи нее. Такие свойства функции называют локальными в отличие от глобальных свойств, определяемых значениями функции на целом промежутке (например, свойства возрастать на отрезке ). Вдали от точки максимума функция может принимать значения, превосходящие ее значения в этой точке (рис. 1).

Превратить точку в точку экстремума функции можно путем изменения значения функции лишь в этой точке. Например, функция, равная нулю всюду, кроме точки , в которой ее значение равно , имеет максимум в этой точке. Чтобы избежать рассмотрения таких "искусственных" экстремумов, будем предполагать, что в точке экстремума функция непрерывна.

На рисунке 2 изображен график функции , которая имеет максимум в точке и минимум в точке . Видим, что в точке касательная к графику функции горизонтальна, а потому производная функции обращается в этой точке в нуль: . В точке же график функции заострен, и потому функция не имеет в этой точке производной. Иных точек экстремума нет.

Теорема 2. В точке экстремума производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Доказательство. Возможны четыре случая: a) ;б) ;

в) ;г) не существует.

Покажем, что в точках экстремума не может иметь места ни первый, ни второй случай. Если, например, , то по теореме о знаке приращения вблизи точки знаки и совпадают, а потому слева от (т. е. при ) имеем: , а справа от (т. е. при ) имеем: . Но тогда слева от выполняется неравенство , а справа от - неравенство . Эти неравенства показывают, что значение функции в точке не являются ни наименьшим, ни наибольшим по сравнению со значениями этой функции вблизи от . Значит, не является точкой экстремума. Точно так же доказывается, что не может быть точкой экстремума и точка, в которой . Поэтому точками экстремума могут быть либо точки, в которых , либо точки, в которых не существует. Найденное условие является лишь необходимым для того, чтобы была точкой экстремума для , - оно позволяет отобрать точки, "подозрительные" на экстремум, но не дает оснований утверждать, что в этих точках функция действительно имеет экстремум, - нужна еще дополнительная проверка. Например, производная функции равна . Она обращается в нуль при . Однако точка не является точкой экстремума для , так как функция при равна нулю, слева от точки отрицательна, а справа от этой точки положительна (рис. 9).

2.2 Отыскание наибольших и наименьших значений функции на отрезке

Решение многих задач практики приводит к отысканию наибольших или наименьших значений некоторой функции на некотором отрезке. Пусть, например, надо огородить проволокой данной длины прямоугольный участок земли наибольшей площади. Если обозначить длину одной из сторон этого участка через , то длина другой стороны будет равна , а потому площадь участка равна . При этом изменяется от до (при и при получаем "вырожденные" прямоугольники, одна из сторон которых имеет нулевую длину). Итак, надо найти значение x, при котором функция принимает наибольшее значение на отрезке . Эту задачу можно решить элементарно, записав выражение функции в виде . Видим, что значение будет наибольшим, если . Выражение в этом случае равно . При длина второй стороны тоже равна . Таким образом, наибольшую площадь среди прямоугольников данного периметра имеет квадрат.

Элементарные методы отыскания наибольших и наименьших значений функций применимы лишь для весьма узкого круга задач. Общий метод отыскания таких значений дает дифференциальное исчисление. Начнем с формулировки теоремы, гарантирующей существование таких значений.

Теорема 1. Если функция, непрерывна на отрезке , то среди ее значений на этом отрезке есть наибольшее и наименьшее.

Данная теорема дает лишь уверенность в существовании наибольших и наименьших значений непрерывной функции, но не указывает, как находить эти значения. Для наибольшего значения функции возможны два случая:

а) оно достигается на одном из концов отрезка (рис. 4,а) или на обоих концах сразу (рис. 4,б).

б) оно достигается во внутренней точке этого отрезка (рис. 4,в).

Во втором случае значение функции в точке не меньше ее значений вблизи точки , и поэтому - точка максимума (быть может, нестрогого) для . Но тогда в либо функция недифференцируема, либо ее производная равна нулю. Аналогично обстоит дело с наименьшим значением функции на отрезке .

Отсюда вытекает следующее правило отыскания наименьших и наибольших значений функции на отрезке:

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции на отрезке надо:

а) найти ее значения на концах, этого отрезка (т. е. числа и );

б) найти ее значения в точках, где производная функции равна нулю;

в) найти ее значения в точках, где функция не имеет производной;

г) из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Отметим, что задачи на наибольшие и наименьшие значения решаются по следующему плану:

1. Выбирают одну из переменных (независимую переменную) и выражают через нее ту переменную, для которой ищется наибольшее или наименьшее значение.

2. Находят промежуток изменения независимой переменной.

3. Находят производную полученной в п.1 функции.

4. Приравнивают производную нулю и находят корни получившегося уравнения.

5. Находят точки, в которых функция не имеет производной.

6. Вычисляют значения функции на концах промежутка изменения независимой переменной и в точках, найденных в п. 4 и п. 5, а потом выбирают из них наибольшее (соответственно наименьшее).

При этом для облегчения вычислений полезно иметь в виду следующие замечания:

1. Точка, в которой функция принимает наибольшее или наименьшее значение, не изменяется при следующих преобразованиях выражения, задающего функцию:

а) прибавлении постоянного слагаемого;

б) умножении на отличное от нуля число (только при умножении на отрицательное число наибольшее значение переходит в наименьшее и обратно);

в) возведении в степень с натуральным показателем, если функция неотрицательна.

2. Если положительная функция принимает в точке а наибольшее (соответственно наименьшее) значение, то функции - и 1/f принимают в той же точке наименьшее (соответственно наибольшее) значение.

2.3 Исследование функций на возрастание и убывание

Достаточное условие экстремума

Наглядное представление о связи между монотонностью функции на отрезке и знаком ее производной на этом отрезке дает разбор следующего примера.

Пусть точка движется по оси и ее координата в момент времени равна . Если в течение некоторого промежутка времени скорость точки положительна (соответственно отрицательна), то точка все время движется вправо (соответственно влево), и потому ее координата x возрастает (соответственно убывает). Поскольку скорость является производной от координаты по времени, т. е. равна , то приходим к выводу, что при положительности производной на отрезке функция возрастает, а при отрицательности производной функция убывает. К тому же выводу приходим из геометрических соображений. Рисунок 5 показывает, что если производная функции положительна на отрезке (т. е. если во всех точках этого отрезка касательная образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс), то функция возрастает на . В случае же, когда производная отрицательна, касательная образует во всех точках тупой угол с положительным направлением оси абсцисс и функция убывает (рис. 6). Однако ни физические, ни геометрические рассуждения не дают строгого математического доказательства сформулированных утверждений. Такое доказательство основано на теореме Лагранжа.

Теорема 1. Если функция непрерывна на промежутке и ее производная положительна (соответственно отрицательна) во внутренних точках этого промежутка, то функция возрастает (убывает) на .

Доказательство. Пусть и точки промежутка , причем , и пусть внутри . По теореме Лагранжа имеем , так как , а , поскольку . Итак, если производная положительна, то из следует: , т. е. функция возрастает на . Случай, когда внутри рассматривается аналогично.

Теорема 2. Если функция непрерывна в точке , причем вблизи этой точки слева от производная функции положительна, а справа она отрицательна, то - точка максимума функции .

Доказательство. Из условия следует, что существует такой отрезок , что на производная положительна, а на она отрицательна. Тогда функция возрастает на и убывает на (рис. 7). Значит, в самой точке она принимает значения большие, чем ее значения слева или справа от (вблизи ). Иными словами, - точка максимума функции. Аналогично доказывается теорема 3.

Теорема 3. Если функция непрерывна в точке , причем вблизи этой точки слева от производная функции отрицательна, а справа от она положительна, то - точка минимума функции .

2.4 Исследование графиков на выпуклость

На рисунке 8, а изображен график функции , заданной на отрезке . Этот график расположен выше любой проведенной к нему касательной и имеет с ней лишь одну общую точку. А график на рисунке 8, б лежит ниже любой проведенной к нему касательной. В первом случае говорят, что график функции обращен на отрезке выпуклостью вниз, а во втором - что он обращен выпуклостью вверх.

Теорема 1. Пусть на отрезке функция непрерывна и внутри этого отрезка (соответственно ). Тогда график функции обращен на этом отрезке выпуклостью вниз (соответственно вверх) (рис. 9).

Доказательство. Рассмотрим случай, когда на . Выберем любую точку и проведем касательную к графику в точке . Ее уравнение имеет вид:

Докажем, что при любом из , отличном от , выполняется неравенство , т. е. .

Пусть (случай рассматривается аналогично). Применим к отрезку теорему Лагранжа. Получаем, что , где и потому

Вторично применяем теорему Лагранжа к функции и отрезку . Получаем: где . Но по условию имеем: , а точки и лежат по одну сторону от точки и потому . Значит, _.

Случай, когда внутри отрезка , рассматривается аналогично.

Если точка движется по прямой в течение отрезка времени , причем ее ускорение положительно (соответственно отрицательно), то график ее движения обращен выпуклостью вниз (соответственно вверх).

Сравним теперь взаимное расположение выпуклого вверх или вниз графика функции и хорды.



Теорема 2. Если график функции обращен на отрезке выпуклостью вниз (соответственно вверх), то внутри отрезка этот график расположен под (соответственно над) хордой , где , (рис. 10, а, б).

Доказательство. Пусть график функции обращен выпуклостью вниз. Это значит, что он лежит над любой проведенной к нему касательной и имеет с ней лишь одну общую точку. Но тогда (рис. 11) точка лежит над точкой , точка - над точкой , и потому вся хорда лежит над касательной. В частности, точка касания лежит ниже хорды. Поскольку это верно для всех точек дуги , то вся дуга расположена под хордой

Случай, когда график обращен выпуклостью вверх, рассматривается аналогично.

2.5 Точки перегиба

Обычно кривая расположена около точки касания по одну и ту же сторону от касательной. Но может случиться, что в точке касания кривая переходит с одной стороны касательной на другую (рис. 12). Такие точки называют точками перегиба данной кривой.



Определение 1. Точка кривой называется точкой перегиба, если в этой точке кривая переходит с одной стороны карательной (проведенной к кривой в точке ) на ее другую сторону.

Теорема 1. Если в точке c вторая производная функции непрерывна и отлична от нуля, то не является точкой перегиба для графика функции .

Доказательство. Если , то в силу непрерывности функции в точке с неравенство выполняется в некоторой окрестности точки , а тогда в силу теоремы 1 п. 5 в этой окрестности график функции обращен выпуклостью вниз. Поэтому вблизи точки этот график лежит выше касательной, проведенной в точке , и не имеет перегиба в этой точке. Случай рассматривается аналогично.

Из теоремы 1 вытекает необходимое условие, для того чтобы график функции имел перегиб в точке _.

Следствие. Для того чтобы график функции имел перегиб в точке , необходимо, чтобы либо вторая производная этой функции обращалась в нуль в точке с, либо чтобы с была для точкой разрыва, либо, наконец, чтобы вторая производная от не существовала в точке .

Достаточное условие для точки перегиба формулируется следующим образом.

Теорема 2. Пусть функция имеет вторую производную в проколотой окрестности радиуса точки и дифференцируема в этой точке. Если при переходе через точку вторая производная функции меняет знак, то является точкой перегиба для графика функции .

Доказательство. Предположим, что слева от точки c имеем: , а справа от с имеем: . Тогда на отрезке график функции обращен выпуклостью вверх и потому лежит ниже касательной, проведенной в точке (см. теорему 1 п. 5). На отрезке же этот график обращен выпуклостью вниз и потому лежит выше той же касательной. Значит, в точке кривая переходит с одной стороны касательной на другую, т. е. является точкой перегиба.

Раздел 3. Применение производной в физике и геометрии

3.1 Применение производной в геометрии

Задача 1. Найдите площадь треугольника AMB, если A и B - точки пересечения с осью OX касательных, проведенных к графику y = (9--x²)/6 из точки M(4;3).

т. A = у_кас1?OX Решение:

т. B = у_кас2?OX у_кас =y(x₀)+у'(x₀)(x--x₀);

y = (9-x²)/6 y'(x₀) = -2x*1/6 = -x/3;

M(4;3)________ т.к. у_кас проходит через M(4;3), то

S_AMB --? 3 = (9-x₀²) - (4-x₀)* x₀/3 | *3

18 = 9-x₀²-2x₀(4-x₀);

x₀²-8 x₀-9 = 0;

Д/4 = 16 + 9;

x₀ = 4+5 = 9;

x₀ = 4-5 = -1

у_кас1 = -12 -(x-9)*9/3 = -3x+15;

у_кас1 = 4/3 + (x+1)*1/3 = x/3+5/3;

A(5;0);B(-5;0);

AM = v10 (ед.);

AB = 10 (ед.);

BM = 3v10 (ед.);

p - полупериметр;__

p = (4v10 + 10)/2 = 2v10 + 5;

S = v(2v10 + 5) (2v10 + 5-v10) (2v10 + 5-3v10) (2v10 + 5-10) =

= v(2v10 + 5)(v10 + 5)(5-3v10)(2v10-5) = v(40-25)(25-10) = 15 (ед²);

Ответ: 15 (ед²).

Задача 2. Какая наименьшая плоскость может быть у треугольника OAB, если его стороны OA и OB лежат на графике функции y = (|x|--x)/2, а прямая AB проходит через точку M(0;1).

Решение:

-x, x<0

y =

0, x>0

A(a;-a);B(b;0); AO = |a|v2 = -av2 (т.к. a<0);BO = b;

Для т. B: у₁ = kx +z; т. к. у₁ - график линейной пропорциональности, проходящий через т. M(0;1), то z = 1. 0=kx+1; k=-1/b.

Для т. A:

у₁=kx+1;-a=kx+1;k=(-1-1a)/a; у_1A= у_1B;

(-a-a)/a = -1/b; b+ab=a; a(1-b)=b; a = b/(1-b).

S_?AOB=0,5*AO*OB*sin/AOB.

AOB =180^o-45^o = 135^o

S_?AOB=0,5*(v2/2)* (-a)bv2 = -ab/2; S_?AOB = -b²/(2(1-b)) = b²/(2(1-b));

D(y): b>1(т.к. при b<1 не образует ?AOB.);

т. к. функция непрерывна и дифференцируема на b>1, то найдем ее производную:

S' =(4b(b-1)-b²)/(4(b-1)²)=(4b²-4b-2b²)/(4(b-1)²)=2b(b-2)/(4(b-1)²)=b(b-2)/(2(b-1)²); S' = 0;

точки экстремума: b=0; b=1; b=2; но b>1, значит S_наим =S(2) = 4/(2(2-1))=2(ед²).

Ответ: 2 ед².

Задача 3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребрами CD = 24, AD= 6 и DD₁ =4 проведена плоскость через центр симметрии грани A₁B₁C₁D₁ , вершину А и точку Р, лежащую на ребре DC. Какую наименьшую площадь может иметь сечение параллелепипеда этой плоскостью? На какие части делит точка P ребро DC в этом случае?

Решение:

Проведем плоскость и построим сечение (рис.). АО АA₁C₁С - линия, принадлежащая данной плоскости. Продолжим АО до пересечения с CC₁ в точке S. Тогда SP - линия пересечения грани DD₁C₁C и данной плоскости, а сечение ANMP - параллелограмм. S_сеч = S_AMNP = SK*AP/2 , потому что SK/2-- высота параллелограмма ANMP. Это видно из следующего рассуждения.

В ДASC ОC₁ - средняя линия (значит SC₁ = 4), в ДPSC также средняя линия МC₁, а плоскость A₁B₁C₁D₁ делит пополам любую линию между S и плоскостью ABCD, а значит и SK Рисунок к задаче см. ниже.

Пусть PC = x; ДCLP подобен ДDAP,

LC/AD = x/(24-x), LC = 6x/(24- x);_________________________

Из ДCLP: KC = (6x*x/(24-x))/(v(36x²/(24-x)²)+x²) = 6x/(v(36+ (24-x)²);

_____________________________________________

Из ДSCK: SK = vSC²+ KC² = v64+36x²/(36+(24-x)²) = 2v16+9x²/(36+(24-x)²) ;

Из ДADP: AP = v36+(2-x)²;_____________________________________

S_сеч = AP*SK/2 = 0,5*(v36+(24-x)²) 2v16+9x²/(36+(24-x)²) = v16(36+(24-x)²)+9x²;

Если S'(x) = 0, то 18x+16*2(24-x)(-1) = 0;

50x-32*24 = 0, x = 32*24/50 = 32*12/25 = 384/25 (это точка min);

S_сеч = 312;

DP = 24-16*24/25 = 216/25;

Ответ: 312 кв. ед.; DC: 384/25; 216/25.

Задача 4. В сферу радиусом R вписана правильная треугольная пирамида, высота которой в 1,5 раза меньше высоты основания. Между боковой гранью пирамиды и сферой расположена правильная четырехугольная призма, одно из оснований которой (ближнее к центру сферы) лежит в плоскости боковой грани пирамиды, а вершины другого основания принадлежат сфере. Какой должна быть высота призмы, чтобы ее объем был наибольшим? Найти этот объем.

Решение:

SABC - правильная треугольная пирамида (рис), вписанная в сферу радиусом R, SO*1,5 = AD, LMN - правильная четырехугольная призма.

Найти. V_пр = f(LM).

Пусть SO = H, тогда AD = 1,5H;

SO₁ = R - радиус сферы; LM = x -высота призмы.

?SKO₁ подобен ?SOD => O₁K/OD = SO₁/SD => OK₁ = OD*SO₁/SD.

Из ?AO₁O: R² = AO² + O₁O² = (2AD/3)² + (AD*2/3 - R)²,

R² = 4AD²/9 + 4AD²/9 -AD*R*4/3,

8AD²/9 = AD*R*4/3 => AD = 3R/2.

Отсюда OD = R/2;

AO₁ = R и SO₁ = R;_

SD = vR² + R²/4 =Rv5/2, _

OK₁ = 2* R*R/(2Rv5) = Rv5/5;

O₁K = Rv5/5.

Из ?O₁FN => R² = (O₁K + x)² + NF²,

F = vR² - R²/5 - 2x(v5)²/5 - x² ,

S_осн = 2NF²._

V_пр = S_осн*x = 2(R² - R²/5 - 2xv5 R/5 - x²)*x;

V_пр = 2(4R²x/5 - 2x²v5 R/5 - x³);

V'_пр(x) = 2(4R²/5 - 2xv5 R/5 - 3x²) = 0;_

x _1,2 = (2Rv5/5 ⁺ v4R²/5 + 12R²/5)/(-3) = (2Rv5/5 ⁺ 4R/v5)/(-3);

x = 2v5 R/15__

V_пр.max = 2(4R²*2v5R/(5*15) - 2v5R*4R²/(45*5) -_ 40v5R³/(225*15)) = 16R³v5(1 - 1/3 - 5/45)/75 = 16v5R³/135.

Ответ: 16v5R³/135 м³ при H = 2v5R/15.

Задача 5. В конус вписан цилиндр, одно из оснований которого лежит в

плоскости основания конуса, а окружность другого основания принадлежит боковой поверхности конуса. Правильная четырехугольная призма расположена так, что ее нижнее основание лежит в плоскости верхнего основания цилиндра, вершины верхнего основания принадлежат боковой поверхности конуса. Отношение длины диагонали основания призмы к ее высоте равно отношению длины диаметра цилиндра к его высоте. При какой высоте цилиндра объем призмы будет наибольшим? Найти этот объем призмы, если высота конуса - H и радиус основания - R.

Решение:

Дано. ASO - конус;

SO = H;

AO = R;

CL/CM = BK/BN;

Найти. BN, чтобы V_пр = max.

BN = x, CM = h, V_пр = S_осн CM = CL²h/2.

?CSD подобен ?ASO: CD/AO = SD/SO;

CD/R = (H - x - h)/H;

CD = R(H - x -h)/H.

?BSE подобен ?ASO: BE/AO = SE/SO;

BE/R = (H - h)/H;

BE = R(H - h)/H.

Находим отношение CD/BE = (H - x - h)/(H - x).

Исходя из условия (CL/CM = BK/BN) задачи делаем вывод,

что CD/BE = h/x, т. е. (H - x - h)/(H - x) = h/x => h = (Hx - x²)/H

Тогда CD = R(H - x - (Hx - x²)/H)/H = R(H² - Hx - Hx +x²)/H² = R(H - x)²/H²,

CL = 2CD = 2R(H - x)²/H².

V = 4R²(H - x)⁴(H - x)x/(2H*H⁴) = 2R²(H - x)⁵x/H⁵;

V'(x) = 2R²((H - x)⁵ - 5(H - x)⁴ x)/H⁵ = 0,

(H - x) - 5x = 0, x = H/6.

V = 2HR²(5H/6)⁵/(6H⁵) = 2R²H*5⁵/6⁶.

Ответ: при H/6, V_max = 2R²H*5⁵/6⁶.

3.2 Применение производной в физике

В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или наименьших значений для каких-либо величин.

Задача 1. Лестница длиной 5 м приставлена к стене таким образом, что верхний ее конец находится на высоте 4 м. В некоторый момент времени лестница начинает падать, при этом верхний конец приближается к поверхности земли с постоянным ускорением 2 м/с2. С какой скоростью удаляется от стены нижний конец лестницы в тот момент, когда верхний конец находится на высоте 2 м?

Решение:



Пусть верхний конец лестницы в момент времени t находится на высоте y(0)= 4 м, а нижний на расстоянии x(t) от стенки.

Высота y(t) описывается формулой: так как движение равноускоренное.

В момент t: y(t) = 2, т. е. 2 = 4 - t2, из которого ;

В этот момент

по т. Пифагора, т. е. .

Скорость его изменения:

Ответ:

Задача 2. Три резистора сопротивлениями R₁, R₂, R₃ соединены параллельно. Сопротивление R₁ в 9 раз больше сопротивления R₂. Если все три резистора соединить последовательно, то сопротивление цепи равно R.

Определить сопротивления резисторов, при которых сопротивление исходной цепи будет наибольшим.

Решение:

При параллельном соединении резисторов эквивалентное сопротивление по формуле: 1/R_экв = 1/R₁+1/R₂+1/R₃.

Выражу R₃ через R₂: R₃ = R- R₁-R₂=R-10R₂; тогда

1/R_экв = (10R-91R₂)/(9R₂(R-10R₂)).

Задача сведена к определению наименьшего значения функции в интервале [0;R/10].

Возьмем производную от f(1/R_экв) по R₂ и преобразуем ее:

(1/R_экв)' = -910(R₂-R/7)(R₂-R/13)/(9R₂² (R-10R₂)²).

В интересующем нас интервале только одна точка R₂ = R/13 в которой эта производная меняет знак с “-” слева на ”+”справа. Поэтому в точке

R₂ = R/13 достигается минимум функции 1/R_экв и максимум функции R_экв, при этом R₁ = 9R/13; R₂ = 1R/13; R₃ = 3R/13; R_{экв max} = 9R/169.

Задача 3. В магнитном поле с большой высоты падает кольцо, имеющее диаметр d и сопротивление R. Плоскость кольца все время горизонтальна. Найти установившуюся скорость падения кольца, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля изменяется с высотой H по закону

B = B₀(1 + бH), где б = const (черт.).

Решение:

Пусть n - нормаль к плоскости кольца, тогда магнитный поток, созданный вертикальной составляющей магнитного поля.

Ф = BS = B₀(1 + бH)S, где S = рd²/4 - площадь контура.

ЭДС индукции, возникающая в кольце,

E = - Ф'(t) = - (B₀(1 + бH)S)' = - B₀SбH'(t).

Производная H'(t) = н_н - это проекция скорости кольца на ось H. Таким образом, E_i = - B₀Sб( - н_н).

Так как скорость кольца направлена против оси H, то н_н = - н, где н - модуль скорости кольца и

E_i = B₀Sбн.

По кольцу протекает индукционный ток

J = E_i /R = B₀Sбн/R.

В результате в кольце за промежуток времени Дt выделяется количество теплоты Q = J²RДt.

На высоте H₁ кольцо обладает механической энергией: W₁ = mgH₁ + mн²/2, на высоте H₂ : W₂ = mgH₂ = mgH₂ + mн²/2 (н = const, т. е. скорость кольца не меняется).

По закону сохранения энергии:

W₁ = W₂ + Q => mgH₁ = mgH₂ + J²RДt => mg(H₁ - H₂) = (B₀Sбн/R)²RДt =>

mg(H₁ - H₂) = (B₀Sбн)²Дt/R (*)

Разность (H₁ - H₂) есть расстояние, пройденное кольцом при равномерном движении, поэтому H₁ - H₂ = нДt, и уравнение (*) примет вид:

mgнДt = (B₀Sбн)²Дt/R => mg = (B₀Sб)²н/R =>

н = mgR/(B₀Sб)² = 16mgR/(B₀рd²б)².

Ответ: н = mgR/(B₀Sб)² = 16mgR/(B₀рd²б)².

Задача 4. Цепь с внешним сопротивлением R = 0,9 Ом питается от батареи из k=36 одинаковых источников, каждый из которых имеет ЭДС E=2 В и внутреннее сопротивление r₀=0,4 Ом. Батарея включает n групп, соединенных параллельно, а в каждой из них содержится m последовательно соединенных аккумуляторов. При каких значениях m, n будет получена максимальная J во внешнем R (см. рис.).

Решение:

При последовательном соединении аккумуляторов E_гр = m*E; r_гр = r₀*m;

а при параллельном соединении одинаковых r_бат = r₀m/n; E_бат = m*E.

По закону Ома J = mE/(R+ r₀m/n) = mEn/(nR + r₀m. Т. к. k - общее число аккумуляторов, то k = mn; J = kE/(nR + r₀m) = kE/(nR + kr₀/n).

Для нахождения условия при котором J тока в цепи максимальная исследую функцию J = J(n) на экстремум взяв производную по n и приравняв ее к нулю.

J'_n - (kE(R-kr₀/n²))/(nR + kr₀/n)² = 0;

n² = kr/R;

n = vkr/R = v3,6*0,4/0,9 = 4;

m = k/n = 36/4 = 9;

при этом J_max = kE/(nR + mr₀) = 36*2/(4*0,9 + 9*0,4) = 10 А.

Ответ: n = 4, m = 9.

Задача 5. Платформа массой М начинает двигаться вправо под действием постоянной силы F. Из неподвижного бункера на нее высыпается песок. Скорость погрузки постоянна и равна кг/с. Пренебрегая трением, найти зависимость от времени ускорения а платформы в процессе погрузки. Определить ускорение а₁ платформы в случае, если песок не насыпается на платформу, а из наполненной высыпается через отверстие в ее дне с постоянной скоростью кг/с.

Решение:

Рассмотрим сначала случай, когда песок насыпается на платформу

Движение системы платформа-песок можно описать с помощью второго закона Ньютона: dP/dt = F , где P - импульс системы платформа-песок, F - сила, действующая на систему платформа-песок.

Если через p обозначить импульс платформы, то можно написать:

dp/dt = F.

Найдем изменение импульса платформы за бесконечно малый промежуток времени t:

p = (M+(t+t))(u+u) - (M+t)u =Ft, где u - скорость платформы.

Раскрыв скобки и, проведя сокращения получаем:

p = ut + Mu+ut+ ut =Ft.

Разделим на t и перейдем к пределу t 0.

Mdu/dt+tdu/dt+u=F или d[(M+t)u]/dt = F.

Это уравнение можно проинтегрировать, считая начальную скорость платформы равной нулю: (M+t)u = Ft.

Следовательно: u = Ft/(M+t).

Тогда, ускорение платформы:

a = du/dt = (F(M+t)-Ft)/(M+t)² = FM / (M+t)².

Рассмотрим случай, когда песок высыпается из наполненной платформы.

Изменение импульса за малый промежуток времени:

p = (M-(t+t))(u+u) +tu - (M-t)u = Ft.

Слагаемое tu есть импульс количества песка, которое высыпалось из платформы за время t.

Тогда: p = Mu - tu - tu = Ft.

Разделим на t и перейдем к пределу t 0.

(M-t)du/dt = F или a₁=du/dt= F/(M-t).

Ответ: a = FM / (M+t)² , a₁= F/(M-t)