Фактор-группа

Если H - инвариантная подгруппа G, то все элементы G можно получить так: G=H+X₂H+X₃H+….+X_gH. Каждое слагаемое в этой сумме можно рассматривать как элемент новой группы, называемой фактор-группой; обозначается она как G/H. Элементами фактор-группы являются смежные (правые или левые) классы по H: H, X₂H, X₃H….X_gH. Произведение двух смежных классов также смежный класс:

(X_iH) (X_jH)=X_i(HX_j) H=X_iX_j(HH)=X_iX_jH=X_qH

Так как величины трансляций _Ri весьма малы по сравнению с величинами, рассматриваемыми при изучении макроскопических свойств, все дело происходит так, как будто все элементы симметрии пересекаются в одной точке. Тогда операции симметрии E, R₂, R₃,….R_g образуют конечную группу, изоморфную фактор-группе, поскольку правила умножения элементов той и другой группы идентичны. Таким образом, фактор-группа изоморфна одной из точечных групп, совместимых с пространственной периодичностью кристалла. Такие точечные группы называются кристаллическим классом и их существует всего 32. Они перечислены в следующей таблице, полученной простым перечислением возможных для кристалла точечных групп. В первой колонке таблицы дан общий вид возможных точечных групп, допустимых для периодической пространственной решетки, а во втором столбце перечислены возможные точечные группы.

Поскольку гамильтониан кристалла инвариантен относительно элементов симметрии пространственной группы кристалла, совокупность решений уравнения Шредингера _N, относящихся к одной и той же энергии _N, под действием элементов пространственной группы кристалла преобразуются в линейные комбинации тех же функций так, что эти функции образуют базис неприводимого представления пространственной группы. Это следует из того очевидного факта, что волновое уравнение Шредингера не изменяется при преобразованиях группы симметрии кристалла в том отношении, что две системы решений - одно, полученное для первоначального уравнения, а другое - для уравнения, получающегося после преобразования, - не могут быть независимы друг от друга. Это обстоятельство позволяет сделать вывод о том, что все возбуждения в кристалле смогут быть классифицированы по неприводимым представлениям пространственной группы, независимо от их физической природы. Это могут быть электронные, колебательные, спиновые, экситонные и прочие возбуждения, природа которых совершенно различна. В связи с этим полезно более подробно остановиться на проблеме классификации колебательных состояний кристалла, учитывая, что в этом случае допускается удобная классическая модель возбуждений.

Колебания в кристаллах

Колебания в кристаллах математически описываются обычным образом путем составления уравнений движения атомов в простых модельных системах и поиска периодический решений. При таком подходе математическая модель бесконечного кристалла по необходимости отбрасывается и заменяется физической моделью с циклическими граничными условиями, которые заключаются в том, что граничные атомы на противоположных гранях кристалла считаются идентичными, т.е.

(E, t_N)=(E, а₁N+а₂N+а₃N)=(E, 0)

Такое допущение сильно упрощает математическую сторону дела, хотя приходится предполагать, что оно не отразится на решениях, описывающих свойства кристалла (теорема Лидермана).

Кристалл, состоящий из N примитивных ячеек, каждая из которых содержит s атомов (базис), имеет всего 3sN степеней свободы и столько же решений колебательной задачи. Решения, однако, тесным образом связаны с периодичностью кристалла. Действительно, если решение колебательной задачи найдено, и Q_i - невырожденная нормальная координата движения, то в силу трансляционной симметрии применение операции трансляции (E, t_n) к координате Q_i должно дать

(E, t_n) Q_i=Q_i,

где - характер преобразования (E, t_n). Поскольку группа трансляций - абелева, ее представления одномерны (число представлений равно числу классов, а сумма квадратов размерностей всех представлений равно порядку группы). Поэтому операции трансляции (E, a₁) можно сопоставить число ₁, операции (E, n₁a₁) число ₁ⁿ¹, а операции (E, t_n) число ₁ⁿ¹₂ⁿ²₃ⁿ³. С другой стороны, из-за циклических граничных условий (E, a_i)^N=(E, 0) т.е. _i^N=1 Следовательно, число i есть корень степени N из 1:

_i=exp (2im_i/N) m_i=0,1,2….N-1

Поскольку каждое из чисел m_i может принимать N значений, ясно, что имеется N³ неприводимых представлений вида

exp [2i(m₁n₁+m₂n₂+m₃n₃)/N] (*)

и таблица неприводимых представлений группы трансляций выглядит

Таблица. Неприводимые представления группы трансляций

Выражение (*) удобно представить в более компактной форме, ибо в скобках стоит скалярное произведение двух векторов q и t_n

q=(m₁/N) b₁+(m₂/N) b₂+(m₃/N) b₃

t_n=a₁n₁+a₂n₂+a₃n₃

b₁=2[a₂a₃]/V, b₂=2[a₃a₁]/V, b₃=2 [a₁a₂]/V, V=(а₁[a₂a₃])

Вектора b_i и a_j выбраны таким образом, что (a_jb_i)=_ij. Вектора b_i носят название векторов обратной решетки. Таким образом, характер преобразования (E, t_n) равен (E, t_n)=exp [i(qt_n)].

Поэтому применение трансляции (E, t_n) к нормальной координате Q_i дает

(E, t_n) Q_i=exp [i(qt_n)] Q_i

Таким образом, оказывается, что координата Q_i должна иметь еще один индекс (квантово число) - это q - волновой вектор возбуждения. В нормальном колебании атомы в элементарной ячейке колеблются в определенных фазовых соотношениях, но с одной и той же частотой. При переходе от одной частице к трансляционно-эквивалентной, как это видно из (*), амплитуда колебаний изменяется по кристаллу и периодичность этих изменений описывается с помощью волнового вектора q. Эта периодичность смещений в кристалле подобна стоячим волнам в картине колебаний струны. Волновое движение с q=0 будет представлять собой движение, когда движение во всех элементарных ячейках происходит в фазе. Необходимо отметить, что операция (E, t_n), действующая на Q_q(r) дает смещение в точке (r-t_n) с фазой exp [i(qt_n)], т.е.

(E, t_n) Q_q(r) Q_q(r-t_n)=Q_q(r)*exp [i(qt_n)]

Умножив обе части на exp [iq(r-t_n)], получим важное соотношение, показывающее, что существует инвариантное относительно трансляций выражение:

Q_q(r-t_n)* exp [iq(r-t_n)]=Q_q(r)* exp [i(qr)]=inv=U_q(r),

Таким образом, операция трансляции (E, t_n) не изменяет функцию Q_q(r) exp [i(qr)], которая, следовательно, периодична с периодом решетки. Это утверждение представляет собой так называемую теорему Блоха, согласно которой собственное решение для любого возбуждения в кристалле имеет вид:

Q_q(r)=U_q(r)*exp [-i(qr)],

причем функция U_q(r) периодична с периодом решетки.

Поскольку здесь шла речь о колебаниях только для примера, вывод о виде возбуждения справедлив для любого типа возбуждения:

_q(r)=U_q(r)*exp [-i(qr)]

Используя общее правило отбора для любого матричного элемента <q, M_f, q>, получим, что соответствующий переход разрешен, если прямое произведение представлений, по которым преобразуются волновая функция начального состояния, волновая функция конечного состояния и оператор перехода M_f, содержит полносимметричное представление группы, т.е. если Г^q*Г^M*Г^q в разложении по неприводимым представлениям содержит Г⁽⁰⁾. Учитывая вид блоховских волновых функций ясно, что характер, по которому преобразуется матричный элемент, является произведением характеров сомножителей exp [i(qt_n)], exp [i(ft_n)] и exp [-i(qt_n)], так что это условие сводится к следующему соотношению:

exp [i (q+f-q) t_n]=1 или q=f+q+K_m

Здесь K_m=m₁b₁+m₂b₂+m₃b₃ целочисленный вектор обратной решетки, построенной на векторах обратной решетки b₁, b₂, b₃. Для этого вектора (по определению обратных векторов решетки) справедливо, что скалярное произведение целочисленного вектора обратной решетки K_m на целочисленный вектор прямой решетки t_n равно целому числу 2, т.е. (t_nK_m)=2(n₁m₁+n₂m₂+n₃m₃). Выражение q=f+q+K_m представляет собой закон сохранения волнового вектора (импульса), который для периодических сред сохраняется с точностью до целочисленного вектора обратной решетки. Поэтому волновой вектор возбуждения в кристалле называется квазивектором, импульс такого возбуждения называется квазиимпульсом, а соответствующее возбуждение называется квазичастицей

Классификация колебаний для фактор-группы

Обычно используют простой и общий метод классификации колебаний кристалла в приближении фактор-группы, т.е. производят классификацию только колебаний с волновым вектором q=0 (так называемых фудаментальных колебаний), поскольку только такие колебания взаимодействуют со светом. Как известно, пространственную группу кристалла можно разложить на комплексы (правые или левые смежные классы по подгруппе трансляций):

G=(E, 0) T+(R₂,_R2) T+(R₃,_R3) T+….+(Rg,_Rg) Т