29

1. Расчет линейных электрических цепей постоянного тока

Для электрической цепи, изображенной на рисунке выполнить следующее:

1) составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для определения токов во всех ветвях схемы;

2) определить токи во всех ветвях схемы, используя метод контурных токов;

3) определить токи во всех ветвях схемы на основании метода наложения;

4) составить баланс мощностей для заданной схемы;

5) результаты расчета токов по пунктам 2 и 3 представить в виде таблицы и сравнить;

6) определить ток во второй ветви методом эквивалентного генератора;

7) построить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включающего обе ЭДС.

Дано: Е1=20В; Е2=30В;

R2 R1=54 Ом; R2=43Ом;

r01 R3=32Ом; R4 =26Ом;

E1 r02 R5=51Ом; R6=15Ом;

R3 E2 R5 r01=2Ом; r02=2Ом.

Определить:

R1 R6 I1; I2; I3; I4; I5; I6.

Решение:

1) Составим систему уравнений, применяя законы Кирхгофа для определения токов во всех ветвях. Метод узловых и контурных уравнений основан на применении первого и второго законов Кирхгофа. При расчёте данным методом произвольно задаём направление токов в ветвях I1; I2; I3; I4; I5. Составим систему уравнений.

В системе должно быть шесть уравнений (m = 5), т.к. число неизвестных токов также 5. По первому закону Кирхгофа составим (n--1) уравнений, где n-число узлов.

В данной цепи четыре узла, значит, число уравнений: n-1=3-1=2 уравнения.

Составим три уравнения для любых 2-х узлов, например, для узлов В, С

Узел B : I3 = I1 + I 4

Узел C : I4 = I2 + I5

Три недостающих уравнения составляем для линейно независимых контуров. Задаемся обходом каждого контура и составляем уравнения по второму закону Кирхгофа.

Контур АВDА - обход против часовой стрелки

Е1 = I1(R1+ r01) - I5R5 + I4R4

Контур АDCА - обход против часовой стрелки

Е2 = I2(R2+ r02) + I6R6 - I1(R1+ r01)

Контур ACКA - обход против часовой стрелки

0 = I3R3 + I5R5 - I6R6

Мы получили систему из шести уравнений с шестью неизвестными:

I3 = I4 + I5

I4 = I1 + I2

I2 = I3 + I6

E1 = Iк1(R3+ r01+ R1) + Iк2 R3

E2 = Iк1R3+ Iк2(R3+ R2+r02 +R6 + R4) + Iк3(R2 +r02+R6)

Е2 = Iк2 (R2 + r02 + R6) + Iк3(R2+r02+R6+R5)

Решив систему, определим величину и направление тока во всех ветвях схемы.

2) Определить токи во всех ветвях схемы, используя метод контурных токов. Он основан на использовании второго закона Кирхгофа, что позволяет уменьшить число уравнений в системе на n-1. В заданной цепи можно рассмотреть три контура - ячейки (ЕВDЕ; АDСА; АCКА) и ввести для них контурные токи Iк1; Iк2; Iк3.

Контуры - ячейки имеют ветвь, не входящую в другие контуры -- это внешние ветви. В этих ветвях контурные токи являются действительными токами ветвей.

Ветви, принадлежащие двум смежным контурам, называются смежными ветвями. В них действительный ток равен алгебраической сумме контурных токов смежных контуров, с учетом их направления.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа в левой части равенства алгебраически суммируются ЭДС источников, входящих в контур-ячейку, в правой части равенства алгебраически суммируются напряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур, а также учитывается падение напряжения на сопротивлениях смежной ветви, определяемое по контурному току соседнего контура.

Порядок расчета цепи методом контурных токов следующий: стрелками указываем выбранные направления контурных токов Iк1; Iк2; Iк3 в контурах-ячейках. Направление обхода контуров принимаем таким же.

Составляем уравнения и решаем систему уравнений или методом подстановки, или с помощью определителей.

Е1 = Iк1(R3+ r01+ R1) + Iк2 R3

Е2 = Iк1R3+ Iк2(R3+ R2+r02 +R6 + R4) + Iк3(R2 +r02+R6)

E2 = 0+Iк2 (R2 + r02 + R6) + Iк3(R2+r02+R6+R5)

20 = Iк1 88 + Iк2 32 + 0

30 = Iк1 32 + Iк2 118 + Iк3 60

30 = 0 + Iк2 60 + Iк3 111

Решим систему с помощью определителей. Вычислим определитель системы Д и частные определители Д1; Д2; Д3.

44 16 0

= 16 59 30 = 445937+16300+0-0-161637-203044 = 60180

0 20 37

10 16 0

1 = 15 59 30 = 105937+0+163010-151637-203010 = 11750

10 20 37

44 10 0

2 = 16 15 30 = 441537-161037-103044 = 5300

0 10 37

 44 16 10

3 = 16 59 15 = 445910+162010-201544-161610 = 13400

0 20 10

Вычисляем контурные токи:

Ik1 = A

Ik2 = A

Ik3 = A

Действительные токи ветвей:

I1 = Iк1 = 0,1952 А

I2 = Iк2 + Iк3 = 0,3106 А

I3 = Iк1 + Iк2 = 0,2832 А

I4 = Iк2 = 0,088 А

I5 = Iк3 = 0,2226 А

I6 = Iк2 + Iк3 = 0,3106 А

Составим баланс мощностей для заданной схемы:

E1I1 + E2I2 = I12(r01 + R1) + I22(R6+r02 + R2) + I32R3 + I42R4 + I52R5 =

= 0,1952256 + 0,3106260 + 0,2832232 + 0,088226 + 0,2226251 =

= 2,13+5,7+2,5+0,201+2,52= 13,05-13,04=0,01

3) Определить токи во всех ветвях схемы на основании метода наложения.

По методу наложения ток в любом участке цепи рассматривается как алгебраическая сумма частных токов, созданных каждой ЭДС в отдельности.

а) Определим частные токи от ЭДС Е1, при отсутствии ЭДС Е2, то есть рассчитываем цепь по рисунку. Показываем направление частных токов от ЭДС E2 и обозначаем буквой I с одним штрихом (I').

Решаем задачу методом ”свертывания”.

R101 = R1 + R01 = 56 Ом

R26 = R2 + R6= 58 Ом

R10134 = R4 + R1013 = 46,3 Ом

Rэкв = R26 + R101345 = 82,2 Ом

Ток источника:

I2”=

Применяя формулу разброса и 1-й закон Кирхгофа, вычисляем токи ветвей:



I”5 = I”2-I”4 = 0,13 A

I”1 = I”4-I”3 = 0,08 A

б) Определим частные токи от ЭДС Е1 при отсутствии ЭДС Е2, т. е. рассчитываем цепь по рисунку. Показываем направление частных токов от ЭДС Е1 и обозначим их (I ').

Определяем общее сопротивление цепи:

R2026=R2 + r02 + R6= 60 Ом

R202654 = 53,5 Ом

R34=59.28 Ом

R2026543 = 20 Ом

Rэкв = R1 + R2026543 = 74 Ом

Вычисляем ток источника:

I1' = А

Вычисляем токи ветвей:

I'4 = I'1 - I'3 = 0.0.146 A

I'5 = I'4 - I'2 = 0.08 A

I1 = I1' - I1'' = 0,2751-0,08 = 0,1951 А

I2 = I2'' - I2' = 0,3103 А

I3 = I3' + I3'' = 0,2829 А

I4 = I4' + I4'' = 0,087 А

I5 = I5' + I5'' = 0,2224 А

4) Coставим баланс мощностей для заданной схемы.

Источники Е1 и Е2 вырабатывают электрическую энергию, т. к. направление ЭДС и тока в ветвях с источниками совпадают. Баланс мощностей для заданной цепи будет выглядеть так:

E1I1 + E2I2 = I12(r01 + R1) + I22(R6+r02 + R2) + I32R3 + I42R4 + I52R5 =

= 0,1952256 + 0,3106260 + 0,2832232 + 0,088226 + 0,2226251 =

= 2,13+5,7+2,5+0,201+2,52= 13,05-13,04=0,01

5) Результаты расчетов токов по пунктам 2 и 3 представим в виде таблицы и сравним.

Ток в ветви	I1 А	I2 А	I3 А	I4 А	I5 А
Метод контурных токов	0,1952	0,3106	0,2832	0,088	0,2226
Метод наложения	0,1951	0,3103	0,2829	0,087	0,2224

Расчет токов ветвей обоими методами с учетом ошибок вычислений практически одинаков.

6) Определим ток во второй ветви методом эквивалентного генератора.

Этот метод используется для исследования работы какого-либо участка сложной электрической цепи. Изобразим схему эквивалентного генератора в режиме холостого хода, т. е. при отключенном потребителе R2 от зажимов а и б.

Определим ток холостого хода который проходит по контуру.

IХ.Х.= А

Определим UХ.Х как разность потенциалов между клеммами а и б. Для этого потенциал точки б будем считать известным и вычислим потенциал точки а.

ца = цб + Е2 - IХ.Х.R3

тогда

U356 = U36

Uxx = ца - цб = E2 - Ixx Ч R3В = 30 - 0,227 Ч 32 = 22,74 В

ЕЭ = UХ.Х. = 22,74 В

Рассчитываем внутреннее сопротивление эквивалентного генератора, при этом необходимо преобразовать активный двухполюсник в пассивный т. е. ЭДС Е1 и Е2 из схемы исключается, а внутренние сопротивления этих источников г01 и r02 в схеме остаются.

Зная ЭДС и внутреннее сопротивление эквивалентного генератора, определяем ток в исследуемой ветви.

А

То есть, ток в этой ветви получился таким же, как и в пунктах 2 и 3 с погрешностью - 1%.

7) Построить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включающего обе ЭДС. Возьмем контур ABKDEA. Зададимся обходом контура по часовой стрелке. Заземлим одну из точек контура, пусть это будет точка A. Потенциал этой точки равен нулю (цA=0). Зная величину и направление токов ветвей и ЭДС, а также величины сопротивлений, вычислим потенциалы всех точек контура при переходе от элемента к элементу. Начнём обход от точки A.

цР' = цА - I2R2 = - 13,558 B

цР = цР' + Е2 - I2r02 = 16,021 B

цС = цР - I2R6 = 11.341 B

цB = цC - I4R4 = 9,125 B

цG = цB + I1R1 = 19,6358 B

цА = цG + I1r01 - E1 = 0 В

Строим потенциальную диаграмму. По оси абсцисс откладываем сопротивления контура в той последовательности, в которой производим обход контура, прикладывая сопротивления друг к другу, по оси ординат - потенциалы точек с учетом их знака.

2. Расчет нелинейных электрических цепей постоянного тока

Построить входную вольтамперную характеристику нелинейной электрической цепи постоянного тока. Определить токи во всех ветвях схемы и напряжения на отдельных элементах, используя полученные вольтамперные характеристики. Используем вольтамперные характеристики ''а '' и '' б ''



Дано:U = 80 B, R3 = 32 Ом.

Определить: I1; I2; I3; U1; U2; U3

Расчёт цепи производим графическим методом. Для этого в общей системе координат строим вольтамперные характеристики (ВАХ) линейных и нелинейных элементов: I1 = f(U1); I2 = f(U2); I3 = f(U3). ВАХ линейного элемента строим по уравнению . Она представляет собой прямую, проходящую через начало координат. Для определения координаты второй точки ВАХ линейного элемента задаёмся произвольным значением напряжения. Например, UR = 200 B, тогда соответствующее значение тока

A.

Соединив полученную точку с началом координат, получим ВАХ линейного элемента. Далее строится общая ВАХ цепи с учётом схемы соединения элементов. Поэтому графически ''сворачиваем цепь''. Начинаем с разветвлённого участка. Нелинейные элементы соединены параллельно, их ВАХ I1 = f(U1) и I2 = f(U2). С учётом этого строим общую для них ВАХ. Для этого задаёмся напряжением и складываем токи при этом напряжении I3 = I1 = I2. Точка пресечения этих значений тока и напряжения даёт одну из точек их общей ВАХ. В результате получаем множество точек и по ним строим ВАХ I3 = f(U12). Далее мы имеем характеристики линейного элемента I3= f(U3) и нелинейного элемента (нэ12) I3=f(U12), которые соединены между собой последовательно. Строим для них общую BAX. В данном случае задаемся током и складываем напряжения. Проделываем это многократно. По полученным точкам строим общую BAX цепи I3 = f(U). Дальнейший расчет цепи производим по полученным графикам. Чтобы найти токи и напряжения на всех элементах цепи, поступаем так: по оси напряжений находим значение напряжения, равное 80 В (точка "а"). Из этой точки восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с общей BAX I3 = f(U) получим точку "в". Из точки "в" опускаем перпендикуляр на ось тока (точка "с"). Отрезок "ос" дает нам искомое значение общего тока I3=1,2 А. Когда опускаем перпендикуляр из точки "в" на ось тока, то пересекаем BAX I4=f(U4) и I3=f(U12), в точках ''f'' и "d" соответственно. Опуская перпендикуляры из этих точек на ось напряжения, получим напряжения на каждом участке цепи: U3=35 B и U12=43 B, но U12=U1=U2, т. к. элементы соединены параллельно. Чтобы найти токи I1 и I2 при U12=43 B, опустим перпендикуляр из точки "d" на ось напряжений до пересечения с BAX I1=f(U1) и I4=f(U4) в точках "N" и "M". Опустив из этих точек перпендикуляры на ось токов, получим I4 = 0,8А и I1 = 0,3А. В результате имеем следующие значения токов и напряжений на всех элементах цепи: I1=0,3 A; I2 =0,8 A; I3 = 1,1 A; U1 = 43 B; U2 = 43 B; U3 = 35 B.

3. Расчет однофазных линейных электрических цепей переменного тока

К зажимам электрической цепи подключен источник синусоидального напряжения u = 180?sin(щt + 600) В частотой f = 50 Гц. Параметры элементов схемы замещения: R1 = 25 Ом; R2 = 50 Ом; L1 = 79,5 млГн; L2 = 127,2 млГн; C1 = 318 мкФ; C2 = 79,5 мкФ;

Выполнить следующее:

1) начертить схему замещения электрической цепи, соответствующую варианту, рассчитать реактивные сопротивления элементов цепи;

2) определить действующие значения токов во всех ветвях цепи;

3) записать уравнение мгновенного значения тока источника;

4) составить баланс активных и реактивных мощностей;

5) построить векторную диаграмму токов, совмещенную с топографической векторной диаграммой напряжений.

Дано: R1 = 25 Ом; R2 = 50 Ом;

L1 = 79,5 млГн; L2 = 127,2 млГн;

C1 = 318 мкФ; C2 = 79,5 мкФ;

Um =180 B

Определить: XL1; XL2; XС1; XС2;

1) Реактивные сопротивления элементов цепи:

XL1=щL1=2рfL1=2 Ч 3,14 Ч 50 Ч 63,6 Ч10-3 =19,8 Ом

XL2=щL2=2рfL2=2 Ч 3,14 Ч 50 Ч 127,6 Ч10-3 =39,9 Ом

XС1 =Ом

Ом

2) Расчёт токов в ветвях выполняем методом эквивалентных преобразований.

Представим схему в следующем виде:

Находим комплексные сопротивления ветвей, затем участков цепи и всей цепи:

Z1Ом

Z2Ом

Z3 =XL2= j39,9 = 39e j90 Ом

Z23=Ом

Ом

Выразим действующее значение напряжений в комплексной форме:

В

Вычислим общий ток цепи:

А

Для определения токов параллельных ветвей I2 и I3 рассчитаем напряжение на зажимах.

В

Вычисляем токи ветвей и общий ток цепи:

А

А

Iобщ = I1 + I2 + I3

Iобщ = 2,07 + j0,72 - 0,213 - j1,656 = 1,857 - j0,956 A

3) Уравнения мгновенного значения тока источника:

i = IМ sin (щt + цi)

А

4) Комплексная мощность цепи:

В?А

где Sист = 616 В?А

Рист = 317,2 Вт

Qист = - 528 Вар (знак минус определяет емкостный характер нагрузки в целом).

Активная Рпр и реактивная Qпр мощности приёмников:

Вт

Баланс мощностей выполняется:

Рист ? Рпр; Qист ? Qпр

или в комплексной форме:

? - баланс практически сходится.

5) Напряжения на элементах схемы замещения цепи:

UAB=I1R1=56В

UBC=I1XC1=112В

UCD=I2R2=66B

UDE=I1XC2=168B

UEF=I1XL1=55,4В

6) Строим топографическую векторную диаграмму на комплексной плоскости. Выбираем масштаб: М1 = 1 А/см, МU = 20 В/см.

Определяем длины векторов токов и напряжений:

см см

см см

см см

см см

см см

На комплексной плоскости в масштабе откладываем векторы токов в соответствии с расчетными значениями, при этом положительные фазовые углы отсчитываем от оси (+1) против часовой стрелки, а отрицательные - по часовой стрелке. Так, вектор тока 2,8ej89 А повернут относительно оси (+1) на угол 820 и длина его см, вектор тока А повернут относительно оси (+1) на угол 1260 и длина его см и т. д.

Построение векторов напряжений ведем, соблюдая порядок расположения элементов цепи и ориентируя векторы напряжений относительно векторов тока. Направление обхода участков цепи выбираем, как принято, противоположно положительному направлению токов. Обход начинаем от точки " b'", потенциал которой принимаем за исходный (цb' = 0). Точку " b' " помещаем в начало координат комплексной плоскости. При переходе от точки " b'" к точке " b" вектор этого напряжения Ubb' совпадает по фазе с вектором тока I. Конец вектора Ubb' определяет потенциал точки " b". Вектор Ubc откладываем от точки " b " перпендикулярно вектору тока I4, т.к. на индуктивном элементе напряжение опережает ток на 900. Конец Ubc определяет потенциал точки ''с ''. Вектор Uac откладываем от точки '' c '' параллельно вектору тока I2, т. к. на активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе. Конец Uас определяет потенциал точки '' а ''. Аналогично строим векторы напряжений других участков цепи, сохраняя обход навстречу току. От точки " а " проводим вектор Uaa' перпендикулярный вектору тока I. Конец вектора Uаа' определяет потенциал точки " а' ". Вектор Uав откладываем от точки '' b '' перпендикулярно вектору тока I1, т.к. на индуктивном элементе напряжение опережает ток на 900.

4. Расчет трехфазных электрических цепей переменного тока при соединении треугольником

В цепи, изображенной на схеме, потребители трехфазного тока соединены звездой. Известно линейное напряжение Uл = 220В и сопротивления фаз: Ra = 50 Ом, Rb = 72 Ом, XLC= 90 Ом, XLB= 32 Ом, ХCA = 72 Ом.

Определить фазные, мощности активные, реактивные, полные мощности каждой фазы и всей цепи. Построить векторную диаграмму цепи.

Дано: Uф = 127 В; RA = 10 Ом; RB = 8 Ом;

XLC = 15 Ом; XCB = 6 Ом; XCC = 5 Ом.

Определить: IA; IB; IC; IAB; IBC; ICA; P; Q; S

При соединении треугольником расчёт будем вести графоаналитическим и символическим методом.

Графоаналитический метод расчета:

1. При соединении звездой ,поэтому

Так как есть нейтральный провод, то UА = UB = UC = 127 В

2. Вычисляем сопротивления фаз и углы определяем по диаграммам сопротивлений.

3.Фазные токи определим следующим образом:

4.Чтобы найти ток в нейтральном проводе, надо построить векторную диаграмму цепи.

На векторной диаграмме строим под углом 1200 друг относительно друга векторы фазных напряжений одинаковой длинны.

М=0,5 IN=12,7Ч2=25,4A

5.Определим активные мощности фаз:

6.Активная мощность цепи:

P = PA + PB + PC = 1612,9 + 1288 = 2900,9 Вт

7.Определяем реактивные мощности фаз:

8.Реактивная мощность трехфазной цепи:

Q = QА + QВ + QС = 0 + 970,6 + 1612,9 = 2582,9 вар

9.Вычисляем полную мощность каждой фазы и всей цепи:

SA = UAIA = 12712,7 = 1612,9 BA

SB = UBIB = 12712,7 = 1612,9 BA

SC = UCIC = 12712,7 = 1612,9 BA

Символический метод расчета

1.Выразим в комплексной форме фазные напряжения:

2.Выразим сопротивления фаз в комплексной форме:

3.Находим комплексы фазных токов:

Находим алгебраическую форму записи комплексов фазных токов:

4.Вычисляем ток в нейтральном проводе:

5.Вычисляем мощности фаз и всей цепи;

29

5. Исследования переходных процессов в электрических цепях

При замыкании или размыкании выключателя цепь содержащая сопротивление

R = 25 Ом, Rp = 25 Оми индуктивностью L = 0.5 Гн, подключается к источнику питания

U = 50 В.

Определить практическую длительность переходного процесса, ток в цепи и энергию электрического поля. Построить графики i = f(t); Uc = f(t).

Дано:

R = 25 Ом; L = 0.5 Гн;

R Rp = 25 Ом; U = 50 В

Определить:

Rp i = f(t); Uc = f(t); W; t.

1.Устанавливаем переключатель в положение 1.

До замыкания переключателя ток в цепи был равен нулю. В первый момент после замыкания переключателя в положение 1 ток в цепи будет таким же, как и в последний момент до начала коммутации, т.е. i0 = 0.

После коммутации ток стремится достигнуть величины установившегося тока (iуст), но на основании первого закона коммутации изменяется не скачком, а постепенно.

Чтобы найти закон изменения переходного тока, запишем уравнение в общем виде



где iсв - свободная составляющая тока

- постоянная интегрирования

е = 2,71 - основание натурального логарифма

- постоянная времени переходного процесса

t - текущее время.

Определяем постоянную интегрирования, полагая t = 0, тогда уравнение

примет вид:

i0 = iуст + А, т. к. е0 = 1

Значит, А = i0 - iуст = 0 - I, т.е. А = - I.

Запишем уравнение (закон изменения переходного тока) при включении катушки

в нашем случае

Находим постоянную времени переходного процесса

Практическая длительность переходного процесса

t = 5 = 5 0.02 = 0.1 c

Строим график переходного тока i = f(t), задавшись моментом времени t = 0,

t = , t = 2, t = 3, t = 4, t = 5.

Значения переходного тока для заданных значений времени:

t = 0;

Закон изменения ЭДС самоиндукции можно получить из формулы

В нашем случае

В

Значения для заданных значений времени следующие:

Строим график e = f(t)

Вычисляем энергию магнитного поля при

2. Переключаем переключатель из положения 1 в положение 2 (отключаем катушку от источника постоянного напряжения при одновременном ее замыкании на сопротивление).

В этом случае мы отключаем цепь от источника и при переключении в положение 2 в образовавшемся контуре ток поддерживается за счет энергии, накопленной в магнитном поле катушки. Энергия магнитного поля непрерывно уменьшается, так как в активном сопротивлении контура идет необратимый процесс превращения электрической энергии в тепловую.

В этом случае iуст = 0, т. к. при отключении цепи от источника ток в цепи будет равен нулю.

Тогда

,

где с - постоянная времени переходного процесса.

Определим постоянную интегрирования, полагая t = 0, тогда уравнение

примет вид:

I0=AЧe0, т. е. i0 = A,

но

А

- согласно первому закону коммутации ток в первый момент коммутации будет таким, каким был в последний момент до коммутации.

Значит,

А = 2 А, тогда А

Длительность переходного процесса t = 5ф = 5Ч0.01 = 0.05 c

Строим график i=f(t), задавшись моментом времени t = 0, ф, 2ф, 3ф, 4ф, 5ф.

Данные расчета введены в таблицу.

t, c	0	ф	2ф	3ф	4ф	5ф
i, A	2	0,73	0,27	0,1	0,037	0,013

В соответствие с законом изменения ЭДС самоиндукции получим

В нашем случае

В

Строим график eL = f(t), задавшись моментом времени t = 0, ф, 2ф, 3ф, 4ф, 5ф.

Данные расчета сведены в таблицу.

t, c	0	ф	2ф	3ф	4ф	5ф
i, A	50	18,4	6,75	2,45	0,9	0,35

Литература

1 Галицкая Л.Н. «Теоретические основы электротехники. Курсовое проектирование» - Минск 1997г.

2 Попов В.С. «Теоретическая электротехника» - Москва 1990г.

3 Евдокимов Ф.Е. «Теоретические основы электротехники». Издательство «Высшая школа» - Москва 2002г.

4 Вычисляем токи ветвей исходной цепи, выполняя алгебраическое сложение частных токов, учитывая их направления.