Введение

Молекула - мельчайшая частица вещества, сохраняющая все химические свойства этого вещества.

Нуклоны - жители ядра(протоны и нейтроны)

Элементарная частица характеризуется электрическим зарядом и магнитным дипольным моментом

Химическая реакция - перестройка электронных оболочек при соединении атомов.

Ядерная реакция - происходит перестройка ядер.

Альфа распад:

Бета распад:

Захват:

Раздел 1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА

Количественно электрические и магнитные свойства определяются силами взаимодействия

Между наэлектризованными телами

Намагниченными телами

Телами с электрическим током

1.1 Закон Кулона

Справедлив для точечных зарядов - . Заряд точечный, если при изменении конфигурации зарядов в этом теле, сила взаимодействия неизменна.

;

;

(; ;)

Сила взаимодействия - центральная (между рельными телами не явл. центральной)

1.2 Электрическое взаимодействие заряженных тел

;

Закон Кулона

1. К точечным полям.

2. Принцип суперпозиции - когда сила взаимодействия между 2 зарядами не зависит от наличия др. зарядов.

;

сила, действующая на i-тый элемент тела А, со стороны j-ого эл-та тела В.

; на i-тый элемент тела А со стороны тела В.

Суммирование заменяется интегрированием.

- объемная плотность заряда.



- поверхностная плотность заряда.

- линейная плотность заряда.

Сила взаимодействия между заряженными телами определяется : законом Кулона, принципом суперпозиции.

Принцип суперпозиции - сила взаимодействия между двумя заряженными телами не зависит от третьего тела. Сила взаимодействия между телами может иметь любое направление.

1.3 Напряжённость эл-стат поля с заданным распределением заряда

Помещаем пробный заряд в различные точки пространства :



Напряженность не есть функция пробного заряда. Напряженность электрического поля, создаваемого заданным распределением заряда в рассматриваемой точке - есть силовая хар-ка поля, численно равная силе, действ. на единичный точечный положительный заряд, помещённый в данную точку.

Реально E(r) находится интегрированием по объему заряженного тела.

В силу того, что существует диаметрально противоположный элемент:

Пример (поле однородно заряженного диска)

Проверяем асимптотически:

d<<R, следовательно, E=/(2₀) (максимально приблизились - плоскость),

d>>R,следовательно, Е0

(пришли к точечному заряду)

Силовые линии электрич. поля - линии, в каждой точке которых вектор Е касателен к ним.

При 21: (секущая касательная)

- уравнение силовых линий.

Пример: Найти уравнение силовых линий

Cиловые линии всегда имеют источники в виде заряда.

1.4 Потенциал электрического поля заряженного тела

Рассмотрим х-овую компоненту:

Рассмотрим

;

- потенциал эл. поля

1.5 Физический смысл электрического потенциала

Перенесём единичный точ. положительный заряд q из точки N в точку M квазиравновесным образом (через цепь равновесных состояний).

Тогда :



- работа внешних сил по перемещению заряда.

Если рассматривать работу сил электрического поля (которые антипараллельны со внешними), то :

Следствия:

Работа сил поля не зависит от формы траектории, а определяется начальным и конечным положением в пространстве. Работа по замкнутому контуру равна нулю.

Доказательство:

Поле: называется потенциальным;

Условие потенциальности:

Перенесем заряд из в данную точку.

Т.к.

Определение

Потенциал - энергетическая характеристика поля, численно равная работе сил поля по перемещению единичного точечного положительного заряда из данной точки на бесконечность по любому пути квазиравновесным образом.

Говорят:

заряд в данной точке обладает определенной потенциальной энергией, которую можно считать внутренней.

в Си:

Замечание:

Напряженность электрического поля - локальная характеристика, а потенциал - интегральная.

1.6 Электрическая (потенциальная) энергия заряженного тела

Потенциал i-того заряда в поле j-того заряда.

где, т.е. ;

Перемещая заряды из беск-ти: - энергия системы точечных зарядов.

Реально:

т.к. можно ввести поток этого поля: ;

т.к. , то

1.7 Вектор электрического смещения. Теорема Гаусса (в электростатике для пустоты)

Введем понятие вектора индукции эл. поля.

Вектор характеризует реакцию среды на действие эл. поля.

численно равен поверхностной плотности заряда на пробной площадке.

Найдем элементарный поток через :

- вектор-площадка

Определим поток заряда:

Поток вектора через замкнутую поверхность равен заряду внутри этой поверхности.

Заряд вне поверхности:

т.к. по определению :

Т.к.



Аналогично для большего числа зарядов, вплоть до непрерывного

- Теорема Гаусса

Откликом среды на воздействие эл.поля является возникновение эл.дипольного момента единицы объема.

Пример1 (поле бесконечной однородно заряженной пл-ти)

- поверхностная плотность заряда

Пример2 (поле бесконечной однородно заряженной нити)

- линейная плотность заряда

1.8 Равновесное распределение электричества на проводнике

Проводник - среда, в которой возникает движение свободных носителей заряда при сколь угодно малом эл. поле.

Найдем, как распределяется электричество на проводнике, помещенном в эл. поле.

Пусть равновесное распред-е

Рассмотрим бесконечно малое виртуальное перемещение заряда

(изменять по величине заряд)

Перемещение виртуальное, если оно бесконечно малое, соверш. в данный момент времени ( t = 0), не нарушает условие связи.

В нашем случае эл. условие связи:

Утверждение: Распределение равновесно: необходимо и достаточно чтобы изменение потенц. энергии при любом вирт. перем. зарядов удовлетворяло условию связи.

Докажем:

Согласно методу Лагранжа потребуем:

условн. экстремум функции

Расположение зарядов не меняется Замена:

- потенциал тела в т. J-го эл-та (т.е. без учета пот.J-го эл-та)

т.е. , т.е.

Для и

для и

- необход. и дост. условие.

Полученное условие означает, что при равновесии зарядов в проводнике, потенциал любой точки пр-ка одинаков и равен

Область наз. эквипотенциальной, т е работа по перемещению заряда = 0

1.9 Свойства равновесного распределения зарядов в проводнике

, так как , то получаем:

Свойство № 1: внутри проводника .

Свойство № 2: внутри проводника при равновесном распределении нет никаких электрических зарядов.

Рассмотри для любой точки в объеме теорему Гаусса.

.

Так как .

Так как тело заряжено, следовательно, заряд равновесно распределен по его поверхности.

Свойство № 3: вектор напряженности эл. поля заряженного проводника перпендикулярен его поверхности. , где -вектор внешней нормали. Так как , то (так как ), но .

Пример:

это верно при .

Эквипотенциальная поверхность - это поверхность, где работа по перемещению заряда равна нулю.

.

Пояснение: так как ,

так как . .

1.10 Сведения из векторного анализа

Пусть - скалярное поле, а - векторное поле; , тогда

; ; - угол между векторами и .

- градиент (вектор) от

- дивергенция (число) от

- ротор (вектор) от

Теорема Гаусса - Остроградского

Откуда (дивергенция - поток на единицу объема)

Теорема Стокса

Циркуляция в-ра a по замкнутому контуру: Откуда

;

Пусть , где . - лапласиан

Используя т. Г.-Остр.:

- 1-ая формула Грина

При Если в 1 ф-ле и вычесть получ. выр-е из исх. ф-лы, то получаем - 2-ая формула Грина

1.11 Уравнение Лапласса и Пуассона. Краевая задача электростатики

Из Т. Гаусса: - диф. форма т. Гаусса.

При . Т.к.

- ур-е Пуассона. - ур-е Лапласа.

Краевой задачей в мат. физике наз. задачу нахождения ф-ции, удовлетвор. данному диф. ур-ю в частн. произв. и опред. граничными усл., задаваемые на гр. обл-ти, где рассматр. решение.

Постановка кр. задачи на примере проводника:

1) (вне объема пров.)

2) (на пов-ти пров.)

3) (точечного заряда).

Докажем, что задача имеет единств. реш-е:

От противного. Пусть - реш-я краевой задачи.

По 1 ф-ле Грина

1) , т.к.

2) , т.к.

(везде)

1.12 Метод “зеркальных” изображений

Пример Найти потенциал эл. поля, созданного бескон. заземленной проводящей пл-тью при наличии точечного эл. заряда на расст. d от нее

Поставим краевую задачу:

во всех точках пространства, кроме т. М

т.к. плоскость заземлена.

(т.к. он создан конечным зарядом, пропорциональном c/R)

Введем некоторую поверхность:

Введем q^| на расстоянии d₂. Предлагается решение в виде:

(*)

1), т.к. ур-е удовл. произв. потенциалу

2)

3) Поведение потенциала на ;

Точечный заряд находится около этой плоскости и он есть предельный случай сферы. То есть решаем задачу методом зеркального отображения сферического проводника .

1.13 Равновесное распределение электрического заряда на проводнике

Пусть задан проводник объема V и площади S:

Задан потенциал :

На поверхности проводника по з-ну Кулона :

Пример : Найдем ??и Q на бесконечной проводящей заземленной плоскости, около которой на расстоянии l находится точечный заряд.



, т.е.

1.14 Поле электрического диполя

Электрический диполь - система одинаковых по величине разноименных зарядов, находящихся на расстояниях много меньше расстояния до точки наблюдения. L<<R_0,R

1.15 Электрическое поле в присутствии диэлектрика

При помещении диэлектрика в электрическое поле в нем возникает векторное поле поляризации (за счет поляризации диполей).

-вектор поляризации.

Источники электрического поля - заряды (точечный, линейный, поверхностный), электрический дипольные моменты, p (объемное распределение вектора поляризации).

В общем случае, в отсутствии электрического поля, поляризация может быть постоянной (спонтанной). Также может быть индуцированной (наведенной) внешнем полем.

В силу опыта: эквивал.

, где - относит. диэл. проницаемость среды.

- данное соотношение справедливо только для изотропных сред.

Вектор электрической индукции по определению запишем:

Имеем:

Среда, где существует спонтанная поляризация называется сегнеттоэлектриками ( ферроэлектриками). При

1.16 Связанные электрические заряды

Убедимся: если в среде существует электрическая поляризация, то в такой среде появляется наведённый связанный заряд:

Рассмотрим поляризуемый диэлектрик и поле внутри него и снаружи:

При :

Берём дивергенцию только по объёму диэлектрика:

Запишем в интегральной форме:

- теорема эквивалентности

Замечание: При рассм. поляризации надо рассм. только одно: либо -распределение поляризации, либо

Найдем связный заряд поляризованного тела:

1.17 Теорема Гауса в присутствии диэлектриков

Следует помнить: при определении электрического потока следует рассматривать поток вектора , а не . В качестве заряда рассмотрим только истинные заряды, а не поляризационные.



Мы знаем только для пустоты теорему Гаусадобавим Q(св).

По теореме Гауса- Остроградского

. Вектор электр. индукции в диэл.:

Таким образом: , где Q - истинный (сторонний) заряд всего диэлектрика.

1.18 Условия возникновения связанного заряда при индуцированной поляризации

Индуцированная поляризация - изменение распред. зарядов под действием прилож. эл. поля.

Из т. Гаусса в диф. форме найдем условия сущ-ния и распред. заряда в диэлектрике.

Рассм. общий случай изотропн. неодн. диэлектрика:

т.к.. Т.е. объемн. заряд возникает:

1) если в данном месте плотность стороннего заряда отлична от 0

2) если диэлектрик неоднороден.

Для поверхн. диэл. можно показать

Поляризационный потенциал - - векторный эл. потенциал диполя

По аналогии с т.з. - поляризационный потенциал (эл. в-р Герца)

.

А т.к. для

1.19 Два фундаментальных свойства электростатического поля

1 Cвойство (потенциальный характер электростатического поля)

;

Следовательно: - справедливо для статистических полей

2 Свойство (характеристика источников электрического поля)

Теорема Гаусса в дифференциальной форме спаведлива везде:

1.20 Граничные условия на поверхности диэлектрика

Рассмотрим нормальное состояние этих полей: , чтобы работать с нормальными состояниями



Таким образом, тангенциальная сост. и нормальная сост. не претерпевают скачка.

, когда на границе отсутств. сторонние заряды.

- линейный в-р, - потоковый в-р.

1.21 Работа раздвижения пластин плоского конденсатора. Энергия эл. Поля

т.к. Элем. сила:

- энергия эл. поля в объеме конд. - объемная пл-ть энергии

1.22 Электроемкость проводника. Конденсатор

Для произв. проводника - электроемкость

Рассм. провод сферу:

Емкость - ф-ция геометрии пр-ка и среды, к которую он помещен.

Легко показать, что емкость плоск. конд.:

Конденсатор - система пр-ков, имеющих такую геом., при кот. поле сосредоточено в обл-ти, охватываемой этими пр-ками, назыв. обкладками.

1.23 Теорема В. Томсона

Какова энергия поля зар. тела по всему пр-ву?

Для пр-ка

. А т.к.



По 1. ф-ле Грина,

, т.к.

Т.к. , где . Тогда

Потенц. эн. заряж. пр-ка в точности равна энергии эл. поля, созд. проводником, по всему беск. объему пр-ва. (Томсон приписал полю реальное физ. суш-е).

Раздел 2. Постоянный электрический ток

2.1 Сила тока в линейном проводнике. Векторное поле плотности тока

Сила тока - кол-во положительного эл-ва, проходящего через поперечное сечение проводника в заданном направлении за единицу времени.

В объемном проводнике вводится понятие векторного поля объемной плотности электрического поля.

j - объемная плотность тока

Введем понятие поверхностной плотности тока

По аналогии: введен вектор-отрезок, к нему восстановлена нормаль.

- параллелен пл-ти S

i - поверхностная плотность тока

Свойство тока (непрерывности) :

Рассмотрим в объеме проводника замкнутую пов-ть

Уравнение непрерывности (знак `-' характеризует убыль заряда)

- З.С.З. в интегр. форме

диф. форма З.С.З.

Как следствие уравнения непрерывности получаем 1-ое правило Кирхгофа:

Для постоянного тока заряд не может меняться

2.2 Основные законы электрического тока (получены эмпирически)

Рассмотрим лин. цепь с некоторым источником.

При протекании пост. тока от источника Э.Д.С. в проводнике возникает потенц. эл. поле , т.к. или , т.к.

т.обр., можно говорить о потенциале (разности напряжений) при протекании тока в проводнике, причем

1) З-н Ома (дифференциальная формулировка)

а) вне источника тока

М - любая точка, - удельная электропроводимость [Ом_*м]^-1

Данный з-н справедлив для изотропной среды.для неизотропной среды:

, где - тензор 2 ранга

б) внутри источника

- значение эл. поля в т. М

- поле сторонних сил в т. М (не кулоновской природы)

2) З-н Джоуля-Ленца

- плотность тепловой энергии

В любой точке проводника и ЭДС при протекании тока выделяется тепло.

2.3 Интегральный з-н Ома для постоянного тока. Понятие ЭДС

- контур;

- участок a

- участок b

1а2:

- интегральный з-н Ома для участка цепи

- эл. сопротивление участка 1a2

- удельная электросопротивляемость.

2b1: , где - внутр. сопрот. ЭДС

Тогда для всей цепи C:

- интегр. з-н Ома для полной цепи, где - ЭДС

З-н Ома для разомкнутой цепи:

Для любой т.М (в частности 2b1) - ток не течет:

- в разомкнутой цепи ЭДС равна разности потенциалов на ее клеммах.

2.4 Закон сохранения энергии. Работа источника ЭДС

Найдем кол-во тепла, выделяющегося в проводнике.

С другой стороны:

Энергия сторонних сил идет на нагрев проводника.

2.5 Теория Друде электронной проводимости в металлах. Вывод законов Ома и Джоуля-Ленца

Расстояние между ионами:

Время свободного пробега:

Эксперимент:

- дрейфовая скорость

По опр: т.к. , где n-число зарядов в ед.области

где - уд. электропроводимость

За счет столкновений кин.энергия электронов передается решетке, т.е. идет на нагрев

За время dt электрон испытывает столкновений, т.к.

Тогда тепло, выделяющееся в dV за dt равно:

2.5.1 Ур-е энергетического баланса при электропроводимости

Т.к.

Физ. смысл - ?

Из ур-ия непрерывности т.к.

- время релаксации заряда

Найдем эл. энергию, запасенную в проводнике при протекании электрического тока

Т.к. в проводнике есть упорядоченное движение носителей заряда с ненулевой массой,

то найдем кин.энергию их упорядоченного движения.

- Ур-е энергетич. баланса

Теория носит лишь иллюстративный характер т.к. в ней описываются классические частицы, а электроны являются квантовыми частицами.

Теория Эксперимент

В случае сверхпроводимости, т.е. - магнитн. поле

Замечание: Существует ли объемн. заряд в пр-ке с током?

Рассм. ур-е непр-ти:

При электропр-ти, опред. з-ном Ома и с уч. т. Гаусса

В случае однородн. пр-ка ,

т.к. считается, что , т.е. объемн. зар-д в пр-ке с током отсутств. вплоть до частот оптич. диапазона.

Полученный рез-т, не следует из ур-я непр-ти, а явл. следствием предположения справедливости з-на Ома.

Т.к. при наличие в пр-ке тока, сущ-ет магн. поле, то з-н Ома:

2.6 Гальванический элемент ЭДС Даниеля

Полупроницаемая перегородка - пропускает воде и анионы, и не пропускает катионы.

При замыкании внешней цепи Zn растворяется на аноде, Cu выделяется на катоде.

Важно: реакция идет только в поверхностном слое, образуется двойной слой.

Разность потенциалов:

Реально

Т.е. галв. эл-т состоит из 2-х полуэлементов (электродов, опущенных в электролит)

2.7 Условие электростатического равновесия. Электрохимический потенциал

Закрытая ТД - система, система с неизменной массой.

Открытая ТД- система, система с переменной массой.

Возьмем удельные величины в расчете на единицу массы.

[слагаемое, связанное с изменением массы.]

При растворении Zn электрод заряжается отрицательно, а электролит - положительно.

Каково условие равновесия такой двухфазной системы?

Имеем систему, где равновесие отсутствует, однако каждая из систем находится в своем равновесии.

Применим принцип Планка - максимальная энтропия.

Для равновесия изолированной системы необходимо и достаточно, чтобы при любом виртуальном перемещении

Энтропия состоит из суммы энтропий равновесных систем: S(U,V)

т.к.

При переносе массы

Решаем относит.



Т.к. суммарная энтропия системы = сумме энтропий всех ее частей:

Т.к.

При любых

- тепловое равновесие

- механическое равновесие

- электрохимическое равновесие

Т.к.

Перейдем к молярной массе:

молярный химический потенциал

- число Фарадея

- молярно-электрохим. равновесие

Отсюда можно найти скачок потенц. на границе электрод-электролит:

Раздел 3 Магнитостатика

Ист-ки - эл. заряды и эл. поляризация, ист-ки - эл. токи и магнитная поляризация.

Аналогично, как и Кулон. сила . Магнитный заряд?

- аналог

- аналог

3.1 Магнитное взаимодействие проводников с эл. токами. Законы Био-Савара и Ампера

З-н Кулона и релятивизв приводят к магнетизму.

Сила, действ. на контур A со стороны тела B -

З-н Ампера - , где , а - магнитн. пост.

а) Пусть - паралл. токи притягив.

б) - антипаралл. токи отталк.

в)

направл. от к

. Тогда - з-н Био-Савара, где - от эл-та тока до т-ки набл.

- в-р направленности магн. поля. - в-р магнитной индукции в пустоте

сравн. .

Сила Ампера - . - первично

Пример Дана плоская рамка, площадью S, ток I, n - нормаль, в произвольном магнитном поле индукции B. Найти силу и момент сил, действующ. на рамку.

, ,

, тогда ,

, т.е.результирующая сила, действующая на рамку равна 0.

Рассмотрим момент сил ,действ.на рамку

, т.к.

Рассм. дифференц.

т.к.

, т.к.

Введём магнитный момент рамки с током:

;

3.2 Векторный (магнитный) потенциал

Т.к. для электрического поля

Аналог для магнитного поля: Закон Био-Савара для линейных токов:

;

S-площадка, перпендикулярная направлению тока. Запишем закон Био-Савара для объёмного тока:

a - точки пространства вне тела, q - внутри тела.

Векторный потенциал в вакууме :

Тогда

Полный аналог скалярного потенциала

3.3 Физический смысл вект. потенциала. Свойства векторного потенциала

Рассм. ур-е движ. зар. частицы под действием силы Лоренца

, т.к. ,

, где

- незав. от времени, т.е. происх. при переходе част. на расст

- обобщ. имп = кинетич. имп. + потенц. имп.

, где - энергия на ед. заряда, - э/м импульс на ед. заряда

Из уравнения непрерывности:

следует, что для постоянного тока, где

Найдём в любой точке

, так как

Перейдем к точке q, т.к.

, т.к. ток постоянный -

По т. Гаусса-Остр. - , - кулоновская каллибровка

- лоренцова каллибровка

3.4 Докажем теорему Стокса(аналог Гауса) в магнитостатике для пустоты

, где ;

, т.к.

, т.к.;

В применении к А запишем х-овую компоненту :

, аналог

- теорема Стокса в дифференциальной форме

Запишем теперь в интегральной:

циркуляция вектора -

- теорема Стокса в интегральной форме

Направление обхода контура и нормали определяется правилом правого винта.

Пример

Вычислим направление магнитного поля бескон. лин. проводника с током

3.5 Векторный потенциал магнитного диполя

Магнитный момент контура с током -

При переходе к пределу

 - векторный потенциал магн. диполя (аналог эл. вект. пот)

Найдём поле магнитного диполя

Напряженность магнитного поля магнитного диполя

3.7 Магнитное поле в присутствии магнетика

Любое вещество состоит из атомов и молекул, т.е. представляет собой совокупность микроскопических токов с контурами

Вектор намагниченности (магн. поляризация)

В общем случае магнитная поляризация может быть спонтанной и индуцированной

Опр: Векторное поле напряженности магн. поля назовем величину

(аналог -)

, где

- парамагнетики (газы, Ni, Fe, Co)

- магнитная восприимчивость

- диамагнетики (Zn, Au, Hg)

- сверхпроводимость

- ферромагнетики (Ni, Fe, Co, их сплавы)

Т.к.

По т. Г.-О.: , ,

, аналогично и

3.8 Молекулярные электр. токи (токи намагничивания)

По аналогии с электростатикой, где для поляризации , покажем, что магн. поляризацию можно описать с помощью молек. токов в объеме и на пов-ти магнетика.

- аналог

Представим магнетик в виде проводника с токами, тогда

, где и

Докажем теорему эквивалентности:

Т.к.

или же

. Т.е.

Также молек. токи наз. амперными. Магнитн. св-ва обусл. внутр. движением заряж. ч-ц. Магн. момент атома реально сущ-ет.

3.9 Теорема Стокса в присутствие магнетика

Для пустоты Заменим магн. поляризацию молекул. токами:

,

, т.к.

, т.к.

, т.к.

а т.к. вне магнетика ,

тогда , по опр - интегральная форма т. Стокса. Ист-ки магн поля: токи