Категории симметрии и асимметрии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Категории симметрии и асимметрии

Симметрией называется такая особенность природы, про которую принято говорить, что она охватывает все формы движения и организации материи. Истоки понятия симметрии восходят к древним. Наиболее важным открытием древних было осознание сходства и различия правого и левого. Здесь природными образцами им служили собственное тело, а также тела животных, птиц и рыб.

Русский исследователь, ученый ломоносовского склада, энциклопедист В.И. Вернадский в своей работе "Химическое строение биосферы Земли и ее окружения" писал: "…чувство симметрии и реальное стремление его выразить в быту и в жизни существовало в человечестве с палеолита или даже с эолита, то есть самых длительных периодов в доистории человечества, который длился для палеолита около полмиллиона лет, а для эолита -- миллионы лет. Это чувство и связанная с ним работа, еще резко и интенсивно меняясь, сказывались и в неолите 25 000 лет тому назад".

Можно вспомнить также храмы древнего Вавилона и пирамиды Гизы, дворец в Ашшуре, где пространственные закономерности проявляются особенно ярко. Итак, с глубокой древности, начиная, по-видимому, с неолита, человек постепенно осознал и пытался выразить в художественных образах тот факт, что в природе, кроме хаотического расположения одинаковых предметов или их частей, существуют некоторые пространственные закономерности. Они могут быть совсем простыми -- последовательное повторение одного предмета, более сложными -- повороты или отражения в зеркале. Для того чтобы точно выразить эти закономерности, нужны были специальные термины. По преданию, их придумал Пифагор Регийский.

Термином "симметрия", что в буквальном смысле значит соразмерность (пропорциональность, однородность, гармония), Пифагор Регийский обозначил пространственную закономерность в расположении одинаковых частей фигуры или самих фигур. Симметрия может проявляться в перемещениях, поворотах или отражениях в зеркале.

1. Внутренние и пространственно-временные симметрии

Среди разных типов симметрии различают пространственно-временные симметрии и внутренние симметрии.

Пространственно-временные симметрии являются наиболее общими симметриями природы. Их можно разделить на симметрии, связанные с непрерывными и дискретными преобразованиями.

К непрерывным преобразованиям относятся следующие:

1. Перенос (сдвиг) системы как целого в пространстве. Симметрия физических законов относительно сдвигов в пространстве означает эквивалентность всех точек пространства, то есть отсутствие в пространстве каких-либо выделенных точек (однородность пространства).

2. Изменение начала отсчета времени (сдвиг во времени); симметрия относительно этого преобразования означает эквивалентность всех моментов времени (однородность времени), благодаря которой физические законы не меняются со временем.

3. Поворот системы как целого в пространстве; симметрия физических законов относительно этого преобразования означает эквивалентность всех направлений в пространстве (изотропию пространства).

4. Переход к системе отсчета, движущейся относительно данной системы с постоянной (по направлению и величине) скоростью. Симметрия относительно этого преобразования означает, в частности, эквивалентность всех инерциальных систем отсчета.

Симметрия относительно первых двух преобразований приводит к законам сохранения импульса и энергии, а симметрия относительно поворотов -- к закону сохранения момента и равномерному прямолинейному движению центра инерции физической системы (в инерциальной системе координат).

Среди дискретных пространственно-временных симметрий различают СРТ-симметрию и зеркальную симметрию.

Из свойств пространства и основных положений квантовой теории поля следует, что для любой частицы, обладающей каким-либо зарядом, должна существовать симметричная ей античастица (обладающая той же массой, временем жизни и спином, но с противоположным значением заряда), а также необходимость определенной симметрии между движениями частиц и античастиц. Основной идеей для указанной симметрии является то, что одновременное отражение всех пространственных осей (Р) и временной оси (Т) (то есть переход к зеркальной системе пространственных координат и отсчет времени в обратном направлении) формально сводится к реальному повороту. Поэтому теория, удовлетворяющая требованиям релятивистской инвариантности, должна быть инвариантна и относительно так называемого слабого отражения (РТ).

Поскольку при слабом отражении энергия и импульс частиц меняются на противоположные значения, инвариантность теории относительно слабого отражения, казалось бы, приводит к существованию физически недопустимых состояний с отрицательными энергиями. В квантовой теории поля это можно устранить, истолковав движение частиц с отрицательными энергиями как обращенное по времени, зеркально симметричное движение частиц с положительной энергией, но с противоположным значением заряда. Таким образом, необходимость существования античастиц следует из требования релятивистской инвариантности и положительности энергии. Законы природы оказываются, следовательно, симметричными относительно так называемого сильного отражения (СРТ) и зарядового сопряжения (то есть перехода от частиц к античастицам). Это утверждение составляет содержание теоремы СРТ, согласно которой для любого движения частиц может осуществляться в природе симметричное ему движение античастиц.

Зеркальная симметрия осуществляется в процессах, вызываемых сильными и электромагнитными взаимодействиями, а также в системах, связанных с помощью этих взаимодействий (атомах, атомных ядрах, молекулах, кристаллах и т. д.). Наличие зеркальной симметрии означает, что для любого процесса, обусловленного сильным или электромагнитным взаимодействием, с равной вероятностью могут осуществляться два зеркально-симметричных перехода. Это обуславливает, например, симметричность относительно плоскости, перпендикулярной спину, углового распределения квантов, испускаемых поляризованными ядрами. Зеркально-симметричные состояния отличаются друг от друга противоположными направлениями скоростей (импульсов) частиц и электрических полей и имеют одинаковые направления магнитных полей и спинов частиц.

Под внутренней симметрией понимают симметрию между частицами (в квантовой теории поля -- между полями) с различными внутренними квантовыми числами. Среди различных внутренних симметрий можно выделить глобальные симметрии и локальные симметрии.

Если параметры преобразований для глобальных симметрий можно рассматривать как произвольные функции пространственно-временных координат, то говорят, что соответствующие симметрии выполняются глобально.

2. Одно- и двумерная симметрии

Изучение симметрии кристаллических ребер и рядов ионов, атомов и молекул, слагающих кристалл, привело к необходимости вывода всех одномерных групп симметрии. Все операции одномерной симметрии оставляют инвариантной одну особенную прямую. Изучение же симметрии граней и молекулярных, атомных, ионных слоев кристаллов привело к необходимости вывода всех двумерных групп симметрии. В последних операции симметрии оставляют инвариантной одну особенную плоскость.

Симметрия одномерная характерна для фигур с одним особенным направлением -- бордюров, лент, стержней, названия которых недвусмысленно говорят об их происхождении. Однако названия эти употребляются здесь не в обычном житейском смысле, а как родовые обозначения для определенных совокупностей явлений.

Бордюры -- это фигуры без особенных точек, но с единственной осью переносов и особенной полярной плоскостью. К ним относятся обычные бордюры, применяемые для украшения проходов в метро, стен, колонн, пилястр, ребра кристаллов, побеги растений, некоторые биологические мембраны и т. д. Их симметрия исчерпывается всего семью группами, составленными из осей переносов, обычных и "скользящих" плоскостей, простых осей второго порядка.

Ленты -- это фигуры без особенных точек, но с единственной осью переносов и проходящей через нее полярной или неполярной плоскостью. Бордюры, таким образом, -- ленты с особенной полярной плоскостью. К ним относятся всевозможные барьеры, садовые решетки, заборы, биологические мембраны и т. д. Доказано, что в лентах может быть только 6 элементов симметрии: простая двойная ось, центр и плоскость симметрии, ось переносов, двойная винтовая ось и плоскость скользящего отражения. Таким образом, для лент характерно отсутствие осей симметрии выше второго порядка. Объяснение этому простое: оси порядка выше двух вызывали бы существование нескольких трансляционных осей либо нескольких особенных плоскостей, что противоречит первоначальным условиям.

Стержни -- это фигуры без особых точек и плоскостей, но с единственным особым направлением, осью стержня, с которой, кроме оси переносов, могут совпадать винтовые, зеркально-поворотные, простые поворотные оси любого порядка. Таким образом, бордюры и ленты -- стержни особого рода. Примеры стержней -- цепи, плетеные канаты, цепные полимерные молекулы, лучи простого и поляризованного света, силовые линии и т. д. На оси стержня можно располагать фигуры с самыми различными, но не выходящими за пределы особого направления элементами симметрии; из всех фигур с особой точкой для этой цели пригодны, таким образом, все конечные фигуры кроме правильных многогранников, содержащих косые оси. Размножение фигур по оси стержня производится с помощью элементов симметрии бесконечных (трансляционные и винтовые оси, плоскость скользящего отражения), а также промежуточных элементов конечных фигур (центра симметрии, поперечной оси второго порядка, зеркально-поворотной оси, поперечной плоскости симметрии). Существует бесконечное множество видов симметрии стержней, сводимых к 17 типам, кристаллографических групп симметрии -- 75.

Симметрия двумерная присуща фигурам с двумя особенными направлениями: сетчатым орнаментам и слоям, названия которых по происхождению хотя и связаны с определенного рода бытовыми вещами, тем не менее, также служат лишь родовыми понятиями для обозначения двух гораздо более широких явлений.

Сетчатый орнамент -- это фигура без особенной точки, с особенной полярной плоскостью и двумя осями переносов. Примерами его являются плоские орнаменты кристаллических граней, образованные атомами, ионами и молекулами, клеточек биологических срезов и т. д. Бесконечный сетчатый орнамент применяется человеком при производстве паркетных полов, бумажных обоев, ковров и т. д.

Фигуры односторонней розетки симметрии n или n - m (n -- ось симметрии порядка n, m -- плоскость, точка -- знак прохождения n штук плоскостей m вдоль оси n) при их размножении в двух взаимно перпендикулярных направлениях посредством непрерывных переносов а" и а" приводят к односторонним плоским континуумам двоякого рода: а": а": n - m; а": а": n (n = 1:?) (здесь двоеточие -- знак перпендикулярности). Таким образом, возможно бесконечное множество отличных от евклидовых односторонних плоскостей. Замечательно, что только при n = ? мы получаем вполне изотропную:

· обыкновенную одностороннюю плоскость симметрии а": а": ? - m, которой отвечает, например, гладкая поверхность воды, отражающая световые лучи;

· правую и левую односторонние плоскости симметрии а": а": ?, которой отвечает поверхность оптически активного раствора, вращающего плоскость линейно поляризованного света вправо или влево.

Для биологических систем наиболее характерны плоскости именно двух последних родов (изомерийные).

Всем остальным видам симметрии (n ? ?) отвечают анизотропные плоскости; формуле а": а": 1 отвечают правые и левые асимметричные в смысле симметрии размножаемых точек плоскости. Их моделями могут служить бесконечные односторонние поверхности с равномерно и беспорядочно распределенными на них асимметричными молекулами или однородные сообщества высших растений, рассмотренные с высоты птичьего полета.

От односторонних плоских континуумов легко перейти к односторонним семиконтинуумам -- бесконечным плоским фигурам, прерывным в одних и непрерывным в других направлениях. Примеры их -- система начерченных на бумаге параллельных полос, плоский ряд карандашей и т. д. Их симметрия исчерпывается всего 7 видами. Причем если отбросить в формулах симметрии плоских односторонних семиконтинуумов символ непрерывной оси переносов, то получается 7 формул симметрии уже известных нам бордюров. Это значит, что плоские односторонние семиконтинуумы -- это обыкновенные бордюры, до бесконечности вытянутые в ширину.

Слои -- это фигуры без особенных точек, с особенной, не обязательно полярной плоскостью и двумя осями переносов. Таким образом, сетчатые орнаменты -- лишь особого рода слои. Примерами слоев являются складчатые слои полипептидных цепей, тончайшие пленки, прозрачные двусторонние вывески и т. д.

Вывод видов симметрии двусторонних плоских континуумов осуществляется размножением фигур двусторонней розетки посредством двух взаимно перпендикулярных непрерывных переносов. Так как число групп симметрии двусторонних розеток бесконечно, то бесконечно и число групп симметрии двусторонних плоских континуумов.

Двусторонний плоский семиконтинуум можно получить посредством двух взаимно перпендикулярных переносов прямой линии, обладающей той или иной симметрией ленты. В качестве примера плоского двустороннего семиконтинуума можно взять систему тонких натянутых на плоскости равноотстоящих друг от друга проволок.

3. Континуумы, семиконтинуумы, дисконтинуумы

Теперь возвратимся к фигурам с трехмерной симметрией, но уже как к симметрическим пространствам -- трехмерным дисконтинуумам, семиконтинуумам и континуумам.

Уже из философских положений:

· пространство и время -- формы существования материи;

· движение -- сущность пространства и времени;

· существуют качественно различные, взаимно превращающиеся виды материи и формы ее движения
-- вытекают выводы о существовании качественно различных взаимно превращающихся конкретных форм пространства и времени.

Данные о континуумах, семиконтинуумах и дисконтинуумах также подтверждают эти утверждения. Они с новой и очень своеобразной стороны выявляют связь симметрии с пространством и временем.

Очевидно кристаллы в отношении их атомов, ионов и молекул можно рассматривать как дискретные трехмерные пространства -- дисконтинуумы.

Помимо дискретных -- анизотропных и неоднородных -- пространств в теории различают еще и дискретные в одних и непрерывные в других направлениях пространства -- семиконтинуумы I и II рода. Семиконтинуумы, будучи явлениями переходными между континуумами и дисконтинуумами и одновременно их единством, с новых сторон выявляют диалектику пространства.

Пространственные (трехмерные) семиконтинуумы I рода могут быть получены трансляцией плоских континуумов вдоль перпендикуляра к ним. Число групп симметрии пространственных семиконтинуумов I рода бесконечно. Можно привести несколько примеров таких пространств в природе. Они проявляются, например, в так называемых смектических жидких кристаллах. Последние состоят из пленок толщиной в 1 - 2 молекулы, пленки лежат друг на друге, как листы в стопке бумаги, причем молекулы в них одной своей осью расположены параллельно друг другу, а двумя другими-- нет. Другие примеры -- поле стоячих ультразвуковых волн в жидкости, образованное сгущениями и разряжениями последней, а также однородное световое поле, которое можно рассматривать как семиконтинуум для плоских волн.

Пространственные семиконтинуумы II рода могут быть получены переносом любых из одно- и двусторонних плоскостей, обладающих симметрией бесконечных слоев. Простейшие примеры семиконтинуумов II рода дает практика: с ними мы сталкиваемся при укладке стержней -- бревен, труб и т. д.

Перейдем теперь к рассмотрению полностью непрерывных во всех трех направлениях пространств-континуумов. Пространственные континуумы могут быть получены путем трех непрерывных взаимно перпендикулярных переносов элементарных объектов, обладающих симметрией конечных фигур.

Примером симметрических пространственных континуумов являются разнообразные физические поля. Евклидово пространство -- также один из примеров таких континуумов. Его можно получить непрерывным "размножением" в трех направлениях точки, обладающей симметрией обыкновенного шара (?/? - m). Пространство уже обычного электрического поля, в котором направление "вперед" (по силовым линиям) отлично от направления "назад" (против силовых линий), существенно отличается от пространства Евклида. Такой континуум можно получить непрерывным переносом в трех взаимно перпендикулярных направлениях одной точки с симметрией обыкновенного круглого конуса (? - m).

Как известно, в теории относительности была впервые выявлена глубокая связь двух фундаментальных континуумов -- пространственного и временного. Поэтому особое значение среди различных физических континуумов придается пространственно-временному, описываемому ортохронной группой преобразований Лоренца. Она состоит из:

· группы вращений в пространственно-временных плоскостях на чисто мнимый угол;

· группы трехмерных вращений;

· группы пространственной инверсии.

Основной вывод, неизбежно следующий из рассмотрения свойств одно-, двух-, трех-, четырех-,…, n -мерных континуумов, семиконтинуумов и дисконтинуумов, -- это вывод о бесконечном количественном и качественном разнообразии и одно- и двусторонних превращениях, переходах одних реальных пространств и времен в другие.

Эти же выводы подтверждаются и общей теорией относительности, согласно которой в "большом" -- в масштабах Метагалактики -- реальное пространство-время глубоко неоднородно и неизотропно, хотя в "малом" (например, в масштабах Солнечной системы) это пространство-время псевдоевклидово. Однако это подход к малому пространству и времени только с одной точки зрения. То же малое даже в бесчисленном множестве "совсем малых" пространств и времен, если его рассматривать уже с позиции геометрической симметрии, вернее, кристаллографических аспектов, обнаруживает также бесконечное разнообразие. Материалы о плоских и трехмерных реальных континуумах, семиконтинуумах и дисконтинуумах доказывают это совершенно строго. Приведем новые подтверждения развиваемых здесь положений из области квантовой физики твердого тела.

Известно, что все атомы правильной кристаллической решетки в некотором приближении одинаковы. Они подобны музыкальным струнам, настроенным на одну и ту же частоту, и вследствие этого при возбуждении колебаний в одном из них способны резонировать, что приводит к волне, бегущей через весь кристалл. Природа этих волн может быть очень разнообразной -- звуковой, магнитной, электрической и т. д. Согласно общим законам квантовой механики, эти волны возникают и передаются только в виде квантов энергии. Последние во многом аналогичны обычным частицам, и их называют квазичастицами. Поскольку природа их определяется структурой и химическим составом кристаллов, то их разнообразие значительно более широко, чем разнообразие истинных частиц. Сейчас известны такие квазичастицы, как фотоны (кванты звука), электроны проводимости, магноны (спиновые волны), эквитоны, поляритоны (светоэкзитоны) и многие другие. Важность введения квазичастиц в теорию твердого тела состояла в том, что во многих случаях кристалл оказалось возможным трактовать с позиций не взаимодействующих или слабо взаимодействующих квазичастиц.

Известно, что механику истинных частиц пронизывает принцип относительности, выраженный лоренцовыми преобразованиями. Этот принцип выражает однородность, изотропность пространства и однородность времени, с которыми связаны разные законы сохранения. Это проявляется также и в универсальности для механики всех истинных частиц зависимости энергии E от импульса p:

Е = vE + cp,

где Е_тс -- энергия покоя, т -- масса покоя, с -- скорость света в вакууме.

Если с/м << c, то есть вне релятивистской области, то Е = р / 2т.

Это обычный квадратичный закон дисперсии.

Однако с переходом к квазичастицам положение радикально меняется. И это прямо связано с резко иным характером малых кристаллических пространств по сравнению с "пустым" пространством малого. Очень четко и интересно резюмируют результаты такого перехода И. М. Лившиц и В. М. Агранович. Они пишут, что для квазичастиц положение радикально меняется, потому что "квазичастицы не в пустом пространстве, не в вакууме, а в кристаллическом пространстве, которое имеет симметрию, отвечающую соответствующей пространственной группе кристалла. В связи с этим имеется выделенная система отсчета, и нет прежнего принципа относительности. Поэтому нет и закона дисперсии, который имеет место для истинных частиц. Вместо этого возникает сложный закон дисперсии Е = Е(р), причем вместо импульса приходится говорить о квазиимпульсе, ибо пространство уже неоднородно, и закон сохранения импульса, который является точным законом в однородном пространстве, в кристаллическом пространстве выполняется с точностью до целочисленного вектора обратной решетки, умноженной на h.

Закон дисперсии для квазичастиц существенно отличается от элементарного закона Е = р/2т. Во-первых, Е(р) -- периодическая функция р с периодом, равным периоду обратной решетки, умноженному на h. Во- вторых, имеется, вообще говоря, резкая анизотропия этого закона дисперсии и, следовательно, анизотропия всех свойств, определяемых квазичастицами.

Далее. Для истинных частиц в зависимости Е = р/2т каждому Е соответствуют поверхности, называемые поверхностями Ферми. В данном случае это просто сферы, радиус которых растет пропорционально vЕ. Для квазичастиц уже в пространстве квазиимпульсов функции Е = Е(р) при каждом заданном Е соответствует периодически повторяющийся набор поверхностей Ферми, которые иногда могут смыкаться в одну поверхность, проходящую через все пространство.

Придавая Е различные значения и изображая графически в итоге всю функцию

Е = Е(р),

можно передать рисунком все черты динамики квазичастиц. Получающиеся при таком подходе изображения типологически очень сложны и чрезвычайно напоминают абстрактные скульптуры. Они резко отличаются от примитивных по форме сфер.

Подобно истинным частицам, одни из квазичастиц подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна и являются, стало быть, бозонами, другие -- Ферми-Дирака и являются фермионами.

Но не всегда статистика квазичастиц совпадает со статистикой истинных частиц. Так, в системе электронов имеются квазичастицы-плазмоны, являющиеся бозонами, хотя, как известно, свободные электроны являются фермионами.

4. Кристаллографическая симметрия

Под кристаллографической симметрией в узком, или точном, смысле обычно понимают такую симметрию (кристаллов), группы которой могут быть полностью описаны с помощью простых, винтовых и зеркальных осей 1, 2, 3, 4 и 6-го порядка оси переносов и плоскости скользящего отражения. При этом трансляции, связанные с плоскостями скользящего отражения и винтовыми осями, часто представляются конечными.

Кристаллографическая, или структурная, симметрия в широком смысле от этих ограничений освобождена. Она включает первую как свой частный случай и, стало быть, в принципе может быть представлена группами и симметрией, описываемыми простыми, зеркальными и винтовыми осями любых, в том числе 5, 7, 8, …, ? порядков, а также осями переносов и плоскостями скользящего отражения.

В истории познания кристаллографической симметрии следует остановиться на трех моментах, характеризующих диалектичность процесса познания.

Во-первых, познание симметрии кристаллов и кристаллографической симметрии шло по спиралям путем отрицания. А именно: от живого созерцания -- блещущей внешней формы кристаллов -- к абстрактному мышлению -- их внутреннему решетчатому строению, а от него, с одной стороны, к практике -- к величайшему использованию кристаллов в производстве и в быту, с другой -- снова к внешней форме кристаллов, но увиденной уже и изнутри.

Во-вторых, в познании кристаллографической симметрии весьма интересна сама история названия этого вида симметрии. Учение о ней, первоначально возникнув вне связи с изучением кристаллов, а затем тесно с ним переплетаясь и получив свое наименование, решительно вышло -- не без старания самих кристаллографов -- за рамки чисто "кристаллического" представления о симметрии. И здесь снова шел сложный диалектический процесс познания.

Третий момент отмечен В.И. Вернадским: "Кристаллография, -- пишет он, -- стала наукой только тогда, когда первые основатели кристаллографии в XVII в. Гульельмини и Стеноп, а главным образом в XVIII в. Роме де Лиль, Гаюи правильно приняли за основу построения научного исследования одно свойство природных кристаллов как основное и оставили без внимания отклонения в наружной форме кристаллов от идеальных многогранников геометрии как вторичные. Этим единым исходным свойством был принят правильно закон постоянства гранных углов, открытый независимо Гульельмини и Стенсепом, так называемый закон Стенопа. Вторичными свойствами явились размеры и форма кристаллических плоскостей и ребер кристаллических многогранников. Исходя из этого, построили реальные полиэдры -- модели природных кристаллов, в которых ребра и плоскости, теоретически являющиеся функцией гранных углов, выявились в своей реальной величине и форме, нарушенных в природных кристаллах проявлением поверхностных сил.

Эти силы оставлены были вначале без внимания.

Так получились идеальные полиэдры геометрии. Такие полиэдры были впервые построены Роме де Лилем в XVIII столетии. Они называются кристаллическими многогранниками". Идеальные по своей форме кристаллы стали рассматриваться как реальные с истинной симметрией, а отклоняющиеся от них -- как ложные с искаженной симметрией. Первые в природе встречаются один на одну или даже несколько тысяч, с большим трудом их удается получить в лабораторных условиях. Вторые составляют, если можно так выразиться, сверхподавляющую часть природных кристаллов. Они легко получаются в лабораторных условиях.

Результат такой ориентации известен: на протяжении столетий наиболее часто встречающиеся, а потому поистине реальные "ложные" кристаллы с искаженной симметрией оставались вне поля зрения кристаллографов, что отрицательно сказалось на общем уровне учения о реальных кристаллах, Сейчас положение выправляется. И все же в таких поворотах внимания кристаллографов было некоторое оправдание: невозможно изучать само отклонение, не зная того, от чего оно отклоняется...

Закон постоянства гранных углов Стенона впоследствии дал начало учению о морфологической симметрии кристаллов -- основе учения о симметрии любых фигур с особенной точкой. Напомним слова А.В Шубникова об особенных элементах фигуры: "Точка (прямая, плоскость) фигуры (или ее части) называется особенной, если она совмещается с собою всеми операциями фигуры (или ее части). Особенные геометрические элементы существуют в фигурах в единственном числе". Центр сферы, ось конуса, поперечная плоскость цилиндра -- соответственно особенные точка, линия, плоскость; трехмерное пространство в классическом учении о пространственной симметрии кристаллов -- также особенный геометрический элемент.

Существует несколько наименований фигур с особенными точками. Чаще всего их называют конечными или, строже, точечными фигурами, реже -- фигурами симметрии нулевого измерения. Последние могут быть разделены на две категории: фигуры без особенных плоскостей и фигуры с особенными плоскостями. Все платоновы тела и шар принадлежат к фигурам первой категории. К фигурам второй категории принадлежат так называемые розетки (одно- и двусторонние). Примеры односторонних розеток -- фигуры пуговицы, цветка растения, насекомого, детской бумажной вертушки, фигуры травления на гранях кристалла; примеры двусторонних розеток -- решетки ворот, колеса, кольца, платки с одинаковым рисунком с обеих сторон, буквы без лица и изнанки (П, Н, Ж), снежинки, фигуры млекопитающих, если смотреть на них сбоку (при другой ориентации они предстанут уже в виде односторонних розеток). Таким образом, и у тех, и у других розеток имеется одна особенная плоскость с особенной точкой в ней. При этом у односторонних розеток эта плоскость полярна, т. е. ее "лицо" отлично от "изнанки", а у двусторонних она не полярна и может являться поэтому плоскостью симметрии.

По-видимому, будет правильным связать развитие учения о симметрии нулевого измерения с построениями древними математиками таких типичных конечных фигур, как многоугольники и многогранники. Особое место здесь должно быть отведено пяти правильным платоновым многогранникам, которые Г. Вейль удачно назвал древним эквивалентом некоторых современных классов групп симметрии конечных фигур.

Далее в изучении симметрии кристаллов наблюдается досадный более чем 1,5-тысячелетний перерыв. Возобновившийся после столь длительного застоя ход исследований в сухом перечне дат и фамилий выглядит так.

1611 г. -- И. Кеплер указывает на сохранение угла (в 60° между отдельными лучами у снежинок) и гениально объясняет это их внутренним сложением из шарообразных частиц.

1669 г. -- Н. Стенсен открыл закон постоянства углов у кристаллов кварца и гематита.

1670 г. -- Э. Бартолин (1625 - 1698) то же свойство указал для кальцита; 1695 г. -- А. Левенгук (1632 - 1723) -- для гипса (малых и больших кристаллов); 1749 г. -- М.В. Ломоносов (1711 - 1765) -- для кристаллов селитры, пирита, алмаза и других, положив тем самым начало русской кристаллографии.

Лишь в 1783 г. Роме де Лиль (1736 - 1790) распространил закон постоянства углов на все кристаллы, проведя десятки тысяч измерений на большом числе объектов. Результаты измерений -- итог всей жизни -- он систематически докладывал ученым в Париже. Эти сообщения и были первыми лекциями по кристаллографии. Закон постоянства углов формулируется им в работе "Кристаллография" так: "Грани кристалла могут изменяться по своей форме и относительным размерам, но их взаимные наклоны постоянны и неизменны для данного рода кристаллов".

В 1784 - 1801 гг. Р.Ж. Гаюи (1743 - 1822), тщательно математически переработав данные Роме де Лиля, установил другой важнейший закон геометрической кристаллографии -- закон целых чисел (рациональных отношений параметров), с которым непосредственно связан закон целых чисел в химии Дальтона (1808 г.), бывавшего в то время в Париже и слушавшего лекции Гаюи. Закон Гаюи формулируется следующим образом: положение всякой грани в пространстве можно определить тремя целыми числами, если за координатные оси взяты направления трех ребер кристалла, а за единицу измерения -- отрезки, отсекаемые на этих осях гранью кристалла, принятой за единичную. X. Венссом (1780 - 1856) в 1815 г. было предложено деление кристаллов на сингонии (сейчас они классифицируются на 7 сингоний, 3 категории). В итоге всех исследований были сделаны два великих открытия: открытие полных групп симметрии кристаллов -- морфологической (1830 г.), и через 60 лет -- структурной (1890 г.). Первое открытие на основе закона целых чисел сделал в 1830 г. малоизвестный при жизни марбургский профессор И.Ф. Гессель (1796 - 1872), геометрически доказавший, что внешняя форма кристаллов описывается лишь 32 видами симметрии. Одновременно он разработал полную теорию симметрии конечных фигур и вывел бесконечное множество видов их симметрии. Однако эта работа осталась незамеченной. Те же 32 вида вновь, хотя и иным путем, открыл уже в 1867 т. русский ученый Л.В. Гадолин (1828 - 1892). Замечательно, что при жизни последнего эмпирически было известно лишь 20 видов симметрии кристаллов. Результаты Гесселя-Гадолина привели к выводу о том, что фигуры симметрии нулевого измерения полностью описываются бесконечным числом групп (видов). Увеличение числа групп симметрии с 32 до ? объясняется просто: за счет учета и запрещенных для кристаллов осей симметрии, т. е. 5, 7, 8, 9, 10,... и т. д., кроме ?, порядков. Причина этого запрета стала понятна лишь после раскрытия внутреннего строения кристаллов. Она связана с решетчатым расположением атомов, ионов и молекул в трехмерном пространстве (О. Бравэ и др.).

История второго величайшего открытия связана с постепенной кристаллизацией понятия "кристаллическая решетка". Эта идея витала в воздухе. На нее, исходя из разных соображений, указывали многие.

Например, И. Кеплер приписывает кристалликам снежинок структуру, получающуюся при плотной укладке шариков одного диаметра. Аналогичные воззрения на структуру кристаллов каменной соли, квасцов и других веществ высказывались и Р. Гуком (1635 - 1703) в его "Микрографии" (Лондон, 1665). Однако Гук ограничивался рассмотрением расположения шариков лишь на плоскости. Далее, И. Ньютон (1643 - 1724) в "Оптике" (1675 г.) также предполагал, что при образовании кристаллов частицы устанавливаются в строй и ряды, поворачивая свои одинаковые стороны в одинаковом направлении и застывая в правильных фигурах. Аналогичные мысли высказывали Д. Гульельмини, X. Гюйгенс (1629 - 1695), М. Ломоносов и многие другие.

Пытаясь объяснить закон целых чисел, Гаюи на углах кристаллической решетки ставил многогранные молекулы; лишь в 1813 г. У. X. Волластон (1766 - 1828) заменил их шарами или просто математическими точками: тем самым идея кристаллической решетки приняла вполне современный вид. Основываясь на достигнутом, О. Бравэ в 1848 г. устанавливает, что всех типов кристаллических решеток лишь 14. Почва для вывода всех пространственных групп симметрии кристаллов уже как бесконечных фигур была готова.

Не позднее 1869 г. К. Жордан (1838 - 1922) в "Мемуаре о группах движений" находит 65 из них, содержащих только собственные (незеркальные) движения; Л. Зонке (1842 - 1897) применил эти группы в 1879 г. к кристаллографии. Вывод всех 230 пространственных групп симметрии был дан почти одновременно и независимо друг от друга Е.С. Федоровым в России (1890 г.) геометрически и А. Шенфлисом (1853 - 1928) в Германии (1891 г.) алгебраически на основе теории групп.

Открытия Федорова-Шонфлиса завершают целую эпоху в изучении симметрии в природе, и, прежде всего, кристаллов. Они позволили дать глубокое, исторически первое -- кристаллографическое -- учение о симметрии, оказавшееся частным случаем второго, геометрического, а затем и более фундаментального, одновременно и самого абстрактного (динамического) понимания симметрии.

5. Симметрия кристаллов

Правильную, симметричную форму кристаллов издавна объясняли симметричным расположением атомов. Само существование атомов было еще гипотезой, но внешнее проявление стройного порядка заставляло предполагать внутреннюю причину. Быть может, правильные пирамиды, сложенные из пушечных ядер, которые когда-то делались круглыми, наводили на мысль, что огранка кристаллов обязана способности атомов самостоятельно укладываться в стройном порядке. Слово "атом" значит неделимый, атомы считали такими же круглыми, гладкими и твердыми, как ядра.

Как ни примитивен такой взгляд с нашей нынешней точки зрения, он оказался необычайно плодотворным в науке о кристаллах, где и сейчас есть понятие плотной упаковки, такой, как в пирамиде, сложенной из шаров.

Давнее, чисто умозрительное учение о строении кристаллов принесло большую пользу еще и потому, что позволило правильно подойти к вопросу о возможных видах симметрии кристаллов.

Симметрия кристаллов -- свойство кристаллов совмещаться с собой при поворотах, отражениях, параллельных переносах либо при части или комбинации этих операций. Симметрия внешней формы кристалла определяется симметрией его атомного строения, которая обуславливает также и симметрию физических свойств кристалла.

В наиболее общей формулировке симметрия -- неизменность (инвариантность) объектов и законов при некоторых преобразованиях описывающих их переменных. Кристаллы -- объекты в трехмерном пространстве, поэтому классическая теория симметрии кристаллов -- теория симметричных преобразований в себя трехмерного пространства с учетом того, что внутренняя атомная структура кристаллов дискретная, трехмерно-периодическая. При преобразованиях симметрии пространство не деформируется, а преобразуется как жесткое целое. Такие преобразования называются ортогональными или изометрическими. После преобразования симметрии части объекта, находившиеся в одном месте, совпадают с частями, находившимися в другом месте. Это означает, что в симметричном объекте есть равные части (совместимые или зеркальные).

Симметрия кристаллов проявляется не только в их структуре и свойствах в реальном трехмерном пространстве, но также и при описании энергетического спектра электронов кристалла, при анализе процессов дифракции нейтронов и дифракции электронов в кристаллах с использованием обратного пространства.

Кристаллу может быть присуща не одна, а несколько операций симметрии. Так, кристалл кварца совмещается с собой не только при повороте на 120° вокруг оси 3, но и при повороте вокруг оси 3 на 240°, а также при поворотах на 180° вокруг осей 2x, 2y, 2w. Каждой операции симметрии может быть сопоставлен элемент симметрии -- прямая, плоскость или точка, относительно которой производится данная операция. Например, ось 3 или оси 2x, 2y, 2w являются осями симметрии, плоскость m -- плоскостью зеркальной симметрии и т. п. Совокупность операций симметрии {g1, g2,…, gN} данного кристалла образует группу симметрии GI (g1, g2,… gN) в смысле математической теории групп. Последовательность проведения операций симметрии также является операцией симметрии. В теории групп это обозначается как произведение операций: g1 g2 = g3. Всегда существует операция идентичности g0, ничего не изменяющая в кристалле, называемая отождествлением, она геометрически соответствует неподвижности объекта или повороту его на 360° вокруг любой оси. Число операций, образующих группу, называется порядком группы. Для описания кристаллов используют различные группы симметрии, из которых важнейшими являются точечные группы симметрии, описывающие внешнюю форму кристаллов; их называют также кристаллографическими классами; пространственные группы симметрии, описывающие атомную структуру кристаллов.

Вместо инверсионных поворотов иногда рассматриваются эквивалентные им зеркальные повороты N. Геометрически возможные сочетания операций точечной симметрии определяют ту или иную точечную группу симметрии, которая изображается обычно в стереографической проекции. При преобразованиях точечной симметрии, по крайней мере, одна точка объекта остаётся неподвижной -- преобразуется сама в себя. В ней пересекаются все элементы симметрии, и она является центром стереографической проекции.

В кристаллах, ввиду наличия кристаллической решётки, возможны только операции и соответственно оси симметрии до 6-го порядка (кроме 5-го; в кристаллической решётке не может быть оси симметрии 5-го порядка, т. к. с помощью пятиугольных фигур нельзя заполнить пространство без промежутков).

Для описания точечной группы симметрии достаточно задать одну или несколько порождающих её операций симметрии, остальные её операции (если они есть) возникнут в результате взаимодействия порождающих.

Группы, содержащие лишь повороты, описывают кристаллы, состоящие только из совместимо равных частей (группы 1-го рода). Группы, содержащие отражения или инверсионные повороты, описывают кристаллы, в которых есть зеркально равные части (группы 2-го рода). Кристаллы, описываемые группами 1-го рода, могут кристаллизоваться в двух энантиоморфных формах ("правой" и "левой", каждая из которых не содержит элементов симметрии 2-го рода), позеркально равных друг другу.

Группы симметрии кристаллов несут в себе геометрический смысл: каждой из операций gi IG соответствует, например, поворот вокруг оси симметрии, отражение в плоскости. Некоторые точечные группы в смысле теории групп, учитывающей лишь правила взаимодействия операций gi gi = gi в данной группе (по не их геометрический смысл), оказываются одинаковыми, или изоморфными друг другу.

Точечные группы описывают симметрию не только кристаллов, но любых конечных фигур. В живой природе часто наблюдается запрещённая в кристаллографии точечная симметрия с осями 5-го, 7-го порядка и выше.

Предельные группы

Функции, которые описывают зависимость различных свойств кристалла от направления, имеют определённую точечную симметрию, однозначно связанную с группой симметрии огранения кристалла. Она либо совпадает с ней, либо выше неё по симметрии.

В отношении макроскопических свойств кристалл может описываться как однородная непрерывная среда. Поэтому многие из свойств кристаллов, принадлежащих к тем или иным точечным группам симметрии, описываются т. н. предельными точечными группами, содержащими оси симметрии бесконечного порядка, обозначаемые символом ?. Наличие оси ? означает, что объект совмещается с собой при повороте на любой, в том числе и бесконечно малый угол. Зная группу кристаллов, можно указать возможность наличия или отсутствия в нем некоторых физических свойств.

Пространственные группы симметрии.

Пространственная симметрия атомной структуры кристаллов описывается пространственными группами симметрии G?. Они называются также фёдоровскими в честь нашедшего их в 1890 Е. С. Фёдорова; эти группы были независимо выведены в том же году А. Шёнфлисом. В противоположности точечным группам, которые были получены как обобщение закономерностей форм кристаллических многогранников, пространственные группы явились продуктом математическо-геометрической теории, предвосхитившей экспериментальные определения структуры кристаллов с помощью дифракции рентгеновских лучей.

Характерными для атомной структуры кристаллов операциями являются 3 некомпланарные трансляции а, b, с, которые задают трёхмерную периодичность кристаллической решётки. Кристаллическая решётка рассматривается как бесконечная во всех трёх измерениях. Такое математическое приближение реально, т. к. число элементарных ячеек в наблюдаемых кристаллах очень велико. Перенос структуры на векторы а, b, с или любой вектор t = p1a + p2b + p3c, где p1, p2, p3 -- любые целые числа, совмещает структуру кристалла с собой и, следовательно, является операцией симметрии (трансляционная симметрия).

Физическая дискретность кристаллического вещества выражается в его атомном строении. Пространственные группы G? -- это группы преобразования в себя трёхмерного однородного дискретного пространства. Дискретность заключается в том, что не все точки такого пространства симметрически равны друг другу, например, атом одного и атом другого сорта, ядро и электроны. Условия однородности и дискретности определяет тот факт, что пространственные группы -- трёхмерно периодические, т. е. любая группа G? содержит подгруппу трансляций T -- кристаллическую решётку.

Вследствие возможности комбинирования в решётке трансляций и операций точечной симметрии в группах G? кроме операций точечной симметрии возникают операции и соответствующие им элементы симметрии с трансляционной компонентой -- винтовые оси различных порядков и плоскости скользящего отражения.

Если задать внутри элементарной ячейки какую-нибудь точку x (x1 x2 x3), то операции симметрии преобразуют её в симметрично равные ей точки во всём кристаллическом пространстве; таких точек бесконечное множество. Но достаточно описать их положение в одной элементарной ячейке, и эта совокупность уже будет размножаться трансляциями решётки. Совокупность точек, выводимых из данной операциями gi группы G -- x1, x2,…, xn -1, называют правильной системой точек (ПСТ).

Для каждой пространственной группы имеются свои совокупности ПСТ. Правильная система точек общего положения для каждой группы одна. Но некоторые из ПСТ частного положения могут оказаться одинаковыми для различных групп.

6. Роль пространственных групп симметрии кристаллов

Пространственные группы симметрии кристаллов -- основа теоретической кристаллографии, дифракционных и иных методов определения атомов структуры кристаллов и описания кристаллических структур.

Дифракционная картина, получаемая методом рентгенографии, нейтронографии или электрографии, позволяет установить симметрийные и геометрические характеристики обратной решётки кристалла, а следовательно, и самой структуры кристалла. Так определяют точечную группу кристалла и элементарную ячейку; по характерным погасаниям (отсутствие определённых дифракционных рефлексов) определяют тип решётки Браве и принадлежность к той или иной пространственной группе. Размещение атомов в элементарной ячейке находят по совокупности интенсивностей дифракционных рефлексов.

Большую роль играют пространственные группы в кристаллохимии. Определено более 100 тыс. кристаллических структур неорганических, органических и биологических соединений. Любой кристалл относится к одной из 230 пространственных групп. Оказалось, что почти все пространственные группы реализованы в мире кристаллов. Хотя одни из них встречаются чаще, другие -- реже.

В теоретической кристаллографии пространственные группы позволяют развить теорию разбиения пространства на равные области, в частности полиэдрические.

7. Обобщённая симметрия

симметрия пространственный дисконтинуум

В основе определения симметрии лежит понятие равенства при преобразовании. Однако физический (и математический) объект может быть равен себе по одним признакам и не равен по другим. Например, распределение ядер и электронов в кристалле антиферромагнетика можно описать с помощью обычной пространственной симметрии, но если учесть распределение в нём магнитных моментов, то "обычной", классической симметрии уже недостаточно. К подобного рода обобщениям симметрии относятся антисимметрия и цветная симметрия.

В антисимметрии, в дополнение к трём пространственным переменам x1, x2, x3, вводится добавочная, 4-я переменная x4 = ± 1. Это можно истолковать таким образом, что при преобразовании функция F может быть не только равна себе, как в равенстве, но и "антиравна" -- изменит знак. Существует 58 групп точечной антисимметрии G?0 и 1651 пространственная группа антисимметрии G?3 (шубниковские группы).

Если добавочная переменная приобретает не два значения, а больше (возможны 3, 4, 6, 8,…,48), то возникает т. н. цветная симметрия Белова. Так, известна 81 точечная группа G?0 и 2942 группы G?0. Основные приложения обобщённой симметрии в кристаллографии -- описание магнитных структур.

Найдены и другие группы антисимметрии (кратной и др.). Теоретически выведены и все точечные и пространственные группы четырёхмерного пространства и более высоких измерений. На основе рассмотрения симметрии (3 + К)-мерного пространства можно также описывать несоразмерные в трёх направлениях модулированной структуры.

Другие обобщение симметрии -- симметрия подобия, когда равенство частей фигуры заменяется их подобием, криволинейная симметрия, статистическая симметрия, вводимая при описании структуры разупорядоченных кристаллов, твердых растворов, жидких кристаллов и др.

8. Биосимметрия

Структурная -- молекулярная

Содержание этого вида симметрии мы раскроем постепенно, переходя от нульмерных групп симметрии биомолекул к одно-, двух, трехмерным. Из всех точечных групп симметрии для "мономерных" молекул наиболее характерны лишь две -- п и п*т, при этом обычно п = 1, 2,..., k, где k -- величина небольшая. Поэтому наиболее распространенными группами здесь оказываются соответственно 1 и т, 2*т, 3*т... Первая характерна, например, почти для всех оптически активных -- асимметрических -- мономерных или олиго-сахаров, алкалоидов, многих аминокислот; вторые группы наиболее характерны для всякого рода оптически неактивных, часто запасных веществ. Однако недиссимметрическими группами иногда приходится описывать симметрию, подчас и чрезвычайно метаболически активных веществ (некоторые азотистые основания). Последнее обстоятельство резко ограничивает эмпирическое обобщение Г. Ф. Гаузе об обязательной диссимметричности метаболически активных соединений. Действительная картина здесь, таким образом, оказывается сложнее.

Аминокислоты, пуриновые и пиримидиновые азотистые основания, сахара и т. д., так или иначе химически взаимодействуя, "кристаллизуются" в полимерные, вытянутые в одном направлении цепные молекулы -- белки, нуклеиновые кислоты, целлюлозу, крахмал гликоген и другие соединения Выше мы видели, что цепные молекулы относятся к стержням, поэтому их симметрия должна исчерпываться всего 17 типами, охватывающими бесконечное множество видов симметрии. Однако учет характера взаимодействия между атомами "хребта" и боковых радикалов цепной органической молекулы, тенденций перехода в энергетически наиболее выгодное состояние и других факторов позволяет утверждать, что в природе наиболее часто должны встречаться ценные молекулы, принадлежащие к 13 группам симметрии стержней с N = 1 и к двум типам с винтовой осью "порядка" М -- 8vy5k/2.

Учет симметрии возможных конфигураций ковалентных связей главной оси -- (2), (3), (3), (4) делает потенциально возможным для отдельных цепных молекул еще 30 групп, что дает всего 45 групп. Число "кристаллографических" групп цепных структур равно, как известно, 75. С возникновением живой природы число наиболее часто встречающихся групп резко уменьшается -- до 4. Эти группы -- диссимметрические: t, t/2, SM/2, где t-- ось трансляции (обозначения международные). Например, целлюлоза относится к группе S2, полипептиды в конфигурации ?-спирали -- к S18/5.

Отдельные цепные молекулы могут давать образования из 2, З... цепочек. Если они связываются водородными связями, то их называют сложными, цепными молекулами; ван-дер-ваальсовыми (по принципу плотной упаковки; в первом случае он не выдерживается) -- пучками; если сложная цепная молекула образована из химически различных единиц, то она называется комплексной цепной молекулой.

Сложные и комплексные цепные молекулы, пучки возникают, главным образом, в биосистемах; они оптически активны, представлены одной энантиоморфой. Поэтому они относятся к диссимметрическим группам стержней: tN, SмN, tN/2, SMN/2. Однако учет меньшей устойчивости четверных и пятерных (чем двойных и тройных) цепей, спирализации как общего способа последовательной упаковки звеньев цепных молекул делает наиболее вероятным для сложных цепных молекул групп SM2, SM/2, SM3, пучков -- Sм, Sм³, комплексных цепных молекул --Sм². Так, сложная цепная молекула ДНK относится к группе Sм/2, полиадениловая кислота -- к S2, полиинозиновая -- к Sм³, комплексная цепная молекула вируса табачной мозаики -- к S49/3. Последняя построена из уложенных по одноходовому пологому витку белковых субъединиц, внутри которых идет цепочка РНК. На каждую субъединицу приходится три нуклеотида; на три оборота молекулы приходится 49 белковых субъединиц. Другие примеры комплексной ценной молекулы -- ДНК-протеиды. Здесь полипептидная цепь белка обвивает молекулу ДНК по малой канавке. Так как эта цепочка одиночная, симметрия нуклеопротеида -- Sм, хотя самой ДНК -- Sм/2.