Філософія і математика

Курсова робота

на тему:

“Філософія і математика”

Зміст

Система філософії математики Аристотеля

Список використаної літератури

Вступ

Питання про взаємозв'язок математики і філософії вперше було задане досить давно. Аристотель, Бекон, Леонардо да Вінчі - багато великих розумів людства займалися цим питанням і досягали видатних результатів. Це не дивно: адже основу взаємодії філософії з якою-небудь з наук становить потребу використання апарату філософії для проведення досліджень у даній області; математика ж, безсумнівно, найбільше серед точних наук піддається філософському аналізові (у силу своєї абстрактності). Поряд з цим прогресуюча математизація науки впливає на філософське мислення.

Спільний шлях математики і філософії почався в Древній Греції близько VI століття до н.е. Не стиснуте рамками деспотизму, грецьке суспільство тієї пори було подібно живильному розчинові, на якому виросло багато чого, що дійшло до нас у сильно зміненому часом вигляді, однак зберігши основну, закладену греками ідею: театр, поезія, драматургія, математика, філософія. У цій роботі я спробував простежити за процесом формування, розвитку і взаємного впливу математики і філософії Древньої Греції, а також навести різні точки зору на рушійні сили і результати цього процесу.

Відомо, що грецька цивілізація на початковому етапі свого розвитку відштовхувалося від цивілізації Древнього Сходу. Якою ж була математична спадщина, отримана греками?

З математичних документів, що дійшли до нас, можна стверджувати, що в Древньому Єгипті були сильні галузі математики, пов'язані з рішенням економічних задач. Папірус Райнда (близько 2000 р. до н.е.) починався з обіцянки навчити "зробленому і ґрунтовному дослідженню всіх речей, розумінню їхніх сутностей, пізнанню всіх таємниць". Фактично викладається мистецтво обчислення з цілими числами і дробами, у яке присвячувалися державні чиновники для того, щоб уміти вирішувати широке коло практичних задач, таких, як розподіл заробітної плати між відомим числом робітників, обчислення кількості зерна для готування певної кількості хліба, обчислення поверхонь і об'ємів і т.д. Далі рівнянь першого ступеня і найпростіших квадратних рівнянь єгиптяни, очевидно, не пішли. Весь зміст відомої нам єгипетської математики переконливо свідчить, що математичні знання єгиптян призначалися для задоволення конкретних потреб матеріального виробництва і не могли серйозно бути пов'язаними з філософією.

Математика Вавилона, як і єгипетська, була покликана до життя потребами виробничої діяльності, оскільки вирішувалися задачі, пов'язані з нестатками зрошення, будівництва, господарського обліку, відносинами власності, вирахуванням часу. Збережені документи свідчать, що, ґрунтуючись на 60-річній системі числення, вавилоняни могли виконувати чотири арифметичних дії, були таблиці квадратних коренів, кубів і кубічних коренів, сум квадратів і кубів, ступенів даного числа, були відомі правила підсумовування прогресій. Чудові результати були отримані в області числової алгебри. Хоча вавилоняни і не знали алгебраїчної символіки, але рішення задач проводилося за планом, задачі зводилися до єдиного "нормального" вигляду і потім вирішувалися за загальними правилами, причому тлумачення перетворень "рівняння" не зв'язувалося з конкретною природою вихідних даних. Зустрічалися задачі, що зводились до рішеннь рівнянь третього ступеня й особливих видів рівнянь четвертого, п'ятого і шостого ступеня.

Якщо ж порівнювати математичні науки Єгипту і Вавилона по способові мислення, то неважко буде установити їхню спільність за такими характеристиками, як авторитарність, некритичність, проходження за традицією, украй повільна еволюція знань. Ці ж риси виявляються й у філософії, міфології, релігії Сходу. Як писав з цього приводу Е. Кольман, "в этом месте, где воля деспота считалась законом, не было места для мышления, доискивающегося до причин и обоснований явлений, ни тем более для свободного обсуждения" [5, ст. 112].

Аналіз давньогрецької математики і філософії варто почати з мілетської математичної школи, що заклала основи математики як доказової науки.

Мілетська Школа

Мілетська школа - одна з перших давньогрецьких математичних шкіл, що зробила істотний вплив на розвиток філософських уявлень того часу. Вона існувала в Іонії наприкінці V - IV ст. до н.е.; основними діячами її являлися Фалес (бл. 624-547 р. до н.е.), Анаксимандр (бл. 610-546 р. до н.е.) і Анаксимен (бл. 585-525 р. до н.е.). Розглянемо на прикладі мілетськой школи основні відмінності грецької науки від догрецької і проаналізуємо їх.

Якщо зіставити вихідні математичні знання греків з досягненнями єгиптян і вавилонян, то навряд чи можна сумніватися в тому, що такі елементарні положення, як рівність кутів у основи рівнобедреного трикутника, відкриття якого приписують Фалесу Мілетському, не були відомі древній математиці. Проте, грецька математика вже у вихідному своєму пункті мала якісну відмінність від своїх попередників.

Її своєрідність полягає насамперед у спробі систематично використовувати ідею доказу. Фалес прагне довести те, що емпірично було отримано і без належного обґрунтування використовувалося в єгипетській і вавілонській математиці. Можливо, у період найбільш інтенсивного розвитку духовного життя Вавилона і Єгипту, у період формування основ їхніх знань виклад тих або інших математичних положень супроводжувався обґрунтуванням у тій або іншій формі.

Однак, як пише Ван дер Варден, "во времена Фалеса египетская и вавилонская математика давно уже были мертвыми знаниями. Можно было показать Фалесу, как надо вычислять, но уже неизвестен был ход рассуждений, лежащих в основе этих правил"[3, ст. 84].

Греки вводять процес обґрунтування як необхідний компонент математичної дійсності, доказовість дійсно являється відмінною рисою їхньої математики. Технікою доказу ранньої грецької математики як у геометрії, так і в арифметиці спочатку являлася проста спроба додання наочності. Конкретними різновидами такого доказу в арифметиці був доказ за допомогою камінчиків, у геометрії - шляхом накладення. Але сам факт наявності доказу говорить про те, що математичні знання сприймаються не догматично, а в процесі міркування. Це, у свою чергу, виявляє критичний склад розуму, упевненість (може бути не завжди усвідомлена), що міркуванням можна установити правильність або хибність розглянутого положення, впевненість у силі людського розуму.

Греки в плині одного-двох сторіч зуміли опанувати математичну спадщину попередників, накопиченого в плині тисячоріч, що свідчить про інтенсивність, динамізм їхнього математичного пізнання. Якісна відмінність досліджень Фалеса і його послідовників від догрецької математики виявляється не стільки в конкретному змісті дослідженої залежності, скільки в новому способі математичного мислення. Вихідний матеріал греки взяли в попередників, але спосіб засвоєння і використання цього матеріалу був новий. Відмінними рисами їхнього математичного пізнання являються раціоналізм, критицизм, динамізм.

Ці ж риси характерні і для філософських досліджень мілетської школи. Філософська концепція і сукупність математичних положень формується за допомогою однорідного по своїх загальних характеристиках розумового процесу, якісно відмінного від мислення попередньої епохи. Як же сформувався цей новий спосіб сприйняття дійсності? Відкіля бере свій початок прагнення до наукового знання?

Ряд дослідників повідомляє відзначені вище характеристики розумового процесу "уродженими особливостями грецького духу".

Однак це посилання нічого не пояснює, тому що незрозуміло, чому той же "грецький дух" по закінченню епохи еллінізму утрачає свої якості. Можна спробувати пошукати причини такого світорозуміння в соціально-економічній сфері.

Іонія, де проходила діяльність мілетської школи, була досить розвинутою в економічних відносинах областю. Тому саме вона раніше інших вступила на шлях повалення первіснообщинного ладу і формування рабовласницьких відносин. У VIII-VI ст. до н.е. земля усе більше зосереджувалася в руках великої родової знаті. Розвиток ремісничого виробництва і торгівлі ще в більшій мірі прискорював процес соціально-майнового розшарування. Відносини між аристократією і демосом стають напруженими; згодом ця напруженість переростає у відкриту боротьбу за владу. Калейдоскоп подій у внутрішнім житті, не менш мінлива зовнішня обстановка формують динамізм, жвавість суспільної думки. Напруженість у політичній і економічній сферах приводить до зіткненням в області релігії, оскільки демос, ще не сумніваючись у тім, що релігійні і світські установлення вічні, тому що дані богами, вимагає, щоб вони були записані і стали загальнодоступними, тому що правителі спотворюють божественну волю і тлумачать її по-своєму. Однак неважко зрозуміти, що систематичний виклад релігійних і міфологічних представлень (спроба такого викладу була дана Гесіодом) не міг не нанести серйозного удару релігії. При перевірці релігійних вигадництв логікою перші, безсумнівно, показалися б конгломератом безглуздостей.

Таким чином, матеріалістичний світогляд Фалеса і його послідовників не являється якимсь загадковим, не від світу цього породженням "грецького духу". Він являється продуктом цілком визначених соціально-економічних умов і виражає інтереси історично-конкретних соціальних сил, насамперед торгово-ремісничих шарів суспільства.

На підставі всього перерахованого вище ще не можна з великою впевненістю стверджувати, що саме вплив світогляду став вирішальним фактором для виникнення доказу; не виключено адже, що це відбулося в силу інших причин: потреб виробництва, запитів елементів природознавства, суб'єктивних спонукань дослідників. Однак можна переконатися, що кожна з цих причин не змінила принципово свого характеру в порівнянні з догрецькою епохою безпосередньо не приводить до перетворення математики в доказову науку. Наприклад, для задоволення потреб техніки було цілком достатньо практичної науки древнього Сходу, у справедливості положень якої можна було переконатися емпірично. Сам процес виявлення цих положень показав, що вони дають достатню для практичних потреб точність.

Можна вважати одним зі спонукальних мотивів виникнення доказу необхідність осмислення й узагальнення результатів попередників. Однак і цьому факторові не належить вирішальна роль, тому що, наприклад, існують теорії, сприймані нами як очевидні, які отримали суворе обґрунтування в античній математиці (наприклад, теорія подільності на 2).

Поява потреби доказу в грецькій математиці одержує задовільне пояснення, якщо врахувати взаємодію світогляду на розвиток математики. У цьому відношенні греки істотно відрізняються від своїх попередників. У їх філософських і математичних дослідженнях виявляються віра в силу людського розуму, критичне відношення до досягнень попередників, динамізм мислення. У греків вплив світогляду перетворився зі стримуючого фактора математичного пізнання в стимулюючий, у діючу силу прогресу математики.

У тому, що обґрунтування прийняло саме форму доказу, а не зупинилося на емпіричній перевірці, вирішальною є поява нової, світоглядної функції науки. Фалес і його послідовники сприймають математичні досягнення попередників передусім для задоволення технічних потреб, але наука для них - щось більше, ніж апарат для вирішення виробничих задач. Окремі, найбільш абстрактні елементи математики вплітаються в натурфілософську систему і тут виконують роль антипода міфологічним і релігійним віруванням. Емпіричного підтвердження для елементів філософської системи було недостатньо в силу спільності їхнього характеру й бідності фактів, що їх підтверджують. Математичні знання же на той час досягли такого рівня розвитку, що між окремими положеннями можна було установити логічні зв'язки. Така форма обґрунтувань виявилася об'єктивно прийнятною для математичних положень.

Піфагорійська школа

На підставі даного вище дослідження мілетської школи можна лише переконатися в активному впливі світогляду на процес математичного пізнання тільки при радикальній зміні соціально-економічних умов життя суспільства. Однак залишаються відкритими питання про те, чи впливає зміна філософської основи життя суспільства на розвиток математики, чи залежить математичне пізнання від зміни ідеологічної спрямованості світогляду, чи має місце зворотній вплив математичних знань на філософські ідеї. Можна спробувати відповісти на поставлені питання, звернувшись до діяльності піфагорійської школи.

Піфагоризм як напрямок духовного життя існував протягом всієї історії Древньої Греції, починаючи з VI століття до н.е. і пройшов у своєму розвитку ряд етапів. Питання про їхню тимчасову діяльність складне і дотепер не вирішене однозначно. Основоположником школи був Піфагор Самоський (бл. 580-500 до н.е.). Жодний рядок, написаний Піфагором, не зберігся; узагалі невідомо, чи прибігав він до письмової передачі своїх думок. Що було зроблено самим Піфагором, а що його учнями, установити дуже важко. Свідчення про нього давньогрецьких авторів суперечливі; якоюсь мірою різні оцінки його діяльності відбивають різноманіття його навчання.

У піфагоризмі виділяють дві складові: практичну ("піфагорійський спосіб життя") і теоретичну (визначена сукупність навчань). У релігійному навчанні піфагорійців найбільш важливою вважалася обрядова сторона, потім малося на увазі створити певний духовний стан і лише потім по значимості йшли вірування, у трактуванні яких допускалися різні варіанти. У порівнянні з іншими релігійними течіями в піфагорійців були специфічні уявлення про природу і долю душі. Душа - істота божественна, вона укладена в тіло на кару за гріхи; вища мета життя - звільнити душу з тілесної темниці, не допустити в інше тіло, що нібито відбувається після смерті. Шляхом для досягнення цієї мети являється виконання визначеного морального кодексу, "піфагорійський спосіб життя". У багаточисельній системі писань, що регламентували майже кожен крок життя, видне місце приділялося заняттям музикою і науковими дослідженнями.

Теоретична сторона піфагоризму тісно зв'язана з практичною. У теоретичних вишукуваннях піфагорійці бачили кращий засіб звільнення душі з кола народжень, а їхні результати прагнули використовувати для раціонального обґрунтування передбачуваної доктрини. Імовірно, у діяльності Піфагора і його найближчих учнів наукові положення були перемішані з містикою, релігійними і міфологічними представленнями. Уся ця "мудрість" викладалася в якості висловів оракула, яким надавався схований зміст божественного одкровення.

Основними об'єктами наукового пізнання в піфагорійців були математичні об'єкти, у першу чергу числа натурального ряду (згадаймо знамените "Число є сутність усіх речей"). Видне місце приділялося вивченню зв'язків між парними і непарними числами. В області геометричних знань увага акцентується на найбільш абстрактних залежностях. Піфагорійцями була побудована значна частина планіметрії прямокутних фігур; вищим досягненням у цьому напрямку був доказ теореми Піфагора, окремі випадки якої за 1200 років до цього приводяться в клинописних текстах вавілонян. Греки доводять її загальним образом. Деякі джерела приписують піфагорійцям навіть такі видатні результати, як побудова п'яти правильних багатогранників.

Числа в піфагорійців виступають основними універсальними об'єктами, до яких передбачалося звести не тільки математичні побудови, але і все різноманіття дійсності. Фізичні, етичні, соціальні і релігійні поняття одержали математичне забарвлення. Науці про числа й інші математичні об'єкти приділяється основне місце в системі світогляду, тобто фактично математика з'являється філософією. Як писав Аристотель, "...у чисел они усматривали, казалось бы, много сходных черт с тем, что существует и происходит, - больше, чем у огня, земли и воды... У них, по-видимому, число принимается за начало и в качестве материи для вещей, и в качестве выражения для их состояний и свойств... Например, такое-то свойство чисел есть справедливость, а такое-то - душа и ум, другое - удача, и можно сказать - в каждом из остальных случаев точно также" [3, ст. 78].

Якщо порівнювати математичні дослідження ранньої піфагорійської і мілетської шкіл, то можна виявити ряд істотних розходжень.

Так, математичні об'єкти розглядалися піфагорійцями як першопочаток світу, тобто радикально змінилося саме розуміння природи математичних об'єктів. Крім того, математика перетворена піфагорійцями в складовій релігії, у засіб очищення душі, досягнення безсмертя. І нарешті, піфагорійці обмежують область математичних об'єктів найбільш абстрактними типами елементів і свідомо ігнорують застосування математики для рішення виробничих задач.

Але чим же обумовлені такі глобальні розбіжності в розумінні природи математичних об'єктів у шкіл, що існували практично в той самий час і які черпали свою мудрість, очевидно, з одного і того ж джерела - культури Сходу? Утім, Піфагор, скоріше усього, користувався досягненнями мілетської школи, тому що в нього, як і у Фалеса, виявляються основні ознаки мислительної діяльності, що відрізняються від догрецької епохи; однак математична діяльність цих шкіл носила істотно різний характер.

Аристотель був одним з перших, хто спробував пояснити причини появи піфагорійської концепції математики. Він бачив їх у межах самої математики: "Так называемые пифагорейцы, занявшись математическими науками, впервые двинули их вперед и, воспитавшись на них, стали считать их началами всех вещей"[2, ст. 103]. Подібна точка зору не позбавлена підстави хоча б у силу застосовності математичних положень для вираження відносин між різними явищами. На цій підставі можна, неправомірно розширивши даний момент математичного пізнання, прийти до твердження про вираження всього сущого за допомогою математичних залежностей, а якщо вважати числові відносини універсальними, то "число є сутність усіх речей". Крім того, до часу діяльності піфагорійців математика пройшла довгий шлях історичного розвитку; процес формування її основних положень губився в мороці століть. Таким чином, з'являлася спокуса зневажити його і оголосити математичні об'єкти чимось первинним стосовно існуючого світу. Саме так і вчинили піфагорійці.

У радянській філософській науці проблема появи піфагорійської концепції математики розглядалася, природно, з позицій марксистсько-ленінської філософії. Так, О.І. Кедровський пише: "...Выработанная им (Пифагором) концепция объективно оказалась идеологией вполне определенных социальных слоев общества. Это были представители аристократии, теснимые демосом... Для них характерно стремление уйти от тягот земной жизни, обращение к религии и мистике" [3, ст. 112]. Ця точка зору, як і перша, не позбавлена змісту; істина ж, імовірно, знаходиться десь посередині. Однак, на мій погляд, крах піфагорійського навчання варто зв'язувати в першу чергу не з виродженням аристократії як класу, а зі спробою піфагорійців перекрутити саму природу процесу математичного пізнання, позбавивши математику таких важливих джерел прогресу, як застосування для виробництва, відкрите обговорення результатів досліджень, колективна творчість, утримати прогрес математики в рамках рафінованого навчання для присвячених. До речі, самі піфагорійці підірвали свій основний принцип "число є сутність усіх речей", відкривши, що відношення діагоналі і сторони квадрата не виражається за допомогою цілих чисел.

Таким чином, вже у вихідному пункті свого розвитку теоретична математика була піддана впливові боротьби двох типів світогляду - матеріалістичного і релігійно-ідеалістичного. Ми ж переконалися, що поряд із впливом світогляду на розвиток математичного пізнання має місце і зворотний вплив.

Елейська школа

Елейська школа досить цікава для дослідження, тому що це одна з найдавніших шкіл, у працях якої математика і філософія досить тісно і різнобічно взаємодіють. Основними представниками елейської школи вважають Парменіда (кінець VI - V ст. до н.е.) і Зенона (перша половина V в. до н.е.).

Філософія Парменіда полягає в наступному: усілякі системи світорозуміння базуються на одному із трьох посилань: 1) Є тільки буття, небуття немає; 2) Існує не тільки буття, але і небуття; 3) Буття і небуття тотожні. Правдивою Парменід визнає тільки перше посилання. Відповідно до нього, буття єдине, неподільне, незмінне, позачасове, закінчене в собі, тільки воно істинно суще; множинність, мінливість, переривчастість, плинність - усе це доля мнимого.

З захистом навчання Парменіда від заперечень виступив його учень Зенон. Древні приписували йому сорок доказів для захисту навчання про єдність сущого (проти множинності речей) і п'ять доказів його нерухомості (проти руху). З них до нас дійшло усього дев'ять. Найбільшою популярністю за всіх часів користувалися Зенонові докази проти руху; наприклад, "движения не существует на том основании, что перемещающееся тело должно прежде дойти до половины, чем до конца, а чтобы дойти до половины, нужно пройти половину этой половины и т.д."[3, ст. 132].

Аргументи Зенона приводять до парадоксальних, з погляду "здорового глузду", висновків, але їх не можна було просто відкинути як неспроможні, оскільки і за формою, і по змісту відповідали математичним стандартам тієї пори. Розклавши апорії Зенона на складові частини і рухаючись від висновків до посилок, можна реконструювати вихідні положення, що він узяв за основу своєї концепції. Важливо відзначити, що в концепції елеатів, як і в дозенонівській науці фундаментальні філософські представлення істотно спиралися на математичні принципи. Видне місце серед них займали наступні аксіоми:

1. Сума нескінченно великого числа будь-яких, хоча б і нескінченно малих, але протяжних величин повинна бути нескінченно великою;

2. Сума будь-якого, хоча б і нескінченно великого числа непротяжних величин завжди дорівнює нулеві і ніколи не може стати деякою заздалегідь заданою протяжною величиною.

Саме в силу тісного взаємозв'язку загальних філософських представлень з фундаментальними математичними положеннями удар, нанесений.

Зеноном по філософських поглядах, істотно торкнувся системи математичних знань. Цілий ряд найважливіших математичних побудов, що вважалися до цього безсумнівно правдивими, у світлі зенонівських побудов виглядали як суперечливі. Міркування Зенона привели до необхідності переосмислити такі важливі методологічні питання, як природа нескінченності, співвідношення між безперервним і перервним і т.п. Вони звернули увагу математиків на неміцність фундаменту їхньої наукової діяльності й у такий спосіб зробили стимулюючий вплив на прогрес цієї науки.

Варто звернути увагу і на зворотний зв'язок - на роль математики у формуванні елейської філософії. Так, установлено, що апорії Зенона зв'язані з перебуванням суми нескінченної геометричної прогресії. На цій підставі радянський історик математики Е. Кульман зробив припущення, що "саме на математичному ґрунті підсумовування таких прогресій і виросли логіко-філософські апорії Зенона".

Однак таке припущення, очевидно, позбавлено достатніх основ, тому що воно занадто жорстко зв'язує навчання Зенона з математикою при тому, що історичні дані не дають підстави стверджувати, що Зенон узагалі був математиком.

Величезне значення для наступного розвитку математики мало підвищення рівня абстракції математичного пізнання, що відбулося у великому ступені завдяки діяльності еліатів. Конкретною формою прояву цього процесу було виникнення побічного доказу ("від противного"), характерною рисою якого являється доказ не самого твердження, а абсурдності зворотного йому. Таким чином був зроблений крок до становлення математики як дедуктивної науки, створені деякі передумови для її аксіоматичної побудови.

Отже, філософські міркування еліатів, з одного боку, стали могутнім поштовхом для принципово нової постановки найважливіших методологічних питань математики, а з іншого боку - послужили джерелом виникнення якісно нової форми обґрунтування математичних знань.

Демокріт

Аргументи Зенона розкрили внутрішні протиріччя, що мали місце в сформованих математичних теоріях. Тим самим факт існування математики був поставлений під сумнів. Якими ж шляхами вирішувалися протиріччя, виявлені Зеноном?

Найпростішим виходом із такого становища, була відмова від абстракцій на користь того, що можна безпосередньо перевірити за допомогою відчуттів. Таку позицію зайняв софіст Протагор. Він вважав, що "мы не можем представить себе ничего прямого или круглого в том смысле, как представляет эти термины геометрия; в самом деле, круг касается прямой не в одной точке" [1, ст. 202]. Таким чином, з математики варто забрати як ірреальні: представлення про нескінченне число речей, тому що ніхто не може лічити до нескінченності; нескінченну подільність, оскільки вона нездійсненна практично і т.д. Таким шляхом математику можна зробити невразливою для міркувань Зенона, але при цьому практично скасовується теоретична математика. Значно складніше було побудувати систему фундаментальних положень математики, у якій би виявлені Зеноном протиріччя не мали би місця. Цю задачу вирішив Демокріт, розробивши концепцію математичного атомізму.

Демокріт був, на думку Маркса, "першим енциклопедичним розумом серед греків". Діоген Лаєрцій (III в. н.е.) називає 70 його творів, у яких були висвітлені питання філософії, логіки, математики, космології, фізики, біології, громадського життя, психології, етики, педагогіки, філології, мистецтва, техніки й інші. Аристотель писав про нього: "Вообще, кроме поверхностных изысканий, никто ничего не установил, исключая Демокрита. Что же касается его, то получается такое впечатление, что он предусмотрел все, да и в методе вычислений он выгодно отличается от других"[2, ст. 184].

Вступною частиною наукової системи Демокріта була "каноніка", у якій формулювалися й улаштовувалися принципи атомістичної філософії. Потім випливала фізика, як наука про різні прояви буття, і етика. Каноніка входила у фізику як вихідний розділ, етика ж будувалася як породження фізики. У філософії Демокріта насамперед установлюється розходження між "справді сущим" і тим, що існує тільки в "загальній думці". Справді сущими вважалися лише атоми і порожнеча. Як справді суще, порожнеча (небуття) є така ж реальність, як атоми (буття). "Велика порожнеча" безмежна і укладає в собі все існуюче, у ній немає ні верху, ні низу, ні краю, ні центру, вона робить перериваною матерію і можливим її рух. Буття утворюють незліченні дрібні якісно однорідні першотільця, що розрізняються між собою по зовнішніх формах, розмірові, положенню і порядкові, вони далі неподільні внаслідок абсолютної твердості і відсутності в них порожнечі і "по величині неподільні". Атомам самим по собі властивий безперестанний рух, розмаїтість якого визначається нескінченною розмаїтістю форм атомів. Рух атомів є вічним і в остаточному підсумку являється причиною всіх змін у світі.

Задача наукового пізнання, згідно Демокріта, щоб спостерігаючі явища звести до області "правдивого сущого" і дати їм пояснення виходячи з загальних принципів атомістики. Це може бути досягнуто за допомогою спільної діяльності відчуттів і розуму. Гносеологічну позицію Демокріта Маркс сформулював у такий спосіб: "Демокрит не только не удалялся от мира, а, наоборот, был эмпирическим естествоиспытателем" [1, ст. 208]. Зміст вихідних філософських принципів і гносеологічні установки визначили основні риси наукового методу Демокріта:

а) У пізнанні виходити від одиничного;

б) Будь-який предмет і явище розкладені до найпростіших елементів (аналіз) і з'ясовні виходячи з них (синтез);

в) Розрізняти існування "по істині" і "відповідно до думки";

г) Явища дійсності - це окремі фрагменти упорядкованого космосу, що виник і функціонує в результаті дій чисто механічної причинності.

Математика по праву повинна вважатися в Демокріта першим розділом власне фізики і випливати безпосередньо за канонікою. Насправді, атоми якісно однорідні і їхні первинні властивості мають кількісний характер. Однак було б неправильно трактувати навчання Демокріта як різновид піфагоризму, оскільки Демокріт хоча і зберігає ідею панування у світі математичної закономірності, але виступає з критикою апріорних математичних побудов піфагорійців, вважаючи, що число повинне виступати не законодавцем природи, а виходити з неї. Математична закономірність виявляється Демокрітом з явищ дійсності, і в цьому змісті він передбачає ідеї математичного природознавства. Вихідні початки матеріального буття виступають у Демокріта в значній мірі як математичні об'єкти, і відповідно до цього математиці приділяється видне місце в системі світогляду як науці про первинні властивості речей. Однак включення математики в основу світоглядної системи зажадало її перебудови, приведення математики у відповідність з вихідними філософськими положеннями, з логікою, гносеологією, методологією наукового дослідження. Створена в такий спосіб концепція математики, названа концепцією математичного атомізму, виявилася істотно відмінною від попередніх.

У Демокріта всі математичні об'єкти (тіла, площини, лінії, точки) виступають у визначених матеріальних образах. Ідеальні площини, лінії, точки в його вченні відсутні. Основною процедурою математичного атомізму являється розкладання геометричних тіл на найтонші листочки (площини), площин - на найтонші нитки (лінії), ліній - на дрібні зернятка (атоми). Кожен атом має малу, але ненульову величину і далі неподільний. Тепер довжина лінії визначається як сума неподільних часток, що є в ній. Аналогічно вирішується питання про взаємозв'язок ліній на площині і площин у тілі. Число атомів у кінцевому об'ємі простору не нескінченно, хоча і настільки велике, що недоступно почуттям. Отже, головною відмінністю навчання Демокріта від розглянутих раніше являється заперечення ним нескінченної подільності. У такий спосіб він вирішує проблему правомірності теоретичних побудов математики, не зводячи їх до почуттєво сприйманих образів, як це робив Протагор. Так, на думку Протагора про дотикання кола і прямої Демокріт міг би відповісти, що почуття, які є відправним критерієм Протагора, показують йому, що чим точніше креслення, тим менше ділянка дотику; у дійсності ж ця ділянка настільки мала, що не піддається почуттєвому аналізові, а відноситься до області правдивого пізнання.

Керуючись положеннями математичного атомізму, Демокріт проводить ряд конкретних математичних досліджень і досягає значних результатів (наприклад, теорія математичної перспективи і проекції). Крім того, він зіграв, за свідченням Архімеда, немаловажну роль у доказі Евдоксом теорем про об'єм конуса і піраміди.

Видатним досягненням Демокріта в математиці є також його ідея про побудову теоретичної математики як системи. У зародковій формі вона являє собою ідею аксіоматичної побудови математики, що потім була розвита в методологічному плані Платоном і одержала логічно розгорнуте положення в Аристотеля.

Платоновський ідеалізм

Твори Платона (427-347 р. до н.е.) - унікальне явище у відношенні виділення філософської концепції. Це високохудожній захоплюючий опис самого процесу становлення концепції, із сумнівами і непевністю, часом з безрезультатними спробами вирішення поставленого питання, з поверненням до вихідного пункту, численними повтореннями і т.п. Виділити у творчості Платона який-небудь аспект і систематично викласти його досить складно, так як приходиться реконструювати думки Платона з окремих висловлень, що настільки динамічні, що в процесі еволюції думки часом перетворюються у свою протилежність.

Платон неодноразово висловлював своє відношення до математики і вона завжди оцінювалася ним дуже високо: без математичних знань "людина з будь-якими природними властивостями не стане блаженною", у своїй ідеальній державі він припускав "затвердити законом і переконати тих, котрі мають намір зайняти в місті високі посади, щоб вони вправлялися в науці числення". Систематичне широке використання математичного матеріалу має місце в Платона, починаючи з діалогу "Менон", де Платон підводить до основного висновку за допомогою геометричного доказу. Саме висновок цього діалогу про те, що пізнання є пригадування, став основним принципом платонівської гносеології.

Значно в більшій мірі, чим у гносеології, вплив математики виявляється в онтології Платона. Проблема побудови матеріальної дійсності в Платона одержала таке трактування: світ речей, сприйманий за допомогою почуттів, не є світ істинно існуючого; речі безупинно виникають і гинуть. Правдивим буттям володіє світ ідей, які безтілесні, непочуттєві і виступають стосовно речей як їхні причини й образи, по яких ці речі створюються. Далі, крім почуттєвих предметів і ідей він установлює математичні істини, що від почуттєвих предметів відрізняються тим, що є вічні і нерухомі, а від ідей - тим, що деякі математичні істини подібні одна з одною, ідея ж усякий раз тільки одна. У Платона в якості матерії початками являються велике і мале, а як сутність - єдине, тому що ідеї (вони ж числа) виходять з великого і малого через прилучення їх до єдності. Почуттєво сприйманий світ, відповідно до Платона, створений Богом. Процес побудови космосу описаний у діалозі "Тімей". Ознайомившись з цим описом, потрібно визнати, що Творець був добре знайомий з математикою і на багатьох етапах створення істотно використовував математичні положення, а часом і виконував точні обчислення.

За допомогою математичних відношень Платон намагався охарактеризувати і деякі явища громадського життя, прикладом цього може служити трактування соціального відношення "рівність" у діалозі "Горгій" і в "Законах". Можна укласти, що Платон істотно спирався на математику при розробці основних розділів своєї філософії: у концепції "пізнання - пригадування", вчення про сутності матеріального буття, про устрій космосу, у трактуванні соціальних явищ і т.д.

Математика зіграла значну роль у конструктивному оформленні його філософської системи. Так у чому ж полягала його концепція математики?

Відповідно до Платона, математичні науки (арифметика, геометрія, астрономія і гармонія) даровані людині богами, що "створили число, дали ідею часу і збудили потребу дослідження вселеної". Споконвічне призначення математики в тому, щоб "очищався і оживлявся той орган душі людини, розстроєний і осліплений іншими справами", що "важливіший, ніж тисяча очей, тому що ним одним сприймається істина". "Тільки ніхто не користується нею (математикою) правильно, як наукою, що веде неодмінно до сущого". "Неправильність" математики Платон бачив насамперед у її застосовності для рішення конкретних практичних задач. Не можна сказати, щоб він узагалі заперечував практичну застосовність математики. Так, частина геометрії потрібна для "розташування таборів", "при всіх побудовах як під час самих боїв, так і під час походів". Але, на думку Платона, “для таких вещей ...достаточна малая часть геометрических и арифметических выкладок, часть же их большая, простирающаяся далее, должна ...способствовать легчайшему усвоению идеи блага"[6, ст. 143]. Платон негативно відзивався про ті спроби використання механічних методів для рішення математичних задач, що мали місце в науці того часу. Його незадоволеність викликало також прийняте сучасниками розуміння природи математичних об'єктів. Розглядаючи ідеї своєї науки як відображення реальних зв'язків дійсності, математики у своїх дослідженнях поряд з абстрактними логічними міркуваннями широко використовували почуттєві образи, геометричні побудови. Платон усіляко намагається переконати, що об'єкти математики існують відособлено від реального світу, тому при їхньому дослідженні неправомірно прибігати до почуттєвої оцінки.

Таким чином, в історично сформованій системі математичних знань Платон виділяє тільки умоглядну, дедуктивно побудовану компоненту і закріплює за нею право називатися математикою. Історія математики містифікується, теоретичні розділи різко протиставляються обчислювальному апаратові, до межі звужується область застосування. У такому перекрученому виді деякі реальні сторони математичного пізнання і послужили одним з основ для побудови системи об'єктивного ідеалізму Платона. Адже сама по собі математика до ідеалізму взагалі не веде, і з метою побудови ідеалістичних систем її приходиться істотно деформувати.

Питання про вплив, здійснений Платоном на розвиток математики, досить важкий. Тривалий час панувало переконання, що внесок Платона в математику був значний. Однак більш глибокий аналіз привів до зміни цієї оцінки. Так, О. Нейгебауер пише: "Его собственный прямой вклад в математические знания, очевидно, был равен нулю... Исключительно элементарный характер примеров математических рассуждений, приводимых Платоном и Аристотелем, не подтверждает гипотезы о том, что Эвдокс или Теэтет чему-либо научились у Платона... Его совет астрономам заменить наблюдения спекуляцией мог бы разрушить один из наиболее значительных вкладов греков в точные науки"[4, ст. 78]. Така аргументація цілком переконлива; можна також погодитися і з тим, що ідеалістична філософія Платона в цілому зіграла негативну роль у розвитку математики. Однак не слід забувати про складний характер цього впливу.

Платону належить розробка деяких важливих методологічних проблем математичного пізнання: аксіоматична побудова математики, дослідження відносин між математичними методами і діалектикою, аналіз основних форм математичного знання. Так, процес доказу необхідно зв'язує набір доведених положень у систему, в основі якої лежать деякі недовідні положення.

Той факт, що початки математичних наук "суть припущення", може викликати сумнів в істинності всіх наступних побудов, Платон вважав такий сумнів необґрунтованим. Відповідно до його пояснення, хоча самі математичні науки, "користуючись припущеннями, залишають їх у нерухомості і не можуть дати для них основи", припущення знаходять підстави за допомогою діалектики. Платон висловив і ряд інших положень, що виявилися плідними для розвитку математики.

Так, у діалозі "Бенкет" висувається поняття межі; ідея виступає тут як межа становлення речі.

Критика, який піддавалися методологія і світоглядна система Платона з боку математиків, при усій своїй важливості не торкалася самих основ ідеалістичної концепції. Для заміни розробленої Платоном методології математики більш продуктивною системою, потрібно було піддати критичному розборові його навчання про ідеї, основні розділи його філософії і як наслідок цього - його погляд на математику. Ця місія випала на частку учня Платона - Аристотеля.

Система філософії математики Аристотеля

Аристотеля (384-322 р. до н.е.) по праву був названий "найбільшим філософом стародавності". Основні питання філософії, логіки, психології, природознавства, техніки, політики, етики й естетики, поставлені в науці Древньої Греції, одержали в Аристотеля повне і всебічне висвітлення. У математиці він, очевидно, не проводив конкретних досліджень, однак найважливіші сторони математичного пізнання були піддані ним глибокому філософському аналізові, що послужив методологічною основою діяльності багатьох поколінь математиків.

До часів Аристотеля теоретична математика пройшла значний шлях і досягла високого рівня розвитку. Продовжуючи традицію філософського аналізу математичного пізнання, Аристотель поставив питання про необхідність упорядкування самого знання про способи засвоєння науки, про цілеспрямовану розробку мистецтва ведення пізнавальної діяльності, що включає два основних розділи: "освіченість" і "наукове знання справи". Серед відомих творів Аристотеля немає спеціально присвячених викладові методологічних проблем математики. Але по окремих висловленнях, по використанню математичного матеріалу як ілюстрації загальних методологічних положень можна скласти уявлення про те, який був його ідеал побудови системи математичних знань.

Вихідним етапом пізнавальної діяльності, відповідно до Аристотеля, являється вчення, яке "основано на (некотором) уже ранее имеющемся знании... Как математические науки, так и каждое из прочих искусств приобретается (именно) таким способом"[1, ст. 169]. Для відділення знання від незнання Аристотель пропонує проаналізувати "усі ті думки, що по-своєму висловлювали в цій області деякі мислителі" і обміркувати виниклі при цьому труднощі. Аналіз варто проводити з метою з'ясування чотирьох питань:"що (річ) є, чому (вона) є, чи є (вона) і що (вона) є".

Основним принципом, що визначає всю структуру "наукового знання справи", являється принцип зведення усього до начал і відтворення усього з начал. Універсальним процесом виробництва знань з начал, відповідно до Аристотеля, виступає доказ. "Доказательством же я называю силлогизм, - пише він, - который дает знания"[2, ст. 201]. Викладові теорії доказового знання цілком присвячений "Органон" Аристотеля. Основні положення цієї теорії можна згрупувати в розділи, кожний з яких розкриває одну з трьох основних сторін математики як довідної науки: "те, відносно чого доводиться, те, що доводиться і те, на підставі чого доводиться". Таким чином, Аристотель диференційовано підходив до об'єкту, предмету і засобам доказу.

Існування математичних об'єктів визнавалося задовго до Аристотеля, однак піфагорійці, наприклад, припускали, що вони знаходяться в почуттєвих речах, платоніки ж, навпаки, вважали їх існуючими окремо. Відповідно до Аристотеля:

1.У почуттєвих речах математичні об'єкти не існують, тому що "находиться в том же самом месте два тела не в состоянии"[2, ст. 144];

2."Невозможно и то, чтобы такие реальности существовали обособленно"[2, ст. 144].

Аристотель вважав предметом математики "кількісну визначеність і безперервність". У його трактуванні "количеством называется то, что может быть разделено на составные части, каждая из которых является чем-то одним, данным налицо. То или другое количество есть множество, если его можно счесть, это величина, если его можно измерить" [2,ст.145]. Множиною при цьому називається те, "что в возможности (потенциально) делится на части не непрерывные, величиною - то, что делится на части непрерывные" [2,ст.145]. Перш ніж дати визначення безперервності, Аристотель розглядає поняття нескінченного, так як "воно відноситься до категорії кількості" і виявляється насамперед у безперервному.

Чи існує нескінченне як окрема сутність чи воно являється акциденцією величини або множини? Аристотель приймає другий варіант, тому що "если бесконечное не есть ни величина, ни множество, а само является сущностью..., то оно будет неделимо, так как делимое будет или величиной, или множеством. Если же оно не делимо, оно не бесконечно в смысле непроходимого до конца".[2,ст.147]. Неможливість математичного нескінченного як неподільного випливає з того, що математичний об'єкт - відволікання від фізичного тіла, а "актуально неподільне нескінченне тіло не існує". Число "як щось окреме й у той же час нескінченне" не існує, адже "...если возможно пересчитать счислимое, то будет возможность пройти до конца и бесконечное"[2, ст. 147]. Таким чином, нескінченність тут у потенції існує, актуально ж - немає.

Спираючи на викладене вище розуміння нескінченного, Аристотель визначає безперервність і переривчастість. Так, "безперервне є саме по собі щось суміжне. Суміжне є те, що, випливаючи за іншим, стосується його". Число як типово перериване (дискретне) утворення формується з'єднанням дискретних, далі неподільних елементів - одиниць.

Геометричним аналогом одиниці являється точка; при цьому з'єднання точок не може утворити лінію, тому що "точкам, з яких було б складено безперервне, необхідно або бути безперервними, або дотикатися одна одної". Але безперервними вони не будуть: "адже краї точок не утворять чого-небудь єдиного, тому що в неподільного немає ні краю, ні іншої частини". Точки не можуть і дотикатися одна одної, оскільки дотикаються "усі предмети або як ціле цілого, або своїми частинами, або як ціле частини. Але тому що неподільне не має частин, їм необхідно дотикатися цілком, але дотикаючі цілком не утворить безперервного".

Неможливість складання безперервного з неподільних і необхідність його розподілу на завжди ділені частини, установлені для величини, Аристотель поширює на рух, простір і час, обґрунтовуючи (наприклад, у "Фізику") правомірність цього кроку. З іншого боку, він дійде висновку, що визнання неподільних величин суперечить основним властивостям руху. Виділення безперервного і перериваного як різних родів буття послужило основою для розмежування у логіко-гносеологічній області, для різкого відмежування арифметики від геометрії.

"Началами... в каждом роде я называю то, относительно чего не может быть доказано, что оно есть. Следовательно, то, что обозначает первичное и из него вытекающее, принимается. Существование начал необходимо принять, другое - следует доказать. Например, что такое единица или что такое прямое или что такое треугольник (следует принять); что единица и величина существует, также следует принять, другое - доказать"[2, ст. 148]. У питанні про появу в людей здатності пізнання начал Аристотель не погоджується з точкою зору Платона про уродженість таких здібностей, але і не допускає можливості придбання їх; тут він пропонує наступне рішення: "необходимо обладать некоторой возможностью, однако не такой, которая превосходила бы эти способности в отношении точности"[2, ст. 148]. Але така можливість, мабуть, властива всім живим істотам; справді, вони мають природжену здатність розбиратися, що називається почуттєвим сприйняттям. Формування начал йде "від попереднього і більш відомого для нас", тобто від того, що ближче до почуттєвого сприйняття до "попереднього і більш відомого безумовно" (таким являється загальне). Аристотель дає розгорнуту класифікацію начал, виходячи з різних ознак.

По-перше, він виділяє "начала, з яких (що-небудь) доводиться, і такі, про які (доводиться)". Перші "суть загальні (усім начала)", другі - "властиві (лише даній науці), наприклад, число, величина". У системі начал загальні займають ведуче місце, але їх недостатньо, тому що "серед загальних начал не може бути таких, з яких можна було б довести всі". Цим і зумовлюється, що серед начал повинні бути "одні властиві кожній науці окремо, інші - загальні всім". По-друге, начала поділяються на дві групи у залежності від того, що вони розкривають: існування об'єкта або наявність у нього деяких властивостей. По-третє, комплекс начал доказуючої науки поділяється на аксіоми, припущення, постулати, вихідні визначення.

Вибір начал в Аристотеля виступає визначальним моментом побудови науки, що доводить; саме начала характеризують науку як дану, виділяють її з ряду інших наук. "Те, що доводиться", можна трактувати дуже широко. З одного боку, це елементарний доказовий силогізм і його висновки. З цих елементарних процесів будується доказова науки у виді окремо узятої теорії. З них же створюється і наука як система теорій. Однак не всякий набір доказів утворить теорію. Для цього він повинен відповідати визначеним вимогам, що охоплюють як зміст доказуваних пропозицій, так і зв'язок між ними. У межах же наукової теорії мають місце ряд допоміжних визначень, які не являються первинними, але служать для розкриття предмета теорії.

Хоча питання методології математичного пізнання і не були викладені Аристотелем у якійсь окремій роботі, але по змісту в сукупності вони утворять повну систему. В основі філософії математики Аристотеля лежить розуміння математичних знань як відображення об'єктивного світу. Ця установка зіграла важливу роль у боротьбі Аристотеля з платонівським ідеалізмом; адже "если в явлениях чувственного мира не находится вовсе математическое, то каким образом возможно, что к ним прилагаются его свойства?"[2, ст. 150] - писав він. Зрозуміло, матеріалізм Аристотеля був непослідовним, у цілому його погляди в більшій мірі відповідали потребам математичного пізнання, ніж погляди Платона. У свою чергу математика була для Аристотеля одним із джерел формування ряду розділів його філософської системи.

Список використаної літератури

1. Антология мировой философии. М.:1970. Т.2.

2. Аристотель. Сочинения. М., “Мысль”, 1975 г.

3. Бойко А.Н. Проблема бессознательного в философии и конкретных науках. Киев: “Вища Школа”, 1978.

4. История философии в кратком изложении. М.:”Мысль”, 1994

5. Мир философии. М.,1991. Ч.1.

6. Платон. Сочинения в 3-х тт. М., 1971. Т.3.

7. Філософський словник / Під ред. В.І. Шинкарука. - Київ. Головна редакція Української Радянської Енциклопедії, 1986. - 800 с.