Математическое знание как объект онтологии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математическое знание как объект онтологии

Д.Н. Букин

Обзор ведущих философских течений, каждое из которых отстаивает собственную точку зрения на математическую реальность и способы ее описания, позволяет сделать вывод о том, что конфликт между ними так или иначе касается «онтологии, то есть, вопросов о том, что существует»¹Целищев В.В. Онтология математики. - Новосибирск: Нонпарель, 2003, с. 9. Действительно, уже на заре становления философского знания математика играет существенную роль в развитии онтологии как учения о сущем как таковом, занимающегося вещами не в силу того, что они обладают некими предзаданными свойствами и отношениями, а в силу того, что они есть (пифагорейцы, Платон и др.).

В настоящее время от ответа на вопросы «как существует математический объект?» и «существует ли он вообще?» во многом зависит развитие многих научных направлений и расширение возможностей рационального познания в целом. В рамках философии математики развивается особая дисциплина - онтология математики, предмет которой характеризуется предельной всеобщностью и связан с наиболее глубокой формой рефлексии над основаниями математики. Другим важным моментом данного предельного вида философского знания является абстрактность объектов математики, по определению подразумевающая их «выводимость» из других реальных объектов путем отвлечения от ряда несущественных свойств последних. Данное обстоятельство, в свою очередь, напрямую затрагивает проблему первоначал, традиционно составляющую предмет метафизики в ее классическом понимании. Эти и другие аспекты проблемы существования математических объектов, стоящей перед современной онтологией, могут быть сформулированы в ряде следующих пунктов:

1. Постановка основного вопроса онтологии математики.

2. Разрешение проблемы первоначала бытия математического объекта как некой инвариантной, внеисторической основы.

3. Выяснение закономерностей исторического развития математического знания.

На этих трех пунктах мы и остановимся.

1. Основной вопрос онтологии математики не должен отождествляться с вопросом о статусе математического объекта, поскольку последний в любом случае сводится к вопросу о необходимости бытия такого объекта. Г. Гутнер отмечает: «Наверное, каждая философская система попыталась определить свое отношение к математике и выяснить, как именно существуют и существуют ли вообще ее предметы» Гутнер Г. Онтология математического дискурса [Электронный ресурс] / Г. Гутнер. - Электрон. текстовые дан. - Режим доступа: http://www.teneta.ru/rus/ge/gutner_ontology_of_matematic.htm. - Дата обращения: 17.02.2010. - Загл. с экрана. . На наш взгляд, разведение вопросов «как существует?» и «существует ли?» носит в онтологии принципиальный характер, и потому в первую очередь следует не вопрошать о том, как существует математический объект, а обосновывать т, что он в принципе существует. Это, в свою очередь, порождает относительно самостоятельную проблему оснований математического знания, к обсуждению которой мы вернемся ниже.

2. Следующий важнейший аспект сугубо онтологической проблемы существования математического объекта может быть сформулирован так: каковы первоначала математической действительности? Трактуемый традиционно как чисто метафизический, данный вопрос на самом деле связан с более глобальной темой проведения водораздела между метафизикой и онтологией, явившегося переломной вехой в истории последней и ознаменовавшего появление в конце XIX - начале XX века множества так называемых «новых онтологий». О.А. Назарова пишет: ««Новые онтологии»… отклоняют претензии учения о бытии на статус первоосновы других наук… Онтология, таким образом, пытается говорить о сущем лишь как о реально существующем, о том, что есть «на самом деле», о том, что можно познать рационально и с очевидностью. В этом смысле в зависимости от того, что понимается под реально существующим, можно говорить об онтологии субъективности, об онтологии сознания, об онтологии языка и т.п.» Назарова О.А. Онтологическое обоснование интуитивизма в философии С.Л. Франка. - М.: Идея-Пресс, 2003, с. 64. Другими словами, учению о бытии в его новом прочтении противопоставляется не что иное, как метафизика в ее классическом понимании, а именно - учение о первопричинах феноменального мира, об Абсолютном, то есть о том, чего не существует реально. Тогда закономерно возникает вопрос: а возможна ли в таком случае онтология математики и насколько «реальна» математика и ее объекты? Что вообще следует понимать под «реально существующим на самом деле»? Как убедительно показывает Г.Д. Левин, не существует «никаких отличий термина «реальность» от термина «бытие», кроме лингвистических» Левин Г.Д. Философские категории в современном дискурсе. - М.: Логос, 2007, с. 33. Избежать в этом случае стилистического абсурда можно только в случае апелляции к разделению понятий бытия и сущего (в наиболее последовательной форме реализованному М. Хайдеггером). Однако методологическая ценность такого разделения весьма сомнительна, поскольку и «бытие», и «сущее» обозначают носитель признака «быть», «существовать».

В то же время, отождествление реальности с «действительностью» как определенным (наряду с «необходимостью» и «возможностью») модусом бытия также приводит к бессмыслице. Так, рассмотрение онтологии возможного оказалось бы под запретом только из-за очевидного противоречия между «тем, что есть» и «тем, что может быть». Возможно, это корректно с точки зрения этимологии (realis с позднелатинского означает «действительный»), но совершенно непригодно с точки зрения модальной логики. Даже если принять во внимание возможность совпадения модусов действительного и возможного в некоей идеальной сущности (в разное время над этим размышляли Фома Аквинский, Николай Кузанский, Гегель и др.), мы неминуемо возвратимся к противоположности «новой онтологии» - метафизике. Кроме того, в предметную область метафизики также попадут если не все, то, по крайней мере, многие «нереальные» и «неочевидные» математические объекты (такие, например, как актуальная бесконечность, экстремум, предел функции и т.п.). Другими словами, описанное разведение онтологии (точнее, многих онтологий) и метафизики с неизбежностью приводит к совершенно недопустимому, на наш взгляд, дроблению самого предмета философии математики с последующей локализацией ее «частных» вопросов и потерей целостной картины исследования.

С нашей точки зрения, подобного «приумножения сущностей сверх необходимости» вполне можно избежать, не выходя за рамки формальной логики и традиционного языка философских категорий. Онтология, уже согласно этимологии этого слова, является учением о «сущем» (которое, как показано выше, вовсе не обязательно противопоставлять понятию «бытие») и призвана изучать «всеобщие структуры и закономерности развития вещей и процессов как таковых (или самой по себе объектности любого рода)» Миронов В.В. Онтология и теория познания. - М.: Гардарики, 2005, с. 15. В таком случае не онтологические учения должны признаваться частью метафизики, а, напротив, те метафизические теории бытия, которые признают возможность познания Абсолютного первоначала всего сущего, должны органически включаться в общую онтологическую картину мира.

Примечательно, что сама по себе идея «преодоления метафизики» далеко не нова и имеет довольно солидную историю. Этой теме посвящен ряд работ Канта и его последователей В. Шуппе и Й. Ремке, а также отдельные труды Ницше, Гуссерля, Хайдеггера, Н. Гартмана и т.д. Однако, несмотря на столь обширный вклад классиков в изучение данной проблемы, открытым остается вечный «краеугольный» вопрос онтологии о порождающей причине. Мы согласны с В.Н. Сагатовским: «Ни Ницше, ни Хайдеггер, ни их последователи не сумели расстаться с порождающей моделью онтологии. Ни замена сущего на бытие, ни пребывающего на становление не решают этой проблемы. Пока что мы имеем дело, все же, не с «постметафизической» философией, но с «неклассической метафизикой». Конец метафизики настанет только тогда, когда онтология откажется от порождающих моделей и поиска начала в бесконечности (хоть вечного, хоть становящегося)…» Сагатовский В.Н. Триада бытия (введение в неметафизическую коррелятивную онтологию). - СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006, с. 34. В самом деле, поиск мифической «порождающей причины» наличного бытия можно сравнить в терминах математики с попыткой записать последний член бесконечного числового ряда, апеллируя к доступности расчета суммы последнего. Нам представляется тупиковым путь выведения бесконечного сущего из конечного наличного бытия, поскольку, на наш взгляд, искать конечное в бесконечности можно лишь как некий онтологический момент последней - данность или явленную определенность. онтология математика бытие исторический

Таким образом, мы отказываемся от causa finalis не как от начала вообще, а как от требования признать во что бы то ни стало всеобщую «диктатуру» порождающего безусловного finalis. В самом деле, является ли вообще возможным ответ на вопрос: что явилось причиной появления первого математического объекта - материальное производство или априорная способность сознания строить умозрительные конструкции? В пользу обеих точек зрения приводится множество доводов со стороны философов, математиков и даже психологов. Понятие начала в онтологии вовсе не обязано носить характер порождающей причины - оно вполне может соответствовать некоему отправному пункту, «фундаменту» и интерпретироваться как основание. В этом случае реальность мира может быть принята как «самоочевидная и самоудостоверяющая», «первичная по отношению к имманентной субъективности» Карпицкий, Н.Н. Философское значение идей В.Н. Сагатовского [Электронный ресурс] / Н.Н. Карпицкий. - Электрон. текстовые дан. - Режим доступа: http://www.anthropology.ru/library/fm/kudrya.html. - Дата обращения: 25.12.2011. - Загл. с экрана.. При этом указанные «первичность» и «самость» отражают не «генетическое» превосходство объективного над субъективным, а интуитивно схватываемую со-бытийность субъекта и объекта, смыслом которой является фиксация первым того факта, что второй «есть», т.е. наличествует, пребывает. Следовательно, устранение «порождающего раздвоения» не только не отменяет, но и «упрочивает» фиксацию в «снятом» виде по сути своей диалектической (а не метафизической) субъектно-объектной оппозиции. Однако следует учитывать, что конструктивная субъективная деятельность сознания способна «порождать» не любые, а вполне определенные рациональные взаимосвязи элементов, заданных на многообразии, но все же обладающих атрибутом всеобщности. Применительно к объектам любой природы (в том числе математическим), всеобщность предполагает повторяющееся, закономерное, т.е. такую онтологически инвариантную основу, которая позволяет отличать объективное общее от уникальности единичного субъективного. В этом отношении показателен пример из истории математики, предлагаемый А.В. Чусовым: «До возникновения чистой теоретической математики еще не было такой сущности, как число, инвариантное по отношению к конкретным задачам. Даже существенно развившаяся греческая математика еще демонстрирует качественные различия между числами в виде чисел «треугольных», «квадратных», и так далее» Чусов А.В. Обоснование математики: логическая норма или предметно-конструктивная реальность // Философия науки: исторические эпохи и теоретические методы. - Воронеж: Издат.-полиграф. центр Воронежского гос. ун-та, 2006, с. 218. Другими словами, до определенного исторического этапа развития своего математического мышления человек оперирует не числом как всеобщим объектом, а некоей интуицией единичного «проточисла», для характеристики которого больше подойдет понятие «величина».

Всякое современное рассуждение о существовании математического объекта непреложно приводит к сведению его к определенному классу объектов, то есть фиксации его «максимально» мыслимой всеобщности как всеобщности в рамках формально-логического понимания универсума. При этом речь идет не о том, как образуется математический объект, а о том, как он возможен (неотменим) в случае положительного ответа на основной вопрос онтологии математики (см. выше). Полагаем, что данный вывод имеет решающее значение в выборе методологии онтолого-математического исследования, поскольку требует изначально зафиксировать «то всеобщее, что будет характерно для исследуемого нами предмета на всех этапах его развития, начиная с момента зарождения и обретения своей самости по отношению к другому» Леонтьева Е.Ю., Виноградова Н.Л. Восхождение от абстрактного к конкретному: обращение к истокам и современный взгляд // Философия и общество, №2, 2008, с. 79. Это означает, что самому бытию должны быть имманентны некие инвариантные структуры или принципы, которые и определяют строение математического объекта, его вид, взаимосвязь с другими объектами и т.п. Так, согласно современной философско-математической концепции праксеологического априоризма, математика «в своих основаниях покоится на абсолютных представлениях, отражающих универсальные требования к объектам реальности с точки зрения человеческой деятельности» Перминов В.Я. Априорность и реальность исходных представлений математики // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 7. Философия, № 4, 2010, с. 44. В.Б. Губин также отмечает: «Принципы деятельности… едины для всего живого, не зависят от конкретного мира, в котором находится субъект. По этой причине и математика - сама по себе - в разных мирах одна и та же…» Губин, В.Б. Математика как формализованная имитация этапа структурирования мира в отражении субъекта // Философские науки, №1, 1996, с. 199-200. При этом реальность математического объекта, то есть то, что с необходимостью существует, становится доступным нашему сознанию посредством всеобщих философских (прежде всего онтологических) категорий бытия, сущего, объекта, количества, меры, отношения и т.п. Указывая на внеисторичность категориальных представлений, обусловленных не содержанием знания, а целевыми установками мышления, В.Я. Перминов пишет: «Система очевидностей, лежащих в основе исходных математических понятий, является частью категориальных и логических очевидностей или в определенном смысле производна от них» Перминов В.Я. Праксеологический априоризм и стратегия обоснования математики // Математика и опыт. - М.: Изд-во МГУ, 2003, с. 66 .

Вместе с тем, нельзя отрицать, что математика, изначально заявившая о своей исключительности и даже божественности (пифагорейцы), к настоящему времени обладает не только собственным языком, методологией и логикой развития, но и, в отличие от многих других наук, многовековой историей. Выявлению закономерностей развития математического знания как составной части предмета онтологии математики посвящено дальнейшее изложение.

3. В настоящем пункте мы попытаемся показать, что с онтологических позиций история развития математического знания есть прежде всего история кризисов оснований математики.

А.С. Нариньяни справедливо заметил: «Если присмотреться к истории математики, то она представляет собой цепь концептуальных потрясений и качественных перемен… без которых в принципе невозможно развитие никакой подлинной науки» Нариньяни А.С. Математика XXI - радикальная смена парадигмы. Модель, а не Алгоритм // Вопросы философии, № 11, 2011, с. 72. На наш взгляд, в то время как философия науки с «внешних» (в терминологии А.Г. Барабашева) позиций исследует процесс преодоления математикой различных трудностей, не вмешиваясь в логику её развития, именно онтология отвечает на любые «вызовы», сопряжённые с невозможностью представить мир во всём его многообразии и изменчивости. Только она способна, продуцируя «метазнание» о фундаментальных основаниях кризиса, определить его границы и критерии разрешения. Принимая данный тезис за основу дальнейших рассуждений, мы получаем возможность проследить историю возникновения кризисов в математике как серию «разрывов», возникающих в онтологической рефлексии над основаниями непрерывно развивающегося математического знания. Ниже мы продемонстрируем это на примере конкретных кризисов, под каждым из которых будем понимать состояние, при котором существующие средства достижения целей математики становятся неадекватными, в результате чего возникают противоречия, требующие разрешения методами философии.

Итак, как известно, первый в истории математики кризис связан с открытием пифагорейским союзом неких «мистических» иррациональностей, которые невозможно было соотнести ни друг с другом, ни с привычными натуральными числами, более не исчерпывающими весь ряд чисел. Это был серьёзный удар по метафизической теории античного финитизма, спровоцировавший появление внутри математики как ряда конфликтов (так, например, геометрия оказалась несводимой к алгебре), так и способов их разрешения. Примечательно, что если математики Евдокс, Евклид, Архимед занялись разработкой конкретных научных методов (в частности, так называемого «метода исчерпания»), то философы Анаксагор, Зенон, Платон и Аристотель сосредоточили своё внимание на категориальной проработке проблемы внезапно образовавшегося «онтологического вакуума», препятствующего дальнейшему построению системы математического знания. Платон, например, проводит важное разделение понятий и логических категорий как универсальных смысловых «матриц», что значительно расширяет методологию рационального, в том силе и математического познания. Однако особо здесь стоит отметить заслуги Аристотеля, не просто осуществившего логико-грамматичес-кую концептуализацию философских категорий, но и впервые в истории науки построившего их целостную систему, в рамках которой стало возможным исследование противоречий в теории и объективной реальности, соотношения умозрительных доводов и частнонаучных положений и т.д. И, несмотря на то, что дальнейший анализ категорий не прекратился и после Стагирита (Плотин, Боэций, средневековые схоласты, Николай Кузанский и т.д.), следующую революционную веху в истории их систематизации откроют только представители немецкой классической философии - Кант и Гегель. На наш взгляд, именно гений Аристотеля существенно отдалил следующее потрясение основ математической науки, постигшее её по прошествии более чем двадцати столетий.

Таким потрясением для всей европейской математики стал второй кризис, связанный с разработкой дифференциального и интегрального исчисления, в котором используются бесконечно малые величины. Введённые в математику для обоснования методов интегрирования и дифференцирования, такие величины не получили сами по себе никакого обоснования. По этой причине они долгое время оставались без чёткого определения, что никак не устраивало математиков, считавших свою науку точной и не допускающей каких бы то ни было неопределённостей. Так, Дж. Джиорелло, отстаивая решающий вклад Ньютона и Лейбница в теоретизацию дифференциального исчисления, всё же признаёт, что язык, на котором они сформулировали его основы, ещё далёк от языка «эпсилон-дельта» Вейерштрасса, а сами эти основы потребуют позже значительного переосмысления (что и будет проделано Коши) Giorello G. The «fine structure» of mathematical revolutions: Metaphysics, legitimacy, and rigour. The case of calculus from Newton to Berkley and Maclaurin // Revolutions in mathematics. Oxford, 1992, p. 135. Но даже появление на математической сцене таких мощных фигур, как Коши, сыгравших, по выражению Дж. Джиорелло роль «охотников за приведениями», не решило сугубо философской проблемы определения статуса новых математических объектов в общей иерархии мирового бытия. Это, в свою очередь, означает, что и сам кризис оснований математики остался далёк от преодоления, несмотря на то, что темпы развития её аппарата значительно возросли (в отличие от первого кризиса, сроки решения ключевых «внутриматематических» проблем измеряются уже не столетиями, а десятилетиями). Таким образом, «онтологический лимит» античной и ренессансной мудрости исчерпал себя, и математики (быть может, сами не отдавая себе в этом отчёта) оказались перед серьёзным выбором той философии, без которой можно смотреть на мир, но нельзя его видеть. Такой философией, на наш взгляд, оказалась диалектика, принципы которой разрабатывались и много раньше, но по-настоящему востребованными стали именно теперь. Значительную роль в разрешении сложившейся ситуации сыграли, таким образом, Кант и Гегель, которые, основываясь на современных им достижениях математики, довели анализ проблемы бесконечно малых до понимания их закономерной диалектической противоречивости. К сожалению, указания на диалектическую природу кризиса, данные представителями немецкой классической философии, не нашли должного отклика в среде математиков XIX столетия (за исключением, быть может, А. де Моргана и Б. Больцано). Пусть значимые, но всё-таки фрагментарные победы, одержанные математическим анализом, не стали гарантами его непогрешимости (так, например, открытым остался вопрос о том, почему бесконечные величины не могут являться корнями алгебраических уравнений). На этом фоне вовсе не удивительно, что через относительно непродолжительное время разразился третий кризис оснований математики, связанный с обнаружением парадоксов в теории множеств Г. Кантора. Философскому анализу данной проблемы посвящено достаточно большое количество зарубежных и отечественных источников, поэтому мы не будем подробно останавливаться на содержании данного кризиса, попытках его преодоления и т.п. Отметим лишь, что он, как и предыдущий, является следствием всё увеличивающегося разрыва между математикой и онтологией, что с учётом увеличения темпов роста достижений первой свидетельствует о значительных проблемах во второй.

Рассуждая подобным образом, мы приходим к выводу о том, что наступление следующего, четвёртого кризиса - не такая уж отдалённая перспектива. Отчасти это подтверждается самыми последними философскими исследованиями отдельных областей математики. Так, А.С. Нариньяни напрямую заявляет о кризисном состоянии современной вычислительной математики: «Вычислительная математика пока решает те задачи, которые может, а отнюдь не те, решение которых от неё требуется… Очевидно, что в данном случае требуется радикальное изменение самой базовой концепции вычислительной математики» Нариньяни А.С. Математика XXI - радикальная смена парадигмы. Модель, а не Алгоритм // Вопросы философии, № 11, 2011, с. 72. При этом автор убедительно показывает, что суть данной проблемы заключается в преобладании в структуре «математики расчетов» алгоритмической концепции, отвечающей на вопрос «как» в ущерб методологии моделирования, отвечающей на вопрос «что». «Разрывы», речь о которых шла выше, могут оказаться ещё более грандиозными, если не принять во внимание тот факт, что онтология XXI века сама переживает кризисное состояние и нуждается в обретении единых концептуальных оснований, методологии, языка и т.д.

Итак, в настоящей работе мы попытались наметить контуры проблемного поля онтологии математики. Подходя с критической точки зрения к метафизической традиции раздвоения действительности на явленный и сверхчувственный миры, мы пришли к выводу о том, что в основании бытия математического объекта лежит изоморфизм категориальных структур мышления и онтологически обусловленной человеческой деятельности. В своем развитии математика переживает кризисные состояния, имеющие выраженную онтологическую природу, поскольку их сутью является прежде всего неспособность описывать объекты, факт бытия или становления которых выходит за рамки привычных на данный момент представлений о мире. Выход из таких состояний необходимо искать не столько в совершенствовании методов самой математики, сколько в обновлении и расширении когнитивных средств онтологии.

Список литературы

1. Багдасарьян, Н.Г. История, философия и методология науки и техники: Учебник и практикум для бакалавриата и магистратуры / Н.Г. Багдасарьян, В.Г. Горохов, А.П. Назаретян. - Люберцы: Юрайт, 2016. - 383 c.

2. Бартенев, С.А. История и философия экономической науки: пособие к кандидатскому экзамену / С.А. Бартенев. - М.: Магистр, 2011. - 271 c.

3. Батурин, В.К. Философия науки: Учебное пособие / В.К. Батурин. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2013. - 303 c.

4. Батурин, В.К. Философия науки: Учебное пособие / В.К. Батурин. - М.: ЮНИТИ, 2013. - 303 c.

5. Батурин, В.К. Философия науки: Учебное пособие. / В.К. Батурин. - М.: ЮНИТИ, 2015. - 303 c.

6. Бельская, Е.Ю. История и философия науки (философия науки): Учебное пособие / Е.Ю. Бельская, Н.П. Волкова. - М.: Изд. МАИ, 2014. - 224 c.

7. Бельская, Е.Ю. История и философия науки (Философия науки): Учебное пособие / Е.Ю. Бельская, Н.П. Волкова, М.А. Иванов; Под ред. Ю.В. Крянева, Л.Е. Моторина. - М.: Альфа-М, ИНФРА-М, 2012. - 416 c.

8. Бессонов, Б.Н. История и философия науки: Учебное пособие для магистров / Б.Н. Бессонов. - М.: Юрайт, ИД Юрайт, 2012. - 394 c.

9. Бессонов, Б.Н. История и философия науки: Учебное пособие для магистров / Б.Н. Бессонов. - Люберцы: Юрайт, 2016. - 394 c.

10. Борзенков, В.Г. История и философия науки. В 4 кн. Кн. 1: Общие вопросы / В.Г. Борзенков. - М.: Изд. Моск.университета, 2009. - 264 c.

11. Борзенков, В.Г. История и философия науки. В 4-х т.Т. 1. История и философия науки. В 4-х книгах. Книга I: Общие вопросы: Учебное пособие / В.Г. Борзенков. - М.: МГУ, 2012. - 264 c.

12. Борзенков, В.Г. История и философия науки. В 4 кн. Кн. 1: Общие вопросы / В.Г. Борзенков. - М.: Изд. Моск.университета, 2012. - 264 c.

13. Борзенков, В.Г. Философия науки. На пути к единству науки / В.Г. Борзенков. - М.: КДУ, 2008. - 320 c.

14. Борзенков, В.Г. Философия науки. На пути к единству науки: Учебное пособие / В.Г. Борзенков. - М.: КДУ , 2008. - 320 c.

15. Булдаков, С.К. История и философия науки: Учебное пособие для аспирантов и соискателей ученой степени кандидата наук / С.К. Булдаков. - М.: ИЦ РИОР, 2013. - 141 c.

Размещено на Allbest.ru