Законы сохранения энергии и момента импульса

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ИДО ГОУ МГИУ

Курсовая работа по

дисциплине «Физика»

тема: «Законы сохранения энергии и момента импульса»

Задание: 7

Группа: Ж08Э21

Студент: Хамдамов Дороб Насридинович

Руководитель: Новиков Валерий Владимирович

Жуков 2009

СОДЕРЖАНИЕ

Раздел 1 Краткие сведения теоретического характера

Раздел 2 Расчетная часть

РАЗДЕЛ 1 КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА

Закон сохранения энергии

Рассмотрим систему, состоящую из N взаимодействующих друг с другом частиц, находящихся под воздействием внешних как консервативных, так и неконсервативных сил. Силы взаимодействия между частицами предполагаются консервативными. Определим работу, совершаемую над частицами при перемещении системы из одного места в другое, сопровождающимся изменением конфигурации системы.

Работа внешних консервативных сил может быть представлена как убыль потенциальной энергии системы во внешнем силовом поле:

где

определяется формулой (9).

Работа внутренних сил равна убыли взаимной потенциальной энергии частиц:

, где

- потенциальная энергия системы во внешнем поле сил.

Работу неконсервативных сил обозначим .

Согласно формуле (7) суммарная работа всех сил затрачивается на приращение кинетической энергии системы E_k, которая равна сумме кинетических энергий частиц:

Следовательно,

.

Сгруппируем члены этого соотношения следующим образом:

.

Сумма кинетической и потенциальной энергий представляет собой полную механическую энергию системы E:

Таким образом, мы установили, что работа неконсервативных сил равна приращению полной энергии системы:

(11)

Из (11) следует, что в случае, когда неконсервативные силы отсутствуют, полная механическая энергия системы остается постоянной:

Мы пришли к закону сохранения механической энергии, который гласит, что полная механическая энергия системы материальных точек, находящихся под действием только консервативных сил, остается постоянной.

Если система замкнута и силы взаимодействия между частицами консервативны, то полная энергия содержит только два слагаемых: ( - взаимная потенциальная энергия частиц). В этом случае закон сохранения механической энергии заключается в утверждении, что полная механическая энергия замкнутой системы материальных точек, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной.

В основе закона сохранения энергии лежит однородность времени, т.е. равнозначность всех моментов времени, заключающаяся в том, что замена момента времени t₁ моментом времени t₂ без изменения значений координат и скоростей тел не изменяет механических свойств системы. Поведение системы, начиная с момента t₂, будет таким же, каким оно было бы, начиная с момента t₁.

Закон сохранения энергии имеет всеобщий характер. Он применим ко всем без исключения процессам, происходящим в природе. Полное количество энергии в изолированной системе тел и полей всегда остается постоянным; энергия лишь может переходить из одной формы в другую. Этот факт является проявлением неуничтожаемости материи и ее движения.

Закон сохранения момента импульса

Моментом импульса материальной точки (частицы) относительно точки О называется векторная величина

где (12)

r - радиус-вектор, определяющий положение частицы относительно точки О;

p=mV - импульс частицы.

Модуль этой величины, равный rpsin, можно представить в виде произведения плеча импульса на модуль вектора p:

Плечом импульса называется длина перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой направлен импульс частицы.

Частица обладает моментом импульса, независимо от формы траектории, по которой она движется. Рассмотрим два частных случая.

Частица движется вдоль прямолинейной траектории. Модуль момента импульса может изменяться только за счет изменения модуля скорости.

2. Частица движется по окружности радиуса r. Модуль момента импульса относительно центра окружности равен

и так же, как в предыдущем случае, может изменяться только за счет изменения модуля скорости. Несмотря на непрерывное изменение направления вектора p, направление вектора L остается постоянным.

Проекция вектора L на произвольную ось z, проходящую через точку О, называется моментом импульса частицы относительно этой оси:

Псевдовектор

Называется моментом силы F относительно точки О, из которой проводится радиус-вектор r точки приложения силы. Модуль момента силы можно представить в виде

где

- плечо силы относительно точки О (т.е. длина перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой действует сила).

Проекция вектора M на некоторую ось z, проходящую через точку О, относительно которой определен M, называется моментом силы относительно этой оси:

Силы взаимодействия между частицами действуют в противоположные стороны вдоль одной и той же прямой. Их моменты относительно произвольной точки О равны по величине и противоположны по направлению. Поэтому моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил для любой системы частиц, в частности для твердого тела, всегда равна нулю:

(13)

Выясним, от чего зависит изменение момента импульса частицы. С этой целью продифференцируем выражение (12) по времени:

.

Согласно второму закону Ньютона - результирующей сил, действующих на частицу; по определению . Поэтому можно написать, что:

Второе слагаемое является векторным произведением коллинеарных векторов и поэтому равно нулю. Первое слагаемое представляет собой момент силы F относительно той же точки, относительно которой взят момент импульса L. Следовательно, мы приходим к соотношению:

(14)

согласно которому скорость изменения момента импульса со временем равна суммарному моменту сил, действующих на частицу.

Спроектировав векторы, фигурирующие в уравнении (14), на произвольную ось z, проходящую через точку О, получим соотношение:

.

Таким образом, производная по времени от момента импульса относительно оси равна моменту относительно той же оси сил, действующих на частицу.

Рассмотрим систему частиц, на которые действуют как внутренние, так и внешние силы. Моментом импульса L системы относительно точки О называется сумма моментов импульса L_i отдельных частиц:

Дифференцирование по времени дает, что:

(15)

В соответствии с (14) для каждой из частиц можно написать равенство:

, где

- момент внутренних сил;

- момент внешних сил, действующих на i-ю частицу.

Подстановка этих равенств в (15) приводит к соотношению:

.

Каждое из слагаемых в этих суммах представляет собой сумму моментов сил, действующих на i-ю частицу. Суммирование осуществляется по частицам. Если перейти к суммированию по отдельным силам, независимо от того, к какой из частиц они приложены, индекс i в суммах можно опустить.

Согласно (13) суммарный момент внутренних сил равен нулю. Поэтому получаем окончательно, что:

(16)

Формула (16) сходна с формулой (1). Из сравнения этих формул заключаем, что подобно тому, как производная по времени от импульса системы равна сумме моментов внешних сил.

Спроектировав векторы, фигурирующие в формуле (16) на произвольную ось z, проходящую через точку О, придем к уравнению

(17)

Если система замкнута (т.е. внешних сил нет), правая часть равенства (16) равна нулю и, следовательно, вектор L не изменяется со временем. Отсюда вытекает закон сохранения момента импульса, который гласит, что момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным. Разумеется, будет оставаться постоянным и момент импульса замкнутой системы относительно любой оси, проходящей через точку О.

Момент импульса сохраняется и для незамкнутой системы, если сумма моментов внешних сил равна нулю. Согласно (17) сохраняется момент импульса системы относительно оси z при условии, что сумма моментов внешних сил относительно этой оси равна нулю.

В основе закона сохранения момента импульса лежит изотропия пространства, т.е. одинаковость свойств пространства по всем направлениям. Поворот замкнутой системы частиц без изменения их взаимного расположения (конфигурации) и относительных скоростей не изменяет механических свойств системы. Движение частиц друг относительно друга после поворота будет таким же, каким оно было бы, если бы поворот не был осуществлен.

РАЗДЕЛ 2 РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ

С вершины гладкой сферы радиуса R соскальзывает небольшое тело массой m (см. рис.). Следует определить:

1. На какой высоте H от основания полусферы тело оторвется от её поверхности?

2. Изменение величины потенциальной энергии ДР тела за время его движения от вершины полусферы до точки отрыва?

Мой логин: s237946

Номер задания: 7

m = 45 г

R = 0,75 м

Решение.

Груз, который, очевидно, можно считать точечным телом, до некоторой точки - точки отрыва - движется по дуге окружности радиуса R. На груз во время его движения по сфере действует сила тяжести mg и сила нормального давления со стороны сферы. Уравнение второго закона Ньютона для этой части траектории имеет вид:

(1)

Проекции этих сил на направление, нормальное к траектории, сообщают телу нормальное ускорение:

где

v - мгновенная (и, очевидно, непрерывно возрастающая) скорость тела.

В точке С отрыва прекращается взаимодействие между движущимся телом и поверхностью сферы и, следовательно, сила давления тела на сферу и соответственно сила реакции сферы N обращаются в нуль. (Начиная с этой точки тело движется только под действием силы тяжести и траектория его будет зависеть от модуля и направления скорости тела в точке отрыва от сферы). Таким образом, в этой точке нормальное ускорение, однозначно зависящее от скорости, сообщает телу только проекция силы тяжести. Для того, чтобы определить высоту, на которой находится точка отрыва, надо найти связь скорости тела при его движении по сфере с его координатами, в частности с высотой. Такую связь можно найти, зная законы изменения со временем координат и скорости тела. Можно это сделать и рассматривая движение тела в поле силы тяготения Земли. Поскольку сила нормальной реакции работы не совершает, полная энергия тела остаётся неизменной, т.е.:

(2)

Очевидно, что применение закона сохранения энергии к переходу из начального состояния в точку отрыва даст в явном виде связь между скоростью тела и высотой рассматриваемой точки. При скольжении груза по сфере потенциальная энергия его изменяется на:

где

h - искомая высота, отсчитываемая от вершины сферы.

Кинетическая энергия тела возрастает на:

На вершине сферы груз находится в состоянии неустойчивого равновесия и скорость v₀, необходимую для начала движения, можно считать пренебрежимо малой. Тогда, подставляя найденные выражения в (2), получаем:

(3)

Чтобы от векторного уравнения (1) перейти к скалярным соотношениям, введём ось Х, направленную вдоль радиуса. Тогда На основании уравнения (1) В точке отрыва от сферы следовательно, Как видно из рисунка, Тогда

(4)

Уравнения (3) и (4) содержат скорость и высоту, относящиеся к одной и той же точке С, и образуют систему, совместное решение которой позволяет найти При скольжении груза по сфере потенциальная энергия его изменяется на

Ответ:

1. На высоте H = 0,25 м от основания полусферы тело оторвется от её поверхности.

2. Изменение величины потенциальной энергии ДР тела за время его движения от вершины полусферы до точки отрыва равно - 110,3625 Дж.