О "несоизмеримых сущностях" в философии пифагорейцев. К философским основаниям иррациональных пропорций в науке и культуре

В отличие от рациональных чисел, числа, выражающие отношение несоизмеримых величин были известны еще в древности, хотя изначально термины «рациональные» и «иррациональные» числа относились не к самим числам, а к несоизмеримым величинам, которые сами пифагорейцы называли выразимыми и невыразимыми, а математики классической эпохи пользовались только рациональными (целыми, дробными и положительными) числами.

Открытия иррациональности во времена Пифагора привело к теоретической нестабильности большей части геометрии пифагорейцев, которые основывались на несовершенной теории пропорций, применявшихся только к числам. Поэтому открытие несоизмеримости в то время должно было потребовать большой переделки всей ткани элементарной геометрии в ожидании открытия общей теории пропорций, применимой как к несоизмеримым, а также к соизмеримым величинам.

В то же время открытие иррациональных чисел вызвало первый кризис в математике. Оказалось, что в прямоугольном треугольнике ни из какой, сколь угодно малой части катета, невозможно сложить гипотенузу: они несоизмеримы, несопоставимы в то время как пифагорейцы знали лишь целые сакральные числа.

С иррациональными числам греческие математики сумели совладать лишь в 111 веке до н.э. Произошла частичная десакрализация математики пифагорейцев, открывшая уникальную возможность задуматься об основаниях этой дисциплины и наметить новые пути её развития. В то же время, как отмечает А.В. Волошинов, «открытие несоизмеримости и обнаружение таких величин, отношение которых не может быть выражено относительно отношения целых чисел явилось главным достижением пифагорейской школы и поворотным этапом в развитии всей математики» ^{[12, с.140]}. А по силе революционного воздействия, утверждает там же А. В. Волошинов, это открытие, возникшее на рубеже У1-У в.в. до н.э. можно сравнить с открытием дифференциала и интеграла Ньютоном и Лейбницем в начале Х1Х в. или теории относительности А. Эйнштейна в начале ХХ в.

Математическая теория музыки, которую в то же время можно рассматривать и как античную музыкальную эстетику окончательно сформулировала круг родственных дисциплин, которыми занимались в пифагорейской школе - арифметика, геометрия, астрономия и гармония - будущий квадривиум средневековья. Применительно же ко времени Пифагора вообще нельзя говорить об иррациональных величинах, но лишь об открытии иррациональности v 2. По мнению историков науки, открытие знаменитой теоремы Пифагора стало возможным на основе теории пропорций, его акустических исследований и математическим открытиям.

Пифагору были известны арифметика, геометрия, гармонические пропорции и три средних пропорциональных величины, а также «музыкальная пропорция», непосредственно связанная с его музыкальными экспериментами. Опираясь именно на эти теоретические основания, он и открыл свою знаменитую теорему. Если бы Пифагор действительно открыл иррациональность v 2, это, безусловно, нашло бы отражение в античной литературе. Однако таких сведений до сих пор не найдено.

Если Фалес в отличие от вавилонян и египтян впервые занялся «угловой» геометрией, то Пифагор сделал следующий шаг, положив начало стереометрии, построив такие пространственные формы как правильный тетраэдр и куб. Классическое же доказательства иррациональности v 2, т.е. несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной дается в приложении к Х книге Евклида.

Однако к какой бы реконструкции первоначального доказательства иррациональности мы не пришли, остается очевидным, что это открытие явилось важнейшим этапом становления не только древнегреческой математики философии. Не случайно, видимо, по словам известного современного математика М. Клайна (1993), то ли по счастливому стечению обстоятельств, то ли благодаря гениальной интуиции, пифагорейцам удалось сформулировать два тезиса, общезначимость которых подтвердило все последующее развитие науки. Во-первых, что основополагающие принципы, на которых зиждется мироздание, можно выразить на языке математики, во-вторых, что объединяющим началом всех вещей служат численные отношения, выражающие гармонию и порядок природы.

Представляется, однако, что общее значение открытия несоизмеримых отрезков и иррациональности для развития и математики, искусства и науки в целом не исчерпывается указанными последствиями, хотя внешне выражается, прежде всего, в них. Это открытие впервые, быть может, заставило рождающуюся греческую науку сознательно задуматься о своих предпосылках.

Открытие несоизмеримости стало первым толчком к осознанию оснований философско-математического исследования, к попытке не только найти новые методы работы с величинами, но и понять, что такое величина. Как следствие это осознания основу последующего философского учения пифагорейцев составила категориальная пара двух противоположностей - предела и беспредельного.

Значение открытия несоизмеримости в исории философии состоит не только в том, что нарушило философскую систему пифагорейцев, но и в последующем привело к созданию новых, весьма тонких и глубоких теорий в истории науки, культуре, объектах архитектуры и искусства с использованием иррациональных пропорций и величин. Кризис, возникший в пифагорейской школе, состоявшийся в открытии несоизмеримых отрезков, суть которого состояла в невозможности выразить в рациональных числах, с которыми только и имели дело пифагорейцы диагональ квадрата со стороной равной единице стал для античной философии и математики повортным пунктом в истории, ибо нарушал существующую гармонию между арифметикой и геометрией, гармонию пифагорейской модели мира.

«Осознав, что совокупность геометрических величин представляет собой скорее некое числовое поле, чем простое геометрическое множество или множество рациональных чисел, пифагорейцы создали исчисление в геометрической форме, получившее впоследствии в науке наименование «геометрической алгебры», воссоздав нарушеную было гармонию мира» ^{[13, с.578]}. Открытие в пифагорейской школе «несоизмеримых величин», подготовило также переход от количественного к субстанциональному пониманию бесконечности как некой живой характеристики и внутреннних и внешних процессов в мире» ^{[14, с. 136]}.

По существу одна из важнейших концепций священной геометрии пифагорейцев получила свою преемственность от пифагорейского сообщества через корпорации средневековых строителей в тайные общества Европы ХУ111 века. Как отмечает румынский математик, историк и философ М. К. Гыка в работе «Золотое число: пифагорейские обряды и ритмы в развитии западной цивилизации» (2016), секреты «золотой пропорции» в последующем развитии цивилизации были реализованы не только как основополагающие пропорции в архитектуре, живописи и музыке, но также и как своего рода путь в направлении более глубокого понимания духовной природы красоты и скрытых гармоний, объединяющих все Сущее.

А «универсальность иррациональных величин «золотой пропорции» и их широкое распространение в различных закономерностях и сферах человеческого бытия от науки до культуры, архитектуры и искусства и поныне стимулируют поиски значений, которые объединяли бы их в некую общую теорию, обобщающую и выражающую структуру мировых констант» ^{[15, с. 24, 18, с.398, 22, с.324]}.

Библиография

1. Лосев А.Ф. Античная эстетика (в 8 томах). Т. 1. Ранняя классика. М.: 2001. 624 с.

2. Татаркевич В. История философии. Античная и средневековая философия. Изд-во Пермского университета. Пер. с польского В.Н. Кваскова. Пермь: 2000, С. 14.

3. Волошинов А. В. Математика и искусство М.: Просвещение. 2000. 400 с.

4. Платон. Сочинения в трех томах. Т.2. М.: 1971. 513 с.

5. Смоляк Б. П. О природе золотого сечения // Архитектура СССР. 1965. № 3. С. 250-261.

6. Шевелев И. Ш., М. А. Марутаев М. А., Шмелев И. П. Золотое сечение: Три взгляда на природу гармонии. М.: Стройиздат, 2007. 343 с.

7. Кеплер И. О шестиугольных снежинках. Пер. с лат. Ю.А. Данилова. М., «Наука». 1982. 194 с.

8. Хембидж Дж. Динамическая симметрия в архитектуре. Перевод с английского В.Белюстина. М. Издательство Всесоюзной академии архитектуры, 1936. 202 с.

9. Клайн Морис Математика. Утрата определенности. М.: Мир. 2007. 640 с.

10. Дедекинд, Р. Непрерывность и иррациональные числа = Stetigkeit und irrationale Zahlen. 4-е исправленное издание. Одесса: Mathesis, 1923. 40 с.

11. Марков А. А. О логике конструктивной математики. (Сер.: Математика и кибернетика. № 8. М.: Знание, 1972. 48 с.

12. Волошинов А. В. Союз истины, добра и красоты. М.: 2017. 224 с.

13. Татаркевич В. История философии. Античная и средневековая философия. Изд-во Пермского университета. Пер. с польского В. Н. Кваскова. Пермь.: 2000. 482 с.

14. Брунов Н. И. Пропорции античной и средневековой архитектуры. М.: 1936. 140 с.

15. Matila C. Ghyka The Golden Number: Pythagorean Rites and Rhythms in the Development of Western Civilization. Rochester. 2016. 448 с.

16. Жмудь Л. Я. Пифагор и его школа. Л.: Наука. 2012. 192 с.

17. Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире.-М.: Наука, 1967.

18. Волошинов А. В. Союз истины, добра и красоты. М.: 2017. 224 с.

19. Аракелян Г. Б. Математика и история золотого сечения. М.: Логос, 2014. 404 с.

20. Васютинский Н. А. Золотая пропорция. Спб.: Изд-во «Диля». 2006. 202.

21. Стахов А. П. Коды золотой пропорции. Изд-во «Книга по требованию». М.: 2012. 152 с.

22. Шевелёв И.Ш., Марутаев М.А., Шмелев И.П. Золотое сечение. М.: Стройиздат, 1990. 343 с.

Размещено на Allbest.ru