Аналітична визначність: загальні основи та окремі види

Размещено на http://www.allbest.ru/

ІНСТИТУТ ФІЛОСОФІЇ ІМЕНІ Г.С. СКОВОРОДИ

НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата філософських наук

АНАЛІТИЧНА ВИЗНАЧНІСТЬ: ЗАГАЛЬНІ ОСНОВИ ТА ОКРЕМІ ВИДИ

Спеціальність 09.00.06 - логіка

ГРИНЕВИЧ Ганна Сулейманівна

Київ - 2011

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі філософії філософського факультету Таврійського національного університету імені В.І. Вернадського Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України.

Науковий керівник: доктор філософських наук, професор Ніколко Володимир Миколайович, Таврійський національний університет імені В.І. Вернадського Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України, професор кафедри філософії.

Офіційні опоненти: доктор філософських наук, професор Чуйко Вадим Леонідович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри філософії та методології науки;

доктор філософських наук, доцент Навроцький Володимир Вячеславович, Інститут філософії імені Г.С. Сковороди НАН України, старший науковий співробітник.

Захист дисертації відбудеться « 24 » червня 2011 року о 14 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.26.161.01 в Інституті філософії імені Г.С. Сковороди НАН України за адресою: 01001, м. Київ, вул. Трьохсвятительська, 4.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту філософії імені Г.С. Сковороди НАН України (01001, м. Київ, вул. Трьохсвятительська, 4).

Автореферат розіслано « ___ » _________ 2011 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, доктор філософських наук Т.В. Гардашук

• АНОТАЦІЇ
• Гриневич Г.С. Аналітична визначність: загальні основи та окремі види. - Рукопис.
• Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата філософських наук за спеціальністю 09.00.06 - Логіка. Інститут філософії імені Г.С. Сковороди НАН України. - Київ, 2011 р.

У дисертаційному дослідженні побудована методологія узагальненої теорії

А-визначності, надана узагальнена дефініція А-визначності та введені нові види

А-визначності («майже» визначність та гранична визначність). Крім цього пред'явлена оригінальна О-логіка у вузькому розумінні слова на матеріалі перетворень геометричних фігур на площині. Предметом дисертаційного дослідження є аналітична визначність та її окремі види в множинах різної природи, в першу чергу чисел, функцій, формул.

• У процесі дослідження виділено основні фактори А-визначності, що дозволило уточнити та доповнити дефініцію А-визначності і дати характеристику об'єктивної та суб'єктивної А-визначності.
• Ключові слова: А-визначність, фактори А-визначності, обчислюваність, репрезентованість, виразність, вивідність, гранична визначність, «майже» визначність, логіка у вузькому розумінні слова.
• Гриневич А.С. Аналитическая определимость: общие основания и отдельные виды. - Рукопись.
• Диссертация на соискание ученой степени кандидата философских наук по специальности 09.00.06 - Логика. Институт философии имени Г.С. Сковороды НАН Украины. - Киев, 2011 г.
• В диссертационном исследовании построена методология обобщенной теории А-определимости, вводится обобщенная дефиниция этого понятия, а также выделяются и вводятся новые виды А-определимости. Предметом изучения выступает аналитическая определимость и ее отдельные виды в множествах разной природы, в первую очередь чисел, функций, формул.
• Рассматриваются и анализируются исследования разных аспектов А-определимости, в результате чего выделяются факторы А-определимости (S - разумный субъект исследования; множество M, в котором выясняется определимость объекта; средства L, с помощью которых строится определительный процесс по правилам П), что позволило уточнить и дополнить дефиницию А-определимости и дать характеристику объективной и субъективной А-определимости.
• Анализ содержательной части основных понятий современной математики и логики - определимости, представимости, выразимости, вычислимости, выводимости, на интуитивном и формальном уровне обнаруживает общность их содержания. Они рассматриваются как разновидности L-процессов, что дало возможность, при построении методологии А-определимости расширить класс задач на А-определимость и выделить новые виды этого понятия.
• В ходе реализации намеченных целей, были выявлены некоторые условия неопределимости объектов, а также введено понятие абсолютной неопределимости. Кроме этого, в работе приведены классификации определимости некоторых авторов, это позволило выявить общие черты некоторых видов А-определимости и показать их идентичность.
• В диссертации анализируются задачи математики, связанные с определением ее предметных составляющих: чисел, функций, формул. Вводится и исследуется «почти» определимость. Построена О-логика в узком смысле на материале геометрических преобразований фигур на плоскости. Кроме того, рассматривается понятие операциональной определимости и приводится ее интерпретация в топологическом пространстве. Водится дефиниция предельной определимости, рассматривается предельная определимость функций и приводятся примеры, иллюстрирующие взаимосвязь приближенных процессов с L-процессами.

Фактический материал, теоретические положения и выводы диссертации могут быть использованы при подготовке научных изданий и методический рекомендаций. В связи с этим, работа может быть востребована в логике и математике. Результаты исследования могут быть использованы для разработки систем искусственного интеллекта, создания систем управления сложными процессами, проектирования автономных роботов и т.п.

Ключевые слова: А-определимость, факторы А-определимости, выразимость, представимость, вычислимость, выводимость, предельная определимость, «почти» определимость, О-логика в узком смысле.

Grynevych A. S. The Analytical Definability: General Theory and Individual Types. - A manuscript.

Dissertation for the Degree of Candidate of Sciences in Philosophy. Specialization 09.00.06. - Logic. - The Institute of Philosophy named after H.S. Skovoroda, The National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2011.

In the dissertation the essence of definability has been considered, a general characteristic of this conception has been given, the generalized description of the

А-definability has been proposed, and new types of the А-definability have been deduced («almost» definability and limit definability). Besides the original O-logic in the narrow sense on the basis of transformations of geometric figures on the plane is represented and the methodology of А-definability research as for other subject areas is also proposed. The research subject is an analytical summary of the definability shape and some types of the summary, which are widely represented in modern logic and mathematics.

Within the research the main factors of А-definability have been discriminated, that has allowed to specify and complement the description of the А-definability and to propose a characteristic of an objective and subjective А-definability.

Keywords: А-definability, factors of the А-definability, calculability, representtability, expressibility, deducibility, limit definability, «almost» definability and O-logic in the narrow sense.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми дослідження. Зростання уваги логіків до проблеми визначності є актуальним у зв'язку з входженням точних наук упродовж останніх тридцяти років в четвертий етап розвитку аксіоматичного методу. Аксіоматичний метод побудови теорій, як ідеал точності та логічності, у своєму розвитку вже пройшов три етапи - змістовної, формальної і формалізованої аксіоматик. Суть четвертого етапу аксіоматизації полягає в тому, що вимоги формалізованої аксиоматики стосовно речень необхідно здійснити і стосовно термінів. Це передбачає не лише явне формулювання вихідних термінів теорії, а й засобів введення решти її термінів. Таким чином, проблеми визначності (означуваності), незалежності вихідних термінів та повноти представлених засобів введення нових термінів належать до актуальних проблем сучасної логіки.

Перші важливі результати вчення про визначність були отримані А. Падоа у зв'язку з розглядом відношення між Евклідовою і неевклідовими геометріями. Надалі у чіткій формі поняття визначності було введено А. Тарським. У роботі «Семантична концепція істини і основи семантики» він показав, що поява в мисленні парадоксів типу «брехун» («Критянин говорить, що всі критяни брехуни») пов'язано з тим, що такі семантичні поняття, як істина, логічно визначні лише в багатшій формалізованій метамові і невизначні в тій, де вони фігурують. Велике значення мають інтерполяційна теорема Крейга та теорема Е. Бета, в яких показано тісний зв'язок поняття визначності з поняттям вивідності. В результаті, ряд важливих проблем визначності вдалося звести до проблем логічного виводу. Це призвело до тенденції зводити визначність до вивідності у подальших дослідженнях.

Домінування цієї тенденції призвело до того, що накопичилося багато задач з визначності, які вимагають, хоча і не завжди невідкладного, але необхідного розв'язання. Йдеться, наприклад, про опис окремих видів визначності, які в науковій практиці вже давно знайшли широке застосування, але систематично в межах логіки не розглядалися. Так само актуальною є побудова узагальненої моделі, яка б уможливила аналіз понять визначності, обчислюваності, репрезентованості, вивідності та виразності. Ця робота входить у стратегію створення загальної теорії визначності.

Окремої уваги у процесі визначення об'єктів заслуговує роль суб'єкта. Досліднику при розв'язанні конкретної задачі або проблеми доводиться не лише використовувати певні методи, за допомогою яких він уточнює проблему і шукає її розв'язання, але й обирати ці методи, зокрема визначати засоби, правила, стратегії пошуку рішення. З огляду на це, актуальною є побудова концепції визначності, яка б враховувала роль суб'єкта.

Говорячи про актуальність дослідження визначності, слід зауважити, що логіка XX століття здебільшого зосереджувалась на розвитку дедуктивних методів, тобто на висновках і умовиводах. При цьому, дослідження проблем визначності не отримало відповідного розвитку. В логічній літературі розглядаються семантичне та синтаксичне поняття явної та неявної визначності; досліджуються й інші види визначності, зокрема, явна та неявна умовні визначності; їх введення обумовлено типом визначень, за допомогою яких запроваджуються терміни наукової теорії. Розглядаються також види неповної визначності (диз'юнктивна - Л. Свеноніус, условно-параметрична - Д. Кукер, параметрична - Ч. Чанг, М. Маккєй). Для всіх цих видів визначності доведена теорема Е. Бета. Особливої уваги заслуговують результати досліджень визначності в можливій реалізації (В.А. Смірнов, В.М. Садовський), які дозволяють порівнювати види визначності з класифікацією арифметичних предикатів за Кліні-Мостовським. Отримані результати з визначності широко застосовуються в дослідженнях співвідношень теорій. Вагомий внесок у розуміння проблеми визначності зробили Ю.Л. Єршов, А.Н. Хісамієв, О.І. Стукачов, А.С. Морозов та ін.; їх результати пов'язані з дослідженням -визначності. Зміст та значення наявної джерельної бази свідчить про те, що визначність не є поняттям абсолютним, тобто висновок про визначність залежить від множини, в якій розглядається об'єкт дослідження. Узагальнення поняття визначності вводиться в роботі В.М. Ніколко «Аналітична визначність явищ», де визначність розглядається як різновид зведення одних об'єктів до інших.

Ці дослідження різних аспектів визначності створили достатню передумову для побудови моделі, яка б уможливила аналіз різних форм і методів визначення, а також розвиток загальної методології визначності. Так, визначення через рід та вид виглядатиме наступним чином: Х є визначним через рід та вид в деякій множині понять М за допомогою операції обмеження, якщо в М знайдеться послідовність , така, що - родове для Х поняття, будь-яке обмежує попередні ( від 2 до ), а тотожне Х. - процес визначення, а словесне вираження цього процесу і є дефініція Х .

Проблематика визначності була найбільш ретельно розвинута в математиці, а запропоновані при цьому математичні моделі можуть бути використані і для аналізу визначності в інших науках. Тому в дисертації математичні об'єкти розглядаються як парадигмальні для аналізу проблеми визначності. Розвиток методології визначності на основі здобутків, напрацьованих в математичній логіці, суттєво деталізує логічне дослідження процесів визначення і приводить до вагомого уточнення тверджень про сутність визначень.

В дисертації розглядається аналітична визначність (А-визначність). До числа об'єктів, що потребують визначення, крім понять, належать й числа, функції, формули, тобто математичні об'єкти, спосіб визначення яких суттєво відрізняється від визначення понять. Йдеться не про визначення поняття «число» або поняття «функція», а про визначення, наприклад, одного з членів натурального ряду, тобто тих об'єктів, які не можна визначити через рід та вид, тому що вони позбавлені об'єму. Тут ми стикаємося з новою формою визначності - аналітичною визначністю, необхідність дослідження якої є основною проблемою роботи.

Таким чином, сучасний стан логіко-математичних досліджень визначності дозволяє поставити проблему моделювання процесів визначення об'єктів наукових теорій на основі поняття аналітичної визначності, орієнтованого на аналіз різних видів визначності, з урахуванням ролі суб'єкта.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційне дослідження виконане в рамках державної науково-дослідної теми «Антропологічні перспективи сучасної філософії» (номер державної реєстрації - 0105U007018) кафедри філософії філософського факультету Таврійського національного університету імені В. І. Вернадського.

Мета та завдання дослідження. Мета дисертаційної роботи - розкрити та обґрунтувати логіко-методологічний зміст поняття «А-визначність»; дати узагальнене формулювання А-визначності та аргументувати нові класи А-визначності.

Для досягнення мети в дисертації поставлені такі завдання:

- упорядкувати наявний масив знань про А-визначність: виявити основні підходи до дефініції поняття А-визначності; виділити фактори А-визначності;

- обґрунтувати узагальнену логіко-математичну дефініцію поняття «А-визначність»;

- простежити зв'язок між поняттями: обчислюваність, репрезентованість, виразність, вивідність, А-визначність;

- систематизувати відомі класи А-визначності;

- проаналізувати системи, в яких А-визначність відіграє провідну роль;

- обґрунтувати введення нових видів А-визначності, а саме «майже» визначності та граничної визначності.

Об'єктом дисертаційного дослідження є процеси визначення у математиці, логіці та інших науках.

Предметом дисертаційного дослідження є аналітична визначність та її окремі види в множинах різної природи, насамперед, чисел, функцій, формул.

Методи дослідження. У дисертації широко застосовується методологія пошуку та узагальнення матеріалу з визначності різних наук, насамперед - математики.

Одним з основних у роботі є порівняльно-індуктивний метод, що застосовується для критичного аналізу розрізнених наукових гіпотез і теорій в області визначності, з подальшим зведенням найбільш важливих із них в концептуальну систему. У процесі дослідження були також використані: логіко-методологічний підхід, який дозволяє обґрунтовувати і класифікувати, проводити аналіз, вводити основні поняття та концептуально їх систематизовувати; аналітичний метод, на підставі якого було виділено низку ознак А-визначності, досліджено кілька варіантів дефініцій даного поняття та вперше виділено деякі нові види А-визначності; історичний підхід, як основа порівняльного аналізу дослідження А-визначності у різних галузях науки; комплексний підхід, що дозволяє розглядати А-визначність не тільки в рамках логічного знання, але і в ракурсах інших наук з єдиної точки зору.

Наукова новизна дослідження. В роботі розглянуті та проаналізовані дослідження різних аспектів А-визначності, внаслідок чого виділені загальні основи та сформульована узагальнена дефініція А-визначності. Основні елементи наукової новизни дисертації конкретизуються в таких положеннях:

- обґрунтовано, що А-визначність є родовою категорією ряду понять: обчислюваність, виразність, вивідність, репрезентованість, завдяки чому стає можливим розглядати питання зведення як задачі на визначність;

- уточнено емпіричні засади теорії А-визначності на базі матеріалів математичної логіки, що дозволило розкрити ефективність залучення математичного досвіду в формулюванні узагальненої А-визначності;

- виокремленні основні фактори А-визначності, які створюють систему [SMLП], відносно якої має сенс А-визначність: розумний суб'єкт S, що здійснює дослідження; множина М, елементи якої беруть участь в процесі визначення; перетворювальні засоби L (які задовольняють правилам П) за допомогою яких вибудовується процес визначення; надана характеристика кожного фактора; введено поняття відносної й абсолютної невизначності;

- вперше сформульована та запропонована узагальнена дефініція аналітичної визначності, яка полягає в тому, що визначність об'єкта розглядається як його відношення до системи [SMLП] і може бути застосована до об'єктів різної природи;

- вперше введена і досліджена «майже» визначність, як різновид А-визначності, яка передбачає не тотожність, а наближену рівність між визначальним и визначуваним; запроваджено поняття граничної визначності. Граничне зведення спрямовує логіку до дослідження інших конкретних форм визначності, які зустрічаються, наприклад, у співвідношеннях квантової і класичної механік, теорії відносності і класичної механіки.

Практичне значення отриманих результатів. Фактичний матеріал, теоретичні положення та висновки дисертації можуть бути використані для подальшої розробки проблем логіки, математики, методології науки. Результати дослідження можуть застосовуватися для розробки систем штучного інтелекту, створення систем управління складними процесами, проектування автоматизованих систем прийняття рішень тощо. Матеріали дисертації можуть використовуватися під час підготовки та викладання нормативних курсів і спецкурсів з філософії, логіки, методології науки.

Особистий внесок здобувача. Основні положення новизни та результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно.

Апробація роботи. Зміст дисертації обговорювався на засіданнях кафедри філософії філософського факультету Таврійського національного університету ім. В.І. Вернадського. Основні положення дисертаційного дослідження знайшли відображення в доповідях на наукових конференціях: «Проблеми викладання логіки і дисциплін логічного циклу» (Київ, 2004 р.); Таврійські читання «Вітчизняна філософія: сучасні колізії» (семінар «Сучасні типи логічних задач») - Донузлав, 2005 р.; «Логіка і багаторівнева система освіти: методологія і методика викладання» (Київ, 2006 р.); II Таврійські читання «Анахарсіс» (семінар «Історія логіки XX століття»), Донузлав, 2006 р.; Наукова конференція професорсько-викладацького складу, аспірантів і студентів «Актуальні проблеми філософії: суспільство, політика, культура» (Сімферополь, 2006 р., 2007 р.); XIII науково-теоретична конференція професорсько-викладацького складу, аспірантів і студентів Кримського інженерно-педагогічного університету (Сімферополь, 2007 р.); Таврійські читання «Анахарсіс» (семінар «Місце логіки в сучасній системі наук»). - Донузлав, 2007 р.; Таврійські читання «Анахарсіс» (семінар «Логічні форми мислення»). - Крим, с. Пісчане, 2008 р.; «Людина. Світ. Суспільство» (Київ, 2009 р.) .

Структура дисертації. Особливість упорядкування матеріалу визначена методологічними підставами і метою дослідження. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновків і списку використаної літератури. Загальний обсяг роботи становить 171 сторінку, з яких 154 основного тексту; список використаної літератури містить 189 найменувань, у тому числі 29 найменувань іноземними мовами.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обґрунтовується актуальність теми дослідження, мета і завдання роботи, представлені методологічна основа дослідження, перелік положень, що виносяться на захист, обґрунтовується наукова новизна дослідження, опис структури дисертації та апробації результатів роботи, практичне значення роботи.

У першому розділі «Визначність як об'єкт наукового дослідження» з'ясовуються основні властивості визначності, а також розглядається побудова моделі аналітичної визначності, в рамках якої можна проаналізувати вже відомі поняття обчислюваності, виразності, репрезентованості, вивідності.

Підрозділ 1.1. «Проблема визначності» присвячений дослідженню ступеню розробленості проблеми визначності. У зв'язку з цим проаналізовані праці А. Падоа, А. Тарського, Е. Бета, В. Крейга, К. Гьоделя, А. Чьорча, Ч. Чанга, С.К. Кліні, Е. Мендельсона, А. Робінсона та ін. Суттєве значення щодо обраної проблематики мають дослідження В.М. Садовського, В.О. Смирнова, О.Д. Смирнової, В.М. Ніколко та ін. Розглянуті праці, які мають відношення до -визначності (Ю.Л. Єршов, Л.Л. Максимова, Д.Є. Тишковський, П.А. Шрайнер, А.Н. Хісаміев, О.І. Стукачов, А.С. Морозов, О.О. Потехо та ін.), а також аналізу понять «обчислюваність», «репрезентованість», «виразність» (А. Т'юрінг, А.А. Марков, Е. Пост, Дж. Булос та ін.).

Це дозволило дійти висновку про те, що майже всі згадані автори працюють з вузькими класами визначності, а узагальненої теорії визначності не існує взагалі.

У підрозділі 1.2. «Основні фактори аналітичної визначності (А-визначності). Дефініція аналітичної визначності: узагальнене формулювання» на основі порівняльного аналізу дефініцій визначності, що мають місце в працях різних авторів (Смірнов В.О., Смирнова О.Д., Кановєй В.Г., Єршов Ю.Л., Кліні С.К., Ніколко В.М. та ін.), робиться висновок, що переважна більшість дефініцій має аналітичний характер. Ознаками аналітичності є множина М і засоби перетворення L (які задовольняють правилам П), за допомогою яких вибудовується процес визначення. Система, яка містить М, L и П, записується у вигляді «трійки» [МLП]. Отже, Х А-визначний в [МLП], тоді і тільки тоді, коли пред'явлений процес такий, що:

1) будь-яке або є елементом М, або отримано з елементів, що передують (тобто ) за допомогою L;

2) с_n має вигляд Х//[], де // - знак тотожності або рівності, наближення, подібності, аналогії, взаємозамінності тощо; [] - допустима конструкція в [МLП];

3) в [] немає Х.

Можливі еквівалентні формулювання А-визначності в системі [МLП].

Дослідження невизначних або складновизначних об'єктів, на які багата математика, дозволяє виділити деякі спільні для будь-якого процесу визначення фактори, змінюючи які, можна об'єкт з рангу невизначних перевести в ранг визначних, і навпаки. У роботі запропоновано аналіз помітних і важко визначних об'єктів математики, зокрема, розглянуто задачі, в яких з'ясовується визначність невідомих елементів. Це і проблема розв'язку діофантових рівнянь, і теорема П. Ферма, яка стверджує, що для будь-якого натурального числа рівняння не має розв'язків у цілих ненульових числах . Сюди ж увійшов і факт введення поняття кореня квадратного з від'ємного числа в 1545 г. Дж. Кардано, що вплинуло на визначність x при розв'язуванні квадратних рівнянь виду ; розглянуто також визначність і невизначність x при розв'язуванні рівнянь виду тощо. Наведені приклади невирішених або відкритих проблем математики на визначність, наприклад, проблема Гольдбаха, яка стверджує: «будь-яке парне число, більше 2, може бути представлено у вигляді суми двох простих чисел» тощо. У всіх цих випадках з особливою чіткістю виявляється вплив суб'єкта дослідження на висновок про визначність або невизначність об'єкта.

В роботі виділені основні фактори A-визначності: суб'єкт S, який здійснює дослідження (суб'єктивний фактор); засоби перетворення L, що відповідають знайденій дефініції; множина М, робота з елементами якої може вивести на об'єкт, який потрібно визначити.

Виділення факторів визначності дає можливість ввести нові якості аналітичної визначності, а також відокремити нові класи А-визначності.

Деякий Х об'єктивно аналітично визначний за таких умов: якщо існує (може бути побудована) така множина М, до якої Х не обов'язково належить, а також якщо існують (можна побудувати) такі дії з елементами множини М (позначаємо їх L) за правилами П, що вибудовується з елементів М та їх похідних за допомогою L за правилами П послідовність c₁,c₂,…,c_n така, що:

1) будь-яке або є елементом М, або отримано з елементів, що передують (тобто ) за допомогою L;

2) c_n має вигляд Х//[], де // - знак тотожності або рівності, наближення, подібності, аналогії, взаємозамінності тощо; [] - допустима конструкція в [МLП];

3) в [] немає Х.

З урахуванням суб'єктивного фактора, дефініція А-визначності виглядатиме так: Х А-визначний, якщо знайдеться такий суб'єкт S, який пред'явить послідовність c₁,c₂,…,c_n, таку, що будь-яке або з деякої, представленої S множини М, або отримано з попередніх -ому елементів послідовності конструктивними засобами L за оговореними S правилами П, причому c_n має вигляд Х//[], де // - знак тотожності або рівності, наближення, подібності, аналогії, взаємозамінності тощо, в [] немає Х.

У підрозділі 1.3. «Аналітична визначність. Співвідношення А-визначності з найближчими до неї категоріями (обчислюваності, репрезентованості, виразності, вивідності)» аналізується змістовна частина зазначених категорій на інтуїтивному і формальному рівнях, в результаті чого виявляється спільність їх змісту. З цією метою в розгляд вводиться дефініція L-процесу, де L-процес - це послідовність c₁,c₂,…,c_n, де будь-яке є одним із елементів множини М трійки [МLП], або отримано з елементів, що передують за допомогою засобів перетворення L, що задовольняють правилам П. У дисертації розглядається «четвірка» [SMLП], де S - суб'єкт дослідження, M - множина, L - перетворювальні засоби, П - правила, яким відповідають L.

У цьому випадку: Х А-визначний тоді і тільки тоді, коли знайдеться (існує) така «четвірка» [SMLП], що в ній вибудовується L-процес c₁,c₂,…,c_n, який відповідає вище вказаним умовам.

Зв'язок обчислюваності і визначності має тривалу історію дослідження. Існує цілий ряд побудованих незалежно один від одного уточнень поняття обчислюваності: загальна рекурсивність (Гьодель), -визначність (Чьорч), обчислюваність за Тьюрингом, поняття нормального алгоритму Маркова, тощо. Будь-яке із наведених уточнень поняття обчислюваної функції можна прийняти за математичне визначення класу обчислюваних функцій. Основними аргументами для цього є еквівалентність різних формулювань та історичний досвід, який показує, що всі вивчені досі функції, які прийнято вважати обчислюваними, є такими у розумінні дефініції А-визначності.

Обчислюваність - це визначність у числовому полі, де мають місце числа, функції, послідовності чисел тощо. В роботі розглядаються функції, а засоби L - арифметичні операції; заданий також набір вихідних функцій. Тоді, зокрема, функція f(x) обчислювана, якщо можна побудувати процес , що дозволяє простими арифметичними засобами шляхом комбінації вихідних функцій отримати числове значення f(x) для кожного х з області визначення.

Аналогічною є ситуація з репрезентованістю та виразністю. Репрезентованість функції в максимально спрощеному формулюванні, засобами А-визначності, записуємо так: f(x) з областю визначення є репрезентованою за допомогою множини функцій М (з тією ж областю визначення), тоді і тільки тоді, коли знайдеться чи може бути побудована комбінація функцій з М, допустимими для комбінування засобами L, позначимо її [], така, що f(x)=[], причому f(x) не входить до М. Зрозуміло, якщо f(x) може бути репрезентована через обчислювані функції, то вона обчислювана. Виразність - це форма (або вид) репрезентованості.

У підрозділі 1.4. «Невизначність явищ навколишнього світу. Критерій невизначності А. Падоа» розглядається складна і цікава проблема - проблема невизначності. Відповідно, Х невизначний абсолютно, якщо не знайдеться така «четвірка» [SMLП], в якій би був L-процес, що закінчується Х. Однак у більшості випадків йдеться про відносну невизначність. Тому важливо знайти критерій відносної невизначності.

Розглянуто критерій невизначності А. Падоа. Перспективними є випадки відносної невизначності, які пов'язані не з інтерпретацією, як у Падоа, а з обчислюваністю, як є у випадку розв'язання рівняння , де невизначний в множині раціональних чисел, невизначний в множині ірраціональних чисел, але визначний в множині комплексних чисел.

Сучасне дослідження процесів визначення не вийшло на рівень класифікаційного дослідження. В літературі розглядаються окремі види визначності, але не запропоновано єдиного підходу до аналізу визначності. Автори, що працюють над цією проблематикою, як правило, не говорять (за окремими винятками) про визначність взагалом. Все сказане стосовно визначності, належить до сутності окремих видів А-визначності. Тим не менше, вже зараз можна скласти невеликий словник досліджених видів А-визначності та організувати цей словник не у формальний, а у змістовний спосіб.

Підрозділ 1.5. «Класи і види А-визначності» присвячений питанням створення базової класифікації досліджених видів А-визначності. Це дозволило охарактеризувати окремі класи А-визначності, що зустрічаються в літературі (В.О. Смирнов, Ю.Л. Єршов, В.М. Ніколко, О.Д. Смирнова, Л.Л. Максимова та ін.), зокрема, дедуктивну визначність (ДА-визначність), тотожно-аналітичну визначність (ТА-визначність), теоретико-множинну визначність (ТМ-визначність), повну та неповну визначності, -визначність, деякі види визначності в алгебраїчних структурах тощо.

У другому розділі «Визначність фігур у просторі в контексті А-визначності» вводиться і досліджується поняття «майже» визначності. Узагальнена дефініція А-визначності дозволила побудувати нову концепцію визначення, а також виокремити клас логік у вузькому розумінні.

Досвід побудови логіки такого типу представлений у підрозділі 2.1. «Геометрична сумісність. Досвід представлення геометрії у формі логік». Відомо, що термін логіка, крім позначення науки, що займається формами мислення, використовується ще й у вужчому значенні для позначення систем [МLП] з різними формами зведень. Зведення розуміється як родова категорія ряду понять: визначність, вивідність, репрезентованість, обчислюваність тощо. Логіки у вузькому розумінні в залежності від множин і засобів зведення діляться на два види: В-логіки і О-логіки. До перших відносяться відомі логіки, де йдеться про вивідні процеси з суджень; О-логіки мають справу з іншими формами мислення в якості елементів множини та засобами визначення в якості засобів зведення.

Прикладом може служити система [SMLП], де S - суб'єкт дослідження, M - множина геометричних фігур на площині, засоби зведення L - види руху (перетворення симетрії відносно точки; перетворення симетрії відносно прямої; поворот; паралельне перенесення), П - правила, яким відповідають L. А-визначність геометричних фігур вводиться наступним чином: фігура F є визначною фігурою F' в системі [SMLП] тоді і тільки тоді, коли за допомогою вказаних засобів L можна побудувати процес c₁,c₂,…,c_n переходу від F' до F такий, що:

1) будь-яке є або елемент М або отримано з попередніх елементів (тобто c_j-k, ): засобами .

2) с_n перебуває у відношенні рівності до F;

3) серед () немає F.

Якщо ввести в розгляд поняття топологічного простору, можна навести приклад операційної визначності (F операційно визначний F', якщо є такі операції, які перетворюють (деформують) F в F'). Нехай є деяка система [SMLП], де S - суб'єкт, M - множина елементів, L - дії, П - правила дій. Будемо вважати, що у суб'єкта S є в розпорядженні такі дії L за правилами П, завдяки яким M розподіляється на підмножини А та В таким чином, що будь-який елемент В або визначний елементами з А, або виводиться з них. В якості множин А і В беремо два топологічних простори (Х, Т₁) та (У, Т₂) з топологіями Т₁ і Т₂ відповідно, а Х та У - це деякі множини геометричних фігур. Будемо говорити, що фігура F з Х операційно визначна фігурою F' з Y в системі [SMLП], тоді і тільки тоді, коли існує гомеоморфізм ц(х): ХУ, якій «перетворює» одну фігуру в іншу.

У підрозділі 2.2. «Майже» визначність: формулювання та первинний аналіз» досліджуються можливі конкретизації запропонованого раніше формулювання аналітичної визначності (Розділ 1). По суті йдеться про перспективи подальшої концептуалізації визначності. Звісно, разом з цим вирішуються різноманітні задачі, зокрема: задача авторського формулювання так званої «майже» визначності; задача початкового аналізу «майже» визначності та її зв'язків з відомими в логіці явищами, на зразок міркувань за аналогією тощо.

Вводиться поняття «майже» визначності: нехай дана «четвірка» [SMLП] довільної природи. Будемо говорити, що деякий Х «майже» визначний у системі [SMLП], тоді і тільки тоді, коли суб'єктом S пред'явлений процес c₁,c₂,…,c_n такий, що:

будь-яке - або елемент M, або отримано з попередніх (тобто c_j-k, ) елементів засобами L за правилами П.

c_n перебуває з Х у відношенні подібності або аналогії.

«Майже» визначність є різновидом А-визначності, яка передбачає не тотожність між визначальним і визначуваним, а наближену рівність. Наприклад, фігура «майже» визначна фігурою , якщо вона переводиться в неї перетворенням подібності.

Як було сказано вище, в дефініції «майже» визначності, в якості відношення між визначальним і визначуваним може виступати аналогія. Дійсно, зазвичай під аналогією розуміють висновок, в якому деяка інформація про об'єкт ( називається моделлю) переноситься на інший об'єкт (який називають прототипом) на підставі деякої «схожості» або «подібності» між та : . В рамках концепції A-визначності це записується таким чином: нехай дана деяка «п'ятірка» [SABLП], де S - суб'єкт, А і В деякі множини, П - правила за якими будується L-процес. Деякий ХА - модель аналогії, YB - прототип аналогії. Для з'ясування «майже» визначності Х прототипом Y необхідно побудувати L-процес c₁,c₂,…,c_n з'ясування «близькості» Х і Y. І якщо «майже» визначність має місце, можна казати про «перенесення» деякої властивості моделі Х на прототип Y.

Звичайно, «майже» визначність вимагає додаткових досліджень, але, без сумніву, можна стверджувати, що її введення розширить предметну галузь теорії А-визначності.

Узагальнене формулювання A-визначності, наведене в Розділі 1 дисертаційного дослідження, дозволяє не лише охопити з єдиної точки зору різні форми А-визначності у вигляді обчислюваності, репрезентованості, виразності, вивідності, відомі в математичній і логічній літературі, а й, найголовніше, - вийти на нові, не менш фундаментальні форми і види A-визначності.

У третьому розділі «Дослідження граничної визначності як виду А-визначності» введено поняття граничної визначності. Наведена в першому розділі дисертації методологія визначності дозволяє виявити в складному процесі з'ясування визначності тих чи тих об'єктів в деякій множині логічну складову, що включає в себе: дефініцію граничної визначності, роз'яснення та приклади; виділення окремих видів граничної визначності (дефініція, характеристика); дослідження зв'язку репрезентованості, обчислюваності, виразності, наближення одних об'єктів математики іншими.

Гранична визначність - це один з типів аналітичної визначності, пов'язаний з побудовою процесів наближення. В цьому випадку, на кожному кроці процесу визначення отримуємо наступну послідовність: , ,…, , до того ж, чим більше число , , тим менше відрізняється від Х (стає «ближчим» до Х).

Розглянемо «четвірку» [SMLП]. Будемо говорити, що гранично визначний в системі [SMLП], тоді і тільки тоді коли суб'єктом пред'явлений процес c₁,c₂,…,c_n такий, що:

будь-яке - або елемент M або одержано з попередніх елементів (тобто ) засобами L за правилами П;

в [SMLП] є оціночний процес, який дає можливість встановити «близькість» до Х;

будь-яке «ближче» до Х ніж якщо ;

для будь-якої «близькості» до Х знайдеться таке c_n, яке задовольняє цій «близькості».

Іншими словами, нехай, наприклад, маємо набір функцій які в деякому розумінні «відомі», та є функція природу якої ми встановлюємо. Ясно, що «стає» відомою (зрозумілою), а в нашій термінології гранічно А-визначною, якщо з вказаного набору функцій можна побудувати послідовність їх комбінацій , таку, що для будь-якого і для будь-якого з області визначення в наборі знайдеться таке , що .

В якості прикладу розглядається процес інтерполяції функції , пов'язаний з пошуком функції , такій, що , для будь-якого з області визначення. Або ж, репрезентованість функції у вигляді тригонометричного ряду Фур'є.

Наприклад, . Зауважимо, що принцип Дирихле можливо трактувати як необхідну умову гранічної визначності функції . Тобто, якщо:

інтервал, на якому функція визначена, може бути розділений на скінчене число інтервалів, в кожному з яких функція неперервна та монотонна (графік цієї функції або зростає, або спадає);

в будь-якій точці, де має розрив, існує скінчене значення функції в цій точці, то функція гранично визначна.

Також виділений окремий вид граничної визначності - тотожна аналітична визначність (ТА-визначність), яка характеризується тим, що в системі [SMLП] існує відбірковий процес, завдяки якому Х=[], де [] - одна з комбінацій [SMLП], що не містить Х. Прикладом А-визначності такого типу є визначення коренів рівняння. При розгляді рівнянь, які неможливо розв'язати раціональними засобами, користуються методами наближеного обчислення. В цьому випадку в якості методів обчислення можуть бути різноманітні методи знаходження наближених рішень: метод половинного ділення, метод ітерацій, тощо. Наприклад, потрібно визначити значення , які задовольняють рівнянню . В якості множини М виступає множина дійсних чисел. В результаті застосування метода ітерацій (метода послідовних наближень) ми отримуємо послідовність , де (), - можливе наближення кореня рівняння. Процес зупиняється, як тільки знайдеться таке , що для будь-якого вірно, що , і тоді робимо висновок, що - корінь рівняння.

аналітичний визначність логіка геометричний

ВИСНОВКИ

Отримані у ході дисертаційного дослідження, створюють концепцію загальних основ та окремих видів аналітичної визначності.

При аналізі єдності змісту дефініцій А-визначності різних авторів, виділено фактори А-визначності, які створюють систему [SMLП], відносно якої має сенс А-визначність: розумний суб'єкт S, що здійснює дослідження (суб'єктивний фактор); множина М, робота з елементами якої може вивести на об'єкт, що потрібно визначити; перетворювальні засоби L (що задовольняють правилам П), за допомогою яких вибудовується процес визначення.

Запропонована узагальнена дефініція А-визначності, яка полягає в тому, що деякий X об'єктивно аналітично визначний: якщо існує (може бути побудована) така множина М, до якої Х не обов'язково належить, а також якщо існують (можна побудувати) такі дії з елементами множини М (позначаємо їх L) за правилами П, що вибудовується з елементів М та їх похідних за допомогою L за правилами П послідовність , така, що:

1) будь-яке - або елемент множини М, або отримано з елементів, що передують (тобто ) за допомогою L;

2) c_n має вигляд Х//[], де // - знак тотожності або рівності, наближення, подібності, аналогії, взаємозамінності тощо; [] - допустима конструкція в [MLП];

3) в [] немає Х.

З урахуванням суб'єктивного фактора дефініція А-визначності виглядає так: Х визначний, якщо знайдеться такий суб'єкт S, який пред'явить послідовність c₁,c₂,…,c_n таку, що будь-яке або з деякої, представленої S множини М, або отримано з попередніх -ому елементів послідовності конструктивними засобами L за встановленими S правилами, причому c_n має вигляд Х//[], де // - знак тотожності або рівності, наближення, подібності, аналогії, взаємозамінності тощо, в [] немає Х.

Сформульовано пропозицію розглядати А-визначність, вивідність, репрезентованість, виразність як різновиди L-процесів, які являють собою послідовності де будь-яке є або одним з елементів множини М, або отримано з попередніх (тобто ) елементів за допомогою перетворювальних засобів L за правилами П відповідної «четвірки» [SМLП].

Запропоновано словник відомих класів А-визначності.

• Розглянуто логіки у вузькому значенні, в ролі яких виступають системи [SМLП] з різними формами зведень, де S - суб'єкт, М - множина елементів, L - засоби перетворення елементів множини М та результатів цих перетворень, П - правила, яким відповідають L. Перетворення можуть бути введені як L-процеси. Побудована система [SМLП], де в ролі множини М розглядається множина геометричних фігур на площині, а в якості засобів перетворення виступають види руху.
• Запропоновано два нових класи А-визначності: «майже» визначність та гранична визначність з авторськими характеристиками класів А-визначності.
• Зазначені пункти формують сучасну методологію А-визначності, яка є важливою в дослідженнях визначності та інших предметних складових логіки.
• ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ДИСЕРТАЦІЇ ВІДОБРАЖЕНІ В ТАКИХ ПУБЛІКАЦІЯХ
• Сарачева А.С. Формализация некоторых занимательных задач на определимость / А.С. Сарачева // Ученые записки Таврического национального университета им. В.И. Вернадского. Философия. - 2006. - Т. 19(58), № 1. - С. 285-288.
• Сарачева А.С. Систематизация классов определимости / А.С. Сарачева // Культура народов Причерноморья. - 2007. - № 106. - С. 283-286.
• Сарачева А.С. Определимость функций в современной математике (на примере предельной определимости) / А.С. Сарачева // Ученые записки Таврического национального университета им.В.И. Вернадского. Философия. Социология. - 2008. - Т. 21(60), № 2. - С. 211-220.
• Сарачева А.С. Процессы дифференцирования и интегрирования как задачи на предельную определимость / А.С. Сарачева // Ученые записки Таврического национального университета им.В.И. Вернадского. Философия. Социология. - 2008. - Т. 21(60), № 3. - С. 238-245.
• Сарачева А.С. Факторы определимости / А.С. Сарачева // Ученые записки Таврического национального университета им. В.И. Вернадского. Философия. Социология. - 2008. - Т. 21(60), № 4 - С.198-204.
• Сарачева А.С. О формализации решений некоторых типов задач на определимость / А.С. Сарачева // Проблемы преподавания логики и дисциплин логического цикла : междунар. науч.-практ. конф., 13-14 мая 2004 г.: тезисы докл. - Киев: изд.-полигр. центр «Киевский университет», 2004. - С. 91-93.
• Сарачева А.С. К вопросу о числе правил традиционного стандарта определений / А.С. Сарачева // Актуальные проблемы философии. Общество. Политика. Культура: XXXV научн. конфер. проф.-преподав. состава, аспирантов и студентов, 25-28 апр. 2006 г. / Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского. - Симферополь : изд. ОАО «Симферопольская городская типография», 2006. - Вып. 2. - С. 55-58.
• Гриневич А.С. К вопросу о неопределимости явлений / А.С. Гриневич // Людина. Світ. Суспільство. (До 175-річчя філософського факультету) : матеріали доповідей та виступів. Ч. IV. - Київ : КНУ, 2009. - С. 11-12.

Примітка: Сарачева Г.С. - дівоче прізвище Гриневич Г.С. (свідоцтво № 542 від 06.12.2008 г.).

Размещено на Allbest.ru