Взаимосвязь методов спекулятивно-диалектического и математического познания в философии математики Гегеля

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Взаимосвязь методов спекулятивно-диалектического и математического познания в философии математики Гегеля

Генезис взаимодействия философии и математики в контексте связи методов теоретического познания этих наук наиболее отчетливо обнаруживается в концептуальных схемах исторического взаимного влияния математических действий и приемов диалектики Платона [13] и силлогистики Аристотеля [12] в античности [10], абсолютизации способов математического познания в рационализме Нового времени (Декарт [14] и Лейбниц [15] и самоотчуждении, антиномичности методов математики и философии в трансцендентальном критицизме Канта [11] и спекулятивно-диалектическом идеализме Гегеля [12].

В работах П. П. Гайденко [1], А. П. Огурцова [7; 8; 9], В. Я. Перминова [16], В. С. Степина [17] и др. [18; 19] проанализированы различные проблемы развития философских, естественно научных и математических знаний, которые обретают особое значение, если учесть взаимное влияние этих сфер познавательной деятельности друг на друга.Опираясь на работы автора этой статьи [10-15], можно уточнить некоторые формы и методы взаимодействия философии и математики, что и является задачей данной статьи.

Концептуальные схемы диалектического анализа математики конкретным мыслителем как форма взаимодействия философии и математики представляются совокупностью групп таких особенностей, как эйдетичность (Платон) и отвлеченность (Аристотель), априорность (Кант) и дедуктивность (Декарт), аналитичность (Гегель) и другие, которые характеризуют онтологический статус и гносеологическую природу, предметность метода и иные базисные звенья рефлексии математического знания или познания. Они фиксируют индивидуальную философскую установку ученого в исследовании математики, стиль метафизического освоения им математической действительности.

Отдельные звенья концептуальной схемы диалектического исследования математики (гносеологический статус, онтологическая природа, нормативная достоверность, методологическая доказательность и т. д.) систематизирует отдельные особенности философского осмысления математики конкретным мыслителем. Особенности метафизической рефлексии математики (дедуктивность и абстрактность, формальность и синтетичность, интуитивность и другие), их группы или звенья и концептуальные схемы являются формой взаимодействия философии и математики потому, что через них протекает взаимное влияние диалектических принципов, гносеологических положений и математических оснований и приемов, процедур и понятий элементарной и высшей математики.

Понятийный каркас концептуальной схемы философского осмысления математики репрезентирует природу, статус, генезис, предмет и другие звенья рефлексии математики как знания. Несущая основа методологической концептуальной схемы диалектического анализа математики раскрывает доказательность и форму, выводимость и содержательность, достоверность и иные группы особенностей математического познания.

Концептуальная схематизация как способ взаимодействия диалектики и математики означает, что происходит селекция математических фактов и теорем на важные и другие, отбор существенных математических положений и процедур. Причем это делается через призму метафизических представлений не только о природе и методе математики, но и более общих установок. Схематизация как форма интеграции теоретических оснований философии и математики бывает рациональной, транцендентальной, спекулятивной и т.д. Дело в том, что эйдологическая схематизация Платона переносит припоминание как особенность диалектического осмысления математики на понимание природы всех иных познавательных процессов. Срединность рассудочного математического мышления трансформируется Платоном в переход от мнения (мюона, предела, иного) к истине (бытию, беспредельному, идее).

Концептуальная схема философского анализа методологии математики Гегелем является спекулятивно-диалектической формой и способом взаимодействия философии и математики потому, что рефлексируя математические положения, она превращает их в метафизические, понятийные структуры перехода количества в качество, определения абсолютного метода и, наоборот, диалектические принципы соотношения конечного и бесконечного, которые выработаны в ходе обобщения математического материала и которые, в свою очередь, интенсивно влияют на математические конструкции наивной теории множеств Г.Кантора.

Взаимосвязь способов философского (диалектического, рационалистического, разумного, конкретного и спекулятивного) и математического (аксиоматикодедуктивного, формально-логического) познания в философии математики Гегеля сомнений не вызывает. Предметом исследования будут содержание, формы и способ этой связи в теории и истории становления спекулятивно-конкретной, разумной и бесконечной диалектики Гегеля в контексте осмысления математической методологии как рассудочной, абстрактной и конечной. Для более глубокого выяснения концептуальной схемы диалектического анализа математики в философии Гегеля рассмотрим подробнее его спекулятивно-лиалектическую концепцию математической методологии. Философия математики Гегеля исходит из рассудочности методов математики в отличие от разумности способов спекулятивно-диалектического познания. Исследование методов арифметики и геометрии, алгебры и высшей математики, теории рядов и аналитической геометрии проводится в диалектическом учении о количестве в концепции абсолютного метода спекулятивного познания. Дивергенция способов разумно-диалектического мышления и рассудочно-формальной математической дискурсии происходит через категориальные концепты - внутреннее и внешнее, бесконечное и конечное, понятийное и абстрактное. Отчуждение способов философского и математического познания не доводится Гегелем до крайности потому, что оба метода мышления он считает научными. А всякий научный метод обладает такими специфическими особенностями, как (1)способ или средства, (2) содержание или принцип, (3) форма или путь познания.

Взаимодействие философии и математики в концептуальной схеме гегелевского анализа математики как познания начнем рассматривать с представлений о способе действий с математическими абстракциями. Речь пойдет о понимании Гегелем операций и приемов арифметики, геометрии и других математических наук как средств рассудочно-математического мышления.

Способ действия с математическим материалом Гегель рассматривает как средство рассудочно-диалектического познания. Сущность способа арифметического познания обнаруживается в специфике операций, которые можно производить с математическими абстракциями. «Арифметика рассматривает число и его фигуру, или, вернее, не рассматривает, а оперирует ими. Ибо число есть безразличная, инертная определенность; оно должно быть приведено в действие и соотношение извне. Способы такого соотнесения - это /четыре/ арифметических действий» [3, с. 280]. Способ арифметического познания представляет средства процедурного соотнесения математических абстракций чисел, величин, дробей с помощью операций или действий сложения и вычитания, умножения и деления.

Специфика познания в алгебре связана с такими процедурами, как «возведение в степень и извлечение корня, а затем действия с показательными величинами и логарифмами» [3, с. 362]. Приемы и операции алгебраического познания включают еще действия разложения в ряд и преобразование уравнений высших степеней. Они дополняют действия арифметического мышления, служат переходной ступенью к процедурам дифференциального и интегрального исчисления. Способом реализации действий в алгебре, аналитической геометрии и теории рядов Гегель полагает сравнивание или соотнесение логарифмов, переменных величин, уравнений и т.д.

Средства способа геометрического познания обнаруживаются в доказательстве теорем, решении задач на определение площадей фигур, установлении равенства углов или отрезков и т.д. Приемы-действия определения сходства и несходства, наложения, выяснения конгруэнтности основаны на том, что «геометрия при рассмотрении треугольника и четырехугольника, которые качественно различны, абстрагируется от этого качественного различия и признает их равными друг другу по величине» [5, c. 247]. Гегель подчеркивает количественный характер способа познания в элементарной математике и в то же время готовит почву для уяснения качественно-количественного своеобразия приемов высшей математики, которая коренится в геометрических качественных различиях фигур, несоизмеримости и т.д.

Тезис о рассудочности математического познания Гегель утверждает некоторым огрублением диалектики геометрических операций. «То, что сравнивают друг с другом два треугольника и конгруэнтность, усматривают в наложении (одного треугольника на другой), - это уловка, в которой нуждается метод, долженствующий пользоваться физическим приемом вместо мысленного - быть определенным» [4, с. 272]. Подмену интеллектуального сравнивания геометрических фигур операцией физического наложения должно подтвердить превосходство философской разумности - умозрительной определенности понятий - над математической рассудочностью. Но такая вульгаризация только отталкивает мыслящих математиков от гегелевской философии математики при всей правильности некоторых ее положений.

Способ познания в высшей математике Гегель раскрывает через интерпретацию процедур дифференцирования и интегрирования, операций предельного перехода и степенного отношения, нахождения производной и других действий математического познания. Сущность средств познания в высшем анализе усматривается в экспликации так называемых «применений» дифференциального и интегрального исчисления. Речь идет о том, что сведение напряжений в сопротивлении материалов, нахождение касательных при построении кривых в аналитической геометрии, определение скорости и ускорения как первой и второй производных в теоретической механике «составляют самое суть, действительный способ (познания. - В.П) действия в математическом решении того или иного круга проблем» [3, с. 326].

По мысли Гегеля, прикладные аспекты математического анализа точнее отражают его сущность, чей теоретические. «Для Гегеля внутри самой математики метод дифференциального исчисления не может быть обоснован», - пишет А. П. Огурцов, так как это возможно «лишь в рамках гегелевской спекулятивной логики, в понятии качественно-количественного отношения» [6, с. 611]. Диалектическое обоснование математической методологии неизбежно потому, что формальный анализ операций дифференцирования, нахождения предела и других действий не вскрывает содержательно-диалектического, разумно-спекулятивного смысла процедур математического познания, который обнаруживается только в ходе метафизической рефлексии.

Более глубокую сущность способа дифференцирования Гегель раскрывает в том, что переход «от функции переменной величины к ее дифференциалу ... должен рассматриваться как сведение конечной функции к качественному отношению ее количественных определений» [3, с. 343]. Специфику методологии высшей математики Гегель фиксирует в операционально-процедурном аспекте как действия с бесконечными математическими предметами - производной, интегралом и другими. Речь идет о предельном переходе от конечных приращений функции к производной, дифференциалу, то есть переходе от количественных отношений к количественно-качественным.

Сущность действий по нахождению производной Гегель понимает как переход от уравнения более высокой степени к уравнению меньшей степени. В простейшем случае дифференцирования - это трансформация уравнения кривой второй степени уравнениями прямых: касательной и нормали. «Переход от основного уравнения, содержащего степенное отношение, к этим линейным уравнениям содержит указанный выше переход от первоначальной функции, т.е. от той функции, которая есть уравнение, к производной функции, которая есть отношение и притом отношение между теми или иными содержащимися в кривой линиями. Связь между отношением этих линий и уравнением кривой и есть то, что требуется найти» [3, с. 371], Гегель интерпретирует то обстоятельство, что уравнение производной является уравнением касательной к кривой, от которой берется производная. Уравнение касательной можно представить как отношение катета к гипотенузе характеристического треугольника приращений в каждой точке кривой. Дифференцирование как нахождение производной устанавливает связь между уравнением функции и уравнением производной.

Такое понимание способа действий в высшем анализе Гегель заимствует из применений дифференциального исчисления в баллистике при расчете элементов траектории, в сопротивлении материалов при определении напряженного состояния, в каждой конкретной точке математического описания реального объекта. Причем различные виды дифференцирования в этих приложениях были известны раньше теории или общей части, и применением оно было названо позднее лишь по отношению к созданной затем теории, которая ставила себе целью, с одной стороны, установить общий метод этого способа действия, с другой - дать ему принцип, т.е. обоснование» [3, с. 362]. Заимствование и интерпретация происходят в рамках общей установки Гегеля на логическое переосмысление истории или обнаружение базиса своей концепции в истории становления представлений о методе математического анализа.

Способ математического познания у Гегеля представляет в процедурно-операциональном аспекте сравнивание или соотнесение алгебраических величин, геометрических фигур, дифференциалов и других предметных определенностей в математике. Методология математики имеет в своем основании выяснение равенства или неравенства, отношения и сходства, доказательности или противоречивости и других констатаций, которые представляют основу формального и количественного, рассудочно-диалектического способа мышления в математике. Математическая методология интерпретируется Гегелем как формально-количественная разновидность сравнивания, или в теперешней методологической рефлексии - видообразование моделирования или метода аналогий. Рассудочность математического мышления, применительно к способу познания, означает отсутствие спекулятивной мистичности разума, понятийной диалектично- сти в количественно-формальной определенности математической методологии. Такая кажущаяся ущербность математического познания обусловила дивергенцию спекулятивно-диалектического и математического способов мышления, которая находит свое выражение как в пренебрежении математиками философскими вопросами, так и в утрате философами интереса к методологии математики и усилении интереса к физике, биологии к другим лидерам современного естествознания.

Второе звено концептуальной схемы спекулятивного анализа математики как познания раскрывает содержание или направляющий принцип математической методологии в диалектике аналитического и синтетического подходов к природе математической выводимости. Конкретное содержание арифметических действий раскрывается в том, что «сложение есть сочетание совершенно случайных неравных чисел, умножение же, напротив, - равных чисел, а затем следует еще отношение равенства между численностью и единицей, степенное отношение» [4, с. 250]. Речь идет о том, что при сложении результат получен от операции над любыми слагаемыми, тогда как при умножении сомножители прибавляются столько раз, сколько указано, а при возведении в степень числа умножаются сами не себя.

Сущность математических действий, полагает Гегель, базируется на определенном принципе. «Принцип арифметических действий должен состоять в том, что числа ставятся в отношение единства и определенного множества и устанавливается равенство этих определений» [5, с. 248]. Если вспомнить, что арифметику как науку о дискретных величинах Гегель относит к аналитическим, то направляющим принципом действий и приемов арифметики выступает принцип аналитического тождества. В содержании процедур сложения, умножения и возведения в степень этот диалектический принцип функционирует как сведение неравного ко все более равному, например основанию степени.

Рассудочное содержание операций элементарной математики основывается в арифметике на принципе аналитического тождества, «в котором разнящееся выступает в виде равенства» [4, с. 250], Арифметика у Гегеля является наиболее совершенным воплощением аналитического метода диалектического познания как отождествления нетождественного. Дело в том, что в естественных науках аналитичность связана с конкретным многообразием фактов, от которых надо абстрагироваться, хотя дальнейшее движение познания от них зависит, материал «арифметики и алгебры - это уже нечто сделанное совершенно абстрактным и неопределенным, в чем стерты всякие специфические черты отношения и для чего, стало быть, всякое определение и всякая связь внешние» [4, с. 249]. Математической аналитичности материал арифметики предстает сразу абстракцией и нет необходимости отвлекаться от конкретики или сообразовываться с ней.

Аналитическое тождество как рассудочный принцип содержания арифметических операций исходит из того, что «вся разница между поставленными в задаче условиями и полученными в решении результатами состоит лишь в том, что в этом результате действительно осуществлено соединение или разъединение тем определенным способом, который указан в задаче» [4, с. 251-252]. Аналитичность вообще в рассудочно-отрицательной диалектике математического и естественнонаучного познания представляется трансляцией известного, в которой исключен переход в иное и синтез разного.

Математическая методология проявляется не только аналитически в арифметике как тавтологический переход от одного тождества к другому по определенным правилам сложения, умножения и возведения в степень, нахождения корня и другим, но эксплицируется и в синтетичности как переходе от дефиниции к членению и научному положению, наиболее ярко воплощенным в геометрическом доказательстве.

Содержательная синтетичность геометрических приемов познания проявляется в доказательстве теорем, выведении лемм, полагании аксиом и других операциях. «Блестящий пример синтетического метода являет собой наука геометрия, но его неуместно применяла к другим наукам, даже к философии. Геометрия есть наука о величинах, поэтому для нее более всего подходит формальное умозаключение, так как в ней рассматривают только количественное определение и абстрагируются от качественного, то она может держаться и в пределах формального тождества, в пределах чуждого понятия единства, которое есть равенство, и принадлежит внешней абстрагирующей рефлексии» [4, c. 275]. Синтетическое познание Гегель понимает как переход от абстрактного тождества к отношению, от единичного бытия к особенной рефлексии и законам, общим положениям. Синтетическое содержание геометрических процедур доказательства и наложения, действий сравнения и других Гегель обнаруживает в логике движения от общего к особенному и единичному. Оправдывается это тем, что исходным пунктом синтетического метода является «всеобщее как дефиниция, и от нее он (метод рассудочной диалектики - В. П.) движется через обособление (в разделении) к единичному (к теореме)» [5, с. 41].

Гегелевское синтетическое единство многообразного в понятиях исходит из кантовского созерцательного синтеза и приводит через рассудочность формальных синтезов в математике к разумной синтетичности философии. Взаимодействие философии и математики обнаруживается здесь не только в том, что гегелевские установки селекционируют и преобразуют математический материал, и в том, что они исходят из преодоления кантовской парадигмы трансцендентальных синтезов.

Аналитичность и синтетичность элементарной математики обусловлена ее рассудочностью. Спекулятивно-диалектическая философия «обосновывает более определенное осознание как руководящих принципов рассудка, так и порядка и необходимости этого порядка в арифметических операциях и в положениях геометрии» [5, с. 37]. Рассудочное содержание операций элементарной арифметики и геометрии основано на принципах аналитического тождества и принципе синтетичности, когда «сравнивает друг с другом фигуры, выделяя то, что тождественно» [5, с. 203]. Аналитическое и синтетическое отождествление неотождествлен- ного в элементарной математике Гегель понимает диалектически, то есть не абсолютизирует то, что совершеннейшим выражением аналитического познания является арифметика, а синтетического мышления - геометрия. Понятие круга, основывающееся «единственно лишь на равенстве всех расстояний возможных в нем не от единого центра, не нуждается для своего определения ни в каком числе. Эти определения, основывающиеся на равенстве или неравенстве, суть подлинно геометрические. Но их недостаточно, и для определения фигур других, например треугольника, четырехугольника, требуется число» [3, с. 279]. Сложные геометрические определения требуют аналитического содержания арифметических понятий. Так начинается взаимное проникновение анализа и синтеза, которое в рассудочной форме происходит в высшей математике, а разумное свое воплощение находит в спекулятивности абсолютного метода философии.

Философское осмысление аналитичности и синтетичности математического мышления готовит почву для диалектической рефлексии спекулятивно-абсолютной методологии метафизики, которая у Гегеля является синонимом для философии. В этом взаимодействии философского и математического мышления проявляется взаимодействие этих наук, хотя при этом и происходит отчуждение математического как рассудочного от метафизического как разумного. Формальное единство аналитического и синтетического содержания в математических действиях обнаруживается Гегелем в дифференциальном и интегральном исчислении. Содержательное соединение аналитического и синтетического способов научного познания происходит в абсолютной методологии спекулятивнодиалектического мышления.

Наиболее отчетливый конечный результат взаимодействия философии и математики у Гегеля представляется в разумно-диалектической рефлексии содержания операций дифференциального и интегрального исчисления. Гегель указывает, что «принцип анализа бесконечного по своей природе выше, чем принцип математики конечных величин» [3, c. 344]. Этим принципом высшей математики является аналитико-синтетическое качественно-количественное отношение. Гегель полагает, что алгебра и аналитическая геометрия, теория бесконечных рядов и дифференциальное исчисление преодолевают рассудочную ограниченность действий элементарной математики, но только в формальном смысле.

Философское осмысление математического (по)знания предполагает разумно-диалектическое, конкретно-спекулятивное понимание рассудочной рефлексии философии математики «от математики». «В высшем анализе, где вместе со степенным отношением появляются главным образом качественные и зависящие от понятийных определенностей отношения дискретных величин, задачи и теоремы, несомненно, содержат синтетические определения; там приходится брать в качестве средних членов не те определения и отношения, которые непосредственно указаны задачей или теоремой, а другие» [4, c. 252]. Дифференцирование - это рассудочное разложение функции в ряд по степеням неизвестного, но связанное с отбрасыванием всех членов ряда кроме первого. Вот это отбрасывание не содержится в первоначальной процедуре разложения в ряд, задаваемого задачей. И поэтому процедуры высшего анализа содержат синтетические определения, то есть являются аналитически-синтетическими. Но это становится ясным в философии математики «от философии».

Высшая математика является формальным преодолением математики конечного и поэтому происходит в рамках рассудочного, я не разумного мышления. «По методу дифференциального исчисления сразу видно, что он ...не обоснован сам по себе, как особый способ аналитического действия» [3, с. 360]. Обоснован спекулятивно он может быть только в философии математики Гегеля. Этим и объясняются трудности его формально-математического обоснования у его создателей - Ньютона и Лейбница.

Аналитико-синтетическая, абстрактно-конкретная, конечно-бесконечная природа дифференцирования обусловлена качественно-количественной предметностью этого исчисления. Качественно-количественную основу аналитикосинтетического направляющего принципа действий высшей математики Гегель видит в понятии предельного отношения: «В представлении о пределе и содержится указанная выше истинная категория качественного определения отношения между переменными величинами» [3, с. 351].

Математическая форма предельного перехода является формальной основой диалектической логики перехода количества в качество в спекулятивном идеализме Гегеля. Аналитико-синтетическое содержание качественно-количественной предметности процедур дифференциального исчисления эксплицитно выступает в том, что производную «следует рассматривать как единый неделимый знак» [Там же], то есть как качественное отношение величин дифференциалов переменных, а не количественное отношение приращений.

Взаимодействие методов разумной диалектики и рассудочного математического анализа приобретает в философии математики Гегеля прямо таки осязаемую предметность поиска цели, приемов и специфики дифференциального и интегрального исчисления. Основные звенья концептуальной схемы - содержание, способ и форма - обеспечивают трансляцию математических приемов, например нахождения предельного отношения в диалектическом осмыслении гносеологических и онтологических аспектов абсолютного метода спекулятивнодиалектической философии.

Содержанием метода интегрального исчисления в гегелевском понимании являются действия и операции, обратные дифференцированию. При интегрировании исходят из функции, рассматриваемой как производная, как коэффициент ближайшего члена, получающегося в результате разложения в ряд некоторого, пока еще неизвестного уравнения, а из этой производной должна быть найдена первоначальная степенная функция: та функция, которую в естественном порядке разложения в ряд следует считать первоначальной [3, с. 382]. Содержанием поиска первообразной при интегрировании является реализация синтетико-аналитического принципа, в соответствии с которым интегральное исчисление не просто суммирует количественные параметры, величины, но в предельном переходе фиксирует качественную определенность переменного количества.

Итак, Гегель полагает, что математическая методология в контексте содержания процедур и операций представляется как формальное, внешнее, абстрактное и рассудочное единство аналитического и синтетического принципов научных методов. Дивергенция диалектического и математического мышления у Гегеля обнаруживается в том, что методы математики не могут достичь разумного, спекулятивного и содержательного соединения аналитичности и синтетичности, которое происходит только в абсолютном методе философии. Отметим, что сама философия математики Гегеля в какой-то мере противоречит собственной установке и демонстрирует взаимное проникновение диалектической и математической методологии в рамках метафизического исследования. Но, почему-то отрицает возможность подобного органического взаимного влияния в сфере методологии математики и ее оснований («от философии» до ме- таматематиче ских).

Третье звено концептуальной схемы спекулятивно-диалектического анализа математики как познания - это форма или путь математической методологии. Форму метода арифметики Гегель выводит из аналитичности содержания операций сложения, умножения и других. Он полагает, что в арифметике «в высшей степени излишне применять ... форму геометрического метода, относящегося к синтетическим положениям, и кроме решения задачи присоединять к ней еще и доказательство» [4, с. 252]. Поэтому единство способа, содержания, и формы спекулятивно-диалектической рефлексии метода действий в арифметике видится Гегелю как, во-первых, сложение, вычитание и другие способы-средства проведения арифметических операций, во-вторых, содержания-принципы про- цедур, основанные на принципе аналитического тождества, и, в-третьих, пути- формы арифметических действий в качестве решения задач.

Формой метода геометрического познания Гегель полагает доказательство, которое наиболее адекватно воспроизводит элементы синтетического метода - дефиницию, членение и научное положение. Математическое доказательство как экспликация пути познания опирается на методологическое положение о том, что геометрический «предмет есть синтетическое отношение различных определений, есть некая теорема» [6, c. 414]. Доказательство как геометрический синтез - это процесс опосредования различных геометрических утверждений, путь соединения теорем, определений и аксиом. Доказательство как форма-путь, облекающая содержание синтетических процедур геометрии, представляет собой некую конструкцию, последовательность умозаключений, которые исходят из принятых положений и ведут к результату - теореме или лемме.

Формой методологии высшей математики Гегель полагает дифференциальное и интегральное исчисление. При этом обнаруживается противоречие с конечным методом элементарной математики. «Исчисление бесконечного разрешает и требует таких приемов, которые та должна (избегать. - В.П.) отвергать, оперируя конечными величинами, и в то же время она обращается со своими бесконечными количествами как с конечными определенными величинами и хочет применять к первым те же приёмы, которые применяются к последним. Очень важно для развития этой науки то, что она нашла для трансцендентных определений и действий с ними форму обычного исчисления» [3, с. 322]. Трансцендентная форма методологии высшей математики выражает не только диалектико-спекулятивную противоречивость понятий бесконечно малой величины, диференциала и других, но и разумно-диалектическую противоречивость таких операций, как предельный переход, нахождение производной и иных. Отметим, что математическое обоснование дифференциального и интегрального исчисления было дано в трудах Коши О.(1789 - 1857) и Вейерштрасса К. (1815 - 1897), а его создатели - Ньютон и Лейбниц - использовали метафизические оправдания для объяснения несообразности кажущейся неточности пути вывода и точности полученных результатов.

Общая форма математической методологии у Гегеля связана с внешностью и дискурсивностью математического мышления. «Движение математического доказательства не принадлежит тому, что есть предмет, а есть действование, по отношению к существу дела внешнее» [2, с. 21-22]. Абстрактная внешность формы математических методов обусловлена, с одной стороны, тем, что предметом исследования являются абстракции, а с другой стороны, тем, что процедуры и операции математических действий формальны, а не содержательны. Гегель считает, что сложение чисел отвлечено от содержания абстракции числа. Содержательная сторона математических абстракций и операций является предметом спекулятивного анализа, для которого различия постоянной и переменной величины, операций сложения бесконечно малых и постоянных величин важно не только с формальной точки зрения, но и с содержательной.

Конкретной формой математической методологии Гегель полагает исчисление. Арифметическое порождение чисел, которое происходит при нумерации, счете или производстве действий сложения, деления, возведения в степень и извлечения корня, является самой элементарной формой исчисления. Исчисление как особая форма способа математического познания связана не только с арифметикой, но и с другими дисциплинами элементарной и высшей математики.

Путь развития содержания математических исчислений у Гегеля связан с характеристикой формы метода арифметики как решения задач, формы геометрического познания как доказательства, формы математического анализа как дифференциального и интегрально исчисления. Общая форма математической методологии в целом связана с внешностью и дискурсивностью, формальностью и абстрактностью.

Осознание Гегелем отчуждения диалектического и математического способов мышления, их paзноуровневости не доводится до крайности. Гегель хотел бы «шире развить мысль о философской математике, которая познавала бы из понятий то, что обычная математическая наука выводит согласно методу рассудка из определений, принятых как предпосылки» [6, c. 57]. Рассудочная внешность методологии элементарной и высшей математики обусловлена тем, что «необходимость, которую конечное познание порождает в доказательстве, есть сначала некая внешняя необходимость, предназначенная лишь для субъективного разумения» [5, c. 416]. Дихотомия разумa и рассудка относительно методов философии и математики конкретизируется в различии интуитивно-спекулятивного и рационально-дискурсивного способов познания. В математике, формальной логике и других науках «при обыкновенном доказательстве: основания ... сами нуждаются в обосновании, и так далее до бесконечности» [2, c. 36]. Спекулятивное самообоснование диалектического познания возможно из-за его понятийности, учитывающей внутреннюю содержательность и внешнюю оформленность, негативность и положительность мышления. Математические приемы и определения, операции и обоснования рассудочны и внешние, формальны и дискурсивны, т.е. односторонни.

Спекулятивно-диалектическные процедуры снимают эту односторонность, но при этом исследователи не должны впасть в другую крайность. Такой синтез противоположностей возможен не только в философии, но и в математике как цель развития.

Концептуальная схема спекулятивно-диалектическогого анализа математической методологии Гегелем складывается из способа-средства операционально-процедурного сравнивания, соотношения алгебраических величин, дифференциалов и т.д. Содержание-принцип математического познания Гегель видит в аналитико-синтетических процедурах действий арифметики и геометрии, алгебры и аналитической геометрии, теории рядов и т.д. Формой-путем математического мышления представляется дискурсивное исчисление в математическом анализе. Кроме того, единство способа, содержания и формы математического метода познания обнаруживается в рассудочности, абстрактности, внешности и конечности математической методологии.

Сравнительный анализ концептуальных схем Канта и Гегеля обнаруживает гносеологическую структуру взаимодействия философии и математики (см.: 11, гл. 1, § 3; гл. 3, § 3) и показывает существование инвариантов трансцендентально-антиномического априоризма и спекулятивно-диалектического осмысления математической методологии. Исследовательское внимание представителей немецкого классического идеализма концентрируется вокруг проблем способа конструктивного или сравнительно-математического мышления, содержания интуитивно-созерцательных априорных синтезов или аналитико-синтетических принципов выведения в математике и форм рассмотрения общего в частном или дискурсивного исчисления в математическом познании. При этом происходит системное и систематическое разведение способов, содержания и форм математической и философской методологии. Эксплицитно обнаруживается отчуждение трансцендентального и диалектического способов познания от методов математического мышления. Фиксируется противоположность разумной и рассудочной научности, содержательной и формальной рациональности, в которой проявляется негативная или отрицательная (от противного) взаимосвязь философского и математического познания.

Сопоставление гносеологических структур диалектического анализа математической методологии в античности, рационализме Нового времени и немецком классическом идеализме позволяет выделить методологические уровни рефлексии взаимодействия философии и математики. В античной философии отражается уровень созерцательной индифферентности, параллельного сосуществования диалектического и математического методов. Древнегреческое умозрение фиксирует диалектическое и математическое познание как совокупность приемов, множество операций и сумму действий, которые сравниваются, заимствуются и сопоставляются для иллюстрации силлогистики, мироустройства и т.д.

Платон считает общеизвестные приемы и операции арифметики, геометрии и других математических дисциплин необходимой и феноменальной почвой для диалектического восхождения к беспредпосылочному началу [13]. Аристотель полагает общезначимые математические действия и алгоритм фундаментальной основой для конструирования и верификации силлогистических умозаключений. Уровень взаимосвязи философского и математического способов познания в античности можно назвать индифферентным потому, что это различные виды умозрительного постижения непотаенной истины бытия математических предметов (числа, отрезка, многогранника, небесного тела, стихии, правильных платоновских многогранников и т.д.).

Рационализм Нового времени выходит на новый уровень рефлексии связи диалектической и математической методологии. Декарт [14] и Лейбниц [15] осознают природу математического метода целостно и структурно-организованно (выделяют звенья и уровни концептуальных схем). Однако возводят математическую методологию в образец методов рациональной научности вообще и метафизики в частности. Абсолютизация способов математического мышления в методологии всеобщей науки или универсальном характеристическом языке - следующий уровень взаимосвязи диалектического и математического познания. Если в античности феноменальной почвой диалектики и силлогистики была простейшая операциональная структура математики, то теперь базисом рационалистической методологии становится целостная и завершенная философия и методология математики, которая оформляется дисциплинарно, правда, в превращенной форме.

Взаимосвязь философии сомнения и математических способов познания опредмечена в иллюзорной попытке построения метода всеобщей науки. Соединение методологии Лейбница и математических способов мышления обнаруживается при создании языка универсальной характеристической науки. Абсолютизация парадигмальности математического мышления и прямое перенесение математических приемов и процедур в научное и философское познание имеет результатом математизированное естествознание, теоретическую механику, математическую физику и механистическую философию материализма.

Немецкий классический идеализм осознает разумную природу и высший статус трансцендентальной и диалектической методологии. Кант [12] и Гегель [11] подходят к анализу способов философского и математического познания системно, целостно и завершенно. Но намеченные общие контуры рефлексии научной методологии - способ, содержание и форма, не только преодолевают абсолютизацию математической методологии как высшей и единственной формы научности и рациональности, но и приводят к отчуждению способов философского и математического познания через противопоставление разума и рассудка, бесконечности и конечности, содержательности и формальности. Дивергенция философского и математического способов мышления, начатая Кантом и Гегелем, продолжается в неопозитивистских указаниях на псевдопроблемность метафизики и т.д. Перечисленные уровни взаимосвязи философской и математической методологии - индифферентность, абсолютизация и дивергенция - могут быть применены и к взаимодействию любых иных методов научного познания.

Исследование генезиса и структуры диалектического осмысления математики как познания показало, что формы взаимодействия трансформируются в способы взаимного влияния философии и математики.

Концептуальная схематизация видения в свете ума Аристотеля (силлогистика), Лейбница (универсальная характеристика) и других мыслителей связана с интерпретацией математических фактов, выбором математических иллюстраций, селекцией математических приемов, обобщением математических операций, перенесением действий математики в сферу разработки способов научного и философского познания в соответствии с общей мировоззренческой установкой ученого. Методологические формы диалектического осмысления математики - концептуальные схемы - оборачиваются приемами и операциями трансляции математических результатов в теорию познания, методологию и другие теоретические основания метафизики.

Библиографические ссылки

1. Гайденко П. П. Эволюция понятия науки ХУП-ХУШ вв. / П. П. Гайденко/ Формирование научных программ нового времени. - М., 1987.

2. Гегель. Феноменология духа //Сочинения. - М., 1959. - Т. 4.

3. Гегель Г. В. Ф. Наука логики. - М., 1970. - Т. 1.

4. Гегель Г. В. Ф. Наука логики. - М., 1972. - Т. 3.

5. Гегель Г В. Ф. Энциклопедия философских наук. - М„ 1974. - Т. 1.

6. Гегель Г .В. Ф. Энциклопедия философских наук. - М., 1975. - Т. 2.

7. Огурцов А. П. Дисциплинарная структура науки: ее генезис и обоснование / А. П. Огурцов. - М., 1988.

8. Огурцов А. П. «Философия природы» Гегеля и ее место в истории философии науки /Послесловие к Гегель Г. В. Ф. Энциклопедия философских наук. Т. 2. / А. П. Огурцов. - М., 1975.

9. Огурцов А. П. Спекулятивное знание. Новая филос. энцикл. В 4-х т.,Т. 4. / А. П. Огурцов. - М., 2001. - С. 715-718.

10. Панфилов В. А. Взаимодействие философии и математики: генезис и структура. Автореф. дисс д-ра. филос. наук / В. А. Панфилов - К.: КГУ, 1992. -32 с.

11. Панфилов В. А. Взаимодействие философии и математики: генезис и структура. Дисс. д-ра. филос. наук / В. А. Панфилов - Д.: ДІ У, 1992. - 311 с. (Рукоп.)

12. Панфилов В. А. Генезис диалектического осмысления математики / В. А. Панфилов - Д., 1991.

13. Панфилов В. А. Философия математики Платона / В. А. Панфилов. - Д., 1997.

14. Панфилов В. А. Философия математики Декарта / В. А. Панфилов. - Д., 2001.

15. Панфилов В. А. Философия математики Лейбница / В. А. Панфилов.Д., 2004.

16. Перминов В. Я. Философия и основания математики / В. Я. Перминов.М.: Прогресс-Традиция, 2001. - 320 с.

17. Степин В. С. Теоретическое знание / В. С. Степин. - М., 2000.

18. Стили в математике: социокультурная философия математики. - СПб.,1999.

19. Философия математики: актуальные проблемы. // Материалы Между- нар. науч. конф. 15-16 июня 2007. - М.: Изд. Савин С., 2007. - 472 с.

Размещено на Allbest.ru