Модальные структуры математического мышления: онтологический аспект

38 Издательство «Грамота» www.gramota.net

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Модальные структуры математического мышления: онтологический аспект

Букин Дмитрий Николаевич, к. филос. н. Волгоградский государственный университет

Аннотация

В статье показано, что помимо традиционных онтологических категорий количества, пространства, меры и т.п. важную роль в фиксации и описании бытия математического объекта играют модальные алетические характеристики необходимого, действительного и возможного. Математические закономерности всегда, в конечном счете, оказываются либо модально необходимыми, либо модально возможными. Онтологическая «несамостоятельность» представленности математического объекта «как он есть» свидетельствует о вспомогательной роли ассерторических модальностей в структурировании математического мышления.

Ключевые слова и фразы: модальные категории; бытие; математический объект; необходимое и случайное; действительное; возможное; доказательство; вероятность.

Abstract

The article shows that in addition to the traditional ontological categories of quantity, space, measure, etc. the modal alethic characteristics of necessary, real and possible play an important role in fixing and describing the existence of the mathematical object. Mathematical regularities always, in the end, prove to be either modal necessary or modal possible. The ontological Їdependence? of the mathematical object representation Їas it is? indicates assertion modalities supporting role in mathematical thinking structuring.

Key words and phrases: modal categories; existence; mathematical object; necessary and accidental; real; possible; proving; probability.

алетический математика мышление модальность

Одной из важнейших задач, стоящих перед современной философией, является рассмотрение математики как части мира, окружающего нас и включающего нас, наше сознание, мышление и т.п. Решение данной задачи невозможно без всестороннего анализа онтологических оснований рационального математического познания. С нашей точки зрения, всякое научное (в том числе и математическое) исследование, связанное с определением и формализацией неотъемлемых характеристик, присущих всему миру в целом, в конечном итоге опирается на набор всеобщих атрибутов бытия. Таким образом, исследование онтологических оснований математической науки должно проходить в рамках категориальной рефлексии как базового метода теоретической философии вне зависимости от того, какие парадигмальные установки и дополнительные познавательные средства привлечены исследователем.

С одной стороны, своеобразной «матрицей» математического познания, позволяющей нам выявлять важнейшие универсальные и специальные закономерности упорядоченности, функционирования и развития окружающего мира, выступает «сетка» таких онтологических категорий как «количество», «мера», «пространство», «отношение» и т.п. Вместе они конституируют общий многомерный смысл бытия математического объекта (подробней об этом см. [1]).

С другой стороны, в силу своей весьма специфической природы, математический объект далеко не всегда может быть «охвачен» традиционными понятийными средствами. Тогда на помощь классической логике приходит интенсиональный подход, сопряженный с особыми, неэкстенсиональными способами категориального постижения сущего. В этом отношении особый интерес представляют модальные алетические характеристики необходимого, действительного и возможного. А.Ф. Кудряшев пишет: «Различие математических высказываний по модальности является непреложным фактом, и выделение соответствующих модальных онтологий позволяет философски более квалифицированно подходить к пониманию самой сути математики и математического мышления» [4, с. 135]. Ниже мы попытаемся показать, какую роль указанные модальные категории играют в структурировании математического мышления.

Начнем мы со следующих рассуждений: в допущении, что мы имеем математический объект как нечто (что-то), про которое можно сказать, что оно какое-то (в качестве), его сколько-то (в количестве), оно существует где-то (в пространстве) и т.д., также разумно предположить, что он всегда либо есть, либо должен быть и есть, либо может быть и будет или не будет.

Казалось бы, первый из указанных модусов - модус действительного, онтологически самоочевиден, и начать наше изложение следует именно с него. В то же время, мы согласны с А.Ф. Кудряшевым, сопоставляющим каждому модусу отдельную онтологическую схему «мир» (соответственно, получаем миры «Как (оно) есть», «Как должно быть» и «Как могло бы быть») и утверждающему: «Мир Ї Как (оно) есть на самом деле? весьма запутанный. Ориентироваться в нем помогает знание других миров и умение их различать» [Там же, с. 132]. Одним из проявлений такой «запутанности» связей реального мира, на наш взгляд, является то, что они могут быть необходимы физически, но не быть необходимы логически. Например, это могут быть основанные на естественнонаучных закономерностях соизмеримости, не выражаемые или плохо выражаемые на языке математики («Зимний дворец имеет зеленую окраску», «хищники плотоядны» и т.д.). Математические же закономерности всегда, в конечном счете, оказываются либо модально необходимыми, либо модально возможными, что следует из нижеприведенных рассуждений.

1. Пусть объект математики существует (модальность действительности). Тогда возможны варианты:

1.1. Он существует с необходимостью (подавляющее большинство математических истин).

1.2. Он существует как возможное (например, в виде содержания гипотезы, впоследствии становящейся теоремой, альтернативности доказательства и т.п.).

2. Если же объекта математики не существует (модальность недействительности), то возможны варианты:

2.1. Он не может существовать (модальность невозможности).

2.2. Он может существовать (модальность возможности), но по каким-то причинам не существует.

Как видно, ассерторические модальные характеристики бытия математического объекта («действительное», «недействительное») не могут быть признанными онтологически самостоятельными. Дальнейшее изложение продолжим формулировкой следующей гипотезы.

Гипотеза необходимости. Всякий объект математики является необходимым («бытие как должное») или стремится к своему становлению таковым.

В.А. Светлов отмечает: «В ряду всех наук математика занимает особое место. Ее утверждения не просто истинны, а необходимо истинны. В чем источник необходимости математических утверждений? Что может служить достаточным основанием их принятия? - Ответы на эти принципиальные вопросы образуют содержание проблемы обоснования математики» [7, с. 5]. При этом проблема необходимости истин математики, их выводимости из аксиом, теорем, допущений и т.п. изначально формулируется категориально, предполагая наличие априорных модальных структур внематематического или, более точно, метаматематического уровня. Такими структурами, очевидно, являются парные аподиктические категории необходимого и случайного. Именно они придают многим доказанным научным положениям статус математических в полном смысле этого слова. Так, формулировка знаменитой теоремы Пифагора, часто приводимая в сокращенном виде, более явно и полно с логической точки зрения звучит так: «Сумма квадратов катетов необходимо равна квадрату гипотенузы» [10, с. 64].

Наиболее распространенной формой, которую принимает необходимость в математике, превращая последнюю в особую отрасль знания, является доказательство. Уже в Древней Греции логическое доказательство становится мощнейшим методом установления истины в математике (так, например, доказательство несоизмеримости стороны и диагонали квадрата лежит в основе «революционного» на тот момент понятия иррациональности). С развитием математики и схоластической логики в Средневековье постепенно выстраиваются представления о формальном доказательстве и развиваются его методы. С XVI века отмечаются отдельные попытки критического осмысления доказательств древнегреческих математиков (Пелетье). К Новому времени благодаря успехам применения математики в естественных науках математические утверждения и доказательства считаются надежными при условии, что дано точное и формальное определение исходных понятий (так, Лейбниц считает аксиомы и правила вывода незыблемыми и стремится построить формальную систему логики). Долгое время понятие доказательства остается весьма неформализованным и умозрительным. XIX в. принес в математику идеи необходимости постулирования некоторых интуитивно очевидных правил, которые формальным способом доказать невозможно (принцип Дирихле, неевклидовы геометрии и т.д.). В современных доказательствах активно используются принципы обработки огромных массивов количественной информации посредством ЭВМ (например, «задача четырех красок»).

Сегодня мы верим в надежность признанного математического доказательства в том смысле, что не допускаем возможности контрпримеров к теореме, если все ее условия выполнены, и не допускаем возможности обнаружения в нем принципиальной неполноты доводов, если доказательство хорошо проверено и принято математическим сообществом. Едва ли кто-нибудь сомневается в том, что теорема Пифагора доказана неправильно или дает ошибочные пропорции для сторон прямоугольных треугольников, отличные от знаменитого соотношения а² + b² = с². Мы верим в надежность математических теорем как утверждений строго доказанных. Однако на чем основана наша вера?

В.А. Успенский пишет: «Откуда же у математика берется убеждение, что доказанные теоремы, доказательства которых он так никогда и не узнает, действительно являются доказанными, т.е. располагают доказательствами? Видимо, такое убеждение основано не на чем ином, как на доверии. Это положение внешне не должно казаться слишком странным. В самом деле, многие ли читатели этих строк видели остров Пасхи? Ведь убеждение не видевших островов в том, что он существует, также основано в конечном счете на доверии» [9, с. 451].

Мы считаем все же, что наряду с уверенностью, наше сознание способно категориально познавать мир, соизмерять в нем сущие и выражать их на языке математики. Поддержку данной точки зрения мы находим в рассуждениях В.Я. Перминова: «Система очевидностей, с которыми мы имеем дело в процессе познания, распадается на два существенно различных класса, а именно, на класс ассерторических и класс аподиктических очевидностей. К ассерторическим очевидностям относятся обычные очевидности опыта, которые имеют относительный характер и которые могут быть исправлены новым опытом. Особенностью аподиктических очевидностей является то, что они не поддаются такой корректировке и имеют, таким образом, внеэмпирический и внеисторический характер. Аподиктические очевидности представляют собой некоторого рода бесспорные факты сознания, не поддающиеся корректировке ни со стороны опыта, ни со стороны логики, ни со стороны какой-либо теории. Мы с полной ясностью осознаем, к примеру, что диагонали квадрата пересекаются в одной точке, что они при этом делятся пополам и т.п., и при этом осознаем также, что эти факты не могут быть поставлены под сомнение ни другими фактами, ни абстрактными рассуждениями… Мы должны признать, что человеческое познание связано с системой фундаментальных очевидностей, образующих глубинную основу мышления, которые лежат в основе всякой рациональной критики и потому не могут быть поколеблены какой-либо критикой. Эти общезначимые факты сознания мы будем обозначать в дальнейшем понятием аподиктической очевидности (курсив наш - Д. Б.)» [6, с. 15].

До сих пор мы рассматривали категорию необходимого, подразумевая ее противоположность - случайное (модальность «может не быть»), но не акцентируя внимание на их взаимосвязи. Между тем, в истории философии существует ряд концепций, объясняющих эту взаимосвязь. Наиболее значимые из них относятся к XIX в. Так, в 1814 г. французский математик Лаплас предлагает некий мысленный эксперимент, главным действующим «лицом» которого является вымышленное разумное существо (демон Лапласа), способное, восприняв в любой данный момент времени положение и скорость каждой частицы во Вселенной, узнавать ее будущее и прошлое. Лаплас использует метафору демона для наглядной демонстрации степени нашей необходимости в статистическом описании реальных процессов окружающего мира. Хотя рассматриваемый взгляд на соотношение и значение категорий необходимости и случайности, в котором абсолютизирована роль необходимости, выступил характерной чертой механистического материализма, он оказал влияние на становление философского мировидения не только физиков, но и представителей других областей знания (в том числе, на математиков и философов).

С диалектических позиций случайность и необходимость взаимосвязаны и представляют собой две стороны одного процесса развития. Наличие случайности в мире необходимо. Гегель полагал, что данные категории нельзя мыслить друг без друга, что необходимость и в самом деле «нельзя обойти», а случайность - это «нечто такое, что может быть и может также и не быть, может быть тем или иным... Преодоление этого случайного есть вообще... задача познания» [2, с. 318]. Абсолютизация и противопоставление категорий необходимости и случайности в духе лапласовского демона также были подвергнуты решительной критике в диалектическом материализме и проанализированы в основополагающих трудах по марксистской философии.

Трудно переоценить значение пары философских категорий необходимости и случайности для современной математики и ее приложений. Любой процесс развития, выступая как необходимый, реально осуществляется через массу случайных отклонений. На необходимости наступления тех или иных событий, а также на корреляционных отношениях, описывающих необходимо имеющуюся связь между случайными величинами, основаны не только причинная, но и функциональная форма обусловленности. Согласно фундаментальному закону теории вероятностей - закону больших чисел - совместное действие большого числа однокачественных случайных факторов приводит к результату, в пределе не зависящему от случая и т.п.

Что же касается роли данной модальной пары в философском осмыслении центральных понятий теории вероятностей, таких как «случайное событие» и «вероятность», - этот вопрос более сложный, поскольку потребует обращения и к другим модальным противоположностям, в частности, к проблематическим категориям возможного и невозможного. К их рассмотрению мы и переходим, предварительно сформулировав следующую гипотезу.

Гипотеза возможности. Объект математики, не существующий с необходимостью («бытие как должное»), может существовать (или не существовать) в возможности («бытие как возможное»).

Начиная с XVI в., то есть приблизительно с момента зарождения теории вероятностей, стало окончательно ясно, что время господства аподиктических и ассерторических модальностей в математическом мышлении закончилось. О своем особом статусе «заявляет» пара проблематических модальностей «возможное - невозможное».

Вообще говоря, в математике модальность возможности приобретает значение «неопровержимости» в смысле недоказуемости отрицания [10, с. 346], а модальность невозможности - значение опровержимости, указания на то, что возможность чего-либо исключается (аксиомой, правилом и т.п.). Однако наиболее значимую роль проблематические модальности играют, пожалуй, в структурировании вероятностного математического мышления.

М.Н. Эпштейн пишет: «Философский тип мышления, как Ї возможностный, следует отличать от вероятностного, чтобы избежать смешения с математической теорией вероятностей. Вероятность есть величина количественная, исчисляемая степенями, тогда как возможность есть понятие качественное, отличаемое не по численному значению от другой возможности, а по модальному содержанию от действительного и необходимого. Поэтому прилагательное Ївероятный? имеет степени сравнения и сочетается со словами, характеризующими силу проявления признака (Ї более, Ї менее, Ї самый, Ї наиболее, Ї наименее), тогда как для прилагательного Ї возможный формы сравнения нехарактерны, а для других членов того же ряда вообще невозможны, поскольку несовместимы с количественными параметрами» [11, с. 103]. Мы позволим себе не согласиться со столь категоричной позицией автора и попытаемся ниже показать, что понятие вероятности имеет непосредственное отношение и к модальной проблематике.

Для этого попытаемся вникнуть в конкретный математический текст: «Для сравнения событий нужна определенная мера. Численная мера степени объективной возможности наступления события называется вероятностью события… Случай называется благоприятствующим событию А, если появление этого случая влечет за собой появление события А. Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа случаев, благоприятствующих ему, к общему числу случаев…» [3, с. 18]. Помимо уже знакомых нам онтологических атрибутов количества и меры, мы находим в тексте указание на случаи, случайные события и возможность. Думается, это не просто слова русского языка - за ними скрываются определенные структуры мысли, которые мы склонны связывать с проблематическими категориями случайного и возможного. Остановимся подробней на модальности возможности.

На наш взгляд, вероятность - объект более сложный, чем обыкновенная математическая мера, это не просто мера, заключающая числовые значения. Это - мера возможности, подразумевающей, что что-то может произойти, не может произойти, может не произойти и т.п. Г.Д. Левин пишет: «Возможность, степень которой равна нулю, - это невозможность. Она также не является возможностью, как и движение с нулевой скоростью - движением. Это вырожденный случай возможности. Возможность, степень которой равна единице, - это необходимая возможность. В объективном мире никакой другой возможности не существует. Словом Ївероятность?, как и словом Ї случайность?, мы оцениваем уровень нашей информированности о реальном положении дел. Мы говорим, что вероятность наступления данного события равна единице, в том случае, когда нам удается доказать, что его наступление неизбежно.

Наука исторически началась с исследования неизбежности и невозможности. Именно неизбежность описывают динамические законы (напомню, что мы условились различать динамические и детерминистские законы). Лишь века спустя наука созрела методологически настолько, чтобы перейти к исследованию законов случая» [5, с. 213]. Как видно, автор прибегает в своих рассуждениях не только к проблематическим, но и к аподиктическим модальностям. Это совершенно закономерно, поскольку (и это видно из приведенного выше следствия) любой модальный переход в математике так или иначе связан с «аподиктической очевидностью» (термин В.Я. Перминова). Попробуем показать, как такие модальные переходы структурируют вероятностное мышление субъекта, пытающегося охватить мыслью все возможные значения этой своеобразной меры «возможностей».

Для простоты воспользуемся несложной типовой задачей на нахождение вероятности: «Пусть в непрозрачной урне содержится 10 шаров, 7 из них белые, 3 - черные. Наудачу (наугад) извлекается один шар. Какова вероятность того, что он - белый?». Число случаев, благоприятствующих событию «Шар оказался белым», то есть «влекущих» это событие, равно трем (по числу белых шаров), тогда как общее число способов, которыми можно извлечь шар из урны, равно десяти (по общему числу шаров). Тогда по формуле классической вероятности, суть которой описана выше, несложно посчитать искомую вероятность, разделив три на десять и получив в итоге 3/10.

Очевидно, что в процессе решения мышление «направляется» проблематической (шар может быть белым) и аподиктической (шар может не быть белым) модальностями. Последняя, являясь противоположностью необходимости, диалектически предполагает, но логически исключает ее, но это и понятно - шар не должен оказаться необходимо белым. В лучшем случае мы можем получить действительность белого шара при его извлечении, но не раньше.

Если же мы немного скорректируем условие и будем приближаться к левой границе вероятностной меры, увеличивая число белых шаров, будет увеличиваться не только количественное значение вероятности (4/10, 5/10, 6/10, 7/10,…), но и уверенность в том, что извлеченный шар окажется белым (это ясно даже интуитивно - чем больше в урне белых шаров, тем меньше шансов достать черный). Что же происходит, когда мы увеличиваем исходное количество белых шаров до 10? Ответ прост: достоверное событие, вероятность которого равна единице. Это тот самый пограничный случай «неизбежности», о котором пишет Г.Д. Левин. Но он как раз означает, что в наших рассуждениях появляется модальность необходимости - ведь нельзя извлечь черный шар из урны, где они все белые. С другой стороны, это означает, что вероятность извлечения черного шара равна нулю, что соответствует проблематической модальности невозможного (так мы получаем правую предельную границу для вероятностной меры). Эта модальность, в свою очередь, влечет модальность случайности («шар может не быть черным») и, следовательно, снова исключает модальность необходимости, но уже для черного шара и т.д.

Таким образом, уже на примере простой задачи можно увидеть, что процесс математического мышления не ограничивается традиционными онтологическими категориями (количество, мера и т.п.) - для того, чтобы сделать вывод о состоянии математического объекта, зачастую нельзя обойтись и без модальных категорий необходимого, действительного и возможного.

Подведем некоторые итоги. С нашей точки зрения, в формировании математического дискурса наиболее заметную роль играют аподиктические и проблематические модальности. Первые, в частности, придают модус необходимости всем доказанным математическим утверждениям, вторые участвуют в формировании математических высказываний о мире возможного, то есть напрямую связаны с предметом теории вероятностей и математической статистики, а следовательно, и с моделированием сложных систем, функционирующих в условиях неопределенности и риска.

Онтологическая «несамостоятельность» представленности математического объекта «как он есть» свидетельствует о вспомогательной роли ассерторических модальностей в структурировании математического мышления. В целом, в математической теории и практике наблюдается общая тенденция развития модального мировидения «от сущего - через необходимое - к возможному» [8]. Изъявительная модальность сущего в древневосточной математике (многие положения там принимались без обоснования, со ссылкой на авторитеты, внутреннее озарение или предписания в виде правил «делай то-то, делай так-то», «смотри!» и т.п.) сменяется аподиктическим мышлением греческих математиков, определившим на многие столетия вперед «вектор» развития древнейшей из наук. Приблизительно с XVI в., то есть с момента зарождения вероятностных знаний, активно «набирает темпы» проблематическое модальное освоение мира, все чаще называемого в современной науке «миром возможностей».

Список литературы

1. Букин Д.Н. Математическая рациональность и ее онтологические основания // Вестник Волгоградского государственного университета. 2010. № 2 (12). С. 31-38.

2. Гегель Г.В.Ф. Энциклопедия философских наук: в 3-х т. М.: Мысль, 1974. Т. 1. 452 с.

3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. 543 с.

4. Кудряшев А.Ф. Модальные онтологии в математике // Стили в математике: социокультурная философия математики. СПб.: РХГИ, 1999. С. 130-136.

5. Левин Г.Д. Философские категории в современном дискурсе. М.: Логос, 2007. 224 с.

6. Перминов В.Я. Философия и основания математики. М.: Традиция, 2001. 320 с.

7. Светлов В.А. Философия математики: основные программы обоснования математики XX столетия. М.: КомКнига, 2010. 208 с.

8. Тульчинский Г.Л. Смена онтологической парадигмы: от сущего к потенциальному // Парадигма: очерки философии и теории культуры: материалы междунар. науч. конф. «Онтология в XXI веке: проблемы и перспективы». СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006. Вып. 6. С. 12-23.

9. Успенский В.А. Апология математики. СПб.: ТИД «Амфора», 2012. 554 с.

10. Формальная логика / отв. ред. И.Я. Чупахин, И.Н. Бродский. Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1977. 359 с.

11. Эпштейн М.Н. Философия возможного. СПб.: Алетейя, 2001. 334 c.

Размещено на Allbest.ru