Вплив математики і механіки на розвиток філософії

ВПЛИВ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ НА РОЗВИТОК ФІЛОСОФІЇ

Костянтин Узбек,

кандидат філософських наук, доцент,

професор Донецького державного

університету економіки та торгівлі

У статті автор встановлює взаємозв'язок математики і механіки від їх зародження до створення фундаментальних теорій, акцентуючи ті моменти, які визначним чином вплинули на їх взаємний розвиток.

Дослідженню взаємозв'язку філософії, математики і теоретичного природознавства присвятили свої роботи багато сучасних вчених: Б.І.Козлов [1], К.М. Узбек [2], [12], О.І. Кедровський [11], Ц.З. Цехмістро, В.А. Панфілов, А.Т. Фоменко, П.П. Гайденко та інші.

Незважаючи на велику увагу до цього питання багатьох дослідників, на наш погляд, до сьогодні ще недостатньо показаним є взаємозв'язок математики і механіки в контексті їх історичного розвитку.

Мета статті - спираючись на праці древніх мислителів і літературу, в якій досліджується антична наука, проаналізувати формування математики і механіки в процесі їх історичного розвитку.

Розглянемо, в чому суть такого взаємозв'язку, а також роль, яку відіграли ці науки у розвиткові філософії і сучасного наукового знання.

Зародження математики і механіки належить до доісторичного періоду, вони виникли з практичної і виробничої діяльності людини. Перші реальні передумови виникнення наукових знань з механіки пов'язані з її трудовою діяльністю, з необхідністю створення виробничо-технічних засобів для підкорення сил природи і необхідністю створення засобів існування. Перехід від кам'яних знарядь праці до металевих (з міді і бронзи, а потім заліза) раціоналізував різні прийоми праці і виконання операцій. Це призвело до різкого підвищення продуктивності праці. Кооперація і спеціалізація праці та централізоване керівництво всіма процесами виробництва в Шумеро-Вавілонії і Єгипті сприяли розвитку широкомасштабних робіт по будівництву іригаційних систем, пірамід, палаців, знарядь праці. Це вимагало, у свою чергу, накопичення нових виробничо-технічних, механічних знань, розвитку математичних розрахунків при будівництві різних споруд, які акумулювалися у писарів - охоронців древньої емпірії у вигляді канонів. Свідками таких знань є папірус Рінда, що зберігається в Британському музеї, і московський папірус, а також численні керамічні таблички, знайдені в Месопотамії (сучасний Ірак). З цих свідчень можна судити про колосальний емпіричний матеріал, накопичений минулими поколіннями різних народів. Але значним недоліком їх діяльності є відсутність логічного взаємозв'язку між накопиченими емпіричними фактами - в цей період ще не осмислювалися результати емпірії. Народи Шумеро-Вавілонії і Єгипту не піднялися до рівня системно-раціональної побудови наукового знання, вони так і залишилися на рівні емпіричної орієнтації і накопичення окремих не пов'язаних між собою досвідово-емпіричних фактів. Для узагальнення і встановлення взаємозв'язку між цими фактами необхідний був розвиток критичного мислення, доказових суджень, а також вироблення раціональних форм господарювання.

В умовах жорстокого владного та релігійного деспотизму великих східних цивілізацій обмежувалася і регламентувалася вся духовна діяльність членів рабовласницького суспільства.

Розвиток гіпотеко-дедуктивного методу абстрактного мислення, основ логіки і теоретичної побудови наукового знання сприяв становленню науково-технічної думки і побудові механіки як теорії технічної думки. Системно-структурна побудова геометрії була теоретичною основою у побудові механіки як теоретичної науки.

Порівняно повільний темп розвитку давньогрецької науки і техніки на межі VIII - VII ст. до н. е. змінюється прискореним їх розвитком. Це пов'язують зі швидким розвитком мореплавства і зовнішньої торгівлі, проведенням колонізаційної системи і будівництвом різного роду споруд. Все це стимулювало розвиток ремесел, переробки корисних копалин, виплавки металів. Для виконання всього комплексу робіт необхідно було розвивати науку і виробництво. "При загальному уповільненому розвитку техніки в VI-III ст. до н. е. існували все ж і більш пожвавлені галузі: будівництво храмів, мостів, водоводів, кораблебудування, прикладна астрономія і, особливо, військова техніка" [1, с.25]. Саме при будівництві різних споруд і механізмів виникли нові потреби у розв'язанні класичних задач.

Перехід від рецептурно описових форм знання, індуктивно отриманих результатів до логічно обґрунтованих систем дедуктивних побудов мав глибоке коріння в загальнокультурному розвитку грецького суспільства. Серед чинників, які до нього призвели, слід назвати передусім соціально-політичні і побутові умови, в яких перебувало грецьке суспільство: схильність до змагання в різних сферах діяльності, пошуку істини в науці, ораторському мистецтві, риториці, судових процесах, політичних дискусіях. Всі ці процеси стали можливими внаслідок впровадження демократичних принципів, які розвивалися в умовах рабовласницької демократії грецьких міст-держав. Все це сукупно сприяло розвитку логічної думки, теоретичного мислення. Раціональна практика стародавніх греків знайшла своє концептуальне вираження в теоретичних побудовах окремих наук - математики, фізики, астрономії, гармонії, механіки, їх філософському обґрунтуванні в наукових і філософських школах.

"Складний діалектичний за своєю природою перехід від індуктивно віднайдених математичних положень за допомогою зведення їх до основи, яка емпірично підтверджується, до обґрунтування цих положень подумковим анатомуванням на найпростіші, логічно атомарні ствердження і дедуціювання, виведення з останніх, є сутнісною характеристикою становлення доказової дедуктивної науки" [2, с.12].

Три знамениті задачі старовини, які виникли внаслідок практичної необхідності, і спроба розв'язання їх традиційними методами сприяли розробці механіко-геометричних методів. Так вперше для розв'язання задач геометрії Архіт Тарентський (428 - 355 р. до н.е.) вводить креслення, а при розв'язанні задачі про подвоєння куба (делосської задачі) він застосовує стереометричну побудову, яка базується на перетині циліндра, конуса і тора. При цьому викреслюється лінія, як геометричне місце точок, координати яких можна віднайти за допомогою пропорції a : х = х :у = у : 2a, де а - ребро заданого куба, х - ребро шуканого куба.

Застосування механічного методу при розв'язанні задачі на побудову було нововведенням у математиці. Воно приводило в захоплення навіть сучасних математиків. Так, голандський математик Б. Л. Ван дер Варден пише: "Хіба це не чудово? Архіта, напевно, осяяло справді божественне натхнення, коли він знайшов цю побудову" [3, с. 210]. Новим у математиці постійних величин було введення механічного руху і встановлення функціональної залежності між величинами. "Він перший досліджував механіку, використовуючи математичні принципи, - говорить Діоген Лаертський, - і вперше застосував механічний рух до геометричного креслення, коли перетином напівциліндра прагнув знайти дві середні пропорційні, щоб вирішити задачу про подвоєння куба" [4, с. 355].

Аналізуючи геометричні побудови Архіта, Б.Л.Ван дер Варден відмічає: "На кресленні Архіта все знаходиться в русі: його мислення кінематичне. Вже в давнину помітили, що він ввів до геометрії механічні методи. Потім ми бачимо, що він… без всіляких вагань користувався принципом безперервності" [3, с. 211].

Велике значення Архіт Тарентський надавав розробці теорії музики, даючи їй теоретико-числове обґрунтування. За словами К.Птолемея, його можна вважати найбільшим теоретиком музики. Він "…намагається провести принцип пропорціональності не тільки в консонансах, але і в розподілі тетрахордів, вважаючи, що сумірність інтервалів є характерною властивістю музики" [5, с. 452]. Силу звучання Архіт пов'язує з швидкістю руху тіла. Так Теон Смірнський з цього приводу відмічає: "Евдокс і Архіт вважали, що консонанси полягають в числових відношеннях, визнаючи також, що відношення є між рухами, причому швидкий рух дає високий звук, оскільки він безперервно коливає і різкіше ударяє повітря, а повільний - низький, оскільки він більш млявий" [там само, с. 453 - 454].

Паралельно з механіко-математичними методами розвитку наукового знання Архіт розвивав логічні форми, застосовані в інших сферах інтелектуальної діяльності людини: ораторському мистецтві, риториці, різних диспутах, судових процесах. Але найбільш яскраво логічні форми проявилися в математичних доказах. Тому по праву вважають, що логіка "вивільнена" з математики, формальна логіка - "дитя математики". "Коли Аристотель зібрав воєдино правила логіки, - говорить Б.Л.Ван дер Варден, - то цим він просто привів до системи ті закономірності, які він знайшов у міркуваннях математиків і філософів, які передували йому" [там само, с. 211].

Архіт Тарентський своєю творчістю прагнув створити єдине вчення, яке об'єднало б математику, механіку, логіку, вчення про доброчесність, державу і філософію. Він був уособленням фізичної і етичної досконалості.

Творчість Архіта Тарентського сприяла подальшому розвитку раціоналістичних методів у побудові наукового знання.

Механічний метод при розв'язанні задачі про трисекцію кута застосував і софіст Гіппій Еллідський (V ст. до н.е.). Для її вирішення він винайшов криву, названу згодом квадратрисою - вона отримується внаслідок складання двох рухів: у нерухомому квадраті одна його вертикальна (ліва) сторона обертається за годинниковою стрілкою і за час t здійснює поворот на 90о до горизонтального її положення; і другий рух - ця ж сторона за цей же час t переміщається зліва направо до положення правої сторони квадрата. Точки перетину цих прямих і утворюють безперервну криву - квадратрису.

Це були перші приклади використання механічних методів при розв'язанні задач геометрії. Платон суворо засуджував таке використання механіки в геометрії, вважаючи, що цим втрачаються класичні методи, і математика відходить від своїх класичних методів до простого ремесла.

Але ні заборони Платона, ні суворі формально-логічні побудови Аристотеля не змогли зупинити процес впровадження механічних методів у математичних побудовах.

Зароджувалися і нові напрями, пов'язані з конічними перетинами. Ними займалися Арістей (бл. 320 р. до н.е.), Менехм (бл. 360 р. до н.е.), Архімед (287 - 212 р. до н.е.), і остаточну теорію конічних перетинів побудував Аполлоній Пергський (бл. 262 - 190 р. до н.е.).

Інший напрям у розвитку математики був пов'язаний з впровадженням і розвитком нескінченно малих величин. Він бере свій початок у елеатів в апоріях Зенона, у творчості Анаксагора і атомістів Левкіппа і Демокріта. Сильний імпульс розвитку цього напряму математика отримала в розроблених Евдоксом Кнідським (408 - 355 р. до н.е.) методах відношень і вичерпності. Вони лягли в основу інфінітезимальних методів Архімеда, який широко використовував механічні методи в математичних побудовах. Ці методи Архімеда стали основою побудови диференціальних і інтегральних методів, розроблених подальшою математикою, і отримали своє завершення в працях Ньютона і Лейбніца.

Розглянемо, в чому суть методів "вичерпності" і "відношень", розроблених Евдоксом Кнідським.

Зіткнувшись з піфагорійською проблемою несумірності діагоналі квадрата і його сторони, Евдокс вводить до математики геометричне поняття "величини" як відрізка, що безперервно змінюється, який з будь-якою мірою точності міг визначати інші відрізки. Така "деформація" відрізка вперше була введена в математику, що привело всі її елементи до руху. Раціоналізація ірраціонального числа за допомогою ряду відношень, що наближаються, приводило до граничного переходу. Ірраціональне число розглядалося як певна межа, до якого прагнув ряд відношень, являючи собою числову послідовність.

Ця геніальна теорія відношень своєю побудовою ввела поняття геометричної "величини", замість арифметичного поняття числа. "Побудована Евдоксом теорія величин - один з найбільших витворів математики за всю її історію" [5, с. 194]. Подальший розвиток ця фундаментальна теорія отримала в сучасній теорії ірраціональностей Ю.Дедекінда. Вона поклала кінець першій кризі основ математики, пов'язаній з піфагорійською проблемою несумірності квадрата і його сторони. Починаючи з цього періоду в математиці, теоретичному природознавстві (механіці, фізиці, астрономії, акустиці, теорії музики) і філософії встановлюється взаємозв'язок між дискретним і безперервним, між арифметичним і континуальним геометричним. Така взаємодія призводить до їх взаємного збагачення і подальшого розвитку.

Важко переоцінити заслуги цього математика, результати його досліджень з математики були складовими частинами V, VI, другої половини ХI і ХII книг "Начал" Евкліда.

"У геометрії Евдокс створив метод вичерпності, який для Архімеда був єдиним суто науковим методом визначення площ і об'ємів криволінійних фігур та тіл" [3, с. 20]. Цей метод Евдокса дійшов до нас також як складова частина "Начал" Евкліда, у другій половині ХI і ХII книгах. У основу методу вичерпності Евдокс поклав сформульовану ним аксіому: "Якщо від деякої величини відняти більше половини, від залишку також відняти більше половини і так далі постійно, то можна отримати залишок, менший за будь-яку задану величину" [там само]. Цю аксіому Евдокс застосовує при обчисленні площі кола і його частин, доводить теореми, в яких розглядаються відношення площ і об'ємів круглих тіл (кіл, конусів, циліндрів).

Сучасний доказ відношень вписаних і описаних у коло багатокутників базується на теоремах Евдокса.

Розвиток математики змінних величин, аж до сучасного її викладу, базується на методі вичерпності Евдокса.

Теорію відношень Евдокс поширював також на змінні величини, і цим він впритул підійшов до сучасної нам теорії меж: "Якщо дві змінні величини знаходяться весь час в однакових відношеннях, то в тих же самих відношеннях будуть знаходитися також їх межі, так що, оскільки площі двох подібних вписаних багатокутників відносяться як квадрати діаметрів описаних навколо них кіл, то площі цих кіл також будуть відноситися як квадрати їх діаметрів" [там само].

Значний внесок Евдокс Кнідський зробив у розвиток теорії руху планет Сонячної системи, побудувавши кінематичну модель планетних рухів. Він заклав основи сферичної геометрії, за допомогою якої розробив методи визначення порівняльних величин і відстаней від Землі до Місяця і Сонця. Сонячна система Евдокса складалася з 27 концентричних сфер, у центрі яких знаходилася Земля. Евдоксовим методом побудови Сонячної системи скористався Аристарх Самосський при побудові своєї геліоцентричної системи.

Оцінюючи науковий внесок Евдокса Кнідського, Б.Л. Ван дер Варден говорить, що він є одним з найбільших математиків усіх часів і народів.

Подальший розвиток теорія ірраціональностей отримала в працях Феодора Киренського, Теетета Афінського та інших математиків. Коментуючи цей період діяльності давньогрецьких математиків, О.Нейгебауер пише: "…теорія ірраціональних величин і пов'язана з нею теорія інтегрування мають суто грецьке походження" [7, с. 149].

У цей період у математиці, теоретичному природознавстві і філософії безперервна величина виходить на перший план, а цілочисельні відношення виступають як окремий випадок і отримують другорядне значення. Але, незважаючи на тісний взаємозв'язок математики і філософії класичного періоду, в Академії Платона "грецькі математики в своїх дослідженнях йшли шляхом, прокладеним піфагорійцями та їх послідовниками у IV ст. (Феодором, Теететом, Евдоксом), і мало цікавилися формальною логікою при викладі своїх результатів", відзначає Н.Бурбакі [8, с. 14]. Працюючи над розрізненими темами, математика впритул підійшла до побудови систематичного курсу на базі визначень, постулатів і аксіом. Необхідно було виробити єдину формально-логічну систему - "теорію доказу" і побудувати всю математику, а далі - і теоретичне природознавство за цією суворою логічною системою. Цю задачу виконав Аристотель, побудувавши формальну логіку на базі логічних побудов, після чого стала можливою структурно-логічна побудова всієї математики Евклідом, яка отримала назву "Начала".

Для системно-структурної побудови геометрії Евклід з емпірично підібраних фактів добирає і формулює 23 визначення. Він не розділяє першооснови на поняття, що визначаються і не визначаються, намагаючись дати визначення і тим, і іншим:

1. точка є те, що не має частин;

2. лінія ж - довжина без ширини;

3. кінці ж лінії - точки і т.д. [9, с. 11].

Далі Евклід формулює 5 постулатів і 9 загальних понять або аксіом. Згідно з побудовою "Начал", постулат являє "основу не доказу, а побудов не знання, а можливості існування геометричного об'єкта" [10, с. 238].

Щоб вивести властивості і довести їх, Евклід ставить перед собою завдання побудови геометричного об'єкта за допомогою циркуля і лінійки - цих свого роду базових інструментів. Побудовані таким чином геометричні об'єкти залишаються існуючими, мають екзистенційний характер, їх властивості необхідно вивчати доказово. Отже, за Евклідом, геометричний об'єкт спочатку потрібно визначити, побудувати за допомогою циркуля і лінійки, а потім на базі аксіом доводити його властивості.

Для доказу різних припущень теорії була обрана система аксіом найпростіших самоочевидних тверджень. Керуючись критерієм простоти і очевидності отриманих емпіричних фактів, істинність яких перевірена загальнолюдською практикою, необхідно застосувати їх для доказу інших, неочевидних припущень теорії. Це призвело до розгортання цілої системи доказу неочевидних припущень, взятих з однієї математичної області (в цьому випадку з геометрії), що склало цілу теорію.

Але якою повинна бути система аксіом, яким принципам вона повинна підкорятися?

Система аксіом повинна утворювати цілісність, в якій кожна з аксіом повинна мати певні функціональні призначення. Кожна аксіома повинна бути незалежною від інших, якщо ж вона буде залежною, то вона може бути виведена за допомогою інших, а в такому разі її слід було б віднести до числа теорем. У системі аксіом не повинно бути таких, які заперечують інші, - це принцип несуперечності системи аксіом. Принцип, який характеризував її як деяку цілісну систему, прагнув до того, щоб довести всі ствердження теорії за допомогою даної системи, надалі був прийнятий як принцип повноти системи.

Ці три принципи були взяті за основу побудови аксіоматичної системи. Вони стали свого роду регулятивами при побудові "Начал" Евкліда. Але підібрана система аксіом з емпірично накопичених фактів повинна мати певну простоту, міру спільності, тісного взаємозв'язку, бути здатною до створення доброго апарату виведення й розв'язності.

Але добір системи аксіом веде до певного "свавілля": можна створити різні аксіоматичні системи, але яка з них буде найповніше задовольняти поставлені вимоги? Виділення аксіоматичної системи стає предметом самостійного дослідження. Це наочно вперше показали творці неевклідових геометрій М.І.Лобачевський, К.Гаусс і Я.Бойан. Прагнення Д.Гільберта до повної формалізації і побудови повної аксіоматичної системи, здатної довести всі пропозиції теорії, не виправдали його надії. Теореми К.Геделя про неповноту і несуперечність спростували надії Д.Гільберта. Якщо система аксіом повна, то вона суперечлива, в будь-якій аксіоматичній системі завжди можна сформулювати припущення, яке неможливо ні довести за допомогою цієї системи аксіом, ні спростувати. З таким фактом зустрівся ще Евклід: п'ятий постулат не можна ні довести як теорему за допомогою аксіоматики, підібраною ним, ні спростувати.

Але структурна побудова першої аксіоматичної системи Евкліда була найбільш вдалою з усіх попередніх аксіоматичних систем. І подальші критики не змогли запропонувати що-небудь більш довершене, аж до Д.Гільберта.

Потрібно зазначити, що доказ усіх теорем Евклід проводить за одним і тим же алгоритмом, розгорненою схемою, що включає такі етапи:

1. формулювання припущення;

2. побудова креслення за допомогою циркуля і лінійки;

3. формулювання теореми за кресленням;

4. побудова доповнень до креслення;

5. доказ теореми з використанням креслення;

6. висновок стосовно креслення і вказівок до теорем.

Ця система доказу пунктуально виконується Евклідом при доказі всіх теорем. Такий жорсткий педантизм у побудові дедуктивної теорії здається не завжди необхідним, але він приводить до певної суворості дедуктивної теорії, яка вселяє довіру і приводить до істинності отриманих результатів і теорії загалом.

При побудові "Початків" Евклід дотримувався ще ряду принципів побудови: "…в них поєднується абстрактність і змістовність, спільність з певною мірою конкретності", відмічає О.І.Кедровський [11, с. 44]. Евклід витримує логічну послідовність у побудові всього курсу, розташовуючи розділи від простих до більш складних, створюючи струнку цілісну систему, встановлюючи суворий науковий взаємозв'язок між розділами математики. Ще Прокл відмічав: "Дуже важко відібрати і розташувати в належному порядку елементи, з яких все подальше випливає, в які все подальше розв'язується… І в усьому цьому система елементів Евкліда перевершує всі інші, бо користь її позначається на тому, що вона веде до дослідження більш довершених фігур; її ясність і досконалість забезпечується тим, що вона будує всі дослідження на аксіомах; спільність же доказу забезпечується тим, що вона переходить від початкових теорем, які носять характер принципів, до складних об'єктів мислення" [цит. за 12, с. 208].

Така струнка логіко-математична структура "Начал" повністю відповідала теорії доказу Аристотеля і філософсько-методологічним установкам Платона в побудові умоглядної математичної теорії.

Враховуючи всю суворість принципів побудови дедуктивної теорії, "Начала" Евкліда витримали критику мислителів наступних поколінь і стали неперевершеним зразком наукової теорії. Своїми "Началами" Евклід підвів підсумок діяльності математиків і філософів попередніх поколінь. "Начала" Евкліда як система наукового знання стали парадигмою в побудові інших наук: механіки, статики, гідростатики, фізики. Гіпотеко-дедуктивний метод набув характеру загальності. Він і сьогодні є основоположним у науковому пізнанні.

Глибокий аналіз аксіоматичної побудови теорії множин, діалектики множинного і єдиного, неможливість переходу від дискретності до безперервності, від раціонального числа до ірраціонального, неможливість виконання "Програми" Гілберта - цим та іншим питанням присвятив дослідження Ц.З. Цехмістро у своїх фундаментальних працях: "Діалектика множинного і єдиного", "Холістична філософія науки". Бажаючих ознайомитися з сучасними проблемами дослідження цих питань посилаємо до названих джерел.

Аксіоматичний метод у широкому плані застосував Архімед при подальшій побудові геометрії круглих фігур і тіл, обчислюючи площі кола і його частин, довжини кола і дуг, теоретичної побудови статики, гідростатики, механіки.

У 13 книгах "Начал" Евкліда, як відомо, криві фігури і тіла не розглядаються, немає і конічних перетинів. 14 і 15 книги "Начал" не збереглися. Для дослідження фігур, окреслених кривими лініями, Архімед додає нові аксіоми:

1. З усіх ліній, які мають ті ж кінці, пряма є найкоротшою.

2. З двох ліній, які розташовані в одній площині і мають спільні кінці, обидві не рівні, якщо вони звернені опуклостями в один і той же бік і якщо одна з них або цілком обіймається іншою, або ж частиною обіймається, а в інших частинах співпадає з нею; і в цьому випадку охоплююча частина більша за охоплювану.

3. Так само і з поверхонь, які мають спільну межу, що лежить в одній площині, плоска поверхня менша за інші.

4. З інших поверхонь, які мають спільну плоску межу, дві не рівні, якщо вони звернені опуклістю в один і той же бік, і одна охоплює іншу, при цьому охоплююча більша за охоплювану.

5. З нерівних ліній, нерівних поверхонь, нерівних тіл менше, будучи повторюваним достатнє число разів, перевершить більше.

Ця, остання аксіома безпосередньо випливає з аксіоми Евдокса як окремий її випадок, що стосується не числових нерівностей, як у Евдокса, а величини (довжині лінії і площі поверхні).

Далі Архімед доводить лемми, які мають як геометричну, так і механічну основи:

- центром ваги всякої прямої буде її середина;

- якщо центри ваги будь-якої кількості величин знаходяться на одній прямій, то на цій же прямій буде знаходитися і центр ваги величини, складеної з всіх цих величин;

- центром ваги всякого трикутника буде точка, в якій перетинаються прямі, проведені з вершин трикутника до середини його сторін (у сучасному формулюванні це точка перетину медіан трикутника).

У листі до Досифея Архімед пише про свої дослідження, що він "знайшов спершу за допомогою механіки, а потім довів геометрично" [цит. по 12, с.175].

У математичній творчості Архімеда роботи з механіки зайняли настільки велике місце, що важко сказати, хто він передусім - математик чи механік. Для нього не було відмінності, яка це задача - з математики чи з механіки. Геометричні тіла, фігури він розглядав як матеріальні утворення, що мають не тільки площі і об'єми, але і масу, і вагу, якими він так само оперував при знаходженні їх поверхонь і об'ємів, центрів ваги і різних властивостей.

При обчисленні площ кола, параболічного сегмента, об'єму піраміди, конуса та інших фігур Архімед безпосередньо користувався "методом вичерпаності" Евдокса, який він широко використав при вирішенні різних задач, довівши його до досконалості. Для поодиноких задач застосування його показано в монографії К.М. Узбека "Математична спадщина Еллади".

Архімед високо цінував результати, отримані механіко-математичним методом, який був оснований на методі вичерпаності Евдокса. У листі до Досифея він говорить: "А саме: по-перше, що поверхня всякої кулі в чотири рази більша від площі її великого кола; по-друге, що поверхня всякого кульового сегмента дорівнює площі кола, радіус якого дорівнює прямій, яка з'єднує вершину сегмента з однією з точок кола, що служить основою сегмента; далі, що циліндр, основа якого дорівнює великому колу кулі, а висота - діаметру кулі, сам у півтора раза більші від цієї кулі. Зрозуміло, ці властивості притаманні цим тілам завжди, але вони залишилися невідомими всім геометрам: жоден з них не помітив, що ці тіла сумірні між собою. Тому я можу без удаваного сорому поставити ці дослідження в один ряд з теоремами Евдокса про тіла з теоремами, які, як вважають, далеко перевершили всі інші, а саме, що піраміда рівна третині призми, яка має таку ж основу і висоту, а конус циліндра…" [там же, с.184]. Дійсно, отримані Архімедом результати були вищим досягненням математики того часу. Але в чому відмінність досягнень Евдокса від досягнень Архімеда: Евдокс створив методи відношень і вичерпаності, які стали наріжними каменями в побудові інфінітезимальних методів, де Архімед зіграв провідну роль, а потім і при створенні диференціального і інтегрального числення подальшими математиками. Враховуючи правильність розробки початкових методів, подальший розвиток теорій вважається похідним від початкового. Хоча Архімед і залишив багату за своїм обсягом наукову спадщину, вона базується на методах відношень і вичерпаності Евдокса. Якщо провести історичне порівняння наукової спадщини, то за результативністю Архімеда певною мірою можна порівняти з Ейлером, тоді як Евдокса - з Ньютоном або Лейбніцем як творців нових методів дослідження, якими користувалися і вдосконалювали їх багато послідовників математиків і філософів.

Але оцінка наукової діяльності Архімеда в історії науки безперечно вища, про нього високо відгукуються арабські та інші вчені, які у Х-ХI ст. перекладали його арабською мовою. Так, Аль-Ашіль говорить: "Архімед у греків досяг вищої слави в геометрії; ні до, ні після нього не було нікого, хто займався б з такою ж старанністю практично корисними речами. Завдяки винятковій силі розуму він винаходив знаряддя та інструменти для військової справи" [там само, с. 185].

Високу оцінку Архімеду дає І.Ньютон, оцінюючи свої наукові досягнення. Він говорить, що "можна побачити і карлика, якщо він стане на плечі гігантів. Мене побачив світ тому, що я став на плечі таких гігантів, як Архімед і Галілей". Безперечно, такі високі оцінки діяльності Архімеда заслуговують уваги. Але питання ставиться не в плані значущості обсягу і різноплановості наукової спадщини, а в плані якісності і глибини розробленого методу. Добре, що багато елементів спадщини Архімеда збереглося, але не провина, а біда Евдокса, що його спадщина тільки частково дійшла до нас через "Начала" Евкліда.

Основна заслуга Евдокса Кнідського полягає в тому, що розроблені ним методи визначили подальший розвиток наукового знання.

Заслуга Архімеда полягає в тому, що він метод вичерпаності Евдокса довів до досконалості і користувався ним всюди, розвиваючи ідеї диференційних та інтегральних методів. Ці ідеї були розроблені настільки, що математики і механіки доби Відродження (Б.Кавальєрі) і Нового часу (І.Барроу, І.Ньютон, Г.Лейбніц) фактично не створили диференційних та інтегральних методів - вони їх завершили. Досить пригадати оцінку Г. Лейбніца про значення диференційного трикутника Архімеда, який був ядром у диференційному та інтегральному численні, а складені ним суми являють собою не що інше, як суми Дарбу в сучасній інтерпретації. "Але геометрія, в якій розглядаються величини криволінійних фігур, говорить Г. Лейбніц, - наука вже абсолютно іншого роду, я називаю її, як правило, Архімедовою" [13, с. 147]. Така висока оцінка Г. Лейбніца говорить про те, що, користуючись методом Евдокса, Архімед створив нову математику, яка узагальнила методи атомістів Левкіппа-Демокрита, Архіта і Евдокса, дедуктивні побудови Аристотеля і Евкліда, створив свій механіко-математичний метод, за допомогою якого побудував нову не Евклідову - Архімедову математику.

ВИСНОВКИ

Застосування механічних методів в математиці сприяло побудові нових математичних методів, які вирішували три задачі давнини, а також інші, нерозв'язні старими методами.

Методи "відношень" і "вичерпаності" Евдокса були основою в побудові інтегральних методів. У цьому плані потрібно оцінити значення творчості Евдокса в порівнянні з творчістю Архімеда. Евдокс Кнідський виявився неперевершеним математиком у розробці методів "відношень" і "вичерпаності", а Архімед використав ці методи, вдосконалював їх, розробивши механіко-математичні методи, які визначили новий напрям у математиці і теоретичному природознавстві - диференціальні й інтегральні методи.

Аксіоматична побудова математичних теорій стала основним математичним методом, що отримав функціональний характер. Зі зміною аксіоматичної системи виникає нова математична теорія.

Аксіоматичний метод став універсальним, він використовувався не тільки в математиці, але і в теоретичному природознавстві.

В подальших дослідженнях доцільно розглянути небесну механіку Ньютона, аналітичну механіку Лагранжа, доробки в галузі механіки Л. Ейлера, Ляпунова.

ЛІТЕРАТУРА

1. Козлов Б.И. Возникновение и развитие технических наук. - Ленинград: Наука, 1988. - 247 с.

2. Узбек К.М. Развитие рациональности в античной математике и философии. - Донецьк: Донецкий государственный университет экономики и торговли им. М. Туган-Барановского, 2003. -368 с.

3. Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука: Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. - М.: Физматгиз, 1959. - 459 с.

4. Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов. - М.: Мысль, 1979. - 620 с.

5. Фрагменты ранних греческих философов. - М.: Наука, 1989. Ч.1. - 575 с.

6. Бородин А.И., Бугай А.С. Биографический словарь деятелей в области математики. - Киев: Радянська школа, 1972. - 607 с.

7. Нейгебауэр О. Точные науки в древности. - М.: Наука, 1968. - 224 с.

8. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. - М.: ИЛ., 1962. - 292 с.

9. Эвклид. Начала. Книги I-VI. -М.-Л.: ОГИЗ, 1948. - 447 с.

10. Мордухай-Болтовский Д.Д. Комментарии //Начала Евклида. Книги I-VI. - М.-Л.: ОГИЗ, 1948. - С. 221-446 с.

11. Кедровский О.И. Взаимосвязь философии и математики в процессе исторического развития (от Фалеса до эпохи Возрождения). - К.: КГУ, 1973. - 213 с.

12. Узбек К.М. Математическое наследие Эллады. - Донецк: Мультипресс, 1997. - 228 с.

13. Лейбниц Г. Соч. в 4-х тт. Т. 3. - М.: Мысль, 1984. - 734 с.