Отличия человеческой логики от математической логики

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Институт Психологии РА

Отличия человеческой логики от математической логики

Крылов А.К., к. психол. н., научный сотрудник

1. ЛОГИЧНО ЛИ МЫШЛЕНИЕ? ИСТОРИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ

Вопрос о соотношении человеческого мышления и законов логики решался поначалу философами. Аристотель утверждал, что человек является существом рациональным. В конце 19-го века британские эмпирицисты и немецкие логицисты утверждали, что законы логики являются приемлемым обобщением человеческого мышления. В частности, Кант считал логику врожденным свойством человеческого мышления. На рубеже 19-го и 20-го веков Гуссерль и Фреге выступили против такого «психологизма» в защиту объективности логики.

В середине 20-го века Пиаже, рассматривая этапы развития мышления ребенка, утверждал, что при взрослении у человека развивается (сама собой) способность к контекстно-свободным дедуктивным рассуждениям на уровне элементарной логики 1-го порядка [9].

Далее последовал этап экспериментальных исследований логики человеческих рассуждений, которые осуществляются и в настоящее время. В таких психологических экспериментах с использованием различных логических задач были найдены многие отличия человеческой логики «здравого смысла» от математической.

Было обнаружено, что человек в своих рассуждениях использует «эвристики» для совершения логического вывода в ситуациях с неопределенностью, при неполной информации, и в сложных ситуациях [20, 21].Также было обнаружено наличие трендов (bias), предпочтений при принятии решений,обнаруживающих себя при повторении опыта.

С учетом обнаруженных отклонений человеческого мышления от рационального (математической логики), в 1957г. Г.Саймонввел для описания человеческой логики понятие «ограниченная рациональность» (BoundedRationality) [20].

В 1970-х годах Канеман и Тверски (Kahneman и Tversky) начали разрабатывать программу исследования «эвристик и предпочтений»(HeuristicsandBiases). Они сделали выводо том, что человек плохо владеет основами статистики и не следует считать его «рациональным» в строгом смысле слова [11, 12, 22].

В 1981г. Коэн (Cohen), задавшись вопросом что считать иррациональным, пришел к выводу, что люди все же рациональны, и даже интуиция рациональна [4]. Однако продолжали накапливаться экспериментальные данные, свидетельствующие об особенностях человеческой логики. Так в 1989г. Эванс (Evans)показал, что люди плохо владеют правилом вывода ModusTollens [5]. Далее, было продемонстрировано, что человек использует индуктивный и дедуктивный вывод, по крайней мере, в некотором первоначальном виде [15].

Также, было замечено, что даже небольшое обучение человека основам математической статистики способствует принципиально лучшему выполнению логических задач [16].Брингсьорд (Bringsjord) считает[3], что тезис Пиаже о том, что человек овладевает уровнем формально-логических операций, подтверждается, если людей учить логике так же как учат чтению и арифметике.

В 1990-х годах была сформирована программа исследований «адаптивный набор инструментов» (AdaptiveToolbox) как развитие программы «эвристик и предпочтений» [8].От предшественницы она отличается следующим: систематические ошибки и тренды в человеческой логике рассматриваются теперь не как недостатки, а как особенности; за основу теперь взята концепция «ограниченной рациональности» Г.Саймона. Теперь эти ограничения понимаются не как следствие ограничений человеческого мозга, а как следствие большей практической успешности быстрых и экономных эвристик по сравнению с полностью рациональными и прочими стилями мышления.

Таким образом, в настоящее время психологами активно исследуются преимущества «нелогичности» человеческого мышления над строго логичным стилем рассуждений.

2. КАКАЯ ФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИКА АДЕКВАТНА ЧЕЛОВЕЧЕСКОЙ?

Уонг (Wang), критикуя как строго аксиоматические системы, так и полуаксиоматические системы, предлагает для моделирования человеческой логики использовать неаксиоматическую систему рассуждений [23].

В жестких аксиоматических системах рассуждений предполагается, что знаний и ресурсов - достаточно; все необходимое встроено в готовую систему аксиом; запросы не имеют временных границ. Если же запрос требует информации, выходящей за пределы системы аксиом, то это рассматривается не как ошибка системы, а как ошибка запросившего, т.е. ничего не предпринимается чтобы расширить возможности системы и адаптировать ее к среде.

В системах с немонотонной логикой, относящихся к полуаксиоматическим системам, строится гипотетический вывод («Твити может летать») из базовых положений («Птицы умеют летать») и фактов («Твити - птица»), и этот вывод пересматривается когда появляются новые факты («Твити - пингвин»). Однако, в таких системах базовые положения и факты обычно неизменны, и не учитываются временные ограничения на принятие решений [19].

Нечеткая логика (полуаксиоматическая) рассматривает принадлежность объекта к категории с некоторой величиной принадлежности, однако не объясняет, откуда берется эта величина [23].

Многие обучающиеся системы способны к улучшению своего поведения, однако работают лишь в бинарной логике, в которой все делится на черное и белое, и настойчиво ищут оптимальное решение задач [14]. Хотя некоторые системы с эвристическим поиском способны искать субоптимальные решения при наличии ограничений по времени, они обычно не способны обучаться и учитывать вариации в ограничениях по времени [21].

Замечено, что «анализ изменения оценок вероятности утверждений в процессе логического вывода показывает, что они всегда уменьшаются, причем, как правило, существенно (за исключением случая, когда условная вероятность или вероятность равны 1),поэтому аксиоматический подход адекватен оперированию лишь с достоверным знанием» [1]. Вместо аксиоматического метода и правил вывода, предлагается семантический вероятностный вывод, оценки предсказания в котором, напротив, строго возрастают [1].

3. ОБНАРУЖЕННЫЕ «НЕЛОГИЧНОСТИ» В ЧЕЛОВЕЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ

1) Задача Уотсона (Wason)

Один из самых известных эффектов, обнаруженный П.Уосоном (PeterWatson) в 1966 г., рассматривается некоторыми исследователями как опровержение представлений Ж.Пиаже, т.е. доказательством того, что среднестатистический человек не владеет элементарной логикой и заключается в следующем. Испытуемому предъявляются четыре карты и сообщается логическое правило, определенное для этих карт, истинность которого он должен проверить, переворачивая минимально необходимые карты. Например, предъявляются карты «А», «К», «4», «7» и сообщается правило «если на одной стороне карты изображена гласная буква, то на другой стороне нечетное число». С точки зрения математической логики, для проверки этого правила необходимо перевернуть карты «А» и «7». Здесь речь идет о проверке истинности правила «p->q», где p-предикат гласной буквы, q-предикат четной цифры, поэтому математически правильным ответом будет выбор карт p и не-q.Однако, эксперименты показали, что выборы делаемые испытуемыми распределяются следующим образом: 46% людей выбирают pи q(проверяют карты «А» и «4»), 33% выбирают p, и только 4% выбирают математически верный выбор: pи не-q[24].

Однако обнаружено, что если логически аналогичная задача дается испытуемым в более привычных к жизни терминах (карты:«Манчестер», «Шеффилд», «машина», «поезд»; правило: «в Манчестер я езжу на поезде»), то 80% испытуемых дают логически верный ответ [25].

2) Проблема «THOG»

Предположим существуют четыре типа объектов: счастливый додекаэдр, несчастливый додекаэдр, счастливый куб и несчастливый куб. Экспериментатор загадал один из атрибутов (счастливый либо несчастливый) и одну из форм.(додекаэдр либо куб). Испытуемому сообщают правило: объект является GOKEесли и только если, он имеет ту же форму что я загадал или тот же атрибут, но не оба сразу. Далее сообщают, что несчастливый додекаэдр является GOKEи просят назвать другой GOKEесли такой существует. Только 10% образованных испытуемых смогли дать правильный ответ: счастливый куб [26].

3) исключающее или

Предлагается следующее правило: «если на руках есть король, то есть и туз, или иначе, если на руках нет короля, то есть туз», и спрашивается «Какой можно сделать вывод?». Большинство испытуемых делают вывод, что «на руках есть туз», что неверно [10].

4) неверный силлогизм

Испытуемому предъявляются утверждения: «Все французы в этой комнате предпочитают пить вино», «Некоторые из пьющих вино в этой комнате являются гурманами», и спрашивается «Что следует из этих двух утверждений?». Многие делают вывод, что «некоторые французы в комнате являются гурманами», что неверно [17].

5) задача про «родильное отделение»

Задача предлагается следующая: «В городе есть 2 госпиталя. В большем ежедневно рождается 60 детей, в меньшем - 15», и вопрос: «в каком из госпиталей в течение года будет больше дней, в которые 60% и более процентов рождающихся будут мальчиками?». Треть испытуемых назвала меньший, треть - больший, и треть - оба. Хотя по закону больших чисел правильный ответ - больший [11].

6) неверное представление о понятии «случай»

Испытуемых спрашивали, какое распределение выпадений монет более вероятно: «О-Р-О-Р-Р-О» или «О-О-О-Р-Р-Р» (О- орел, Р - решка). Хотя обе цепочки событий статистически эквивалентны, испытуемые ошибочно полагают что первая, выглядящая более случайной по структуре, будет выпадать чаще [11]. Аналогично, известна «ошибка игрока в рулетку»: после того, как несколько раз подряд выпало «красное», игрок полагает, что вероятность выпадения «черного» повышается.

7) игнорирование априорной вероятности (PriorProbability)

Задача: «в городе 85% машин - синие, 15% - зеленые; свидетель аварии заявил на суде, что видел зеленую машину, но известно, что в темноте этот свидетель мог отличить синюю от зеленой лишь в 80% случаев. Какова вероятность того, что в аварию попала зеленая машина?». Оказалось, что эту задачу испытуемые решают, не учитывая априорные вероятности (15% / 85%) [4, 11, 12].

8) тенденция, обусловленная поиском

Испытуемых спрашивали - «что более вероятно (в английском языке), что слово начинается с буквы R или что Rявляется третьей буквой в слове?» Поскольку испытуемым было легче умозрительно обнаружить слова начинающиеся с буквы Rчем обнаружить слова с буквой Rна третьем месте, они посчитали, что количество слов с буквой R на первом месте выше, хотя на самом деле в словаре намного больше слов с буквой Rв третьей позиции [12].

9) оценка вероятности конъюнкции

Вероятность конъюнкции двух событий m(A&B) не может превышать вероятности каждого из событий: m(A)m(B). Человек может нарушать это правило. Например, оценивая некоего персонажа Билла по тексту о нем, испытуемые дают большую оценку вероятности утверждению «Билл - бухгалтер и любит джаз» (A&B), чем вероятности утверждения «Билл любит джаз» (B) [22].

10) сверхуверенность в выбранном

Показано, что после того, как испытуемые совершают выбор, они оценивают вероятность правильности своего выбора слишком высоко [7].

11) парадокс сорита

Если одна песчинка не создает различия между «кучей» и «не кучей», значит и две песчинки, и три, и т.д., не способны создать «кучу» [23].

12) парадокс импликации

Импликация P=>Qверна, если Pложно, или если Qистинно. Импликация обычно читается как «Если P, то Q». Однако, импликации «Если 2 равно 3, то луна сделана из сыра» (P ложно) и «Если на Марсе есть жизнь, то у дроздов есть перья» (Qистинно), хотя и верны с т. зр. математической логики, но не выглядят логичными для человека [23].

13) парадокс подтверждения

Черные вороны обычно рассматриваются как положительное подтверждение утверждению «вороны - черны». Аналогично, не-черные не-вороны (например «белые пакеты») должны бы рассматриваться как положительное подтверждение утверждению «Не черные объекты не являются воронами». Хотя оба утверждения эквивалентны с т.зр. математической логики, существование «белых пакетов» не кажется человеку фактическим подтверждением того, что «вороны - черны» [23].

14) недедуктивный вывод

В традиционной логике все правила вывода являются дедуктивными, при этом истинность посылок гарантирует истинность следствия. Однако, человек также использует недедуктивный вывод, в котором истинность посылок не гарантирует истинность следствий: индукцию, порождающую обобщения частным случаям (если «дрозды - птицы» и «у дроздов есть перья», то «у птиц есть перья»); абдукцию, порождающую объяснения частным случаям (если «у птиц есть перья» и «у дроздов есть перья», то «дрозды - птицы»); аналогию (если «ласточки походи на дроздов» и «у дроздов есть перья», то «у ласточек есть перья») [23].

15) особенности транзитивного вывода

Испытуемым было предъявлено, что A>B, B>C, C>D, D>E, E>F, и эти правила они освоили верно. После чего, испытуемые уверенно определили, что B>E, но не смогли обнаружить, что B>D, C>E[6].

16) неопределенность

В отличие от классической математической логики, для человека известны следующие феномены в рассуждениях: значение термина меняется в зависимости от контекста и опыта (что означает слово «язык»?); значение составного термина несводимо к значениям компонентов; при оценке истинности утверждений используются значения промежуточные между истиной и ложью (т.е. нечеткие); оценка истинности утверждения может меняться со временем, по мере поступления уточняющей информации; противоречие не считается доказательством чего-либо; сам процесс рассуждений движется непредсказуемо; логика законченных рассуждений не всегда может быть потом сознательно восстановлена; процесс рассуждений целенаправлен, но не всегда ведется до достижения конечной цели [23].

4. ЗАПАДНАЯ И ВОСТОЧНАЯ ЛОГИКИ

Существует ряд свидетельств в пользу существенных различий между западноевропейской и восточноазиатской логиками мышления [18]. Мышление представителей западноевропейской культуры в большей степени считается сходным с формальной математической логикой, нежели способ мышления представителей Восточной Азии.

В китайской диалектической эпистемологии трудно выделить базовые принципы, что очень хотелось бы сделать западноевропейскому исследователю, потому что даже сами правила оказываются изменчивыми, а понятия имеют множество значений. Тем не менее, с этой оговоркой, некоторые аспекты удается выделить:

«Закон изменения». Реальность - это процесс, она не стоит на месте, она постоянно изменяется. Поэтому понятия описывающие реальность не могут быть постоянны. (Это «противоречит» закону тождества А=А в западноевропейской логике).

«Принцип противоречия». Реальность нечетка, она полна противоречий. Хорошее и плохое, старое и новое, сильное и слабое - сосуществуют во всем и находятся в гармонии. Изменения постоянны, поэтому постоянны и противоречия. (Допустимо А&~А).

«Принцип холизма». Нет ничего отдельного, все соединено. И противоположности составляют единое целое как Инь и Ян.

Таким образом, в восточном стиле мышления нарушаются основные законы Аристотелевой логики: закон тождества, закон непротиворечия, закон исключенного третьего. Эти выводы были сделаны в [18], в частности, на основе исследований предпочтений поговорок людьми разных культур. Обнаружилось, что представители Восточной Азии более предпочитают диалектические поговорки, содержащие противоречия (например «опасайся своих друзей, а не своих врагов», что противоречит самому понятию «друг»), нежели представители Западной Европы.

В другой работе [13] подчеркивается, что нельзя сказать, что одна логика лучше другой, потому что каждая из них адекватна соответствующей культуре и является эффективной в рамках реальной жизни людей принадлежащих соответствующей культуре.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Из приведенного обзора видно, что человеческая логика отличается от математической логики. Более того, существуют индивидуальные различия во владении навыками математической логики даже у образованных людей. Также обнаруживаются различия в человеческой логике в различных культурах. Это означает, что логика человеческого мышления является индивидуально-специфичным и культуро-зависимым явлением, является навыком, который может быть освоен в учебном процессе.

Поставленный в работе [2] вопрос «почему логика человеческого мышления применима к познанию природы?» приводит авторов к постановке проблемы «анализа эволюционного происхождения логических правил математических доказательств». Однако, из сказанного нами выше об индивидуальных различиях человеческой логики и ее отличиях от математической, следует, что происхождение правил логического вывода может иметь большее отношение к истории развития математики, нежели к эволюции человека. В то же время, наличие культурной-специфичности в логическом мышлении, может означать, что математическая логика, не будучи сильно связанной с эволюцией мышления человека, может быть связана с эволюцией западно-европейской культуры.

ЛИТЕРАТУРА

логика мышление математический эпистемология

1. Витяев Е.Е. Формальная модель работы мозга, вытекающая из принципа предсказания. // Модели когнитивных процессов. Вычислительные системы. - Вып. 164. Новосибирск, 1998. - С.3-62.

2. Редько В.Г. Перспективы исследований на стыке информатики и биологии// Электронный журнал «Нейроинформатика». -2007. - Т.2, № 1. - С. 60-76.

3. BringsjordS. etal. InDefenseofLogicalMinds//Proceedingsofthe 20thAnnualConferenceoftheCognitiveScienceSociety. - HillsdaleNJ: Lawrence Erlbaum Associates, 1998. - P.173-178.

4. Cohen L.J., Can Human Irrationality Be Experimentally Demonstrated?// Behavioral and Brain Sciences. - 1981.- Vol.4.- P.317-370.

5. Evans, J.St.B.T. Bias in Human Reasoning.- Hillsdale, NJ: Erlbaum, 1989.

6. Frank M.J. et al. When Logic Fails: Implicit Transitive Inference in Humans//Memory and Cognition. - 2005. - Vol.33, №4.-P. 742-750.

7. Fischhoff B. et al. Knowing with Certainty: The Appropriateness of Extreme Confidence// Journal of Experimental Psychology: Human Perception and Performance. - 1977.- Vol.3. - P.552-564.

8. Bounded Rationality: The Adaptive Toolbox/ Ed. By G.Gigerenzer and R.Selten, R. - Cambridge Ma: MIT Press, 2001.

9. Inhelder B., Piaget J. The Growth of Logical Thinking from Childhood to Adolescence. - New York: Basic Books, 1958.

10. Johnson-Laird, P. and Savary, F. How to Make the Impossible Seem Probable // Proceedings of the 17th Annual Conference of the Cognitive Science Society, - Hillsdale, NJ: Erlbaum, 1995. - P.381-384.

11. Kahneman D., Tversky A. A Subjective Probability: A Judgement of Representativeness// Cognitive Psychology. - 1972. - Vol.3. -P.430-454.

12. Kahneman D., Tversky A. On the Psychology of Prediction// Psychological Review. -1973.-Vol.80.-P.237-251.

13. Kim K., Markman A. B. Differences in Fear of Isolation as an Explanation of Cultural Differences: Evidence from Memory and Reasoning// Journal of Experimental Social Psychology. -2006. - Vol 42. - 350-364.

14. Michalski R. Inference Theory of Learning as a Conceptual Basis for Multistrategy Learning//Machine Learning. - 1993. -Vol.11.-P.111-151.

15. Rules for Reasoning / Ed. By R.E. Nisbett. -Hillsdale NJ: Erlbaum, 1993.

16. Nisbett R.E. Reasoning, Abstraction and the Prejudices of 20th Century Psychology//Rules for Reasoning/ Ed. by R.E.Nisbett.- Hillsdale NJ: Erlbaum, 1993.

17. Oakhill J. et al. Believability and Syllogistic Reasoning//Cognition. 1989. - Vol. 31. - P.117-140.

18. Peng K., Nisbett R.E. (1999). Culture, Dialectics and Reasoning about Contradiction// American Psychologist. - 1999. - Vol.54. - P.741-754.

19. Reiter R. Nonmonotonic Reasoning// Annual Review of Computer Science. - 1987. - Vol.2. - P.147-186.

20. Simon H.A. A Behavioral Model of Rational Choice//Models of Man, 1957.

21. Simon H.A., Newell A. Heuristic Problem Solving: the Next Advance in Operations Research// Operations Research. - 1958. - Vol.6.-P.1-10.

22. Tversky A., Kahneman D. Judgements of and by Representativeness//Judgment Under Uncertainty: Heuristics and Biases/ Ed. by D. Kahneman, P. Slovic and A. Tversky. - Cambridge MA: Cambridge University Press, 1982.

23. Wang P. Cognitive Logic versus Mathematical Logic// Working Notes of the Third International Seminar on Logic and Cognition, Guangzhou, May 2004.

24. Wason P. Reasoning// New Horizons in Psychology. - Hammondsworth UK, Penguin Books, 1966.

25. Wason P.C., Shapiro, D. Natural and Contrived Experience//Reasoning Task.Quarterly Journal of Experimental Psychology. -1971. - Vol. 23.- P.63-71.

26. Wason P. C. Self-Contradictions//Thinking: Readings in Cognitive Science. -Cambridge UK: Cambridge University Press, 1977.Размещено на Allbest.ru