Силлогизмы для нечеткой пропозициональной Аристотелевой логики с непрерывной и строго монотонной нормой

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Российский государственный социальный университет

Силлогизмы для нечеткой пропозициональной Аристотелевой логики с непрерывной и строго монотонной нормой

В.К. Ионин



В работе рассматривается нечеткая пропозициональная Аристотелева логика.Описан общий метод построения нечетких силлогизмов для этой логики с произвольной непрерывной и строго монотонной треугольной нормой. Даны примеры применения этого метода.



Введение

Под нечеткой пропозициональной Аристотелевой логикой (НПАЛ) мы понимаем логику, предложения которой имеют вид p б q, где p, q - пропозициональные переменные со значениями в числовом интервале [0,1], а б - Аристотелева связка a, i, e или o, [Ионин и др., 2009], [Плесневич, 2010].

Интерпретация НПАЛ зависит от выбора треугольной нормы Т(х,у) [Новак и др., 2006]. Если I - назначение пропозициональным переменным чисел из интервала [0,1], в частности, чисел pI,qI[0,1], то по определению:

(p aq)I = 1- T(pI,1 - qI), (p iq)I = T(pI,qI),

(p еq)I = 1- T(pI, qI), (p оq)I = T(pI,1- qI).

Конечное множество Kbпредложений НПАЛ называется базой знаний. Выражение sp б qt, гдеs, t[0,1] называется фактом, отвечающим предложению p б q Kb. Множество Fbфактов, отвечающих предложениям из базы знаний Kb, называется базой фактов для базы знаний Kb.

В произвольной интерпретации I каждый факт истинен (имеет значение 1) или ложен (имеет значение 0). По определению

(spб qt)I = 1 s(pб q)It.

Рассмотрим правило вывода следующего вида, действующее на базах фактов:

ap бqc, bq в rd |- g(a,b,c,d)p г rh(a,b,c,d), (1)

где a, b, c, d - параметры со значениями в [0,1], а gи h - некоторые функции от этих параметров, принимающие значения в [0,1]. Правило (1) действует следующим образом:

* в базе фактов Fbнаходим два факта s1pб qs2 и s3qб rs4

(если таких фактов нет, то правило не применимо к Fb);

* вычисляемзначенияg(s1,s2,s3,s4) = t1 и h(s1,s2,s3,s4) = t1;

* к базе фактов Fbдобавляем факт t1pгrt1.

Правило (1) состоятельно, если для любых значений параметров a, b, c, dи любой интерпретации I выполняется двойное неравенство g(a,b,c,d)(pгr)Ih(a,b,c,d) всякий раз, когда выполняются двойные неравенства a(pб q)Icиb(qвr)Id.

Положим

gбвг(a,b,c.d) = sup{g(a,b,c,d) | правило (1) состоятельно},

hбвг(a,b,c.d) = sup{h(a,b,c,d) | правило (1) состоятельно}.

Тогда правило вывода вида

apбqc, bqвrd|- gбвг(a,b,c,d)pгrhбвг(a,b,c,d) (2)

называется нечетким (пропозициональным) силлогизмом с паттерном бвг.

Кроме правила (1) можно также ввести правило, получаемое заменой во второй посылке предложения qвr на предложение rвq. Однако, если рассматривать также отношение в*, обратное к отношению в, то новое правило сводится к виду (1) с новым паттерном бв*г. Предложение qв*rэквивалентно предложению rвq: (qв*r)I= (rвq)I. Ясно, что i* = iи о* = о; новыми являются только отношения а* ио*. Мы можем, поэтому, считать, что все нечеткие силлогизмы имеют вид (2) с паттернами бвг, где б, в, г {a, i, e, o, a*, o*}.

Построить нечеткий силлогизм с паттерном бвг - значит найти выражения для функцийgбвг(a,b,c,d) иhбвг(a,b,c,d).

Замечание. Для некоторых паттернов бвг и некоторых значений параметров a, b, c, dможет оказаться, что неравенства a(pб q)Ic, b(qвr)Idпротиворечат друг другу. В этом случае, имеется условие непротиворечивости, представленное неравенствами, связывающие параметры силлогизма.

Мы изложим общий метод построения нечетких силлогизмов для случая, когда норма Т(х,у) непрерывна и строго монотонна. (Под строгой монотонностью нормы мы понимаем следующее ее свойство: для всякого 0 <y1, если x1<x2, то Т(x1,у) < T(x2,y)). С помощью этого метода мы построим нечеткие силлогизмы для НПАЛ с мультипликативной нормой и с семейством норм Франка.

В п.1 задача построения нечетких силлогизмов сведена к некоторой оптимизационной задаче. В п.2. изложен метод решения этой оптимизационной задачи для произвольной непрерывной и строго монотонной нормы. В п.3 показано конкретные применения этого метода для случая мультипликативной нормы и для случая семейства норм Франка [Klement, 2000].



1. Задача построения нечетких силлогизмов как задача оптимизации

Введем следующие условия на пары чисел (x,y)[0,1]2:

t[aT(x,t)cbT(1-t,y)d]} и t [aT(x,t)cbT(t,y)d]}, которые для краткости обозначим Д1(a,b,c,d) и Д2(a,b,c,d). Положим

I1 = I1(a,b,c,d) = inf{T(x,y) | Д1(a,b,c,d)},

I2 = I2(a,b,c,d) = inf{T(x,1-y) | Д1(a,b,c,d)},

I3 = I4(a,b,c,d) = inf{T(x,y) | Д2(a,b,c,d)},

I4 = I4(a,b,c,d) = inf{T(x,1-y) | Д2(a,b,c,d)},

S1 = S1(a,b,c,d) = sup{T(x,y) | Д1(a,b,c,d)},

S2 = S2(a,b,c,d) = sup{T(x,1-y) | Д1(a,b,c,d)},

S3 = S3(a,b,c,d) = sup{T(x,y) | Д2(a,b,c,d)},

S4 = S4(a,b,c,d) = sup{T(x,1-y) | Д2(a,b,c,d)},

I5 = I5(a,b,c,d) = inf{T(1-x,1-y) | Д1(a,b,c,d)},

I6 = I6(a,b,c,d) = inf{T(1- x,1-y) | Д2(a,b,c,d)},

S5 = S5(a,b,c,d) = sup{T(1-x,1-y) | Д1(a,b,c,d)},

S6 = S6(a,b,c,d) = sup{T(1-x,1-y) | Д2(a,b,c,d)}.

Возьмем для примера следующее правило вывода с паттерном iii:

ap iqc, bq ird |- g(a,b,c,d)p irh(a,b,c,d). (1.1)

Ему отвечает нечеткий силлогизм с паттерном iii, который имеет следующие границы:

giii(a,b,c.d) = sup{g(a,b,c,d) | правило (1.1) состоятельно},

hiii(a,b,c.d) = sup{h(a,b,c,d) | правило (1.1) состоятельно}.

Но состоятельность правила (1.1) означает, что при любой интерпретации I имеем импликацию



a(p iq)Ic, b(q ir)Id =>g(a,b,c,d)(p ir)Ih(a,b,c,d).

Обозначим pI= x, qI = t, rI = y. Тогда, поскольку I - произвольная интерпретации, имеем для любых x, y, t[0,1]

aT(x,t)c bT(t,1-y)d =>g(a,b,c,d)T(х,y)h(a,b,c,d).

Следовательно, для всех x, yt[0,1]

t [aT(x,t)c bT(t,1-y)d] =>g(a,b,c,d)T(x,y)h(a,b,c,d).

Отсюда получаем:

giii(a,b,c,d) = sup{g(a,b,c,d) | Д1(a,b,c,d)}

= inf{T(x,y) | Д1(a,b,c,d)} = I1(a,b,c,d),

hiii(a,b,c,d) = inf{ h(a,b,c,d) | Д1(a,b,c,d)}

= sup{Т(х,у) | Д1(a,b,c,d)} = S1(a,b,c,d).

Можно проверить, что для любого нечеткого силлогизма с паттерном бвг его границыgio*o(a,b,c,d) и hio*o(a,b,c,d) выражаются через некоторые из величин Ij и Sk (вообще говоря, с новыми параметрами). Возьмем, например, нечеткий силлогизм с паттерном aaa, т.е.

apаqc, bqаrd|- gааа(a,b,c,d)pаrhааа(a,b,c,d).

Ему соответствует следующая импликация, верная для любых x, y[0,1]:

t [a1-T(x,1-t)c b1-T(t,1-y)d]

=>g(a,b,c,d)1-T(x,1- y)h(a,b,c,d).

Следовательно,

gааа(a,b,c,d) = inf{1-T(x,y) |t [a1-T(x,1-t)c b1-T(t,1-y)d]},

hааа(a,b,c,d) = sup{1-T(x,y) |t [a1-T(x,1-t)c b1-T(t,1-y)d]}.

Имеем

gааа(a,b,c,d) = inf{1-T(x,y) |t [a1-T(x,1-t)c b1-T(t,1-y)d]}

= inf{1-T(x,y) |t [1-cT(x,1-t)1-a 1-d T(t,1-y)1-b]}

= inf{1-T(x,y) |t [1-cT(x,t)1-a 1-d T(1-t,1-y)1-b]}

= inf{1-T(x,1-y) |t [1-cT(x,t)1-a 1-d T(1-t,y)1-b]}

= 1-sup{T(x,1-y) |t [1-cT(x,t)1-a 1-d T(1-t,y)1-b]}

= 1-sup{T(x,1-y) | Д1(1-c,1-d,1-a,1-b)}

= 1- S2(1-c,1-d,1-a,1-b).

Таким образом,

gааа(a,b,c,d) =1- S2(1-c,1-d,1-a,1-b),

hааа(a,b,c,d) =1- I2(1-c,1-d,1-a,1-b).

Теорема 1. Границыgбвг(a,b,c,d) и hбвг(a,b,c,d) для нечеткого силлогизма с паттерном бвг являются числами - элементами множества

{I1(a',b',c',d'), 1- Ij(a',b',c',d'), Sj(a',b',c,d), 1- Sj(a',b',c',d') |

j{1,2,3,4,5,6}, a',b',c',d'{a, 1-a, b, 1-b, c, 1-c, d, 1-d}}.



2. Общий метод нахождения границ для нечетких силлогизмов с непрерывной и строго монотонной нормой

Введем следующие множества пар чисел, зависящие от параметров uи v:

Е1(u,v) = {(x,y) | t [ut1-vT(x,t) = uT(1-t,y) = v]},

Е2(u,v) = {(x,y) | t [utvtT(x,t) = uT(t,y) = v]}.

Теорема 2. Пусть T(x,y) - непрерывная и строго монотонная норма. Тогда

* I1 = 1, если a+b1, a > 0, b > 0;

I1 = 0, еслиa = 0, b = 0;

I1 = min{T(x,y) | (x,y)Е1(a,b)}, если a+b <1, a> 0, b >0; (2.1)

* I2= 1, еслиa+b >1;

I2 = 0, если a+b 1;

* I3 = T(a,b); (2.2)

* I4 = 0, еслиa = 0 илиd = 1;

I4 = а, если d = 0;

I4 = 1-d, если а = 1;

I4 = min{T(x,1-y | (x,y)Е1(a,d)}, если 0 <a, d < 1; (2.3)

* S1 = 0, еслиa+b >1;

S1 = 1, еслиa+b 1 иc+d1;

S1 = d, еслиc = 0;

S1 = c, еслиd = 0;

S1 = max{T(x,y) | (x,y)Е2(a,d)}, если 0 <a, d < 1; (2.4)

* S2 = 0, если a+b >1;

S2 = 1- b , еслиa = 0;

S2 = 1, если b = 0;

S2 = 1- b0, если a+b<1, a> 0, b< 0, а b0 удовлетворяет условию

T(1- a,b0) = b; (2.5)

* S3 = 1, еслиbc;

S3 = c0, если c<b, а c0 удовлетворяет условию T(c0, b) = c; (2.6)

S3 = d0, если d<a, а c0 удовлетворяет условию T(a,d0) = c;

* S4 = 0, еслиc = 0 илиb = 1;

S4 = 1- b , еслиc = 1;

S4 = max{T(x,1- y | (x,y)Е2(c,b)}, если 0 <b, d < 1. (2.7)

Благодаря теореме 1 задача нахождения величин Ii, Sj (i, j = 1, 2, 3, 4) сводится к вычислению (2.1) - (2.7)

Замечание. НахождениеIi, Sj(i, j = 5, 6) можно свести к нахождению I1, S1.

Из теоремы 2 видно, что определения величин Ii, Sj (i, j = 1, 2, 3, 4) содержат инвариантную часть, не зависимую от нормы Т

3. Нечеткие силлогизмы с мультипликативной нормой и семейством норм Франка

Из теоремы 2 видно, что определения величин Ii, Sj (i, j = 1, 2, 3, 4) содержат часть, не зависимую от нормы Т. Поэтому для заданной конкретной нормы Т достаточно указать только значения этих величин, которые получаются вычислением (2.1) - (2.7).

Теорема 3. Пусть Т(х,у) = ху - мультипликативная норма. Тогда

* I1 = a/1-b, если Ѕ a иa+b <1;

* I3 = ab;

* I4 = a-d/a, если 0 <a, d < 1 иd < a;

* S1 = d/1-c, если cd и c+d<1;

S1 = c/1-d, если dc и c+d<1;

* S2 = 1-a-b/1-a , еслиa+b <1, a > 0, b < 0;

* S3 = c/b , еслиc <b;

S3 = d/a , еслиd <a;

* S4 = c(1- b), если Ѕ b <1;

S4 = c-b/c , если 2bc, c >0.

Теорема 3. Пусть Т(х,у) = logл[1+(лx-1)(лy-1)(л-1)-1] - семейство норм Франка с параметром л > 1. Тогда

логика нечеткий силлогизм норма

* I1 = logл[1+(л-1)(лb-1) (л1-a-1)-1], если aЅ ;

I1 = logл[1+(л-1)(лa-1) (л1-b-1)-1] , если bЅ ;

I1 = logл[1+(лa-1)(лb-1)(лЅ-1)-1] , если a Ѕ и b Ѕ;

* I3 = logл[1+(лa-1)(лb-1)(л-1)-1];

* I4 = logл[1+(л-1)(лa-лd)( лa+л1+d-лd-л)-1], если0 < dЅ,

лa1+(л-1)(лd-1)(л1-a-1)-1

или Ѕ da <1;

I4 = logл[1+(лa-1)(л1-d -1)(л-1)-1], если 0 < dЅ , bc и

лс1+(л-1)(лd-1)(л1-a-1)-1;

* S1 = logл[1+(л-1)(лd-1)(л1-c-1)-1], если 0 <c d < 1;

S1 = logл[1+(л-1)(лc-1)(л1-d-1)-1], если 0 <d c <1;

* S2 = 1- logл[1+(л-1)(лa-1) (л1-b-1)-1] , если 0 <a+b <1;

* S3 = logл[1+(л-1)(лc-1) (лb-1)-1] , если 0 <c b < 1;

S3 = logл[1+(л-1)(лd-1) (лa-1)-1] , если 0 <d a < 1;

* S4 = logл[1+(лc-1)(лb-1)(л-1)-1], если Ѕ b <1;

S4 = logл[1+(л1/2-1)(лc-1) (л1/2-1)-1(лb-1)-1], если 0 <bЅ и

лc лb+ Ѕ + лb-лd-лЅ ;

S4 = logл[1+(л-1)(лc-лb)( лa+ л1+d-лd-л)-1], если0 < bЅ и

лcлb+ Ѕ +лb-лd-лЅ.

Благодарности. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 09-01-00587).



Список литературы

Ионин В.К., Плесневич Г.С. Нечеткая пропозициональная силлогистика // V-ая Международная научно-практическая конференция «Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте» (Коломна 2009). Сб. научных трудов. - М.: Физматлит, 2009.

Новак В., Перфильева И., Мачкорж И. Математические принципы нечеткой логики. - М.: Физматлит, 2006.

Размещено на Allbest.ru