Определение угловой скорости

Д6(1-8)

Дано: m₁= 4 кг, m₂ = 0, т₃ = 0, m₄= 5 кг, m₆= 6 кг

R₃ = 0,3 м, r₃ = 0,1 м, R₄ = 0,2 м

с₃ = 0,2 м, f = 0,1, с = 320Н/м, М = 1.4Нм, F = 50(9 + 2s) H, s₁ = 0,2 м.

Определить: ₄ в тот момент времени, когда s = s₁.

Решение. 1. Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из весомых тел 1, 4, 5 и невесомых тел 3, соединенных нитями. Изобразим действующие на систему внешние силы: активные , , , , , реакции , , силы трения , и момент М.

Для определения V₂ воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:

. (1)

2. Определяем Т₀ и Т. Так как в начальный момент система находилась в покое, то Т₀ = 0. Величина Т равна сумме энергий всех тел системы:

T=T₁+T₄+T₅. (2)

Учитывая, что тело 5 движется плоскопараллельно, тело 1 ? поступательно, а тело 4 вращается вокруг неподвижной оси, получим

.; ; (3)

Все входящие сюда скорости надо выразить через искомую _4.

Для этого предварительно заметим, что

точка K ? мгновенный центр скоростей катка 5, радиус которого обозначим r_5. Тогда

, ,

(4)

Кроме того, входящие в (3) моменты инерции имеют значения

Подставив все величины (4) и (5) в равенства (3), а затем, используя равенство (2), получим

T= + + = 6)

3. Теперь найдем сумму работ всех действующих внешних сил при перемещении, которое будет иметь система, когда центр катка 1 пройдет путь s₁. Введя обозначения: s₅ ? перемещение груза 5 (s₅ = s₁), ц₃ ? угол поворота шкива 3, л₀ и л₁ ? начальное и конечное удлинения пружины, получим

F = 50(9 + 2s)

;

;

;

;

.

Работы остальных сил равны нулю.

По условиям задачи, л₀ = 0. Тогда л ₁ = s_С5, где s_С5 ? перемещение точки с5 (конца пружины). Величины s_С5и ц₃ надо выразить через заданное перемещение s₁; для этого учтем, что зависимость между перемещениями здесь такая же, как и между соответствующими скоростями.

то и ц₃ = s₁/R₃.

следовательно, и л₁ = При найденных значениях ц₃ и л₁ для суммы вычисленных работ получим

. (7)

Подставляя выражения (6) и (7) в уравнение (1) и учитывая, что Т₀ = 0, придем к равенству

(8)

1/с

Ответ: 1/с

Д10 (1-8)

Механическая система (рис. Д3) состоит из обмотанных нитями блока 1 радиуса R₁ и ступенчатого шкива 2 (радиусы ступеней R₂ и r₂, радиус инерции относительно оси вращения с₂), а также из грузов 3 и 4, прикрепленных к этим нитям. Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом М, приложенной к блоку 1.

Дано: P₁ = 0, P₂= 40 Н, P₃=10 Н, P₄=0, P₅=30 Н , P₆=20 Н, М = 12Нм

R₁ = 0,2 м r₁ = 0,1 м R₂ = 0,3 м r₂ = 0,15 м, с₁ = 0,1 м с₂ = 0,2 м

Определить: ускорение груза 2, пренебрегая трением.

Решение. 1. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из тел 1, 2, 3, 5, 6, соединенных нитями. Система имеет одну степень свободы. Связи, наложенные на эту систему, ? идеальные.

Для определения a₃ применим общее уравнение динамики:

= 0, (1)

где ? сумма элементарных работ активных сил; ? сумма элементарных работ сил инерции.

2. Изображаем на чертеже активные силы , , , и пару сил с моментом М. Задавшись направлением ускорения a₆, изображаем на чертеже силы инерции , , и пару сил инерции с моментом, величины которых равны:

; ; . ; ; (2)

3. Сообщая системе возможное перемещение и составляя уравнение (1), получим

(3)

Выразим все перемещения через дц₂:

(4)

Подставив величины (2) и (4) в уравнение (3), приведем его к виду

Входящие сюда величины е₂ и a₅ выразим через искомую величину а₃:

; ;

(5)

Затем, учтя, что дц₂ ? 0, приравняем нулю выражение, стоящее в (5) в квадратных скобках.

Подставляем исходные данные и находим

Подставляем исходные данные

1/с²

Ответ: 1 /с². Знак “минус” указывает, ускорение груза 2 направлено в другую сторону