История возникновения бесконечно малых и бесконечно больших величин малых чисел

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Зенон о бесконечной величине

2. Аристотель о потенциальной и актуальной бесконечности

3. Николай Кузанский о бесконечном

4. Больцано «Парадоксы бесконечного»

5. Георг Кантор о бесконечном множестве чисел

Заключение

Список литературы

зенон бесконечный величина множество

Введение

Понятие бесконечности является одним из наиболее важных и в то же время «таинственных» в науке. Еще в древности многие философы и математики задумывались над противоречивостью этого понятия. В математике противоречия, связанные с идеей бесконечного числа, обострились после создания в конце XIX в. теории бесконечных множеств и последовавшего вскоре парадоксов этой теории. В то время как многие ученые, не обращая внимания на такие парадоксы, широко используют в своих работах теорию множеств, другие подвергают теоретико-множественные методы в математике жестокой критике.

Введение актуальной бесконечности как базисного научного понятия в математику, как почти всякое значительное нововведение в науке, создало столько же новых проблем, сколько и позволило решить старых. Точнее говоря, создало, конечно же, больше. Однако с самого начала удалось провести аккуратное различение понятий в области, где столь долгое время было много путаницы.

Именно благодаря данной проблеме философия и математика сблизились, так как общей целью этих наук является достижение истинного знания по бесконечной величине. Не случайно же понятие бесконечного исследовалось в работах Больцано и Кантора, которые были как философами, так и математиками. Поэтому данная тема всегда актуальна.

Цель работы - рассмотреть историю возникновения бесконечно малых и бесконечно больших величин.

1. Зенон о бесконечной величине

Зенон получил наибольшую известность за создание опорий, в переводе означающих противоречия. Благодаря им почти каждый последующий философ упоминал его имя в своих сочинениях, пытаясь эти опорий опровергнуть или привести доводы в их пользу.

Первая опория: «Величина частей сущего оказывается зараз и бесконечно малой и бесконечно великой. А именно, имея вне себя бесконечное множество всех прочих частей, она составляет бесконечно малую частицу всего; но, с другой стороны, слагаясь сама из бесконечного множества частиц, она представляет величину бесконечно великую» [1]

Какие же следствия вытекают отсюда? Во-первых, вещей бесконечное множество (так как сущее делимо до бесконечности), и, во-вторых, каждая вещь занимает бесконечное пространство (вследствие бесконечности своих частей). Каждая вещь (как и любая часть ее) оказывается бесконечно великой по протяжению, сущее же, как совокупность всех вещей, будет бесконечным множеством бесконечно больших пространственных величин.

С другой стороны, каждая частица бесконечно мала, так как она отделена от всякой другой частицы бесконечным множеством частиц. Если отделить ее от всех других частиц, то она сама вовсе не будет иметь частей и величины. Дейссен «исправляет» первую антиномию Зенона следующим образом: «Тело, состоящее из множества частиц, было бы 1) бесконечно малым и 2) бесконечно большим. Оно было бы бесконечно малым, так как его можно делить до бесконечности: оказывается, что тело состоит из суммы бесконечно малых частиц; сумма же бесконечно малых частиц может дать лишь бесконечно малое. Тело было бы бесконечно большим, так как при беспрерывном делении мы получим, наконец, бесконечно много частиц; если из последних мы станем слагать тело, то, сколько бы их мы ни взяли, всегда будет оставаться еще бесконечное множество их, таким образом, вследствие того, что число их неисчерпаемо, мы можем увеличивать тело до бесконечной величины.» [1].

Переходим ко второй антиномии. «Если допустить существование многих вещей, то окажется, что:

1) вещей конечное число (тезис) и 2) вещей бесконечное число (антитезис). Ход аргументации сводится к следующему. Тезис: Если существует множество вещей, то их столько, сколько есть, не больше и не меньше. Следовательно, они существуют в определенном (ограниченном) количестве. Антитезис: Если вещей много, то их должно быть бесконечное число. В самом деле, допустим существование только двух вещей. Между двумя вещами необходимо должна лежать какая-либо третья вещь, их разделяющая, между последней и первыми опять новые вещи, и так далее до бесконечности. В противном случае, две смежные вещи слились бы в единство, образовывали бы одну вещь (а не две). Таким образом, двух не существует без трех, трех без пяти, пяти без девяти и так далее до бесконечности (так как число разделяющих вещей оказывается равным бесконечному ряду 1, 2,4,8,16 и т.д.)» [1]. В первой и второй антиномии Зенон рассматривает понятия единицы, конечного количества и количественной бесконечности. Диалектика числа у Зенона дает следующие результаты: единица = нулю, нуль = бесконечному числу, конечное количество (два) = бесконечному числу, часть = целому. Таким образом, понятие числа противоречиво, его применение незакономерно с точки зрения разума, число должно быть отнесено к области мнения и иллюзии.

Против пространства Зенон дает и специальное доказательство: «Все существующее находится где-нибудь, то есть в пространстве. А если так, то и само пространство, чтобы существовать, тоже должно находиться где-нибудь, т.е. в другом пространстве. Это второе пространство в свою очередь должно находиться в третьем пространстве, третье в четвертом и так далее. Таким образом, получим пространство пространства и т.д. до бесконечности. Следовательно, приходится или признать бесконечное число пространств, заключенных одно в другом, или же совсем отрицать существование пространства» [1].

Сущность доказательства, известного под названием «дихотомии», сводится к признанию невозможности движения на том основании, что движущийся предмет, прежде чем достигнуть какого-либо места, должен предварительно пройти половину пути, половину половины и так далее до бесконечного числа раз. Невозможно пройти бесконечное в конечное время.

Доказательства этой апории (как и ряд других его аргументов) покоится на невозможности представить себе законченной бесконечность. Пусть время и пространство одинаково бесконечно делимы: переход от одного пункта к другому делается через это вдвойне неосуществимым. Мы получаем бесконечное количество пространственных точек, с одной стороны, моментов времени, с другой. Но мысль не может представить себе законченность бесконечного: непонятно, как может быть осуществлено бесконечное число актов движения, как может быть последовательно быть занятым бесконечное число положений в пространстве, и как может, наконец, прийти к концу бесконечное число моментов времени. Поэтому рассматриваемое нами доказательство Зенона скорее лишь упрощает условия реализации движения, выдвигая лишь один момент - бесконечную делимость пространства.

Третья опория имеет вид: «Быстроногий Ахиллес не может догнать черепахи, так как каждый раз, когда он достигает занимаемого ею места, черепаха успевает несколько подвинуться вперед. Таким образом, чтобы настичь черепаху, Ахиллесу необходимо занять бесконечное множество мест, которые занимала черепаха» [1]. В отличие от «дихотомии» «Ахиллес» предполагает одинаково бесконечно делимыми как пространство, так и время: он поднимает ту же проблему, но в более усложненном виде. Действительно, главная трудность аргумента «Ахиллес» заключается в непонятности, как возможно преодоление того бесконечно малого пространства, которое всегда будет отделять Ахиллеса и черепаху, и, как справедливо указывает Шнейдер, решение вопроса требует нарушения параллелизма бесконечно делимых пространства и времени: Ахиллес настигнет черепаху, если в бесконечно малый промежуток времени он пройдет не бесконечно малое расстояние. Но это противоречит нашему убеждению, что движение требует времени. Итак, остается выбор между безвременным движением и движением бесконечным.

Зенон использовал в апориях свойство бесконечной величины к постоянному увеличению. Он показал, что это свойство потенциальной бесконечности опровергает значимые понятия физики (пространство, время, скорость, движение), математики (число) а самое главное противоречат принятому человечеством восприятию окружающего мира. Поэтому аргументы Зенона еще больше создали загадок, тайн и противоречий вокруг свойств бесконечности.

2. Аристотель о потенциальной и актуальной бесконечности

В учении о бесконечном Аристотелю принадлежит заслуга различения потенциальной и актуальной бесконечности, что он мог сделать, поскольку ввел в философию понятия возможности (потенциальности) вообще и действительности (актуальности) вообще. Представление о бесконечном было уже присуще людям во времена Аристотеля. Ему оставалось лишь найти причины этого представления и подвергнуть его мощному воздействию своего аналитического ума.

Аристотель подходит к проблеме бесконечного диалектически: бесконечное как таковое нельзя ни признавать, ни отрицать, но из этого не следует, как сказал бы Гераклит, что она существует и не существует. Это означает, что бесконечности как таковой нет, что бесконечность бесконечности рознь и что справедливо в отношении одной бесконечности, нелепо в отношении другой. Здесь-то Аристотель и вводит актуальную и потенциальную бесконечность.

Аристотель отрицает актуальную бесконечность, под которой он понимает бесконечное чувственно воспринимаемое тело и величину. Он признает лишь потенциальную бесконечность. Величина может быть лишь потенциально бесконечной, превосходя все своей малостью, будучи непрерывно делимой (в отличие от числа, которое, имея предел в направлении к наименьшему, не имеет предела, будучи мыслимым, в направлении к наибольшему, величина имеет предел в отношении к наибольшему, но не имеет предела в отношении к наименьшему). Но и число не может быть актуально бесконечным [4, стр. 32].

Аристотель понимает бесконечность как процесс - не может быть бесконечного числа, но всегда может быть число, большее данного. Не может быть и наименьшей величины, но всегда может быть величина, меньшая данной. Эти весьма плодотворные мысли Аристотеля могли бы стать основой дифференциального исчисления, но так и не стали. Высшая математика также отрицает бесконечно малое и бесконечно большое как законченное, застывшее, она понимает бесконечно малое как то, что может быть меньше любой постоянной величины, а бесконечно большое как то, что может быть больше любой постоянной величины. Подводя этому итог, Аристотель говорит: «То, вне чего всегда есть что-нибудь, то и есть бесконечное». Все это не укладывается в ту статическую картину мира, о которой мы говорили выше в связи с математикой. Поэтому Аристотель относится к бесконечности со страхом, он говорит, что бесконечное непознаваемо и неопределенно.

Актуальная бесконечность - это бесконечные размеры тела в тот момент, когда оно фигурирует как чувственно воспринимаемый объект. Иными словами, это бесконечное пространственное расстояние между пространственными точками, связанными в единый объект в некоторый момент времени. Это - чисто пространственное, одновременное многообразие. Таким одновременным многообразием бесконечных размеров реальное тело, по мнению Аристотеля, не может быть. Реальным эквивалентом бесконечности может быть бесконечное движение, процесс, происходящий в бесконечном времени и состоящий в бесконечном возрастании некоторой величины, все время остающейся конечной. Таким образом, реальным эквивалентом обладает понятие потенциальной бесконечности, протекающей во времени. Нет бесконечного «теперь», но есть бесконечная последовательность конечных «теперь» [6, стр. 80].

Актуальная бесконечность - это некоторая обладающая реальным физическим бытием величина, достигшая бесконечного значения в данный момент. Если выражение «данный момент» понимать буквально, то под актуально бесконечным объектом следует подразумевать мир, существующий в течение мгновения, иначе говоря, пространственное многообразие. Аристотель, говоря об актуальной бесконечности, имеет обычно в виду бесконечное пространство, вернее, бесконечную протяженность реального чувственно постигаемого тела.

Далее, как возможно бесконечному быть чем-то, что существует само по себе, если не существуют сама по себе число и величина, которым бесконечное присуще как некое состояние? Ведь ему меньше необходимости существовать самому по себе, чем числу или величине. Следовательно, оно не имеет частей и неделимо. Однако невозможно бесконечному существовать в действительности, ведь в этом случае ему необходимо быть неким количеством. Бесконечное, следовательно, существует как свойство.

В самом деле, о бытии можно говорить либо в возможности, либо в действительности, а бесконечное получается либо прибавлением, либо отнятием. Что величина не может быть бесконечной актуально, об этом уже сказано, но она может быть беспредельно делимой (так как нетрудно опровергнуть учение о неделимых линиях); остается, таким образом, бесконечное в возможности.

Бесконечное путем прибавления в некотором смысле есть то же самое, что и бесконечное путем деления, а именно: путем прибавления с конечной величиной происходит обратное: в какой мере она при делении очевидным образом идет к бесконечности, в такой же при прибавлении она будет казаться идущей к определенной величине. Таким образом, превзойти всякую величину путем прибавления нельзя даже в возможности, если только не существует бесконечного в действительности в смысле свойства какого-то тела.

Надо признать основательным, что бесконечное путем прибавления не представляется таким, чтобы оно превосходило всякую величину, а бесконечное при делении именно таково. Ибо поскольку нечто может существовать в возможности, постольку оно допустимо и в действительности. Таким образом, так как ни одна чувственно-воспринимаемая величина не бесконечна, нет возможности превзойти любую определенную величину.

Аристотель подходит к проблеме бесконечного диалектически: бесконечное как таковое нельзя ни признавать, ни отрицать, но из этого не следует, как сказал бы Гераклит, что она существует и не существует. Это означает, что бесконечности как таковой нет, что бесконечность бесконечности рознь и что справедливо в отношении одной бесконечности, нелепо в отношении другой. Здесь-то Аристотель и вводит актуальную и потенциальную бесконечность. Актуальное бесконечное он сопоставлял с актуально бесконечным телом и не признавал. Разделение актуальной и потенциальной бесконечности есть главная заслуга Аристотеля в этой области, которое поддерживалось всеми последующими философами.

3. Николай Кузанский о бесконечном

Одним из характерных представителей ренессансной философии был Николай Кузанский (1401-1464). Как и большинство философов его времени, он ориентировался на традицию неоплатонизма. Однако при этом он переосмыслил учение неоплатоников, начиная с центрального для них понятия единого. Он заявляет, что «единому ничто не противоположно», а отсюда делает характерный вывод: «единое есть все» - формула, звучащая пантеистически. Вот тут и появляется новый, возрожденческий подход к проблемам онтологии. Из утверждения, что единое не имеет противоположности, Кузанский делает вывод, что единое тождественно беспредельному, бесконечному.

В представлении Н. Кузанского Бог не является некоей персонифицированной личностью. Он есть Абсолют, Единое, которое находится вне всяких противопоставлений. Философ ищет понятие, которое могло бы описать единство противоположностей; так как понятия, для которых можно всегда найти им противоположные, конечны. Поэтому искомое понятие (для описания Бога) должно быть неконечным: «приступающий к Тебе должен возвыситься над всяким пределом и концом, над всем конечным» [7, cтр. 45]. Бога он уподобляет пределу, в котором сходятся бесконечно большое и бесконечно малое.

Бесконечное - это то, больше чего ничего не может быть, Кузанский поэтому называет его «максимумом»; единое же - это «минимум». Николай Кузанский, таким образом, открыл принцип совпадения противоположностей - максимума и минимума. Актуальная бесконечность и есть совмещение противоположностей - единого и беспредельного.

«Когда исследование проводится в рамках вещей конечных, мы их можем сопоставить с чем-то знакомым для нас, и суждение о познаваемом вынести нетрудно. Но не так обстоят дела, когда исследование касается бесконечного. Бесконечность выходит за пределы всякой соразмерности, сходства и различия, ее нам не с чем сравнить, и поэтому она остается для нас неизвестной. Наш конечный разум, двигаясь путем уподоблений, не может постичь истину вещей. Ведь истина не бывает ни больше, ни меньше и не может быть измерена ничем, кроме как самой истиной.

Допустим, что треугольник АВС образован вращением линии АВ вокруг неподвижного А до совпадения В с, С. Нет никакого сомнения, что если бы линия АВ была бесконечной и В описало полный круг, вернувшись к началу, то получился бы максимальный круг, частью которого является ВС. Но поскольку ВС есть часть бесконечной дуги, ВС есть прямая линия; а так как всякая часть бесконечности бесконечна, то ВС не меньше всей дуги бесконечной окружности. Таким образом ВС будет не только частью, но и совершенно всей окружностью, и, значит, треугольник АВС с необходимостью есть максимальный круг. Причем окружность ВС как прямая линия не длиннее бесконечной АВ, раз больше бесконечности ничего не может быть; не будут ВС и АВ и двумя отдельными линиями, потому что не может быть двух бесконечностей. Стало быть, бесконечная линия, являясь треугольником, есть также круг, что и надо было установить [7, стр. 51].

Наконец, что бесконечная линия есть шар, обнаруживается так. Линия АВ есть окружность максимального круга и, больше того, сама круг, как уже доказано. Согласно вышеизложенному, она проведена в треугольнике от В до С. Но ВС - бесконечная линия, как тоже только что доказано; поэтому АВ возвращается в С, совершая полный оборот вокруг себя самой. Когда это происходит, из обращения круга вокруг себя с необходимостью возникает шар.

Итак, если выше доказано, что АВС есть круг, треугольник и линия, то теперь мы доказали, что АВС есть также шар. Это мы и ставили целью разыскания. Поскольку, таким образом, в возможности конечной линии заключены все эти фигуры, а бесконечная линия есть действительным образом все то, возможность чего представляет конечная, то, следовательно, бесконечная линия есть и треугольник, и круг, и шар, что и следовало доказать.

Перенесем наше умозрение - а мы его вывели из того, что бесконечная кривизна есть бесконечная прямизна, - на простейшую и бесконечную сущность максимума. Она есть простейшая сущность всех сущностей; все сущности настоящих, прошлых и будущих вещей всегда и вечно пребывают актуально в этой сущности, так что все сущности - это как бы сама же всеобщая сущность; сущность всех вещей есть любая другая сущность таким образом, что она есть одновременно и все они, и ни одна в отдельности; и как бесконечная линия есть точнейшая мера всех линий, так максимальная сущность есть точнейшая мера всех сущностей. Ведь максимум, которому не противоположен минимум, с необходимостью есть точнейшая мера всего - не больше любой вещи, поскольку минимум, и не меньше ее, поскольку максимум, - а все измеримое оказывается между максимумом и минимумом, так что бесконечная сущность есть вернейшая и точнейшая мера всего.

И чтобы увидеть это еще яснее, подумай, что если бы одна бесконечная линия состояла из бесконечного числа отрезков в пядь, а другая - из бесконечного числа отрезков в две пяди, они все-таки с необходимостью были бы равны, поскольку бесконечность не может быть больше бесконечности. Соответственно как одна пядь в бесконечной линии не меньше, чем две пяди, так бесконечная линия не становится по прибавлении двух пядей больше, чем по прибавлении одной. Мало того: поскольку любая часть бесконечности - тоже бесконечность, одна пядь бесконечной линии так же превращается во всю бесконечную линию, как две пяди. Точно так же, раз всякая сущность в максимальной сущности есть сама эта максимальная сущность, максимум есть не что иное, как точнейшая мера всех сущностей. Причем не найти другой точной меры всякой сущности, кроме этой; ведь все прочие недостаточны и могут быть точнее, как ясно показано выше.

Николай Кузанский возвращает нас к Зенону с его парадоксами бесконечности, с тем, однако, различием, что Зенон видел в парадоксах орудие разрушения ложного знания, а Кузанский - средство созидания знания истинного. Правда, само это знание имеет особый характер - оно есть «умудренное неведение».

4. Больцано «Парадоксы бесконечного»

В 1851 году была посмертно опубликована книга чешского математика и философа Б. Больцано «Парадоксы бесконечного», в которой он сделал первую попытку исследовать свойства актуальной бесконечности.

Б. Больцано признавал существование бесконечной величины, изучал ее и пришел к выводу: «Само название показывает, что бесконечное противопоставляется всему конечному. То обстоятельство, что мы выводим название бесконечного из названия конечного указывает, что мы представляем себе понятие бесконечного происходящим из понятия конечного вследствие присоединения к нему новой составной части (такой частью является понятие о простом отрицании» [4, стр. 140].

Это, столь известное математикам, понятие о бесконечном не удовлетворяет однако некоторых философов, особенно философов новейшего времени, как Гегеля и его последователей. Они называют его презрительно плохим бесконечным и думают, что знают несравненно более высокое, истинное, качественное бесконечное, которое они находят только в Боге и вообще в абсолюте. Я не допускаю только того, чтобы философу известен был какой либо предмет, которому он был бы вправе приписать свою бесконечность, как качество, не обнаружив раньше в этом предмете, в каком-либо отношении, бесконечной величины или бесконечного количества. Если я могу доказать, что даже говоря о Боге, которого мы рассматриваем как всесовершенно единое, можно указать такие точки зрения, с которых мы видим в нем бесконечное количество, и что эти-то точки зрения и позволяют приписывать ему бесконечность, то вряд ли нужно доказывать дальше, что подобные соображения лежат также в основе всех остальных случаев, где правильно употребляется понятие о бесконечности. Я же говорю: мы называем Бога бесконечным, потому что мы должны признать, что он владеет силами более, чем одного рода, имеющими бесконечную величину.

Математик позволяет себе прибавлять к каждой величине, также и к бесконечно большой, еще другие величины, и не только конечные, но даже и бесконечные; он даже повторяет бесконечную величину бесконечное число раз и т.д. Если некоторые и спорят еще о том, законно ли это, то какой математик - если только он не отрицает все бесконечное - откажется признать, что длина прямой, ограниченной с одной стороны, но простирающейся в бесконечность с другой, бесконечна, и может быть, несмотря на это, увеличена прибавлениями с первой стороны.

Мы говорим о бесконечно больших и бесконечно малых величинах, если под бесконечно большой величиной подразумевается лишь такая величина, которая при раз положенной в основание единице является целым, по отношению к которому каждое конечное множество этих единиц составляет только часть; а под бесконечно малой величиной подразумевается такая, по отношению к которой сама единица является целым, частью которого будет каждое конечное множество этих величин. Множество всех чисел является неоспоримым примером бесконечно большой величины. Я говорю: величины, а не бесконечно большого числа, потому что, как мы уже заметили в предыдущем параграфе, никак нельзя назвать числом это бесконечно большое множество. Если же величину, бесконечно большую по сравнению с другой величиной, взятой за единицу, мы примем за единицу и станем ею измерять ту величину, которую мы прежде принимали за единицу, то эта последняя представится нам бесконечно малой.

Уже само понятие исчисления бесконечности кажется заключающим в себе противоречие. Действительно, исчислить - значит попытаться определить с помощью чисел. Но как же возможно пытаться определить с помощью чисел бесконечное, то бесконечное, которое, по нашему собственному определению, должно представлять из себя нечто, состоящее из бесконечно многих частей, т.е. такое многообразие, которое больше всякого числа, и которое, поэтому, не может быть определено никаким числом? Это сомнение исчезнет однако, как только мы сообразим, что правильное исчисление бесконечного имеет целью не вычисление того, что в бесконечности неопределимо никаким числом (а именно, не вычисление бесконечного множества самого в себе): целью этого исчисления является определение отношения между одним бесконечным и другим, что выполнимо. Кто признает существование бесконечных множеств, а следовательно, и бесконечных величин вообще, тот не станет оспаривать существование бесконечных величин, очень различных по размерам. Эти немногие примеры показали уже в достаточной степени, что существует исчисление бесконечно большого; точно также существует и исчисление бесконечно малого [10, стр. 57].

Итак, если мы не желаем впадать в заблуждение в наших вычислениях бесконечного, то мы не должны никогда позволять себе считать, что две бесконечно большие величины, происшедшие от сложения членов двух бесконечных рядов, равны или что одна больше или меньше другой на том только основании, что каждый член одного ряда соответственно равен, больше или меньше некоторого члена другого ряда. Столь же мало мы имеем право считать одну сумму большей только потому, что она заключает все члены другой суммы и, кроме того, еще много, даже бесконечно много, других (положительных) членов, которых нет в другой сумме. Несмотря на все это, первая сумма может быть меньше, даже в бесконечное число раз меньше, чем вторая. Пример этого представит нам очень известная сумма квадратов всех натуральных чисел.

Каждое бесконечное многообразие, не только многообразие точек, образующих линию, может быть разложено на части, которые сами заключают бесконечные многообразия, даже на бесконечное число таких частей. Действительно, если означает бесконечное многообразие, то /2, /4, /8. также будут бесконечными многообразиями. Это заключается в понятии бесконечного.

Хочется обратить внимание на то, что множество точек, которое заключает в себе хотя бы самая короткая прямая az, должно быть рассматриваемо, как множество, которое в безконечно большое число раз больше бесконечного же множества, получаемого из первого следующим образом: начиная с одного из концов, с точки a, берем в надлежащем расстоянии вторую точку b, за нею, в меньшем расстоянии, третью точку c, и так продолжаем без конца, уменьшая эти расстояния по такому закону, чтобы бесконечное их множество в сумме было равно или меньше расстояния az. Прямой, простирающейся бесконечно в обе стороны, мы должны приписать бесконечную длину и множество точек, которое будет в бесконечное число раз больше, чем множество точек прямой, принятой за единицу и равной E.

Таким образом, философ и математик Больцано впервые разработал теорию бесконечных величин, дал бесконечной величине определение, указал на возможность ее исчисления, применил бесконечную величину в геометрии, разработал ее свойства и привел доказательства своих взглядов. Больцано называл бесконечую величину бесконечным множеством, так как он не мог представить ее в виде числа, ведь по его словам число само по себе есть конечное. Больцано различал актуальную и потенциальную бесконечность. Под актуальной бесконечностью он понимал «количество большее, чем каждое конечное, т.е. количество такого рода, что каждое конечное многообразие представляет только часть его». Он исследовал свойства актуальной бесконечности. Потенциальная бесконечность определяется из следующего высказывания Больцано « я присоединяюсь к тем, кто находится в в отрицательном отношении к этому понятию о величине, которая только бесконечно возрастает, но никогда не достигает бесконечности.» Он попытался ответить на многие вопросы, связанные с таинственным бесконечным. В его книге были предвосхищены многие понятия теории бесконечных множеств, однако они не получили еще той точности и ясности, которая была придана им через два десятилетия в работах Г. Кантора.

5. Георг Кантор о бесконечном множестве чисел

Основатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор сказал: «Бесконечное множество есть многое, мыслимое нами как единое» [3, стр. 48].

Георг Кантор обнаружил, что свойства конечных и бесконечных множеств совершенно непохожи друг на друга: многие операции, невозможные для конечных множеств, без труда выполняются для бесконечных. «Попробуйте, например, поместить в гостиницу, каждый номер которой занят одним постояльцем, еще жильцов, да так, чтобы в каждом номере снова жил лишь один человек. Не получается? Так это только потому, что число номеров в гостинице конечно! А если бы в ней было бесконечно много номеров? Но такие гостиницы могут встретиться разве что в рассказах межзвездного скитальца Йоца Тихого.

Первый вопрос - вопрос о сравнении друг с другом бесконечных множеств. Для конечных множеств задача сравнения решается просто. Чтобы узнать, одинаково ли число элементов в двух множествах, достаточно пересчитать их. Если получатся одинаковые числа, то, значит, в обоих множествах поровну элементов. Но для бесконечных множеств такой способ не годится, ибо, начав пересчитывать элементы бесконечного множества, мы рискуем посвятить этому делу всю свою жизнь и все же не закончить начатого предприятия.

Итак, пусть у нас даны два множества А и В, Говорят, что между ними установлено взаимно однозначное соответствие, если элементы этих множеств объединены в пары (а,b) так, что:

1) элемент а принадлежит множеству А, а элемент b - множеству В;

2) каждый элемент обоих множеств попал в одну и только одну пару [10, стр. 34].

Нетрудно доказать следующие теоремы:

Мощность бесконечного множества, не изменяется от прибавления к нему счетного множества.

Мощность несчетного множества не меняется от удаления из него счетного множества.

Эти теоремы еще раз подтверждают, что счетные множества - самые малые из бесконечных множеств.

Все построенные до сих пор множества оказались счетными. Это наводит на мысль: а не являются ли вообще все бесконечные множества счетными? Если бы это оказалось так, то жизнь математиков была бы легкой: все бесконечные множества имели бы поровну элементов и не понадобился бы никакой анализ бесконечности. Но выяснилось, что дело обстоит куда сложнее: несчетные множества существуют и притом могут иметь самые разные мощности. Одно несчетное множество всем хорошо знакомо - это множество всех точек на прямой линии. Но прежде чем говорить об этом множестве, мы расскажем о другом, тесно связанном с ним множестве Л вариантов заполнения необыкновенной гостиницы» [6, cтр. 53-63].

Георг Кантор пришел к выводу, что бесконечное множество точек квадрата имеет не большую мощность, чем бесконечное множество точек отрезка. Но его мощность и не меньше, а потому эти мощности совпадают. Не только квадрат, но и куб имеет столько же точек, сколь и отрезок. Вообще любая геометрическая фигура, содержащая хоть одну линию, имеет столько же точек, сколько и отрезок. Такие бесконечные множества называют множествами мощности континуума (от латинского continuum - непрерывный).

Кантор, вслед за Больцано, настойчиво объяснял различие актуальной и потенциальной бесконечностей. Согласно определению Кантора, потенциально бесконечное «означает переменную конечную величину, растущую сверх всяких конечных границ» [8, стр. 25].

Кантор признавал в полной мере плодотворность для науки этого давно утвердившегося в ней понятия потенциальной бесконечности. Он возражал против презрительного именования потенциальной (несобственной) бесконечности «дурной бесконечностью» и находил, что бесконечно малые величины, применявшиеся дотоле в математике лишь в виде «несобственно-бесконечного», принесли весьма большую пользу, так как они «доступны всем тем различиям, видоизменениям и отношениям, которыми пользуются в исчислении бесконечно малых и в теории функций и с помощью которых там собирают богатую жатву аналитических истин» [6, стр. 80]. Но как бы ни была велика ценность для науки «потенциальной бесконечности», эта бесконечность оставалась в сущности только некоторой переменной - то растущей сверх всяких границ, то убывающей до произвольной малости, всегда конечной величиной.

Это был вывод о том, что в данном и в подобных ему случаях вполне правомерно «мыслить. бесконечное, как расположенное в некоторой вполне определенной точке». Такое бесконечное, выступающее в отличие от потенциально бесконечного в подобной вполне определенной форме, Кантор стал называть «собственно-бесконечным» или «актуально бесконечным».

Кантор сделал наблюдение, что бесконечные реальные целые числа не относятся к «потенциальной бесконечности», к «несобственно-бесконечному». Обнаружилось, что им присущ тот же характер определенности, с каким мы имеем дело при рассмотрении бесконечно удаленной точки (в теории аналитических функций), и что, следовательно, они также относятся к видам «собственно-бесконечного», или к «актуальной бесконечности». Но в то время как бесконечно удаленная точка комплексной числовой плоскости противостоит, одинокая, всем расположенным на конечных расстояниях точкам, при рассмотрении бесконечных целых чисел мы получаем «не просто одно-единственное бесконечное целое число, но бесконечный ряд подобных чисел, которые резко отличны друг от друга и находятся в закономерных числовых отношениях друг к другу и к конечным целым числам».

Кантор вводит также арифметику бесконечности. Он определил операции сложения и умножения для бесконечных мощностей. Для бесконечных мощностей он установил и операцию возведения в степень с бесконечным показателем. Далеко не все законы обычной арифметики переносятся в область арифметики натуральных чисел. Кантор говорил, что законы арифметики бесконечности коренным образом отличаются от зависимостей, царящих в области конечного, а также свойства конечных и бесконечных множеств различны. 

Заключение

Понятие бесконечной величины таинственное и загадочное с одной стороны, манящее и привлекающее своей неизученностью с другой. Философы издавна задумывались о существовании бесконечности, рассматривали ее с различных сторон, но мало кто исследовал бесконечную величину и ее свойства.

Одними из первых, кто употребил бесконечную величину в своих работах, были основатели атомизма Левкипп и Демокрит. Они ввели неделимую частицу вещества - атом и полагали, что число атомов бесконечно. Атомы бесконечно разнообразны по форме и, двигаясь в бесконечном пространстве, сталкивались между собой и, соединяясь образовывали сложные тела. Но Левкипп и Демокрит употребили бесконечную величину для построения своей философской картины мира и не исследовали ее свойства.

Аристотель подходит к проблеме бесконечного диалектически: бесконечное как таковое нельзя ни признавать, ни отрицать, но из этого не следует, как сказал бы Гераклит, что она существует и не существует. Это означает, что бесконечности как таковой нет, что бесконечность бесконечности рознь и что справедливо в отношении одной бесконечности, нелепо в отношении другой. Здесь-то Аристотель и вводит актуальную и потенциальную бесконечность. Актуальное бесконечное он сопоставлял с актуально бесконечным телом и не признавал. Но признавал потенциальную.

Николай Кузанский использовал бесконечную величину для построения своей философской картины мира, выявил новые свойства бесконечной величины и сопоставил актуальную и потенциальную бесконечность. Он считал, что единое есть все, единому ничего не противоположно, следовательно единое тождественно бесконечному.

Б. Больцано в книге «Парадоксы бесконечного» сделал первую попытку исследовать свойства актуальной бесконечности. Он впервые разработал теорию бесконечных величин, дал бесконечной величине определение, разработал ее свойства, указал на возможность ее исчисления, применил бесконечную величину в геометрии, привел доказательства своих взглядов. Больцано называл бесконечную величину бесконечным множеством, так как он не мог представить ее в виде числа, ведь по его словам число само по себе есть конечное.

Георг Кантор разделил потенциальную и актуальную бесконечности. Актуально бесконечным Кантор называет «такое количество, которое, с одной стороны, не изменчиво, но определенно и неизменно во всех своих частях и представляет истинную постоянную величину, а с другой в то же время превосходит по своей величине всякую конечную величину того же вида». Согласно определению Кантора, потенциально бесконечное «означает переменную конечную величину, растущую сверх всяких конечных границ.». Математическое потенциально бесконечное Кантор называет «несобственно-бесконечным».

Таким образом, место становящейся, потенциальной бесконечности в математике занимает бесконечность завершенная, актуальная. Однако такое уподобление бесконечного множества конечному впоследствии привело к парадоксам и вызвало новый кризис оснований математики. Трудности, возникающие при рассмотрении математической бесконечности, по-видимому, связаны с противопоставлением бесконечного и конечного, которые выражают в идеализированной форме разные, но взаимосвязанные аспекты реальной бесконечности. Потенциальная бесконечность в абстрактном виде отображает становление и возникновение, актуальная бесконечность - его результат, бытие.

Список литературы

1. Black Fire Pandemonium. Библиотека. URL: http://khazarzar.skeptik.net/АпорииЗенона.

2. Асмус В.А. Античная философия. М.: Просвещение, 1996. с. 35-38, 47-48.

3. Больцано Б. Парадоксы бесконечного. Перевод Бурцева Б.И. Одесса: Знание, 2003. с. 15-149.

4. Введение в философию. Учебное пособие для вузов под редакцией Фролова И.Т. М.: Республика, 2004. с. 24, 35-36, 89.

5. Виленкин Н.Я. В поисках бесконечности. АН СССР. М.: Наука, 1983. с. 48-75.

6. Гаранов П. С.500 шагов к мудрости. Кн.1. М.: Олма-Пресс, 1996. с. 35-40.

7. Кузанский Н. Об ученом незнании. Сочинения в 2 томах. М.: Ладога, 1980. с. 40-106.

8. Маковецкий А.О. Древнегреческий атомизм. Баку, 1946. с. 8-31.

9. Молодший В.Н. Очерки по философским вопросам математики. М.: Просвещение, 1989. с. 57-64.

10. Тажуризина З.А. Философия Николая Кузанского. М.: Изд-во МГУ, 1993. с. 25-29, 34-37, 48-50.

Размещено на Allbest.ru