Основные понятия кинематики

Основные понятия кинематики

Изменение положения одного тела относительно другого с течением времени называют механическим движением.

Тело, относительно которого наблюдается движение, называют телом отсчета. Механическое движение есть изменение положения тела относительно тела отсчета. Чтобы наблюдать, как меняется положение тела с течением времени, с телом отсчета связывают систему линий (систему координат); нужно иметь еще часы, показывающие время, которое прошло с момента их пуска. Тело отсчета со связанной с ним системой координат и часами называют системой отсчета.

Линию, в каждой точке которой последовательно побывала движущаяся точка, называют траекторией. Она имеет различный вид в разных системах отсчета.

Чтобы описать движение тела, надо знать движение каждой его точки. В общем случае все точки тела движутся по-разному. Однако встречаются случаи, когда достаточно проследить за движением всего лишь одной точки тела, например, при изучении движений тел, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними или когда траектория движения какой-либо точки тела представляет собой точную копию траектории любой другой точки тела, только сдвинутую на какое-то расстояние в пространстве. Если при этом расстояния между точками тела не меняются ( такое тело называется абсолютно твердым), то говорят, что тело совершает поступательное движение. При поступательном движении тела любые две его точки можно мысленно соединить отрезком, и при движении тела этот отрезок будет перемещаться параллельно самому себе и сохранять неизменную длину.

Кроме поступательного движения, твердое тело может совершать и другое движение - вращательное. При вращательном движении (относительно какой-либо системы отсчета) траектории всех точек тела

представляют собой окружности (или части окружностей), лежащие в параллельных плоскостях, причем центры всех окружностей находятся на некоторой одной линии, которая называется осью вращения. Ось вращения не обязательно должна проходить внутри тела.

Положение точки в пространстве задается радиус-вектором r (далее векторы мы будем обозначать жирным шрифтом, величины векторов обычным) - вектором, проведенным из начала координат в ту точку пространства, где в данный момент времени находится движущаяся точка. При движении. При движении точки конец радиус-вектора описывает траекторию движения, длина траектории между начальным и конечным положениями называется пройденным путем.

Вектор ?r = r ? r_o, проведенный из начальной точки траектории в конечную, называется перемещением точки (греческая буква ? читается дельта” и означает у нас “изменение”). Очевидно, что путь не меньше величины перемещения

Пусть за промежуток времени ? t = t ? t_о перемещение движущейся точки равно ?r. Отношение ?r/?t характеризует быстроту движения точки на этом участке движения или за этот промежуток времени. Это вектор, величина которого равна отношению величины перемещения к величине промежутка времени, в течение которого произошло данное перемещение и который направлен так же, как и вектор ?r, поскольку ?t = t ? t_о ? 0. Это отношение называют средней скоростью движения точки:

V_ср = ?r/?t

Знание средней скорости явно недостаточно для подробного описания движения. Во-первых, если, например, точка, совершив какое-нибудь движение, вернется в исходное место, то вектор средней скорости движения, по определению, будет равен нулю. Поэтому вводят понятие средней траекторной скорости (иногда ее тоже называют средней скоростью), равной отношению пройденного пути S к промежутку времени ? t:

V_ср.тр. = S/?t

Так как пройденный путь S - скалярная неотрицательная величина, то и средняя траекторная скорость - скаляр.

Во-вторых, если, например, два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта и в один и тот же момент времени достигли конечного пункта, но один двигался непрерывно, а другой - с остановками, то, несмотря на разный характер движения, средняя скорость автомобилей (а, если автомобили двигались по одной и той же траектории, то и средняя траекторная скорость) будет одна и та же, поскольку одинаковы перемещения ? r и одинаковы промежутки времени ?t.

Поэтому для знания подробной картины движения нужно знать скорость движения в каждой точке траектории. Для вычисления мгновенной скорости движения в данной точке траектории (или в данный момент времени) надо вычислить отношение достаточно малого перемещения из этой точки к соответствующему малому промежутку времени, в течение которого произошло это перемещение ( в пределе - бесконечно малому):

V = lim ?r/?t при ?t ? 0

Математически это означает, что мгновенная скорость есть производная радиус-вектора по времени.

В общем случае, при движении может меняться как величина мгновенной скорости, так и ее направление. Если величина мгновенной скорости во всех точках траектории одна и та же, то такое движение называется равномерным. Если не меняется направление скорости - то такое движение будет прямолинейным. При равномерном движении за любые равные промежутки времени ? t движущаяся точка проходит равные пути S, то есть средняя траекторная скорость движения одинакова в течение любого промежутка времени ? t.

Сложение скоростей.   Скорость точки всегда задается относительно какой-либо системы отсчета. Например, катер относительно текущей воды реки движется с одной скоростью, а относительно берега реки - с другой. Как связаны эти скорости? Можно рассуждать так: с точки зрения наблюдателя, находящегося на берегу, катер участвует одновременно в двух движениях - во-первых, движется вместе с текущей водой со скоростью течения реки V_теч, а во-вторых, за счет работы моторов движется относительно воды со скоростью V_отн. Поэтому скорость катера V относительно берега будет складываться (векторно !) из этих двух скоростей:

V = V_теч + V_отн

Обобщая этот закон, можно написать:

V₁ = V₂ + V_{1, 2}

Здесь V₁ и V₂ - скорости, соответственно, первого и второго тел относительно какого-либо наблюдателя, системы отсчета. V_{1, 2} - скорость первого тела относительно наблюдателя, связанного со вторым телом (скорость, с которой первое тело движется относительно второго тела).

Между прочим, отсюда следует, что относительная скорость V_{1, 2} может быть просто вычислена как

V_{1, 2} = V₁ ? V₂

Задача 1.

Первую половину времени автомобиль проехал со скоростью 40 км/ч, а вторую половину времени - со скоростью 60 км/ч. Какова средняя траекторная скорость автомобиля за весь промежуток времени?

Задача 2.

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 40 км/ч, а вторую половину пути - со скоростью 60 км/ч. Какова средняя траекторная скорость автомобиля на всем пути?

Задача 3.

Мальчик может плыть со скоростью, не больше чем 1 м/с. Он стартует на одном берегу реки, ширина которой 100 м, а скорость течения воды 2 м/с. На каком расстоянии от точки старта находится та ближайшая точка на противоположном берегу, до которой может доплыть мальчик?

Ответ: 200 м.

Заяц бежит по прямой с постоянной скоростью 10 м/с. Скорость лисы составляет 20 м/с, лиса в каждый момент времени бежит точно в ту точку, где находится в этот же самый момент времени заяц (это не самый разумный для лисы вариант, но она ничего в кинематике не понимает). В начальный момент расстояние между лисой и зайцем составляет 300 м, а направление движения зайца перпендикулярно отрезку, который в этот момент соединяет его с лисой. Через какое время лиса его догонит? Через какое время она могла бы догнать зайца, если бы бежала наилучшим способом?

Механическое движение. Относительность движения. Система отсчёта. Материальная точка. Траектория. Путь и перемещение. Мгновенная скорость. Ускорение. Равномерное и равноускоренное движение.

Механическим движением называют изменение положения тела (или его частей) относительно других тел. Например, человек едущий на эскалаторе в метро, находится в покое относительно самого эскалатора и перемещается относительно стен туннеля; Гора Эльбрус находится в покое относительно Земли и движется вместе с Землёй относительно Солнца. Из этих примеров видно, что всегда надо указать тело, относительно которого рассматривается движение, его называют телом отсчёта. Система координат, тело отсчёта с которым она связана, и выбранный способ измерения времени образуют систему отсчёта. Рассмотрим два примера. Размеры орбитальной станции, находящейся на орбите около Земли, можно не учитывать, а рассчитывая траекторию движения космического корабля на стыковке со станцией, без учёта её размеров не обойтись. Таким образом, иногда размерами тела по сравнению с расстоянием до него можно пренебречь, в этих случаях тело считают материальной точкой. Линию, вдоль которой движется материальная точка, называют траекторией. Длину части траектории между начальным и конечным положением точки называют путем (l). Единица пути - метр.

Механическое движение характеризуется тремя физическими величинами: перемещением, скоростью и ускорением. Направленный отрезок прямой, проведённый из начального положения движущейся точки в её конечное положение, называется перемещением (S). Это величина векторная. Единица перемещения - метр.