13

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

имени академика М.Ф. Решетнева

Кафедра технической физики

Реферат по курсу: Твердотельная электроника

Эффективная масса электрона. Собственные и примесные полупроводники

Красноярск 2008

Содержание

1. Понятие эффективной массы электрона

2. Эффективная масса и подвижность носителей

3. Расчет электропроводности полупроводниковых кристаллов на основе рассмотренных моделей

Библиографический список

1. Понятие эффективной массы электрона

В физике твёрдого тела, эффективной массой частицы называется динамическая масса, которая появляется при движении частицы в периодическом потенциале кристалла. Можно показать, что электроны и дырки в кристалле реагируют на электрическое поле, так как если бы он свободно двигался в вакууме, но с некой эффективной массой, которую обычно определяют в единицах массы покоя электрона m_e (9.11?10^-31 кг). Она отлична от массы покоя электрона.

Эффективная масса определяется из аналогии со вторым законом Ньютона . С помощью квантовой механики можно показать, что для электрона во внешнем электрическом поле E:

где a -- ускорение,-- постоянная Планка, k -- волновой вектор, который определяется из импульса как , е(k) -- закон дисперсии, который связывает энергию с волновым вектором k. В присутствии электрического поля на электрон действует сила , где заряд обозначен q. Отсюда можно получить выражение для эффективной массы m ^*:

Для свободной частицы закон дисперсии квадратичен, и таким образом эффективная масса является постоянной и равной массе покоя. В кристалле ситуация более сложна и закон дисперсии отличается от квадратичного. В этом случае только в экстремумах кривой закона дисперсии, там, где можно аппроксимировать параболой можно использовать понятие массы.

Эффективная масса зависит от направления в кристалле и является в общем случае тензором.

Тензор эффективной массы -- термин физики твёрдого тела, характеризующий сложную природу эффективной массы квазичастицы (электрона, дырки) в твёрдом теле. Тензорная природа эффективной массы иллюстрирует тот факт, что в кристаллической решётке электрон движется не как частица с массой покоя, а как квазичастица, у которой масса зависит от направления движения относительно кристаллографических осей кристалла. Эффективная масса вводится, когда имеется параболический закон дисперсии, иначе масса начинает зависеть от энергии. В связи с этим возможна отрицательная эффективная масса.

По определению эффективную массу находят из закона дисперсии :

где-- волновой вектор,-- символ Кронекера,-- постоянная Планка.

Таб. 1. Эффективная масса для некоторых полупроводников

Экспериментальное определение

Традиционно эффективные массы носителей измерялись методом циклотронного резонанса, в котором измеряется поглощение полупроводника в микроволновом диапазоне спектра в зависимости от магнитного поля. Когда микроволновая частота равняется циклотронной частоте , в спектре наблюдается острый пик. В последние годы эффективные массы более обычно определялись из измерения зонной структуры с использованием методов, наподобие фотоэмиссии с угловым разрешением (ARPES) или более прямым методом: эффект де Гааза-ван Альфена.

Эффективные массы могут также быть оценены, используя коэффициент и г из линейного слагаемого в низкотемпературного электронного вклада в теплоёмкость металла при постоянном объёме c_v. Теплоёмкость зависит от эффективной массы через плотность состояний на уровне Ферми.

Как показывает таблица, бинарные соединения III--V, основанные на GaAs и InSb имеют намного меньшие эффективные массы, чем материалы из четвёртой группы периодической системы, такие как кремний и германий. В самой простой картине электронного транспорта Друде, дрейфовая скорость носителей обратно пропорциональна эффективной массе:

,

где e -- заряд электрона.

Высокая производительность интегральных микросхем зависит от скорости носителей, таким образом малая эффективная масса -- фундаментальная причина того, что GaAs и его производные используются вместо кремния в приложениях, где требуется высокая полоса пропускания, например, в цифровой телефонии.

2. Эффективная масса и подвижность носителей

Электрический ток в образце зависит не только от концентрации носителей заряда, но и от скорости с которой они переносятся под действием электрического поля. После того как мы научились рассчитывать концентрацию свободных носителей в твердом теле рассмотрим как ведут себя носители заряда в кристалле при наложении на него электрического поля.

Рассмотрение начнем с поведения единичного свободного заряда в нейтральной не взаимодействующей с зарядом среде (допустим в вакууме) при наличии электрического поля E, которое накладывается на среду в момент t=0. Электрическое поле приводит к возникновению силы электростатического взаимодействия F, под действием которой электрон начнет ускоряться.

,

где q, m - заряд и масса электрона, v и a его скорость и ускорение. Таким образом, в электрическом поле заряженная частица разгоняется с постоянным ускорением пропорциональным напряженности электрического поля и обратно пропорциональным ее массе. При этом энергия частицы будет изменяться со временем по квадратичному закону относительно импульса частиц или ее волнового вектора k (p= ћ k, где ћ = h/(2р), h - постоянная Планка).

Поскольку приобретаемая заряженной частицей энергия не зависит от направления электрического поля зависимость симметрична относительно импульса и волнового вектора (это параболоид выпуклость которого определяется массой частицы).

Измерив зависимость энергии частицы от импульса (или волнового числа), мы можем определить эффективную массу. Действительно, дважды продифференцировав вышестоящее уравнение получим.

Предположим, что на частицу действует некоторая тормозящая сила F* о существовании которой мы не знаем. Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

Соответственно, если для определения массы электрона (или любой другой заряженной частицы) в некоторой взаимодействующей с частицей среде воспользуемся формулой, то вместо массы электрона будет рассчитана некоторая другая величина, которую будем назвать эффективной массой электрона в данной среде.

Поскольку при движении электронов (или других заряженных частиц) в твердом теле внутренние поля неизвестны, то их характеристики используют понятие эффективной массы.

Рис. 1. Изменение скорости заряженной частицы в электрическом поле, при отсутствии взаимодействия со средой(1) и при торможении частицы средой

На рис. 1 показано как будет со временем изменяться скорость свободной частицы в электрическом поле, в соответствии формулами. Эти формулы справедливы для случая, когда заряженная частица не испытывает столкновений и в соответствии с ними частицу можно разогнать электрическим полем до бесконечной энергии. Именно этот принцип был использован в первых линейных ускорителях элементарных частиц.

По мере разгона частицы возрастает ее импульс и соответствующее ему волновое число (величина, характеризующая величину волнового вектора). На рис. 1.6. показаны соответствующие зависимости изменения энергии частицы от величины волнового числа (импульса).

Рис. 2. Зависимости энергии свободных зарядов от величины их волнового числа (импульса).

Как видно из рис. 1. и рис. 2 набираемая в электрическом поле энергия частицы зависит от скорости частицы (волнового числа) и массы. Поскольку выпуклость кривой характеризуется ее второй производной можно сделать вывод, что чем меньше эффективная масса частицы, тем больше выпуклость.

В кристалле энергия электрона (дырки) в разрешенной зоне не может превысить значение потолка разрешенной зоны, следовательно, импульс и волновой вектор так же имеют ограничения, причем максимальное значение волнового числа должно быть кратно постоянной решетки. На рис. 1.20 показана рассчитанное изменение энергии электрона от величины волнового числа (значения) импульса для кубического кристалла.

Рис. 3. Зависимость энергии от волнового числа (импульса) в кристалле (a - постоянная решетки вдоль заданного направления)

Из рисунка видно, что в электронном представлении у потолка валентной зоны знак эффективной массы изменяется (должно происходить отражение частицы). Следует отметить, что у дна зоны проводимости энергия имеет параболическую зависимость от импульса (волнового числа):

Если вести отсчет от дна зоны проводимости E_c = 0, то зависимость энергии электрона от импульса (волнового вектора) будет такая же как для свободного электрона см. (1.26). Это дает нам основание рассматривать электроны в зоне проводимости, находящиеся вблизи дна зоны проводимости как свободные частицы (иногда говорят квазисвободные или квазичастицы), считая, что они подчиняются тем же закономерностям, что и свободные частицы, но отличаются от них величиной эффективной массы, которую вблизи дна зоны можно считать постоянной (пока выполняется параболическое приближение).

Аналогичный подход справедлив и для дырки. Вводя дырку мы переходим от электронного представления к дырочному, т.е. мы принимаем, то масса дырки положительная, а заряд отрицательный и энергия ее отсчитывается от потолка валентной зоны к ее дну, тогда дырка будет вести себя так же как электрон у потолка валентной зоны. При этом энергия дырки у потолка валентной зоны так же изменяется по параболическому закону как и для электрона:

Таким образом, дырку, находящуюся потолка валентной зоны так же можно рассматривать как свободную частицу.

В реальной жизни электрон в электрическом поле не может набирать энергию до бесконечности, рано или поздно он столкнется с другой частицей и отдаст ей накопленную энергию. Вероятность столкновений частиц в газах и твердых телах характеризуется временем или длиной их свободного пробега. Эти же величины характеризуют движение носителей заряда в твердом теле.

Схема, приведенная на рис. 1 показывает изменение скорости электрона в образце, к которому приложено напряжение и поясняет физический смысл подвижности. Электрон участвует в хаотическом тепловом движении, причем в различные моменты времени его скорость имеет случайное направление так что смещение его в любом направлении равновероятно. В электрическом поле электрон приобретает дополнительную скорость под действием поля, так что продолжая участвовать в тепловом движении он постепенно смещается под действием поля. Средняя скорость тем выше, чем больше длина свободного пробега и чем меньше эффективная масса частицы.

Рис. 4. Диаграмма, поясняющая движение электрона в твердом теле

Поскольку электрон набирает энергию в поле за время свободного пробега и отдает ее при столкновении с решеткой или другими носителями заряда, то средняя скорость, которую приобретают носители в направлении поля, будем называть ее скоростью дрейфа зарядов v_др должна зависеть от средней длины свободного пробега ф.

Коэффициент пропорциональности между дрейфовой скоростью и напряженностью электрического поля обычно называют подвижностью носителей заряда и обозначают м:

м = qф/m*

Как видно, подвижность имеет размерность в системе СИ м²/(Вс) , широко так же используются значения подвижности с размерностью см²/(Вс).

Предположим, что ток через ток образце создается электронами концентрация которых n см^-3 и средняя дрейфовая скорость v_др. Поскольку величина тока равна заряду, проходящему через сечение образца в единицу времени можем записать:

I=Sqnv_др=SqnмE

Для единичной площади получится уравнение для плотности тока:

J = qмnE

Поскольку в дифференциальной форме закон Ома имеет вид:

J = уE

где у - электропроводность образца (Ом^.м или Ом^.см )

Сравнив предыдущиеформулы получим формулу для электропроводности:

у = qмn

Если электрический ток создается различными носителями (всего N типов) с концентрацией каждого типа n_i , то:

таким борзом мы видим, что проводимость материала определяется двумя основными параметрами: подвижностью носителей заряда и их концентрацией.

Величина подвижности пропорциональна длине свободного пробега, которая зависит от частоты столкновений носителей заряда с решеткой или атомами примеси. Поскольку при столкновениях носители отдают энергию, а затем вновь набирают, т.е. энергия носителя релаксирует, то принято говорить о механизмах ее релаксации. За время релаксации принимают среднее время в течение которого электрон полностью отдает свою энергию.

Существует множество механизмов рассеяния (релаксации) энергии свободных носителей заряда. Однако, для полупроводников, наиболее существенные два: рассеяние на решетки и рассеяние на ионизованной примеси.

Для рассеяния на решетке справедливо:

м_r = м_r0T^-3/2,

т.е. м_{r ~} T^-3/2 и с ростом температуры подвижность носителей падает. Действительно длина свободного пробега носителей заряда тем меньше, чем сильнее колеблется решетка l ~ 1/T , для скорости носителей справедливо

v ~ T^1/2 (mv²=3kT), м_r ~ ф = l/v ~ 1/T^3/2.

Таким образом рост, в случае если доминирует рассеяние на решетке (примесей мало), то с ростом температуры подвижность падает и следовательно падает проводимость ( как это имеет место в металлах).

При рассеянии на заряженной примеси м_i ~ ф ~ T^3/2 .

м_i = м_i0T^3/2

Таким образом, если в образце доминирует рассеяние на примесях, то с ростом температуры подвижность возрастает и соответственно возрастает проводимость.

Значения множителей м_r0 и м_i0 зависят от химического состава материала, наличия в нем дефектов и примесей, степени их ионизации (для разных образцов одного материала эти значения могут быть различными).

При одновременном действии нескольких механизмов рассеяния для расчета подвижности можно воспользоваться понятием эффективной подвижности носителей, которая будет определяться всеми, имеющими место механизмами рассеяния. Для случая, когда доминирует рассеяние на колебаниях решетки и ионизованной примеси для эффективной подвижности можно записать (считая, что акты рассеяния - независимые события):

На рис. 1 схематически показана зависимость эффективной подвижности от температуры в полупроводниковом материале с разной концентрацией примеси. Графики построены в соответствии с формулами. Кривая 1 соответствует образцу без примесей. Кривые 2, 3, 4 образцам с разным содержанием примеси (большему номеру соответствует большее содержание примеси). На этом же график приведены соответствующие кривые для чисто решеточного м_r и примесного рассеяния: м_r2 , м_r3, м_r4.

Характер изменения электропроводности полупроводников с температурой, в том случае, если не изменяется концентрация носителей заряда будет определяться температурной зависимостью подвижности и зависимости будут аналогичны показанным на рис. 2 (это может быть в примесной области температурной зависимости проводимости).

Рис. 5. Диаграмма, поясняющая температурную зависимость подвижности м_ef, при рассеянии на решетке м_r и ионизированной примеси м_iK.

3. Расчет электропроводности полупроводниковых кристаллов на основе рассмотренных моделей.

Электропроводность полупроводникового кристалла определяется электропроводностью электронов и дырок, поэтому для нее, используя полученные формулы, можно записать:

у = у_n+у_p = qм_nn + qм_pp = q(м_nn + м_pp)

Как видно из электропроводность полупроводника зависит от концентрации носителей заряда и подвижности, значения которых зависят как от технологии так и температуры.

Собственный полупроводник.

Для чистого бездефектного кристалла с проводимостью близкой к собственной справедливо n = p = n_i см. (1.19), тогда для электропроводности собственного полупроводника можно записать:

Поскольку у₀(T) слабо зависит от температуры в оценочных расчетах принимают предэкспонциальный множитель постоянным равным значению электропроводности при T>?. Формула хорошо описывает экспериментальную кривую электропроводности для чистых кристаллов с совершенной структурой (см. рис. 1. ) и из экспериментальной зависимости используя соотношение можно определить такие характеристические параметры материала как Eg и у₀.

Легированный полупроводник.

Для легированного кристалла можно выделить несколько температурных областей как для изменения с температурой концентрации (см. п.п. 1.2.4 рис. 1.16 ), так и для изменения с температурой подвижности носителей заряда (см рис. 1). При этом в области, где доминирует примесная приводимость n_i(T)<<N_d или n_i(T) <<N_a помимо рассеяния на решетке на величину электропроводности может оказывать влияние и рассеяние на примесях. Напомним, что эффективная подвижность определяется рассеянием на колебаниях решетки и рассеянием на ионизованной примеси.

Особенно заметным влияние изменения подвижности становится в области истощения примеси, для которой концентрация основных носителей с хорошей точностью можно считать постоянной n_n?N_d p_p?N_a, поскольку выполняется условие n_i<<N_d, n_i<<N_a и температурной зависимостью n_i(T) можно пренебречь).

Таким образом, введение легирующей примеси приводит не только к изменению электропроводности кристаллов, в результате появления дополнительных носителей заряда, но и к изменению характера зависимости электропроводности от температуры. Введение в небольших концентрациях примеси (обычно не более сотых долей процента) не оказывает значительного влияния на решеточное рассеяние, однако концентрация ионизованной примеси может изменяться в миллионы раз, естественно предположить, что при этом возрастет и степень рассеяния на ионах примеси при низких температурах.

Для электропроводность легированных кристаллов можно записать:

Анализ соотношений показывает, что изменение концентрации от температуры зависит экспоненциально от изменения положения уровня Ферми. Вообще уровень Ферми следует рассматривать как хороший индикатор процессов, происходящих с носителями заряда. Если уровень Ферми приближается к зоне проводимости значит возрастает концентрация электронов и у_n, при этом концентрация дырок и соответственно у_p падает.

Показанные на рис. 11 диаграммы помогут понять, как с температурой изменяется уровень Ферми (а), концентрация носителей заряда (б), подвижность (в) и электропроводность (г).

В области высоких температур, там, где доминируют межзонные переходы и собственная концентрация носителей больше примесной n_i>>n_пр полупроводник ведет себя как собственный (область I). В области низких температур (область III), там, где примесь не ионизована, уровень Ферми должен находиться выше донорного уровня (вероятность заполнения электронами больше 1/2). По мере того, как температура повышается, доноры отдают электроны в зону проводимости и постепенно полностью ионизуются (область II). Область II принято называть областью истощения примеси, поскольку все атомы доноров отдали свои электроны, а концентрация собственных электронов все еще очень мала, концентрация электронов в этой области остается постоянной и примерно равной концентрации примесных атомов. Именно эта температурная область и является основной областью работы значительной части полупроводниковых диодов и поскольку в области II концентрация носителей изменяется незначительно, то в электропроводности (кривая В) становится заметен вклад подвижности, что приводит к некоторому падению электропроводности с ростом температуры (что, вообще говоря, не характерно для полупроводников) в некотором интервале температур за счет доминирования рассеяния на колебаниях решетки. Затем с повышением температуры имеет место переход к собственной проводимости, концентрация электронов и электропроводность начинают возрастать экспоненциально с температурой.

Подводя итоги, можем сделать вывод, что в соответствии с рассмотренной моделью основными внешними факторами, влияющими на электропроводность, в рамках рассмотренных моделей являются: ширина запрещенной зоны, концентрация и тип примесей, глубина залегания примесных уровней.

В табл. 2 приведены параметры характеризующие кристаллы основных полупроводников с собственной проводимостью. В этой таблице так же приведены такие, параметры как работа выхода (расстояние от уровня Ферми в собственном полупроводнике до нулевого уровня в вакууме) и сродство к электрону расстояние от уровня Ферми в собственном полупроводнике до нулевого уровня в вакууме)

Таб.2. Параметры полупроводниковых материалов

Таб. 3. Свойства примесей, используемых для легирования полупроводниковых кристаллов.

Сравнение свойств Si и Ge действительно подтверждает общие свойства, следующее из положения элементарного полупроводника в таблице Д.И. Менделеева: чем выше стоит элемент в столбце таблице элементов, тем больше у него ширина запрещенной зоны.

В таблице 2 приведены характеристики некоторых примесей, используемых для легирования этих материалов.

Из данных таблицы 2 следует, что для приведенных легирующих примесей энергия активации меньше тепловой энергии при Т=300К, это означает, что при комнатной температуре практически все эти примеси ионизованы.

Рис. 6. Диаграммы изменения с температурой положения уровня Ферми (А), концентрации носителей заряда (Б), проводимости (В), подвижности (Г)

На рис. 2 показано изменение с температурой основных параметров, используемых при расчете проводимости легированного кристалла: положения уровня Ферми (А), концентрации носителей заряда (Б), проводимости (В) и эффективной подвижности (Г) в зависимости от обратной температуры.

Библиографический список

1. Гуртов В.А. Твердотельная электроника: Учеб. пособие / В.А. Гуртов; ПетрГУ. - Петрозаводск, 2004. - 312 с. источник - http://dssp.petrsu.ru/ - сайт кафедры физики твердого тела Петрозаводского государственного университета.

2. Воронков Э.Н. Твердотельная электроника, конспект лекций. Московский энергетический институт Москва, 2002 г.