Логический анализ рассуждений естественного языка

6. Доказуемость и выводимость

До сих пор при определении истинности или ложности сложных высказываний, состоящих из простых, мы опирались на таблицы истинности. Но этот способ неудобен, громоздок, особенно когда приходится иметь дело с большим числом простых высказываний. Напомним, что при двух простых высказываниях таблица истинности содержит четыре строки, при трех - восемь, а для 12 высказываний потребовалось бы уже 4096 строк. Вот почему в логике наряду с табличным методом часто используют метод, опирающийся на вывод и доказательство одних высказываний из других.

По своей сути этот метод весьма похож на метод доказательства теорем, который известен из школьной геометрии. Доказательство там сводилось к логическому выводу теорем из аксиом, а также из ранее доказанных теорем, которые принимались в качестве истинных утверждений геометрии. В конечном итоге всякое доказательство сводится к логическому выводу теорем из аксиом, так как ранее доказанные теоремы также можно логически вывести из аксиом. Таким образом, отличие доказательства от логического вывода состоит в том, что при доказательстве мы принимаем посылки в качестве истинных высказываний, а при логическом выводе - в качестве допущений или гипотез. Истинность утверждения предполагает, во-первых, истинность посылок, из которых оно выводится, и, во-вторых, правильность логического вывода. Вывод может быть сделан из любых допущений, в том числе из ложных.

Хотя процесс доказательства в логике аналогичен доказательствам в математике, но между ними есть и существенное различие; оно заключается в том, что в математике мы имеем дело со специфическими математическими объектами - числами, фигурами, функциями и т.п., а в логике - с высказываниями, т.е. с логическими объектами. Чтобы отличить объекты разного уровня, для представления высказываний в математике используется предметный язык, а для анализа предметного языка - метаязык, на котором формулирует свои утверждения исследователь. Проще говоря, чтобы рассуждать об объектах предметного языка, необходим метаязык, выступающий в качестве языка второго уровня. Это обстоятельство следует всегда иметь в виду в дальнейшем.

Чтобы построить доказательство высказывания или формулы в исчислении высказываний, необходимо:

1) указать те аксиомы или недоказуемые формулы, из которых выводятся все доказуемые формулы или теоремы;

2) точно сформулировать правила вывода теорем из аксиом.

В принципе к аксиомам исчисления высказываний могут быть отнесены все тавтологии (общезначимые высказывания), большинство из которых нетрудно проверить с помощью таблиц истинности. Но обычно ограничиваются перечислением небольшого числа аксиом, из которых стремятся вывести по правилам логики другие общезначимые высказывания (теоремы). Но любую теорему можно считать аксиомой, и из новой системы получить прежнюю аксиому как теорему. Обычно выбор аксиом происходит на основании удобства и целесообразности построения исчисления высказываний.

Кроме аксиом, для вывода теорем необходимы правила вывода. В исчислении высказываний обычно используются два правила: правило отделения и правило подстановки.

Правило отделения (modus ponens - МР) разрешает из двух высказываний вида А и А > В, как посылок, вывести заключение В. Схематически это правило можно представить так:

А, А > В

В

Горизонтальная черта здесь отделяет заключение от посылок. В качестве посылок выступают антецедент А и сама импликация А > В, заключением служит консеквент импликации. Таким образом, это правило разрешает нам отделить заключение от его посылок как самостоятельное знание. Так, в математике мы постоянно формулируем теоремы без указания тех посылок, из которых они выведены. Если при доказательстве ограничиваются только правилом отделения, тогда для этого необходимо убедиться в истинности посылок и правильности логического вывода. Поскольку в математике посылками служат в конечном счете аксиомы, принимаемые истинными без доказательства, постольку само доказательство сводится к проверке правильности логического вывода. В эмпирических науках, кроме того, необходимо обосновать истинность посылок, которыми могут служить различного рода допущения (эмпирические законы или обобщения, гипотезы, принципы, постулаты или даже целые теории).

Правило подстановки разрешает вместо любой переменной в исчислении высказываний подставлять любое другое высказывание, но для того чтобы получить истинное высказывание в качестве заключения, необходимо, чтобы исходная формула была истинной.

Весьма простая система аксиом для исчисления высказываний была построена Б. Расселом и А.Н. Уайтхедом, а затем усовершенствована Д. Гильбертом. Она состоит из четырех аксиом:

1) x х > х.

2) х > х у.

3) x y > y x.

4) (х > у) > ((z x) > (z у)).

Аксиома 1 утверждает, что высказывание истинно, если дизъюнкция этого высказывания с самим собой истинна.

Аксиома 2 означает, что когда высказывание истинно, то к нему можно присоединить любой - истинный или ложный - дизъюнктивный член, так как дизъюнкция будет истинной, если один из членов будет истинным высказыванием.

Аксиома 3 представляет собой закон коммутативности для дизъюнкции.

Аксиома 4 утверждает, что в случае истинности импликации к ее антецеденту и консеквенту можно присоединить любой дизъюнктивный член, ибо он не повлияет на истинность импликации. Нетрудно заметить, что во всех формулах, выражающих аксиомы, можно заменить импликацию эквивалентным выражением: (х > у) - (¬х у). Обычно для формулировки аксиом используются две логические операции, так как для выражения сложных высказываний их достаточно.

Опираясь на эти аксиомы, с помощью указанных выше правил вывода можно вывести другие истинные высказывания логики высказываний. При аксиоматическом подходе мы не обращаемся к содержательным способам установления истинности высказываний, а, предполагая аксиомы истинными, с помощью правил отделения и подстановки выводим другие истинные заключения. Этот подход можно сделать чисто формальным, если рассматривать аксиомы как исходные формулы, а логические правила вывода как правила преобразования одних формул в другие. Именно так осуществляется формальный вывод и доказательство в математике, но это занимает много времени и требует особого внимания. Однако с помощью производных правил вывода и ранее доказанных теорем процесс формального доказательства можно ускорить, хотя математики на практике не обращаются к формальным доказательствам, пока не сталкиваются с противоречиями либо парадоксами или пока не возникает необходимость в тщательной проверке всех шагов доказательства.

Интересно отметить, что если запрограммировать процесс доказательства теорем, то можно убедиться, что компьютер сравнительно несложные формальные доказательства осуществляет быстрее и точнее человека, подобно тому как он выполняет действия над числами. Преимущество человека над вычислительной машиной выражается не только в понимании совершаемых им действий, но также в том, что он выполняет соответствующие действия крупными блоками, тогда как машина должна осуществить каждый шаг отдельно. Вместе с тем, благодаря огромной скорости быстродействия машина имеет значительное преимущество перед человеком именно при осуществлении рутинных операций и процессов, к которым относятся действия над числами и несложные логические и математические доказательства.

Процессы логического вывода и доказательства имеют много общего с рассуждениями в естественном языке, где также выводят одни высказывания из других, но, правда, при этом явно не указывают логические правила вывода, которыми пользуются, предполагая их известными. Именно это обстоятельство заставило логиков строить исчисления, напоминающие выводы в естественном языке. Нередко поэтому их называют натуральными выводами. Из этих исчислений наиболее известным и признанным считается система натурального вывода, построенная Г. Генценом, появившаяся в 1934 г. Хотя доказательства, основанные на выводе, применял еще Евклид в своих «Элементах» (геометрии), но в логике они стали анализироваться значительно позднее. Трудность здесь состоит в том, что рассуждения, которые осуществляются с помощью естественного языка, трудно переводятся на искусственный язык логики.

7. Логический анализ рассуждений естественного языка

Рассуждения проводятся на естественном языке, но когда возникают трудности и неясности, тогда приходится обращаться к их логическому анализу. Такой анализ предполагает перевод с естественного языка на язык логики, в результате чего все связи между предложениями естественного языка заменяются логическими коннекторами (связками), смысл которых точно задан с помощью определений. Так, грамматический союз «и» в логике отображается конъюнкцией, союз «или» - дизъюнкцией и т.д. Но при этом иногда возникает несоответствие между предложениями естественного языка и соответствующими им логическими высказываниями. Мы уже говорили о том, что использование в логике операции дизъюнкции, соответствующей союзу «или» в естественном языке, часто наталкивается на сопротивление, потому что в логике этот союз рассматривается только в более широком, включающем смысле, тогда как в обычной речи или даже в науке он нередко используется в исключающем смысле. Правда, в принципе, исключающий смысл союза «или» в форме «либо-либо» можно выразить с помощью включающего «или» и некоторых других логических операций.

Гораздо больше трудностей, как мы видели, возникает с использованием операции импликации для выражения условных суждений, споры по поводу которого идут до сих пор. Даже такая сравнительно простая операция, как конъюнкция, иногда не передает всех нюансов использования союза «и» в естественном языке. В самом деле, хотя в силу закона коммутативности, конъюнкции (А В) и (В А) являются эквивалентными, тем не менее в естественном языке они не всегда воспринимаются такими. Например, предложение «Маша вышла замуж и родила ребенка» и предложение «Маша родила ребенка и вышла замуж» понимаются как неравнозначные с точки зрения последовательности событий во времени. Но это различие не может быть выражено адекватно на языке исчисления высказываний. Многие ограничения этого исчисления могут быть сняты с помощью построения более сильных средств логического анализа, в частности, например, в логике предикатов. Однако формализация никогда не может исчерпать всего богатства и возможностей постоянно совершенствующегося и развивающегося естественного языка.

Определенность, точность и однозначность вывода заключений играет существенную роль в процессе аргументации, которая служит важнейшим средством рационально-логического убеждения. Однако даже при письменном представлении аргументации не всегда достигается адекватная передача мысли в слове, суждений - в предложениях. Идеальным был бы такой случай, когда каждому суждению соответствовало бы одно предложение и, наоборот, одно предложение выражало бы одно суждение. Но такого никогда не бывает в действительности. Тем не менее, такой идеал служит для того, чтобы к нему приблизиться, насколько возможно в данных конкретных условиях. Поэтому при логическом анализе аргументации уже на первой стадии стремятся перевести предложения естественного языка на язык высказываний. На этой стадии также устраняются все те предложения и иные языковые выражения, которые не имеют непосредственного отношения к аргументации, а служат большей частью экспрессивными средствами усиления речи. На этой же стадии становится возможным установить, во-первых, какие предложения служат посылками и заключением рассуждения, а во-вторых, как они связаны между собой. Поскольку главная цель логического анализа аргументации - установить правильность и обоснованность рассуждения, то становится необходимым выявить его точную логическую структуру, что может быть достигнуто в полном объеме лишь посредством формализации рассуждения.

В процессе логического анализа приходится также восстанавливать недостающие посылки рассуждения, которые очень часто в естественном языке опускаются в силу их очевидности и общепринятости. Такие рассуждения с сокращенными посылками или заключениями еще Аристотель в своей «Риторике» назвал энтимемами.

В обычной речи ссылки на очевидные посылки и доводы выглядели бы крайне искусственными и потому ненужными, ибо они замедляют процесс общения и обмена информацией. Но то, что воспринимается как ненужный педантизм в обычной речи, не является таковым в логическом анализе рассуждений. Поэтому наряду с устранением несуществующих для логического вывода предложений, не фигурирующих ни в посылках, ни в заключении или не связанных с ними, вторая задача анализа состоит в восстановлении недостающих посылок, которые кажутся очевидными, но на самом деле могут иметь важное значение для выяснения логической связи между посылками и заключением. Иногда именно ссылка на очевидность служит источником логической ошибки даже в математических рассуждениях, о чем свидетельствуют, как уже отмечалось, многочисленные попытки доказать аксиому о параллельных в геометрии Евклида.

В процессе аргументации решающее значение приобретает именно критический анализ доводов, или аргументов, выдвигаемых в защиту определенного тезиса, утверждения, мнения или точки зрения. Аргументация будет считаться рациональной и убедительной, если ее заключения логически следуют из тех доводов, которые выступают ее посылками. Цель будет достигнута, если аргументирующий убедит слушателей, читателей или зрителей согласиться с доводами, которые он выдвигает в защиту и обоснование своего тезиса, а также с правильностью вывода заключения из них. В естественном языке - особенно в разговорном - не существует такой четкой и точной структуры рассуждения, как в логике. Кроме того, в долгой цепи выводов могут исчезнуть из поля зрения те исходные доводы, или аргументы, которые служат основой всего рассуждения или доказательства. Даже в длинном письменном рассуждении проследить весь процесс вывода шаг за шагом довольно трудно. Именно поэтому такие рассуждения и доказательства целесообразно разбивать на отдельные блоки, содержащие несколько шагов вывода. Тогда становится возможным более ясно и четко представить и понять весь процесс рассуждения в целом. Такое оперирование блоками, состоящими из нескольких шагов вывода, представляет характерную черту обычного логического мышления, отличающего его от работы любой вычислительной машины, выполняющей все действия с элементами вывода.

8. О модальности суждений

В естественном языке суждения могут характеризоваться не только как истинные или ложные, но и с других точек зрения. Такие характеристики содержат дополнительную информацию, которая выражает в одних случаях отношение говорящего к высказываемой мысли, в других - обоснованность знания, содержащегося в суждениях, в третьих - предписание, норму или правило, которые надлежит соблюдать. Подобные дополнительные характеристики выражают различные точки зрения на суждение в зависимости от целей и задач, которые ставит перед собой человек. В процессе аргументации и практических рассуждениях мы интересуемся не только истинностной оценкой суждений, но дополнительно к этому стремимся узнать, насколько убедительны, а значит, обоснованны доводы оппонента в споре, являются ли они логически или фактически истинными и т.д. В этике и юриспруденции интересуются также нормами поведения людей в обществе, выясняют, что запрещено и разрешено этими нормами.

Различные способы оценки суждений в зависимости от поставленных задач и принятой точки зрения выражаются в модальных категориях (от лат. modus - мера, способ, наклонение). Впервые их изучением стал заниматься еще Аристотель, который ввел две важнейшие модальные категории: «необходимо» и «возможно», а также производные от них понятия «не необходимо» и «невозможно». Средневековые логики предложили ряд новых модальных терминов и установили связи между ними. В новое время утвердилась традиция, заложенная И. Кантом, в соответствии с которой стали разделять:

1) проблематические суждения, выражающие мысль, которая может быть истинной только при определенных условиях;

2) ассерторические, характеризующие наличие или отсутствие у предмета некоторого свойства. Часто их называют также суждениями факта;

3) аподиктические, утверждающие истинность суждения независимо от конкретных фактов или условий.

Все законы науки принадлежат к таким суждениям. Подобная классификация долгое время держалась в традиционной логике и до сих пор иногда встречается в литературе.

Систематическое исследование модальных высказываний началось в 50-е годы и в настоящее время превратилось в быстрорастущую ветвь современной неклассической логики. Если раньше модальные понятия формулировались на естественном языке и вследствие этого не всегда воспринимались однозначно, то в современной модальной логике точность и однозначность их понимания обеспечивается использованием идей и методов математической логики. Но это отнюдь не означает, что модальные высказывания сводятся к высказываниям функционально-истинностного характера. Еще Д. Юм заметил, что суждения факта нельзя выразить с помощью суждений долженствования и наоборот. Так, суждение вида S есть Р, т.е. отображающего принадлежность свойства предмету, нельзя представить как утверждение долженствования, обязательности или допустимости. С другой стороны, модальные высказывания допускают применение эффективных и точных методов символической или математической логики к ситуациям, которые характеризуются этими понятиями.

В рамках современной модальной логики рассматриваются следующие виды модальных понятий:

* логические модальности, которые выражаются терминами: «логически необходимо», «логически невозможно» и «логически случайно». К логически необходимым относятся логически истинные суждения, которые представляют собой законы логики или логические следствия из них. Суждения, противоречащие законам логики, считаются логически ложными. Они также принадлежат к классу логически необходимых суждений, поскольку характерной особенностью таких суждений является независимость их истинности или ложности от фактического состояния дел. Например, суждение (х ¬x) будет всегда истинным, ибо оно выражает закон исключенного третьего классической логики. Аналогично этому, суждение (х ¬х) будет всегда ложным, так как является законом противоречия, в связи с чем можно сказать, что такие суждения считаются истинными или ложными в силу логических оснований. В противоположность этому фактически истинными являются суждения, в которых связь между субъектом и предикатом соответствует реальным связям между предметом и его свойством. Если такого соответствия не существует, то суждение будет фактически ложным.

Различие между логической и фактической истинностью играет важную роль в процессе аргументации. Доводы или аргументы представляют собой фактически истинные или ложные суждения, а логические правила вывода основываются на законах логики, и потому относятся к логически истинным суждениям;

* эпистемические, (теоретико-познавательные) модальности, относятся к характеристике знания и выражаются в терминах: «доказуемо», «опровержимо», «неразрешимо», «допустимо», «вероятно», «сомнительно», «убедительно» и т.п. Мы можем оценивать, например, в ходе спора или дискуссии доводы оппонента как убедительные или сомнительные или даже определить степень их вероятности. Подобные модальные понятия дают дополнительную информацию о характере знания, содержащегося в суждении, кроме его истины или лжи;

* деонтические (нормативные) модальности указывают на тип предписываемых в суждении действий и выражаются в терминах: «разрешено», «не разрешено», «обязательно», «безразлично» и др. Таким образом, в отличие от суждений, в которых описывается какое-либо состояние дел, называемых дескриптивными, в деонтических модальностях предписывается определенный образ действий или поведения. Поэтому такие суждения называют также прескриптивными. Характер предписаний может быть весьма различным, начиная от совета и рекомендации и кончая приказом. Наиболее широкая сфера применения деонтических модальностей - мораль и право. В отличие от норм морали, правовые нормы регулируют общеобязательные правила поведения в обществе, которые формулируются в соответствующих кодексах и постановлениях. Юридическими нормами регулируются имущественные, трудовые, семейные, административные и другие отношения в обществе. Неисполнение требований правовых норм влечет юридические санкции со стороны правоохранительных органов государства. В отличие от этого нарушение моральных норм сопровождается лишь порицанием со стороны общества. Этим объясняется точная кодификация правовых норм, в которых всегда предполагается адресат, на который распространяется норма, характер действия, форма предписания (запрещение, обязанность или разрешение) и юридическая санкция за неисполнение предписания. Соответственно этому правозапрещающие нормы в юридических документах формулируются с помощью деонтических модальностей «запрещается», «не допускается», «нельзя» и т.п. В правообязывающих документах употребляются такие слова, как «обязан», «должен» «необходимо» и т.п.;

* аксиологические (ценностные) модальности характеризуют суждения с точки зрения той или иной системы ценностей. Такие оценки чаще всего выражаются с помощью слов «хорошо», «плохо» или «безразлично». В сравнительном отношении используются слова «лучше», «хуже» или «равноценно», а иногда для сравнения вводятся степени предпочтения. Очевидно, что одни аксиологические термины могут определяться через другие, например, «безразличное» можно рассматривать как то, что не является ни хорошим, ни плохим;

* темпоральные (временные) модальности, которые характеризуют фактор времени в рассуждениях. Они используются для установления отношений во временных рядах: прошлое, настоящее и будущее, а также раньше, одновременно и позже.

Все перечисленные модальные понятия дают возможность точнее и полнее выразить различные контекстуальные характеристики суждений, зависящие от разного подхода к ним, их роли в познании и практическом действии. Посредством использования символов и формальных методов современной неклассической логики расплывчатые и неопределенные модальные термины естественного языка приобретают необходимую ясность, однозначность и точность.

9. Непосредственные умозаключения традиционной логики

Основываясь на исчислении высказываний, можно теперь лучше понять не только механизм непосредственных дедуктивных умозаключений, но и упростить обращение с ними. Такие умозаключения состоят всего из одной посылки, и поэтому вывод из нее получить весьма просто.

В качестве первого шага рассмотрим отношения между суждениями, которые могут быть представлены как вершины логического квадрата (рис. 8). Обозначим буквой А общеутвердительные суждения (начальная буква греч. слова affirmo - утверждать), общеотрицательные суждения обозначим буквой Е (первая гласная буква в слове (nego - отрицать), буквой О обозначим частноотрицательные суждения (вторая гласная в слове (nego) и буквой I - частноутвердительные суждения (вторая гласная в слове affirmo). Пользуясь таким квадратом, можно установить различные логические отношения между перечисленными суждениями и выводить частные суждения из общих. Соответственно этому между общими и частными суждениями устанавливается отношение подчинения, которое изображается вертикальными сторонами квадрата. Общеутвердительное и общеотрицательное суждения связаны отношением контрарности (противности), которое изображается верхней горизонтальной стороной квадрата. Каждое из этих общих суждений может быть получено путем логического отрицания другого. Частноотрицательное и частноутвердительное суждение связаны отношением субконтрарности, которое представлено нижней горизонтальной стороной квадрата. Диагонали логического квадрата связывают общеутвердительное суждение с частноотрицательным и общеотрицательное с частноутвердительным суждением.

Обратимся теперь к рассмотрению непосредственных дедуктивных умозаключений традиционной логики.

Превращение является непосредственным выводом, в котором заключение получается путем изменения качества посылки. Если посылка - утвердительное суждение, то в результате превращения оно становится отрицательным суждением. Отрицательное суждение, наоборот, превращается в утвердительное. Например, суждение «Все металлы - проводники электричества» превращается в отрицательное «Ни один металл не является неэлектропроводным». В нашем примере общеутвердительное суждение становится общеотрицательным, что можно представить схемой:

Все А есть В._________

Ни одно А не есть не-В.

Подобным же образом частноутвердительное суждение превращается в частноотрицательное по схеме:

Некоторые В есть С.

Некоторые В не есть не - С.

Аналогично происходит превращение общеотрицательных суждений в общеутвердительные и частноотрицательных - в частноотрицательные, как видно из следующих схем:

Ни одно А не есть В.____

Все А есть не-В.

Некоторые В не есть С.

Некоторые В есть не-С.

Как нетрудно заметить, умозаключения во всех этих случаях основываются на законе двойного отрицания и взаимосвязи между кванторами «все» и «некоторые», о которых речь пойдет в следующей главе. Здесь же заметим, что двойное отрицание оставляет качество суждения неизменным. В языковом выражении суждения одно из отрицаний становится отрицанием предиката, поэтому для проверки правильности превращения утвердительного суждения в отрицательное достаточно представить их в символической форме.

Обращение представляет собой такой вид непосредственного умозаключения, в котором вывод получается путем перестановки предиката посылки на место субъекта, а субъекта - на место предиката. При этом в общем случае происходит уточнение количества суждений. Так, суждение «Все кролики - млекопитающие» обращается в суждение «Некоторые млекопитающие - кролики», поскольку класс млекопитающих гораздо больше подкласса кроликов. Этот вывод мы получаем на основе знания содержания высказываний. Но можно абстрагироваться от этого содержания, заметив, что предикат в таких умозаключениях является распределенным, и потому составляет лишь часть объема субъекта:

Все S есть Р._______

Некоторые Р есть S.

Другой вид обращения, называемый иногда «чистым», происходит тогда, когда объемы субъекта и предиката совпадают. С такими случаями мы встречаемся при определении понятий. Так, в суждении «квадрат есть равносторонний прямоугольник» объемы субъекта и предиката одинаковы, так как объемы определяемого и определяющего понятий должны быть соразмерными (см. гл. 2).

Противопоставление предикату - такой вид непосредственного умозаключения, в котором субъектом вывода служит понятие, противоречащее предикату. Например, суждению «Все параллельные на плоскости не пересекаются» противопоставляется суждение «Все непараллельные линии пересекаются». Такой вид умозаключения, как мы уже знаем, можно представить в виде контрапозиции условных высказываний:

(S > P) - (¬Р > ¬S).

Как видно из сказанного выше, некоторые виды непосредственных умозаключений традиционной логики, такие, как контрапозиция, превращение, легко переводятся на символический язык исчисления высказываний. Но уже операция обращения, когда приходится анализировать структуру связи между субъектом и предикатом и вводить кванторы общности и существования, не допускает перевода на простой язык исчисления высказываний, в котором высказывания рассматриваются как единое целое и анализируются лишь с точки зрения их истинности и ложности. В связи с этим и возникает необходимость исследования логической структуры суждений как атрибутивных, так и реляционных, характеризующих отношения между предметами. Одновременно с этим для количественной характеристики суждений должны быть введены кванторы общности и существования.

Заключение

Тем не менее, представление суждений в виде высказываний, лишенных внутренней структуры и оцениваемых в целом как истинные и ложные, играет существенную роль в построении самой логики. Во-первых, некоторые простейшие виды рассуждений или умозаключений можно свести к исчислению, опирающемуся только на оценку истинностного значения высказываний. Во-вторых, такой подход является весьма полезным с методической точки зрения, ибо опираясь на него, можно по аналогии строить более сложное исчисление предикатов, в котором учитывается внутренняя логическая структура суждений. В-третьих, исчисление высказываний при таком подходе можно рассматривать, с одной стороны, как исходную базу для построения исчисления предикатов, а с другой - как частный случай исчисления предикатов. Наконец, в-четвертых, новое исчисление предикатов охватывает не только классическую логику с субъектно-предикатной структурой суждений, но позднее возникшую логику отношений.

Литература

1. Бочаров В.А, Маркин В.И. Основы логики. - М.: Космополис, 2008.

2. Гетманова А.Д. Учебник по логике. - М.: Владос, 2007.

3. Ивин А.А. Элементарная логика. - М.: «Дидакт». 2007.

4. Ивлев Ю.В. Логика. - М.: Изд-во МГУ, 2009.

5. Кириллов В.И., Старченко А.А. Логика. - М.: Высшая школа, 2006.

6. Никифоров А.Л. Книга по логике. - М.: ГНОЗИС, 2006.

7. Свинцов В.И. Логика. - М.: Высшая школа, 2007.

8. Уёмов А.И. Задачи и упражнения по логике. - М.: Высшая школа, 2006.

Размещено на Allbest.ru