Елейска школа досить цікава для дослідження, тому що це одна з найдавніших шкіл, у працях якої математика і філософія достатньо тісно і різнобічно взаємодіють. Основними представниками елейскої школи вважають Парменида (кінець VI-V ст. до н.е.) і Зенона (перша половина V ст. до н.е.).

Філософія Парменида полягає в наступному: усілякі системи світорозуміння базуються на одній з трьох посилок: 1)Є тільки буття, небуття немає; 2)Існує не тільки буття, але і небуття; 3) Буття і небуття тотожні. Вірною Парменид визнає тільки першу посилку. Відповідно до нього, буття єдине, неподільне, незмінне, позачасне, закінчено в собі, тільки воно істинно існуюче; множинність, мінливість, переривчастість, текучість - усе це уділ мнимого.

З захистом навчання Парменида від заперечень виступив його учень Зенон. Древні приписували йому сорок доказів для захисту навчання про єдність існуючого (проти множинності речей) і п'ять доказів його нерухомості (проти рухомості). З них до нас дійшло усього дев'ять. Найбільшою популярністю за всіх часів користувалися зенонові докази проти рухомості; наприклад, «рухомість не існує на тій підставі, що тіло, що переміщається, повинно колись дійти до половини, перед тим як до кінця, а щоб дійти до половини, потрібно пройти половину цієї половини і т.д.».

Аргументи Зенона призводять до парадоксальних, з погляду «здорового глузду», висновків, але їх не можна було просто відкинути як неспроможні, оскільки і за формою, і по змісту задовольняли математичним стандартам тієї пори. Розклавши апорії Зенона на складові частини і рухаючись від висновків до посилок, можна реконструювати вихідні положення, що він узяв за основу своєї концепції. Важливо відзначити, що в концепції еліатів, як і в дозеноновскій науці фундаментальні філософські уявлення істотно спиралися на математичні принципи. Значне місце серед них займали такі аксіоми:

Сума нескінченно великого числа будь-яких, хоча б і нескінченно малих, але протяжних розмірів повинна бути нескінченно великою;

Сума будь-якого, хоча б і нескінченно великого числа непротяжних розмірів завжди дорівнює нулю і ніколи не може стати деяким заздалегідь заданим протяжним розміром.

Саме в силу тісного взаємозв'язку загальних філософських уявлень із фундаментальними математичними положеннями удар, нанесений Зеноном по філософських поглядах, істотно торкнув системи математичних знань. Цілий ряд найважливіших математичних побудов, що рахувалися до цього безсумнівно вірними, у світлі зеноновських побудов виглядали як суперечливі. Міркування Зенона призвели до необхідності переосмислити такі важливі методологічні питання, як природа безкрайості, співвідношення між безупинним і перериваним і т. п. Вони звернули увагу математиків на нетривкість фундаменту їхньої наукової діяльності й у такий спосіб зробили стимулюючий вплив на прогрес цієї науки.

Варто звернути увагу і на зворотну зв'язок - на роль математики у формуванні елейскої філософії. Так, встановлено, що апорії Зенона пов'язані з перебуванням суми безкінечної геометричної прогресії. На цій підставі радянський історик математики Э. Кольман зробив припущення, що «саме на математичний грунті підсумовування таких прогресій і виростили логіко-філософські апорії Зенона». Проте таке припущення, очевидно, позбавлено достатніх основ, тому що воно занадто жорстко зв'язує навчання Зенона з математикою при тому, що існуючі історичні дані не дають підстави підтверджувати, що Зенон взагалі був математиком.

Величезне значення для наступного розвитку математики мало підвищення рівня абстракції математичного пізнання, що відбулося у великому ступені завдяки діяльності еліатів. Конкретною формою прояву цього процесу було виникнення побічного доказу («від противного»), характерною рисою якого є доказ не самого твердження, а абсурдності оберненого йому. У такий спосіб був зроблений крок до становлення математики як дедуктивної науки, створені деякі передумови для її аксіоматичної побудови.

Отже, філософські міркування еліатів, з одного боку, стали потужним поштовхом для принципово нової постановки найважливіших методологічних питань математики, а з іншого боку - послужили джерелом виникнення якісно нової форми обґрунтування математичних знань.

Демокріт

Аргументи Зенона розкрили внутрішні протиріччя, що мали місце в сформованих математичних теоріях. Тим самим факт існування математики був поставлений під сумнів. Якими ж шляхами вирішувалися протиріччя, виявлені Зеноном?

Найпростішим виходом із положення, що створилося, була відмова від абстракцій на користь того, що можна безпосередньо перевірити за допомогою відчуттів. Таку позицію зайняв софіст Протагор. Він вважав, що «ми не можемо уявити собі нічого прямого або круглого в тому змісті, як подає ці терміни геометрія; справді, коло стосується прямої не в одній точці». Таким чином, із математики варто прибрати як ірреальні: уявлення про безкінечне число речей, тому що ніхто не може вважати до безкрайості; безкінечну подільність, оскільки вона нездійсненна практично і т.д. Таким шляхом математику можна зробити невразливою для міркувань Зенона, але при цьому практично скасовується теоретична математика. Значно складніше було побудувати систему фундаментальних положень математики, у якій би виявлені Зеноном протиріччя не мали б місця. Цю задачу вирішив Демокріт, розробивши концепцію математичного атомізму.

Демокріт був, на думку Маркса, «першим енциклопедичним розумом серед греків». Диоген Лаерцій (III ст. н.е.) називає 70 його творів, у яких були освітлені питання філософії, логіки, математики, космології, фізики, біології, громадського життя, психології, етики, педагогіки, філології, мистецтва, техніки й інші. Аристотель писав про нього: «Взагалі, крім поверхневих вишукувань, ніхто нічого не встановив, крім Демокріта. Що ж стосується його, то утворюється таке враження, що він передбачив усе, та й у методі обчислень він вигідно відрізняється від інших».

Вступною частиною наукової системи Демокріта була «каноніка», у якій формулювалися й обгрунтовувались принципи атомістичної філософії. Потім випливала фізика, як наука про різноманітні прояви буття, і етика. Каноніка входила у фізику в якості вихідного поділу, етика ж будувалася як породження фізики. У філософії Демокріта насамперед установлюється розходження між «справді існуючим» і тим, що існує тільки в «загальній думці». Справді існуючими рахувалися лише атоми і пустота. Як справді існуюче, пустота (небуття) є така ж реальність, як атоми (буття). «Велика пустота» безмежна й укладає в собі все існуюче, у ній немає ні верха, ні низу, ні краю, ні центру, вона робить переривану матерію і можливим її прямування. Буття утворять незліченні дрібні якісно однорідні першотільця, що різняться між собою по зовнішніх формах, розміру, положенню і порядку, вони далі неподільних внаслідок абсолютної твердості і відсутності в них пустоти і «по розміру неподільні». Атомам самим по собі властиво безперестанне прямування, розмаїтість якого визначається безкінечною розмаїтістю форм атомів. Прямування атомів вічно і в остаточному підсумку є причиною всіх змін у світі.

Задача наукового пізнання, відповідно до Демокріта, щоб явища, що спостерігаються, зводити до області «істинного існуючого» і дати їм пояснення виходячи з загальних принципів атомістики. Це може бути досягнуте за допомогою спільної діяльності відчуттів і розуму. Гносеологічну позицію Демокріта Маркс сформулював у такий спосіб: «Демокріт не тільки не віддалився від світу, а, навпаки, був емпіричним натуралістом». Зміст вихідних філософських принципів і гносеологічні установки визначили основні риси наукового методу Демокріта:

а) У пізнанні виходити від одиничного;

б) Будь-які предмет і явище розкладені до найпростіших елементів (аналіз) і з'ясовні виходячи з них (синтез);

в) Розрізняти існування «по істині» і «відповідно до думки»;

г) Явища дійсності - це окремі фрагменти упорядкованого космосу, що виник і функціонує в результаті дій чисто механічної причинності.

Математика по праву повинна рахуватися в Демокріта першим поділом власне фізики і випливати безпосередньо за канонікою. Справді, атоми якісно однорідні і їхні первинні властивості мають кількісний характер. Проте було б неправильно трактувати навчання Демокріта як різновид піфагореїзму, оскільки Демокріт хоча і зберігає ідею панування у світі математичної закономірності, але виступає з критикою апріорних математичних побудов піфагорійців, рахуючи, що число повинно виступати не законодавцем природи, а витягатися з її. Математична закономірність виявляється Демокрітом із явищ дійсності, і в цьому контексті він передбачає ідеї математичного природознавства. Вихідні початки матеріального буття виступають у Демокріта в значній мірі як математичні об'єкти, і відповідно до цього математику приділяється значне місце в системі світогляду як науці про первинні властивості речей. Проте включення математики в основу світоглядної системи вимагало її перебудови, приведення математики у відповідність із вихідними філософськими положеннями, із логікою, гносеологією, методологією наукового дослідження. Створена в такий спосіб концепція математики, називана концепцією математичного атомізму, виявилася істотно відмінною від попередніх.

У Демокріта всі математичні об'єкти (тіла, площини, лінії, точки) виступають у визначених матеріальних уявах. Ідеальні площини, лінії, точки в його навчанні відсутні. Основною процедурою математичного атомізму є розкладання геометричних тіл на найтонші листочки (площини), площин - на найтонші нитки (лінії), ліній - на дрібні зернятка (атоми). Кожний атом має малий, але ненульовий розмір і далі неподільний. Тепер довжина лінії визначається як сума неподільних часток, що утримуються в ній. Аналогічно вирішується питання про взаємозв'язок ліній на площині і площин у тілі. Число атомів у кінцевому обсязі простору не нескінченне, хоча і настільки велике, що недосяжне почуттям. Отже, головною відмінністю навчання Демокріта від розглянутих раніше є заперечення ним безкінечної подільності. У такий спосіб він вирішує проблему правомірності теоретичних побудов математики, не зводячи їх до почуттєво сприйманих уяв, як це робив Протагор. Так, на міркування Протагора про торкання окружності і прямої Демокріт міг би відповісти, що почуття, що є відправним критерієм Протагора, показують йому, що чим точніше креслення, тим менше ділянка торкання; у дійсності ж ця ділянка настільки мала, що не піддається почуттєвому аналізу, а ставиться до області істинного пізнання.

Керуючись положеннями математичного атомізму, Демокріт проводить ряд конкретних математичних досліджень і досягає видатних результатів (наприклад, теорія математичної перспективи і проекції). Крім того, він зіграв, за свідченням Архімеда, немаловажну роль у доказі Евдоксом теорем про обсяг конуса і піраміди. Не можна з упевненістю сказати, чи користувався він при рішенні цієї задачі методами аналізу нескінченно малих. А.О. Маковельский пише: «Демокріт вступив на шлях, по якому далі пішли Архімед і Кавальєрі. Проте, підійшовши впритул до поняття нескінченно малого, Демокріт не зробив останнього рішучого кроку. Він не припускає безмежного збільшення кількості складових, що утворять у своїй сумі даний обсяг. Він приймає лише надзвичайно велике, що не піддається численню внаслідок своєї величезності число цих складових».

Видатним досягненням Демокріта в математиці явилася також його ідея про побудову теоретичної математики як системи. У зародковій формі вона являє собою ідею аксіоматичної побудови математики, що потім була розвита в методологічному плані Платоном і одержала логічно розгорнуте положення в Аристотеля.

Платонівський ідеалізм

Твори Платона (427-347 р. до н.е.) - унікальне явище у відношенні виділення філософської концепції. Це високохудожнє, що захоплює опис самого процесу становлення концепції, із сумнівами і непевністю, часом із безрезультатними спробами вирішення поставленого питання, із поверненням до вихідного пункту, численними повтореннями і т. п. Виділити у творчості Платона якийсь аспект і систематично викласти його досить складно, тому що потрібно реконструювати думки Платона з окремих висловлень, що настільки динамічні, що в процесі еволюції думки часом перетворюються у свою протилежність.

Платон неодноразово висловлював своє відношення до математики і вона завжди оцінювалася їм дуже високо: без математичних знань «людина з будь-якими природними властивостями не стане блаженним», у своїй ідеальній державі він припускав «затвердити законом і переконати тих, що мають намір зайняти в місті високі посади, щоб вони тренувались у науці числення». Систематичне широке використання математичного матеріалу має місце в Платона, починаючи з діалогу «Менон», де Платон підводить до основного висновку за допомогою геометричного доказу. Саме висновок цього діалогу про те, що пізнання є пригадування, став основним принципом платонівської гносеології.

Значно в більшій мірі, чим у гносеології, вплив математики виявляється в онтології Платона. Проблема будови матеріальної дійсності в Платона одержала таке трактування: світ речей, сприйманий за допомогою почуттів, не є світ істинно існуючого; речі безупинно виникають і гинуть. Щирим буттям володіє світ ідей, що безтілесні, нечуттєві і виступають стосовно речей як їхньої причини й уяви, по котрим ці речі створюються. Далі, крім почуттєвих предметів і ідей він установлює математичні істини, що від почуттєвих предметів відрізняються тим, що вічні і нерухомі, а від ідей - тим, що деякі математичні істини подібні одна з одною, ідея ж всякий раз тільки одна. У Платона в якості матерії початками є велике і мале, а в якості сутності - єдине, тому що ідеї (вони ж числа) утворюються з великого і малого через прилучення їх до єдності. Почуттєво сприйманий світ, відповідно до Платона, створений Богом. Процес побудови космосу описаний у діалозі «Тимей». Ознайомившись з цим описом, потрібно визнати, що Творець був добре знайомий із математикою і на багатьох етапах створення істотно використовував математичні положення, а часом і виконував точні обчислення.

За допомогою математичних відношень Платон намагався охарактеризувати і деякі явища громадського життя, прикладом чого може служити трактування соціального відношення «рівність» у діалозі «Горгій» і в «Законах». Можна заключити, що Платон істотно спирався на математику при розробці основних поділів своєї філософії: у концепції «пізнання - пригадування», навчанні про сутність матеріального буття, про устрій космосу, у трактуванні соціальних явищ і т.д. Математика зіграла значну роль у конструктивному оформленні його філософської системи. Так у чому ж полягала його концепція математики?

Відповідно до Платона, математичні науки (арифметика, геометрія, астрономія і гармонія) даровані людині богами, що «зробили число, дали ідею часу і збудили потребу дослідження всесвітом». Споконвічне призначення математики в тому, щоб «очищався і пожвавлювався той орган душі людини, розстроєний і осліплений іншими справами», що «важливіше, чим тисяча очей, тому що ним одним споглядається істина». «Тільки ніхто не користується нею (математикою) правильно, як наукою, що приводить неодмінно до існуючого». «Неправильність» математики Платон бачив насамперед у її придатності для вирішення конкретних практичних задач. Не можна сказати, щоб він взагалі заперечив практичну придатність математики. Так, частина геометрії потрібна для «розташування таборів», «при всіх побудовах, як під час самих боїв, так і під час походів». Але, на думку Платона, «для таких речей…достатня мала частина геометричних і арифметичних вирахувань, частина ж їх велика, що простирається далі, повинна…сприяти найлегшому засвоєнню ідеї блага». Платон негативно відзивався про ті спроби використання механічних методів для рішення математичних задач, що мали місце в науці того часу. Його незадоволеність викликала також прийняте сучасниками розуміння природи математичних об'єктів. Розглядаючи ідеї своєї науки як відбиток реальних зв'язків дійсності, математики у своїх дослідженнях поряд з абстрактними логічними міркуваннями широко використовували почуттєві уяви, геометричні побудови. Платон усіляко намагається переконати, що об'єкти математики існують відособлено від реального світу, тому при їхньому дослідженні неправомірно удаватись до почуттєвої оцінки.

Таким чином, в історично сформованій системі математичних знань Платон виділяє тільки умоглядну, дедуктивно побудовану компоненту і закріплює за нею право називатися математикою. Історія математики містифікується, теоретичні поділи різко протипоставляться обчислювальному апарату, до межі звужується область додатка. У такому перекрученому виді деякі реальні сторони математичного пізнання і послужили одним з основ для побудови системи об'єктивного ідеалізму Платона. Адже сама по собі математика до ідеалізму взагалі не веде, і з метою побудови ідеалістичних систем її потрібно істотно деформувати.

Питання про вплив, здійснений Платоном на розвиток математики, досить важке. Тривалий час панувало переконання, що внесок Платона в математику був значний. Проте більш глибокий аналіз призвів до зміни цієї оцінки. Так, О. Нейгебауер пише: «Його власний прямий внесок у математичні знання, очевидно, був рівним нулю… Винятково елементарний характер прикладів математичних міркувань, які наводяться Платоном і Аристотелем, не підтверджує гіпотези про те, що Увдокс або Тєетет чому-небудь навчилися в Платона… Його порада астрономам замінити спостереження спекуляцією міг би зруйнувати один із найбільше значних внесків греків у точні науки». Така аргументація цілком переконлива; можна також погодитися і з тим, що ідеалістична філософія Платона в цілому зіграла негативну роль у розвитку математики. Проте не варто забувати про складний характер цього впливу.

Платонові належить розробка деяких важливих методологічних проблем математичного пізнання: аксіоматична побудова математики, дослідження відношень між математичними методами і діалектикою, аналіз основних форм математичного знання. Так, процес доказу необхідно зв'язує набір доведених положень у систему, в основі якої лежать деякі недовідні положення. Той факт, що початку математичних наук «суть припущення», може викликати сумнів в істинності всіх наступних побудов. Платон вважав такий сумнів необгрунтованим. Відповідно до його пояснення, хоча самі математичні науки, «користуючи припущеннями, лишають їх у нерухомості і не можуть дати для них підстави», припущення знаходять підстави за допомогою діалектики. Платон висловив і ряд інших положень, що виявилися плідними для розвитку математики. Так, у діалозі «Бенкет» висувається поняття межі; ідея виступає тут як межа становлення речі.

Критика, якій піддавалися методологія і світоглядна система Платона з боку математиків, при усій своїй важливості не торкалася самої основи ідеалістичної концепції. Для заміни розробленої Платоном методології математики більш продуктивною системою потрібно було піддати критичному розборові його навчання про ідеї, основні поділи його філософії і як слідство цього - його погляд на математику. Ця місія випала на долю учня Платона - Аристотеля.

Система філософії математики Аристотеля

К. Маркс назвав Аристотеля (384-322 р. до н.е.) «найбільшим філософом стародавності». Основні питання філософії, логіки, психології, природознавства, техніки, політики, етики й естетики, поставлені в науці Древньої Греції, одержали в Аристотеля повне і всебічне освітлення. У математиці він, очевидно, не проводив конкретних досліджень, проте найважливіші сторони математичного пізнання були піддані їм глибокому філософському аналізу, що послужило методологічною основою діяльності багатьох поколінь математиків.

До часів Аристотеля теоретична математика пройшла значний шлях і досягла високого рівня розвитку. Продовжуючи традицію філософського аналізу математичного пізнання, Аристотель порушив питання про необхідність впорядкування самого знання, про засоби засвоєння науки, про цілеспрямовану розробку мистецтва ведення пізнавальної діяльності, що включає два основних поділи: «освіченість» і «наукове знання справи». Серед відомих творів Аристотеля немає спеціально присвячених викладу методологічних проблем математики. Але по окремих висловленнях, по використанню математичного матеріалу в якості ілюстрацій загальних методологічних положень можна скласти уявлення про те, який був його ідеал побудови системи математичних знань.

Вихідним етапом пізнавальної діяльності, відповідно до Аристотеля, є навчання, що «засноване на (деякому) вже раніше наявному знанні… Як математичні науки, так і кожне з інших мистецтв набувається (саме) таким способом». Для відділення знання від незнання Аристотель пропонує проаналізувати «усі ті думки, що по-своєму висловлювали в цій області деякі мислителі» і обміркувати виниклі при цьому утруднення. Аналіз варто проводити з метою з'ясовування чотирьох питань: «що (річ) є, чому (вона) є, чи є (вона) і що (вона) є».

Основним принципом, що визначає всю структуру «наукового знання справи», є принцип зведення усього до початків і відтворення усього з початків. Універсальним процесом виробництва знань із початків, відповідно до Аристотелеві, виступає доказ. «Доказом же я називаю силогізм, - пише він, - який дає знання». Викладу теорії доказового знання цілком присвячений «Органон» Аристотеля. Основні положення цієї теорії можна згрупувати розділи, кожний із який розкриває одну з трьох основних сторін математики як науки, що доказує: «те, щодо чого доводиться, те, що доводиться і те, на підставі чого доводиться». Таким чином, Аристотель диференційовано підходив до об'єкта, предмету і засобам доказу.

Існування математичних об'єктів признавалося задовго до Аристотеля, проте піфагорійці, наприклад, припускали, що вони знаходяться в почуттєвих речах, платоніки ж, навпаки, вважали їх існуючими окремо. Відповідно до Аристотеля:

У почуттєвих речах математичні об'єкти не існують, тому що «знаходитися в тому ж самому місці два тіла не в змозі»;

«Неможливо і те, щоб такі реальності існували окремо».

Аристотель вважав предметом математики «кількісну визначеність і безперервність». У його трактуванні «кількістю називається те, що може бути розділене на складові частини, кожна з яких являється чимось одним, даним у наявності. Та або інша кількість є множина, якщо її можна рахувати, це розмір, якщо його можна виміряти». Множиною при цьому називається те, «що в можливості (потенційно) ділиться на частини не безупинні, величиною те, що ділиться на частині безупинні». Перед тим, як дати визначення безперервності, Аристотель розглядає поняття безкінечного, тому що «воно ставиться до категорії кількості» і виявляється насамперед у безупинному. «Що безкінечне існує, впевненість у цьому виникає в дослідників із п'ятьох основ: із часу (тому що воно нескінченно); із поділу розмірів…; далі, тільки в такий спосіб не вичерпуються виникнення і знищення, якщо буде безкінечне, відкіля береться виникаюче. Далі, із того, що кінцеве завжди граничить із чим-небудь, тому що необхідно, щоб одне завжди граничило з іншим. Але більше усього - …на тій підставі, що мислення не зупиняється: і число здається безкінечним, і математичні розміри». Чи існує безкінечне як окрема сутність або воно є акциденцією розміру або множини? Аристотель приймає другий варіант, тому що «якщо безкінечне не є ні розмір, ні множина, а саме є сутністю…, то воно буде неподільне, тому що ділене буде або розміром, або множиною. Якщо ж воно не неподільне, воно не нескінченно в змісті непрохідного до кінця». Неможливість математичного безкінечного як неподільного випливає з того, що математичний об'єкт - відволікання від фізичного тіла, а «актуально неподільне безкінечне тіло не існує». Число «як щось окреме й у той же час безкінечне» не існує, адже»… якщо можливо перерахувати численне, то буде можливість пройти до кінця і безкінечне». Таким чином, безкраїсть тут у потенції існує, актуально ж - немає.

Спираючись на викладене вище розуміння безкінечного, Аристотель визначає безперервність і переривчастість. Так, «безупинне є саме по собі щось суміжне. Суміжне є те, що, наслідуючи за іншим, стосується його». Число як типово перериване (дискретне) утворення формується з'єднанням дискретних, далі неподільних елементів - одиниць. Геометричним аналогом одиниці є точка; при цьому з'єднання точок не може утворити лінію, тому що «точкам, із яких було б складене безупинне, необхідно або бути безупинними, або торкатись один одного». Але безупинними вони не будуть: «адже краю точок не утворюють чого-небудь єдиного, тому що в неподільного немає ні краюї, ні іншої частини». Точки не можуть і торкатись одна одної, оскільки торкаються «всі предмети або як ціле цілого, або своїми частинами, або як ціле частини. Але тому що неподільне не має частин, їм необхідно торкатись цілком, але те що торкається цілком не утворить безупинного».

Неможливість упорядкування безупинного з неподільних і необхідність його розподілу на завжди подільні частини, установлені для розміру, Аристотель поширює на рух, простір і час, обгрунтовуючи (наприклад, у «Фізиці») правомірність цього кроку. З іншого боку, він дійде висновку, що визнання неподільних розмірів суперечить основним властивостям руху. Виділення безупинного і перериваного як різних родів буття послужило основою для розмежування в логіко-гносеологічній області, для різкого відмежування арифметики від геометрії.

«Початками… у кожному роді я називаю те, відносно чого не може бути доведено, що воно є. Отже, те, що позначає первинне і з нього що випливає, приймається. Існування початків необхідно прийняти, інше - варто довести. Наприклад, що таке одиниця або що таке пряма або що таке трикутник (варто прийняти); що одиниця і розмір існує, також варто прийняти, інше - довести». У питанні про появу в людей спроможності пізнання початків Аристотель не погоджується з точкою зору Платона про уродженість таких спроможностей, але і не припускає можливості придбання їх; тут він пропонує таке рішення: «необхідно володіти деякою можливістю, проте не такою, що перевершувала б ці спроможності у відношенні точності». Але така можливість, очевидно, властива всім живим істотам; справді, вони мають природжену спроможність розбиратися, що називається почуттєвим сприйняттям. Формування початків йде «від попереднього і більш відомого для нас», тобто від того, що ближче до почуттєвого сприйняття до «попереднього і більш відомого безумовно» (таким є загальне). Аристотель дає розгорнуту класифікацію початків, виходячи з різних ознак.

По-перше, він виділяє «початки, з котрих (що-небудь) доводиться, і такі, про котрі (доводиться)». Перші «суть загальні (всім початки)», другі - «властиві (лише даній науці), наприклад, число, розмір». У системі початків загальні займають головне місце, але їх недостатньо, тому що «серед загальних початків не може бути таких, із яких можна було б довести усе». Цим і пояснюється, що серед початків повинні бути «одні властиві кожній науці окремо, інші - загальні всім». По-друге, початки діляться на дві групи в залежності від того, що вони розкривають: існування об'єкта або наявність у нього деяких властивостей. По-третє, комплекс початків науки, що доказує, ділиться на аксіоми, припущення, постулати, вихідні визначення.

Вибір початків в Аристотеля виступає визначальним моментом побудови науки, що доказує; саме початки характеризують науку як дану, виділяють її з ряду інших наук. «Те, що доводиться», можна трактувати дуже широко. З одного боку, це елементарний силогізм, що доказує, і його висновки. З цих елементарних процесів будується будинок науки, що доказує, у виді окремо взятої теорії. З них же створюється і наука як система теорій. Проте не всякий набір доказів утворить теорію. Для цього він повинний задовольняти визначеним вимогам, що охоплюють як утримання доказуваних пропозицій, так і зв'язку між ними. У межах же наукової теорії необхідно має місце ряд допоміжних визначень, що не є первинними, але служать для розкриття предмета теорії.

Хоча питання методології математичного пізнання і не були викладені Аристотелем у якійсь окремій роботі, але по утриманню в сукупності вони утворять повну систему. У основі філософії математики Аристотеля лежить розуміння математичних знань як відбитка об'єктивного світу. Ця установка зіграла важливу роль у боротьбі Аристотеля з платоновим ідеалізмом; адже «якщо в явищах почуттєвого світу не знаходиться зовсім математичне, то яким чином можливо, що до них додаються його властивості?» - писав він. Зрозуміло, матеріалізм Аристотеля був непослідовним, у цілому його погляди в більшому ступені відповідали потребам математичного пізнання, ніж погляди Платона. У свою чергу математика була для Аристотеля одним із джерел формування ряду поділів його філософської системи.

Література