Законы сохранения в механике

2

Содержание

1 Сохраняющиеся величины................................................................... 2

2 Закон сохранения импульса................................................................. 3

3 Энергия и работа.................................................................................. 6

4 Консервативные силы.......................................................................... 8

5 Потенциальная энергия........................................................................ 8

6 Закон сохранения энергии.................................................................... 9

7 Закон сохранения момента импульса................................................. 11

1 Сохраняющиеся величины

Совокупность тел, выделенных для рассмотрения, называется механической системой. Тела системы могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не входящими в систему. В соответствии с этим силы, действующие на тела системы, подразделяются на внутренние и внешние. Внутренними называют силы, с которыми тела системы действуют друг на друга, внешними - силы, обусловленные воздействием тел, не принадлежащих системе. Система, в которой внешние силы отсутствуют, называется замкнутой.

Для замкнутых систем остаются постоянными (сохраняются) три физические величины: энергия, импульс и момент импульса. Соответственно имеются три закона сохранения: закон сохранения энергии, закон сохранения импульса и закон сохранения момента импульса. Эти законы тесно связаны со свойствами времени и пространства.

Кроме названных, есть еще ряд законов сохранения (например, закон сохранения электрического заряда). Законы сохранения являются фундаментальными законами природы.

Рассматриваемые в механике законы сохранения энергии, импульса и момента импульса оказываются точными законами и имеют всеобщий характер - они применимы не только к механическим явлениям, но и вообще ко всем явлениям природы, в частности они соблюдаются в релятивистской области и в мире элементарных частиц.

Законы сохранения не зависят от природы и характера действующих сил. Поэтому с их помощью можно делать ряд важных заключений о поведении механических систем даже в тех случаях, когда силы остаются неизвестными.

2 Закон сохранения импульса

Рассмотрим систему, состоящую из N частиц (материальных точек). Обозначим через Fik силу, с которой k-я частица действует на i-ю (первый индекс указывает номер частицы, на которую действует сила, второй индекс - номер частицы, воздействием которой обусловлена эта сила). Символом Fi обозначим результирующую всех внешних сил, действующих на i-ю частицу. Напишем уравнения движения всех N частиц:

=F12 + F13 + ... + F1k + ... + F1N + F1=,

=F21 + F23 + ... + F2k + ... + F2N + F2=,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

=Fi1 + Fi2 + ... + Fik + ... + FiN + Fi =,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

=FN1 + FN2 + ... + FNK + ... +FN,N-1 + FN =

(pi - импульс i-й частицы).

Сложим вместе эти уравнения. Слева получиться производная по времени от суммарного импульса системы:

.

Справа отличной от нуля будет только сумма внешних сил Fi. Действительно, сумму внутренних сил можно представить в виде

(F12+F21) + (F13 + F31) + ... + (Fik + Fki) + ... + (FN-1,N + FN,N-1).

Согласно третьему закону Ньютона каждая из скобок равно нулю. Следовательно, сумма внутренних сил, действующих на тела системы, всегда равна нулю:

.

С учетом этого получим, что

. (1)

Таким образом, производная по времени от суммарного импульса системы равна сумме внешних сил, действующих на тела системы.

Если система замкнута, внешние силы отсутствуют и правая часть уравнения (1) равна нулю. Соответственно dp/dt=0 и, следовательно, p=const.

Итак, мы пришли к выводу, что суммарный импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным. Это утверждение составляет содержание закона сохранения импульса.

В основе закона сохранения импульса лежит однородность пространства, т.е. одинаковость свойств пространства во всех точках. Параллельный перенос замкнутой системы из одного места в другое без изменения взаимного расположения и скоростей частиц не изменяет механических свойств системы. Поведение системы на новом месте будет таким же, каким оно было бы на прежнем месте.

Заметим, что согласно формуле (1) импульс остается постоянным и у незамкнутой системы в том случае, если сумма всех внешних сил равна нулю.

Спроектировав все векторы, фигурирующие в уравнении (1), на некоторое направление x, получим

(2)

(; отсюда следует, что проекция на ось x вектора p равна dpx/dt). Согласно (2) для того, чтобы сохранялась проекция суммарного импульса на некоторое направление, достаточно равенства нулю проекции на это направление суммы внешних сил; сама эта сумма может быть отличной от нуля.

Точка С, положение которой определяется радиус-вектором

называется центром масс системы материальных точек. Здесь mi - масса i-й частицы, ri - радиус-вектор, задающий положение этой частицы, m - суммарная масса системы. Отметим, что в однородном поле сил тяжести центр масс совпадает с центром тяжести системы.

Спроектировав rc на координатные оси, получим декартовы координаты центра масс:

, , .

Продифференцировав rc по времени, найдем скорость центра масс:

(3)

Согласно (3) суммарный импульс системы можно представить в виде произведения массы системы на скорость центра масс:

p=mVc

Подставив это выражение в формулу (1), получим уравнение движения центра масс:

(ас - ускорение центра масс). Таким образом, центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка с массой равной массе системы, под действием результирующих всех внешних сил, приложенных к телам системы. Для замкнутой системы ас=0. Это означает, что центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно, либо покоится.

Система отсчета, относительно которой центр масс покоится, называется системой центра масс (сокращенно ц-системой). Эта система инерциальна. Система отсчета, связанная с измерительными приборами, называется лабораторной системой (сокращенно л-системой).

3 Энергия и работа

Энергия - это запас работы системы. Энергия является общей количественной мерой движения и взаимодействия всех видов материи. Энергия не исчезает и не возникает из ничего, она может лишь переходить из одной формы в другую. Понятие энергии связывает воедино все явления природы. В соответствии с различными формами движения материи рассматривают различные виды энергии: механическую, внутреннюю, электромагнитную, ядерную и др.

Механическая энергия бывает двух видов: кинетическая и потенциальная. Кинетическая энергия (или энергия движения) определяется массами и скоростями рассматриваемых тел. Потенциальная энергия (или энергия положения) зависит от взаимного расположения (от конфигурации) взаимодействующих друг с другом тел.

Работа определяется как скалярное произведение векторов силы и перемещения. Скалярным произведением двух векторов называется скаляр равный произведению модулей этих векторов и косинус угла между ними.

Понятия энергии и работы тесно связаны друг с другом.

Кинетическая энергия частицы

(4)

Приняв во внимание, что произведение mV равно модулю импульса частицы р, выражению (4) можно придать вид

Если сила F , действующая на частицу, не равна нулю, кинетическая энергия получит за время dt приращение

(5)

где ds - перемещение частицы за время dt.

Величина называется работой, совершаемой силой F на пути ds (ds - модуль перемещения ds).

Из (5) следует, что работа характеризует изменение кинетической энергии, обусловленное действием силы на движущуюся частицу

Если dA = Fds, а , то

. (6)

Проинтегрируем обе части равенства (6) вдоль траектории частицы от точки 1 до точки 2:

.

Левая часть полученного равенства представляет собой приращение кинетической энергии частицы:

.

Правая часть есть работа А12 силы F на пути 1-2:

Таким образом, мы пришли к соотношению

, (7)

из которого следует, что работа результирующей всех сил, действующих на частицу, идет на приращение кинетической энергии частицы.

4 Консервативные силы

Силы, работа которых не зависит от пути, по которому двигалась частица, а зависит лишь от начального и конечного положений частицы, называются консервативными.

Легко показать, что работа сил на любом замкнутом пути равна нулю. Разобьем произвольный замкнутый путь (рис.1) точками 1 и 2 (взятыми также произвольно) на два участка, обозначенных римскими цифрами I и II. Работа на замкнутом пути слагается из работ, совершаемых на этих участках:

(8)

Рис.1

Изменение направления движения по участку II на обратное сопровождается заменой всех элементарных перемещений ds на -ds, вследствие чего изменяет знак на обратный. Отсюда заключаем, что . Произведя замену в (8), получим, что

Вследствие независимости работы от пути последнее выражение равно нулю. Таким образом, консервативные силы можно определить как силы, работа которых на любом замкнутом пути равна нулю.

5 Потенциальная энергия

Эта энергия определяется положением тела (высотой на которое оно поднято). Поэтому она называется энергией положения. Чаще ее называют потенциальной энергией.

Ep = mgh,

где h отсчитывается от произвольного уровня.

В отличие от кинетической энергии, которая всегда положительна, потенциальная энергия может быть как положительной, так и отрицательной.

Пусть частица движется в поле консервативных сил. При переходе из точки 1 в точку 2 над ней совершается работа

A12 = Ep1-Ep2 . (9)

В соответствии с формулой (7) эта работа равна приращению кинетической энергии частицы. Приняв оба выражения для работы, получим соотношение , из которого следует, что

. (10)

Величина E, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, называется полной механической энергией частицы. Формула (10) означает, что E1=E2, т.е. что полная энергия частицы, движущейся в поле консервативных сил. Остается постоянной. Это утверждение выражает закон сохранения механической энергии для системы, состоящей из одной частицы.

6 Закон сохранения энергии

Рассмотрим систему, состоящую из N взаимодействующих друг с другом частиц, находящихся под воздействием внешних как консервативных, так и неконсервативных сил. Силы взаимодействия между частицами предполагаются консервативными. Определим работу, совершаемую над частицами при перемещении системы из одного места в другое, сопровождающимся изменением конфигурации системы.

Работа внешних консервативных сил может быть представлена как убыль потенциальной энергии системы во внешнем силовом поле:

где определяется формулой (9).

Работа внутренних сил равна убыли взаимной потенциальной энергии частиц:

,

где - потенциальная энергия системы во внешнем поле сил.

Работу неконсервативных сил обозначим .

Согласно формуле (7) суммарная работа всех сил затрачивается на приращение кинетической энергии системы Ek, которая равна сумме кинетических энергий частиц:

Следовательно,

.

Сгруппируем члены этого соотношения следующим образом:

.

Сумма кинетической и потенциальной энергий представляет собой полную механическую энергию системы E:

.

Таким образом, мы установили, что работа неконсервативных сил равна приращению полной энергии системы:

(11)

Из (11) следует, что в случае, когда неконсервативные силы отсутствуют, полная механическая энергия системы остается постоянной:

.

Мы пришли к закону сохранения механической энергии, который гласит, что полная механическая энергия системы материальных точек, находящихся под действием только консервативных сил, остается постоянной.

Если система замкнута и силы взаимодействия между частицами консервативны, то полная энергия содержит только два слагаемых: (- взаимная потенциальная энергия частиц). В этом случае закон сохранения механической энергии заключается в утверждении, что полная механическая энергия замкнутой системы материальных точек, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной.

В основе закона сохранения энергии лежит однородность времени, т.е. равнозначность всех моментов времени, заключающаяся в том, что замена момента времени t1 моментом времени t2 без изменения значений координат и скоростей тел не изменяет механических свойств системы. Поведение системы, начиная с момента t2, будет таким же, каким оно было бы, начиная с момента t1.

Закон сохранения энергии имеет всеобщий характер. Он применим ко всем без исключения процессам, происходящим в природе. Полное количество энергии в изолированной системе тел и полей всегда остается постоянным; энергия лишь может переходить из одной формы в другую. Этот факт является проявлением неуничтожаемости материи и ее движения.

7 Закон сохранения момента импульса

Моментом импульса материальной точки (частицы) относительно точки О называется векторная величина

(12)

где r - радиус-вектор, определяющий положение частицы относительно точки О, а p=mV - импульс частицы. Модуль этой величины, равный rpsin, можно представить в виде произведения плеча импульса на модуль вектора p:

L=p.

Плечом импульса называется длина перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой направлен импульс частицы.

Частица обладает моментом импульса, независимо от формы траектории, по которой она движется. Рассмотрим два частных случая.

Частица движется вдоль прямолинейной траектории (рис.2). Модуль момента импульса L=mVможет изменяться только за счет изменения модуля скорости.

Рис.2 Рис.3

2.Частица движется по окружности радиуса r (рис.3). Модуль момента импульса относительно центра окружности равен

L=mVr

и так же, как в предыдущем случае, может изменяться только за счет изменения модуля скорости. Несмотря на непрерывное изменение направления вектора p, направление вектора L остается постоянным.

Проекция вектора L на произвольную ось z, проходящую через точку О, называется моментом импульса частицы относительно этой оси:

.

Псевдовектор

M=[rF]

Называется моментом силы F относительно точки О, из которой проводится радиус-вектор r точки приложения силы. Модуль момента силы можно представить в виде

M=rFsin=F,

где =sin - плечо силы относительно точки О (т.е. длина перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой действует сила).

Проекция вектора M на некоторую ось z, проходящую через точку О, относительно которой определен M, называется моментом силы относительно этой оси:

Силы взаимодействия между частицами действуют в противоположные стороны вдоль одной и той же прямой. Их моменты относительно произвольной точки О равны по величине и противоположны по направлению. Поэтому моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил для любой системы частиц, в частности для твердого тела, всегда равна нулю:

(13)

Выясним, от чего зависит изменение момента импульса частицы. С этой целью продифференцируем выражение (12) по времени:

.

Согласно второму закону Ньютона - результирующей сил, действующих на частицу; по определению . Поэтому можно написать, что

Второе слагаемое является векторным произведением коллинеарных векторов и поэтому равно нулю. Первое слагаемое представляет собой момент силы F относительно той же точки, относительно которой взят момент импульса L. Следовательно, мы приходим к соотношению

, (14)

согласно которому скорость изменения момента импульса со временем равна суммарному моменту сил, действующих на частицу.

Спроектировав векторы, фигурирующие в уравнении (14), на произвольную ось z, проходящую через точку О, получим соотношение

.

Таким образом, производная по времени от момента импульса относительно оси равна моменту относительно той же оси сил, действующих на частицу.

Рассмотрим систему частиц, на которые действуют как внутренние, так и внешние силы. Моментом импульса L системы относительно точки О называется сумма моментов импульса Li отдельных частиц:

Дифференцирование по времени дает, что

(15)

В соответствии с (14) для каждой из частиц можно написать равенство

,

где - момент внутренних сил, а - момент внешних сил, действующих на i-ю частицу. Подстановка этих равенств в (15) приводит к соотношению:

.

Каждое из слагаемых в этих суммах представляет собой сумму моментов сил, действующих на i-ю частицу. Суммирование осуществляется по частицам. Если перейти к суммированию по отдельным силам, независимо от того, к какой из частиц они приложены, индекс i в суммах можно опустить.

Согласно (13)суммарный момент внутренних сил равен нулю. Поэтому получаем окончательно, что

(16)

Формула (16) сходна с формулой (1). Из сравнения этих формул заключаем, что подобно тому, как производная по времени от импульса системы равна сумме моментов внешних сил.

Спроектировав векторы, фигурирующие в формуле (16) на произвольную ось z, проходящую через точку О, придем к уравнению

(17)

Если система замкнута (т.е. внешних сил нет), правая часть равенства (16) равна нулю и, следовательно, вектор L не изменяется со временем. Отсюда вытекает закон сохранения момента импульса, который гласит, что момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным. Разумеется, будет оставаться постоянным и момент импульса замкнутой системы относительно любой оси, проходящей через точку О.

Момент импульса сохраняется и для незамкнутой системы, если сумма моментов внешних сил равна нулю. Согласно (17) сохраняется момент импульса системы относительно оси z при условии, что сумма моментов внешних сил относительно этой оси равна нулю.

В основе закона сохранения момента импульса лежит изотропия пространства, т.е. одинаковость свойств пространства по всем направлениям. Поворот замкнутой системы частиц без изменения их взаимного расположения (конфигурации) и относительных скоростей не изменяет механических свойств системы. Движение частиц друг относительно друга после поворота будет таким же, каким оно было бы, если бы поворот не был осуществлен.