Умозаключение

Умозаключение

§1. Общее понятие об умозаключении

Умозаключения, как и понятия и суждения, являются формой абстрактного мышления. С помощью многообразных видов умозаключений опосредованно (т. е. не обращаясь к органам чувств) мы можем получать новые знания. Умозаключать можно при наличии одного или нескольких суждений (называемых посылками), поставленных во взаимную связь. Возьмем пример умозаключения:

Все углероды горючи.

Алмаз - углерод.

Алмаз горюч.

Структура всякого умозаключения включает посылки, заключение и логическую связь между посылками и заключением. Логический переход от посылок к заключению называется выводом. В приведенном примере два первые суждения, стоящие над чертой, являются посылками; суждение “Алмаз горюч” является заключением. Для того, чтобы проверить истинность заключения “Алмаз горюч”, вовсе не нужно обращаться к непосредственному опыту, т.е. сжигать алмаз. Заключение о горючести алмаза с полной достоверностью можно получить посредством умозаключения, опираясь на истинность посылок и соблюдение правил вывода.

Умозаключение - форма мышления, в которой из одного или нескольких суждений на основании определенных правил вывода получается новое суждение, с необходимостью или определенной степенью вероятности следующее из них.

Умозаключения делятся на такие виды: дедуктивные, индуктивные, по аналогии. Умозаключения могут быть логически необходимыми, т. е. давать истинное заключение, и вероятностными (правдоподобными), т. е. давать не истинное заключение, а лишь с определенной степенью вероятности следующее из данных посылок (при этом в качестве посылок могут быть и ложные суждения).

Процесс получения заключений из посылок по правилам дедуктивных умозаключений называется выведением следствий.

Понятие логического следования

Выведение следствий из данных посылок - широко распространенная логическая операция. Как известно, условиями истинности заключения является истинность посылок и логическая правильность вывода. Иногда в ходе доказательства от противного допускаются в рассуждении заведомо ложные посылки (так называемый антитезис при косвенном доказательстве) или принимаются посылки недоказанные, однако эти посылки обязательно подлежат в дальнейшем исключению.

Человек, не изучивший логики, делает эти выводы, не применяя сознательно фигур и правил умозаключения. Формальная логика знакомит с правилами различных видов умозаключений. Математическая логика дает формальный аппарат, с помощью которого в определенных частях логики можно выводить следствия из данных посылок. Используя этот аппарат, мы можем, имея некоторые данные, получить из них новые сведения, непосредственно не очевидные, но заключенные в этой информации, можем выводить логические следствия, вытекающие из данной информации.

Логическое следствие из данных посылок есть высказывание, которое не может быть ложным, когда эти посылки истинны.

Иными словами, некоторое выражение В есть логическое следствие из формулы А (где А и В - метазнаки для различных по форме высказываний), если, заменив те конкретные элементарные высказывания, которые входят в А и В, переменными, мы получим тождественно-истинное выражение (А > В), или закон логики.

Возьмем такой пример. Нам даны три посылки: 1) “Если Иван -брат Марьи или Иван - сын Марьи, то Иван и Марья -родственники”; 2) “Иван и Марья - родственники”; 3) “Иван - не сын Марьи”. Можно ли из них вывести логическое следствие, что “Иван - брат Марьи”? Многим сначала кажется, что такое логическое заключение из данных трех посылок будет истинным. Чтобы проверить это, следует составить формулу этого умозаключения. Обозначим суждение “Иван - брат Марьи” буквой (переменной) а, суждение “Иван - сын Марьи” - буквой b и суждение “Иван и Марья - родственники” - буквой с.

Запишем нашу задачу символами (над чертой записаны три данные посылки, под чертой - предполагаемое заключение):

(a э 6)> c, c,b

а

Объединив три посылки знаком конъюнкции (“^”) и присоединив к ним посредством знака “” предполагаемое заключение а, получим формулу:

(((а э b)> c)^c^b)> a

Нам нужно проверить, является ли данная формула, в которой а, b, с трактуются теперь как переменные, законом логики.

Составим для формулы таблицу:

а	b	с		a эb	(aэb)> с	((a э b)> c)^c^	(((aэ b)> с) ^ с ^)> а
И	И	И	Л	Л	И	Л	И
И	И	Л	Л	Л	И	Л	И
И	Л	И	И	И	И	И	И
И	Л	Л	И	И	Л	Л	И
Л	И	И	Л	И	И	Л	И
Л	И	Л	Л	И	Л	Л	И
Л	Л	И	И	Л	И	И	И
Л	Л	Л	И	Л	И	Л	И

В последней колонке формула в одном случае принимает значение “ложь”, значит, она не является законом логики. Следовательно, из данных трех посылок не следует с необходимостью заключение, что “Иван - брат Марьи”. Иван может быть племянником Марьи, или отцом Марьи, или дядей Марьи, или каким-либо другим родственником Марьи.

Этот пример показывает, что эффективность средств математической логики видна тогда, когда средствами традиционной формальной логики трудно установить, вытекает ли какое-либо следствие из данных посылок или нет, особенно в случае, когда мы , имеем дело с большим числом посылок (но не имеем еще дела с формулами, содержащими кванторы).

§2. Дедуктивные умозаключения

В определении дедукции в логике выявляются два подхода:

1. В традиционной (не в математической) логике дедукцией называют умозаключение от знания большей степени общности i к новому знанию меньшей степени общности. Впервые теория дедукции в этом плане была обстоятельно разработана Аристотелем;

2. В современной математической логике дедукцией называется умозаключение, дающее достоверное (истинное) суждение. Четкая фиксация существенного различия классического и современного понимания дедукции особенно важна для решения методологических вопросов. Для различения двух смыслов дедукции можно классическое понимание обозначить термином “дедукция₁” (сокращенно Д₁), а современное - “дедукция₂” (Д₂). Правильно построенному дедуктивному умозаключению присущ необходимый характер логического следования заключения из данных посылок. Обобщая сказанное, можно дать такое определение.

Дедуктивные умозаключения - те умозаключения, у которых между посылками и заключением имеется отношение логического следования.

Определение дедуктивного умозаключения, данного в традиционной логике (т. е. Д₁), - частный случай этого определения через логическое следование. Рассмотрим пример:

Все перепончатокрылые - насекомые.

Все пчелы - перепончатокрылые.

Все пчелы - насекомые.

Здесь первая посылка “Все перепончатокрылые - насекомые” является общеутвердительным суждением и выражает большую степень обобщения по сравнению с заключением, также являющимся общеутвердительным суждением: “Все пчелы - насекомые”. Мы строим умозаключение от признака, принадлежащего роду (“перепончатокрылые”), к его принадлежности к виду - “пчела”, т. е. от общего класса к его частному случаю, к подклассу. Частный случай при этом не надо путать с частными суждениями вида “Некоторые S суть Р” или “Некоторые S не суть Р”.

Понятие правила вывода

Умозаключение дает истинное заключение, если исходные посылки истинны и соблюдены правила вывода. Правила вывода, или правила преобразования суждений, позволяют переходить от посылок (суждений) определенного вида к заключениям также определенного вида. Например, если в качестве посылок даны два суждения, представимые в виде формулы “a b” и формулы “в”, то можно перейти к суждению вида “b”. Это можно в виде формулы путем преобразований по правилу (а э b), а+ b записать так: ((a э b)^в) >b. Данная формула является законом логики.

Логически правильно можно рассуждать в применении к вопросам, относящимся к любым предметам. Логические ошибки также могут быть обнаружены в рассуждениях любого предметного содержания. Из этого не следует, разумеется, что в любых условиях и к любой предметной области должен быть применим один и тот же аппарат формальных логических правил. Сам этот аппарат должен развиваться вместе с развитием науки и практической деятельности людей. Одна из характерных черт логики состоит в том, что логика позволяет, получив некоторую информацию, знания об обстоятельствах дела, извлечь из них - точнее говоря, выявить - содержащиеся в их совокупности новые знания. Так, наблюдая движение Луны и Солнца и делая логические выводы из этих наблюдений (включая и индуктивные обобщения), люди еще в античной древности умели логически выводить из них достаточно точные предсказания о наступлении солнечных и лунных затмений.

Другая характерная черта логики, органически связанная с предыдущей, состоит в том, что всякий логический вывод из посылок допускает некоторую формализацию, т. е. может быть осуществлен по каким-нибудь общим правилам, относящимся к способам выражения знаний и способам переработки этих выражений - способам образования и преобразования выражений. В зависимости от средств, которыми мы располагаем, таких способов формализации может быть много, начиная с того, что одно и то же знание мы можем выразить на разных языках. Но какой-нибудь из “языков” (под “языком” не обязательно понимать звуковую речь) нам необходимо употребить. Без языка, без материального способа выражения мысли невозможно и само мышление.

Формализация способов вывода состоит прежде всего в том, что каждый шаг вывода совершается только в соответствии с каким-нибудь из заранее перечисленных правил вывода, относящихся только к способам оперирования с некоторыми материальными объектами, например, словами, служащими для выражения мысли, и вообще с формальными выражениями мысли с помощью материальных знаков. Среди последних имеются специфические логические знаки, так называемые логические константы (постоянные). В математической логике - это конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация, эквиваленция, кванторы общности и существования и др.

Различают правила прямого вывода и правила непрямого (косвенного) вывода. Правила прямого вывода позволяют из имеющихся истинных посылок получить истинное заключение. Правила непрямого (косвенного) вывода позволяют заключать о правомерности некоторых выводов из правомерности других выводов (эти правила будут проанализированы в §10 настоящей главы).

Типы дедуктивных умозаключений (выводов) такие: выводы, зависящие от субъектно-предикатной структуры суждений; выводы, основанные на логических связях между суждениями (выводы логики высказываний).

Эти типы выводов и предстоит нам рассмотреть. Рассмотрим выводы, основанные на субъектно-предикатной структуре суждений.

К формам, типичным в практике рассуждений, относятся следующие выводы из категорических суждений:

1) выводы посредством преобразования суждений;

2) категорический силлогизм, сокращенный силлогизм (энтимема), сложные силлогизмы (полисиллогизмы) и сложно-сокращенные силлогизмы (сориты и эпихейрема).

§3. Выводы из категорических суждений посредством их преобразования

Непосредственными умозаключениями называются дедуктивные умозаключения, делаемые из одной посылки, являющейся категорическим суждением. К ним в традиционной логике относятся следующие: превращение, обращение, противопоставление предикату и умозаключения по “логическому квадрату”.

Превращение - вид непосредственного умозаключения, при котором изменяется качество посылки без изменения ее количества, при этом предикат заключения является отрицанием предиката посылки. Как уже отмечалось, по качеству связки (“есть” или “не есть”) категорические суждения делятся на утвердительные и отрицательные.

Схема превращения:

S естьР

S не есть не-Р

При этом частноутвердительное суждение превращается в частноотрицательное и наоборот, а общеутвердительное суждение превращается в общеотрицательное и наоборот. Можно выделить два частных способа превращения:

а) путем двойного отрицания, которое ставится перед связкой и перед предикатом:

S есть Р > S не есть не-Р

Пример: “Подлежащее-главный член предложения”. “Ни одно подлежащее не является не главным членом предложения”;

б) отрицание можно переносить из предиката в связку:

S есть не-Р > S не есть Р.

Пример: “Все галогены являются неметаллами.” > “Ни один галоген не является металлом”.

Превращению подлежат все четыре вида суждения А, Е, I, О. При этом:

1. Суждение А переходит в Е, что записывается А > Е. Структура: Все S есть Р. >Ни одно S не есть не-Р.

Примеры: “Все волки - хищные животные”.> “Ни один волк не является нехищным животным”; “Все бамбуки - злаки”. >“Ни один бамбук не является не злаком”.

2. Суждение Е переходит в А, т. е. Е->А.

Ни одно S не есть Р. >Все S есть не-Р.

Примеры: “Ни один многогранник не является плоской фигурой”. >“Все многогранники являются неплоскими фигурами”; “Ни одна ель не является лиственным деревом”. >“Все ели являются нелиственными деревьями”.

3. Суждение I переходит в О, т. е. I > О. Некоторые S есть Р. > Некоторые S не есть не-Р. Пример: “Некоторые грибы съедобны”. >“Некоторые грибы не являются несъедобными”.

4. Суждение О переходит в I, т. е. О >1. Некоторые S не есть Р. >Некоторые S есть не-Р. Пример: “Некоторые члены предложения не являются главными”. >“Некоторые члены предложения являются неглавными”.

Обращением называется такое непосредственное умозаключение, в котором в заключении (в новом суждении) субъектом является предикат, а предикатом - субъект исходного суждения, т. е. происходит перемена мест субъекта и предиката при сохранении качества суждения. Схема обращения:

S есть Р

Р ecть S

Приведем четыре примера:

1. “Все дельфины - млекопитающие”. > “Некоторые млекопитающие являются дельфинами”.

2. “Все развернутые углы -углы, стороны которых составляют одну прямую”. > “Все углы, стороны которых составляют одну прямую, являются развернутыми углами”.

3. “Некоторые школьники являются филателистами”. > “Некоторые филателисты являются школьниками”.

4. “Некоторые музыканты - скрипачи”. >“Все скрипачи являются музыкантами”.

Обращение бывает двух видов: простое, или чистое (примеры 2 и 3), и обращение с ограничением (примеры 1 и 4). Если не меняется количество суждения, то обращение будет чистое, или простое. Оно бывает тогда, когда и S, и Р исходного суждения либо оба распределены, либо оба не распределены. Обращение с ограничением получается тогда, когда изменяется количество исходного суждения, т. е. изменяется кванторное слово (так, “все” меняется на “некоторые”, и наоборот).

Примеры:

1. Суждение А общеутвердительное. Встречаются два вида обращения:

а) чистое, или простое, обращение, которое бывает при равенстве объемов S и Р (например, в определениях понятий). Пример: “Все квадраты - равносторонние прямоугольники”. > “Все равносторонние прямоугольники - квадраты”;

б) обращение с ограничением, например, суждение “Все дельфины - млекопитающие” обращается в суждение: “Некоторые млекопитающие-дельфины”.

2. Суждение Е общеотрицательное.

Так как в нем всегда и S, и Р распределены, то его обращение чистое, или простое. Например: “Ни один прямоугольный треугольник не является равносторонней фигурой”. > “Ни одна равносторонняя фигура не является прямоугольным треугольником”.

3. Суждение I частноутвердительное. Имеются два вида обращения:

а) обращение чистое, если S и Р не распределены. Например, суждение “Некоторые мастера спорта являются горнолыжниками” при обращении дает следующее суждение: “Некоторые горнолыжники являются мастерами спорта”;

б) когда объем Р меньше объема S, т. е. Р распределен, а S не распределен, как, например, в суждении “Некоторые музыканты - композиторы”, при обращении имеем суждение: “Все композиторы являются музыкантами”. Это обращение с ограничением. Понятие “ограничение” означает только то, что происходит перемена кванторного слова: было “некоторое”, стало “все”.

4. Суждение О частноотрицательное.

Применяя операцию обращения, мы не получим необходимого вывода. Так, например, из истинного частноотрицательного суждения “Некоторые животные не являются собаками” путем обращения нельзя получить истинное суждение.

Противопоставление предикату - это такое непосредственное умозаключение, при котором (в заключении) предикатом является субъект, субъектом - понятие, противоречащее предикату исходного суждения, а связка меняется на противоположную.

Его схема:

S есть Р

не-Р не есть S

Иными словами, мы поступаем здесь так: 1) вместо Р берем не-Р; 2) меняем местами S и не-Р; 3) связку меняем на противоположную.

Например дано суждение: “Все пихты - хвойные деревья”. В результате противопоставления предикату получим суждение: “Ни одно нехвойное дерево не является пихтой”.

Противопоставление предикату можно рассматривать как результат двух последовательных непосредственных умозаключений: сначала производится превращение, затем - обращение превращенного суждения.

Противопоставление предикату для различных видов суждений осуществляется так:

1. А. Все S есть Р. Ни одно не-Р не есть S. Пример: “Все барометры - приборы для измерения атмосферного давления”. > “Ни один прибор, не служащий для измерения атмосферного давления, не является барометром”.

2. Е. Ни одно S не есть Р. > Некоторые не-Р есть S. Пример:

“Ни одна бледная поганка не является съедобным грибом”. > “Некоторые несъедобные грибы есть бледные поганки”.

3. О. Некоторые S не есть Р. > Некоторые не-Р есть S. Пример: “Некоторые дома не являются газифицированными строениями”. > “Некоторые негазифицированные строения являются домами”.

4. I. Из частноутвердительного суждения необходимые выводы не следуют.

Задача.

Сделать превращение, обращение и противопоставление предикату для следующего суждения: “Все жидкости упруги”. Это суждение вида А.

Превращение - “Ни одна жидкость не является неупругим телом”.

Обращение (с ограничением) - “Некоторые упругие тела являются жидкостями”.

Противопоставление предикату - “Ни одно неупругое тело не является жидкостью”.

Все виды непосредственных умозаключений дают нам новое знание и особенно умозаключение, называемое противопоставлением предикату.

К непосредственным умозаключениям относятся и умозаключения по “логическому квадрату”.

В качестве примеров приведем следующие суждения. А: “Все свидетели дают истинные показания”; Е: “Ни один свидетель не дает истинные показания”; I: “Некоторые свидетели дают истинные показания”; О: “Некоторые свидетели не дают истинные показания”.

Из истинности общего суждения следует истинность частного, подчиненного ему суждения (т. е. из истинности А следует истинность I, из истинности Е следует истинность О). Относительно противоречащих суждений А - О и Е -I можно заключить так: если одно из них истинно, то другое обязательно ложно. Они подчиняются закону исключенного третьего.

§4. Простой категорический силлогизм

Термин “силлогизм” происходит от греческого syllogismos (сосчитывание, выведение следствия),

Категорический силлогизм - это вид дедуктивного умозаключения, построенного из двух истинных категорических суждений, в которых S и Р связаны средним термином.

В составе категорического силлогизма имеются две посылки и заключение. Пример:

Все кенгуру (M) есть сумчатые млекопитающие (Р) - бoльшая посылка.

Это животное (S) есть кенгуру (М) - меньшая посылка.________

Это животное (S) есть сумчатое млекопитающее (Р) - заключение.

Понятия, входящие в состав силлогизма, называются терминами силлогизма. В приведенном примере терминами являются: Р (“сумчатое млекопитающее”) - больший термин, это предикат заключения; М (“кенгуру”) - средний термин; S (“это животное”) - меньший термин, это субъект заключения. М служит в посылках для связывания S и Р и отсутствует в заключении.

Посылка, содержащая предикат заключения (т. е. больший термин), называется большей посылкой. Посылка, содержащая субъект заключения, (т. е. меньший термин), называется меньшей посылкой.

Фигуры и модусы категорического силлогизма

Фигурами категорического силлогизма называются формы силлогизма, различаемые по положению среднего термина (М) в посылках. Различают четыре фигуры:

Примеры:

1) Все жидкости (М) теплопроводны (Р).

Вода(S)-жидкость(М).

Вода (S) - теплопроводна (Р)

2)Все ужи (Р) -

пресмыкающиеся (М).

Это животное (S) не является пресмыкающимся (М)

____________________

Это животное (S) не является ужом (Р).

3) Все углероды (М)-

простые тела (Р).

Все углероды (М) -

электропроводны (S)

Некоторые электропроводники

(S)- простые тела (Р).

4) Все киты (Р) -

млекопитающие (М).

Ни одно млекопитающее (М)

ни есть рыба (S)

Ни одна рыба (S) не есть кит (Р)

Особые правила фигур

I фигура. Большая посылка должна быть общей, меньшая - утвердительной.

II фигура. Большая посылка общая и одна из посылок, а также заключение - отрицательные.

III фигура. Меньшая посылка должна быть утвердительной, а заключение - частным.

IV фигура. Общеутвердительных заключений не дает. Если большая посылка утвердительная, то меньшая посылка должна быть общей. Если одна из посылок отрицательная, то большая посылка должна быть общей.

Модусы категорического силлогизма.

Модусами фигур категорического силлогизма называются разновидности силлогизма, отличающиеся друг от друга качественной и количественной характеристикой входящих в них посылок и заключения.

Всего правильных модусов в четырех фигурах 19.

I фигура имеет следующие правильные модусы (буквы обозначают последовательно количество и качество большей посылки, меньшей и заключения): ААА, ЕАЕ, All, EIO. Приведенный выше пример 1 иллюстрирует модус ААА.

II фигура имеет такие правильные модусы : АЕЕ, АОО, ЕАЕ, ЕIO. Умозаключение 2 построено по модусу АЕЕ.

III фигура имеет правильные модусы: AAI, ЕАО, IAI, ОАО, All, ЕIO. Модус AAI представлен примером 3.

IV фигура имеет правильные модусы: AAI, АЕЕ, IAI, ЕАО, ЕIO. Модус АЕЕ представлен примером 4.

Правила категорического силлогизма

Категорические силлогизмы в мышлении встречаются весьма часто. Для того чтобы получить истинное заключение, необходимо брать истинные посылки и соблюдать нижеперечисленные правила категорического силлогизма (так же, как и особые правила фигур категорического силлогизма, перечисленные ранее).

Правила терминов

1. В каждом силлогизме должно быть только три термина (S, P, М). Ошибку, называемую учетверением терминов, иллюстрирует следующий пример:

Движение вечно.

Хождение в институт - движение.

Хождение в институт вечно.

Здесь “движение” трактуется в разном смысле - философском и обыденном.

2. Средний термин должен быть распределен по крайней мере в одной из посылок.

M P

Некоторые растения ядовиты.

S M

Белые грибы - растения.

S P

Белые грибы ядовиты.

Здесь средний термин - “растение” - не распределен ни в одной из посылок, поэтому заключение ложное.

3. Термин распределен в заключении, если и только если он распределен в посылках. Иначе в терминах заключения говорилось бы больше, чем в терминах посылок.

Во всех городах за полярным кругом бывают белые ночи.

Санкт-Петербург не находится за полярным кругом.

В Санкт-Петербурге не бывает белых ночей.

Заключение ложное, так как нарушено данное правило. Предикат вывода в заключении распределен, а в посылке он не распределен, следовательно, произошло расширение большего термина.

//. Правила посылок

1. Из двух отрицательных посылок нельзя сделать никакого заключения. Например:

Дельфины не рыбы.

Щуки не дельфины.

?

2. Если одна из посылок отрицательная, то и заключение должно быть отрицательным. Пример:

Все гейзеры - горячие источники.

Этот источник не является горячим.

Этот источник не является гейзером.

3. Из двух частных посылок нельзя сделать заключение:

Некоторые животные яйцекладущие.

Некоторые организмы - животные.

?

4. Если одна из посылок частная, то и заключение должно быть частным:

Все слоны хоботные.

Некоторые животные - слоны.

Некоторые животные хоботные.

Иногда категорический силлогизм строится неправильно. Наиболее распространенные ошибки такие:

1) Заключение делается по I фигуре с меньшей отрицательной посылкой.

Все учебные аудитории нуждаются в проветривании.

Эта комната не является учебной аудиторией.

Эта комната не нуждается в проветривании.

Заключение не следует с необходимостью из этих посылок.

2) Заключение делается по II фигуре с двумя утвердительными посылками.

Все абитуриенты сдают экзамены.

Петров сдает экзамены.

Петров - абитуриент.

Все зебры полосатые.

Это животное полосатое.

Это животное - зебра.

Заключения не следуют с необходимостью из приводимых посылок, так как эти два умозаключения построены неправильно.

§5. Сокращенный категорический силлогизм (энтимема)

Термин “энтимема” в переводе с греческого языка означает “в уме”, “в мыслях”.

Энтимемои, или сокращенным категорическим силлогизмом, называется силлогизм, в котором пропущена одна из посылок или заключение.

Примером энтимемы является такое умозаключение: “Все кашалоты - киты, следовательно, все кашалоты - млекопитающие”. Восстановим энтимему:

Все киты - млекопитающие.

Все кашалоты - киты

Все кашалоты - млекопитающие.

Здесь пропущена большая посылка.

В энтимеме “Все углеводороды суть органические соединения, поэтому метан - органическое соединение” пропущена меньшая посылка. Восстановим категорический силлогизм:

Все углеводороды суть органические соединения.

Метан - углеводород.

Метан - органическое соединение.

В энтимеме “Все рыбы дышат жабрами, а окунь - рыба” пропущено заключение.

При восстановлении энтимемы надо, во-первых, определить, какое суждение является посылкой, а какое - заключением. Посылка обычно стоит после союзов “так как”, “потому что”, “ибо” и т. п., а заключение стоит после слов “следовательно”, “поэтому”, “потому” и т. д.

Студентам дается энтимема: “Этот физический процесс не является испарением, так как не происходит перехода вещества из жидкости в пар”. Они восстанавливают эту энтимему, т. е., формулируют полный категорический силлогизм. Суждение, стоящее после слов “так как”, является посылкой. В энтимеме пропущена большая посылка, которую студенты формулируют на основе знаний о физических процессах:

Испарение есть процесс перехода вещества из жидкости в пар.

Этот физический процесс не есть процесс перехода вещества из жидкости в пар.

Этот физический процесс не есть испарение.

Данный категорический силлогизм построен по II фигуре; особые правила ее соблюдены, так как одна из посылок и заключение отрицательные, большая посылка общая, представляющая собой определение понятия “испарение”.

Энтимемами пользуются чаще, чем полными категорическими силлогизмами.

§6. Сложные и сложносокращенные силлогизмы: (полисиллогизмы, сориты, эпихейрема)

В мышлении встречаются не только отдельные полные сокращенные силлогизмы, но и сложные силлогизмы, состоящие из двух, трех или большего числа простых силлогизмов. Цепи силлогизмов называются полисиллогизмами.

Полисиллогизмом (сложным силлогизмом) называются Д1 или несколько простых категорических силлогизмов, связанных друг с другом таким образом, что заключение одного из них становится посылкой другого. Различают прогрессивные и peгрессивные полисиллогизмы.

В прогрессивном полисиллогизме заключение предшествующего полисиллогизма (просиллогизма) становится большей посылкой последующего силлогизма (эписиллогизма). Приведем пример прогрессивного полисиллогизма, представляющего собой цепь из двух силлогизмов и имеющего такую схему:

Схема:

Спорт (А) укрепляет здоровье (В) Все А суть В.

Гимнастика (С) - спорт (А). Все С суть А.

Значит, гимнастика (С) укрепляет здоровье (В). Значит, все С суть В.

Аэробика (D) - гимнастика (С). Все D суть С.

Аэробика(D) укрепляет здоровье (В). Все D суть В.

В регрессивном полисиллогизме заключение просиллогизма становится меньшей посылкой эписиллогизма. Например:

Все планеты (А) - космические тела (В).

Сатурн (С) - планета (А).

Сатурн (С) - космическое тело (В).

Все космические тела (В) имеют массу (D)

Сатурн (С) - космическое тело (В).

Сатурн (С) имеет массу (D).

Соединив их вместе и не повторяя дважды суждение “Все С суть В”, мы получим схему регрессивного полисиллогизма для общеутвердительных посылок:

Все А суть В.

Все С суть А.

Все В суть D.

Все С суть В.

Все С суть D.

Сорит (с общими посылками)

Прогрессивный и регрессивный полисиллогизмы в мышлении чаще всего применяются в сокращенной форме - в виде соритов. Существует два вида соритов: прогрессивный и регрессивный.

Прогрессивный сорит (иначе называется по имени описавшего этот сорит логика гоклениевским) получается из прогрессивного полисиллогизма путем выбрасывания заключений предшествующих силлогизмов и больших посылок последующих. Прогрессивный сорит начинается с посылки, содержащей предикат заключения, и заканчивается посылкой, содержащей субъект заключения.

Пример:

Все продукты, содержащие витамины (А), полезны (В).

Фрукты (С) - продукты, содержащие витамины (А).

Бананы (D) фрукты (С).

Бананы (D) полезны (В).

Схема прогрессивного сорита:

Все А суть В.

Все С суть А.

Все D суть С.

Все D суть В.

Регрессивный сорит (иначе аристотелевский) получается из регрессивного полисиллогизма путем выбрасывания заключений просиллогизмов и меньших посылок эписиллогизмов. В просиллогизме меняем местами посылки. Регрессивный сорит начинается с посылки, содержащей субъект заключения, и кончается посылкой, содержащей предикат заключения.

Пример:

Все розы (А) - цветы (В).

Все цветы (В) - растения (С).

Все растения (С) дышат (D).

Все розы (А) дышат (D).

Схема регрессивного сорита:

Все А суть В.

Все В суть С.

Все С суть D.

Все А суть D.

Сориты в мышлении применяются чаще, чем полисиллогизмы, так как являются сокращенной формой полисиллогизмов. Аналогично энтимемы в мышлении применяются чаще, чем полные категорические силлогизмы, ибо энтимема - это сокращенная форма последнего.

Формализация эпихейрем с общими посылками

Эпихейремой в традиционной логике называется такой сложносокращенный силлогизм, обе посылки которого представляют собой сокращенные простые категорические силлогизмы (энтимемы).

Схема эпихейремы, содержащей лишь общеутвердительные высказывания, обычно записывается следующим образом:

Все А суть С, так как А суть В.

Все D суть А, так как D суть Е.

Все D суть С.

Пример эпихейремы:

Благородный труд (А} заслуживает уважения (С), так как благородный

труд (А) способствует прогрессу общества (В).

Труд учителя (D) есть благородный труд (А), так как труд учителя (D)

заключается в обучении и воспитании подрастающего поколения (Е).

Труд учителя (D) заслуживает уважения (С).

Приведем еще пример эпихейремы:

Все ластоногие суть водные млекопитающие, так как ластоногие вскармливают детенышей молоком

Все моржи суть ластоногие, так как моржи имеют конечности, превращенные в ласты

Все моржи суть водные млекопитающие.

Так же, как и энтимемы, сложносокращенные силлогизмы значительно упрощают наши рассуждения.

Выводы, основанные на логических связях между суждениями (выводы логики высказываний)

Если в логике предикатов простые суждения расчленялись на субъект и предикат, то в логике высказываний суждения не расчленяются на субъект и предикат, а рассматриваются как простые суждения, из которых с помощью логических связок (логических постоянных) образуются сложные суждения.

Правила прямых выводов логики высказываний позволяют из данных истинных посылок выводить истинное заключение. На основе правил прямых выводов построены чисто условные и условно-категорические, чисто разделительные и разделительно-категорические, а также условно-разделительные (лемматические) умозаключения.

§7. Условные умозаключения

Чисто условным умозаключением называется такое опосредствованное умозаключение, в котором обе посылки являются условными суждениями. Условным называется суждение, имеющее структуру: “Если а, то b”.Структура чисто условного умозаключения такая:

Если а, то b Схема:

Если b, то с.

Если а, то с а>b, b>c

a>c

Согласно определению логического следствия, сформулированному в рамках исчисления высказываний, если формула а > с есть логическое следствие из данных посылок, то, соединив посылки знаком конъюнкции и присоединив к ним посредством знака импликации заключение, мы должны получить формулу, которая является законом логики, т.е. тождественно-истинной формулой. В данном случае формула будет такова:

((а>c)^ (b>с))>(а>с).

Доказательство тождественной истинности этой формулы можно провести табличным методом. Этот вид умозаключения часто используется в обучении, в частности при изучении математики, физики, биологии.

Приведем пример:

Если правильно внести удобрения, то урожай повысится

Если урожай повысится, то себестоимость продукции станет ниже.

Если правильно внести удобрения, то себестоимость продукции станет ниже.

В чисто условном умозаключении существуют его разновидности (модусы). К ним относится, например, такой:

Если а, то b Схема:

Если не-а, то b а>b

b а>b

b

((а >b) (в >b))>b.

Эта формула является законом логики. В умозаключении суждение b истинно и независимо от того, утверждается или отрицается а.

Примером такого умозаключения является следующее рассуждение:

Если бензин не подорожает, уберем урожай.

Если бензин подорожает; уберем урожай.

Уберем урожай.

Приведем пример из художественной литературы. Один из героев Агаты Кристи, оказавшийся на острове, рассуждает:

“Генерал Макартур пребывал в мрачной задумчивости. Черт побери, до чего все странно! Совсем не то, на что он рассчитывал... Будь хоть малейшая возможность, он бы под любым предлогом уехал... Ни минуты здесь не остался бы. Но моторка ушла. Так что хочешь не хочешь, а придется остаться”.

Условно-категорическое умозаключение - это такое дедуктивное умозаключение, в котором одна из посылок - условное суждение, а другая - простое категорическое суждение. Оно имеет два правильных модуса, дающих заключение, с необходимостью следующее из посылок.

I. Утверждающий модус (modus ponens).

Структура его: Схема:

Если а, то b. а >b

a a

b b

Формула ((а >b)^а)>b(1) является законом логики. Можно строить достоверные умозаключения от утверждения основания к утверждению следствия. Приведем два примера:

Если ты хочешь наслаждаться искусством, то ты должен быть художественно образованным человеком.

Ты хочешь наслаждаться искусством.

Ты должен быть художественно образованным человеком.

Для построения другого примера воспользуемся интересным высказыванием великого русского педагога К. Д. Ушинского:

“Если человек избавлен от физического труда и не приучен к умственному, зверство овладевает им”'. Использовав это высказывание, построим условно-категорическое умозаключение:

Ушинский К. Д. Собр. соч. М.-Л., 1948. Т. 2. С. 350.

Если человек избавлен от физического труда и не приучен умственному, то им овладевает зверство.

Этот человек избавлен от физического труда и не приучен к умственному.

Этим человеком овладевает зверство

Любое использование правил в русском языке, математике, физике, химии и других школьных дисциплинах основано на утверждающем модусе, дающем достоверное заключение, поэтому в практике мышления он находит самое широкое применение.

Пример:

Если этот металл натрий, то он легче воды.

Данный металл - натрий.

Данный металл легче воды.

II. Отрицающий модус (modus tollens).

Структура его: Схема:

Если а,то а>b

Не-b

Не-а в

Формула ((а >b)^ )>в (2) также является законом логики (это можно доказать с помощью таблицы).

Можно строить достоверные умозаключения от omрицания следствия к отрицанию основания.

Приведем два примера:

Если река выходит из берегов, то вода заливает прилежащие территории.

Вода реки не залила прилежащие территории.

Вода не вышла из берегов

Для построения второго условно-категорического умозаключения воспользуемся следующим высказыванием: “...Тот мерзок, кто ярится, если чужой он доблести свидетель” (Данте Алигьери).

Умозаключение построено так:

Если человек при виде чужой доблести ярится, то он мерзок.

Этот человек не является мерзким.

Этот человек при виде чужой доблести не ярится.

Условно-категорическое умозаключение может давать не только достоверное заключение, но и вероятное.

Первый вероятностный модус

Рассмотрим первый модус, не дающий достоверного заключения.

Структура его: Cхема:

Если а, то b. a>b

b b

___________ _________

Вероятно, а. Вероятно, а

Формула ((а >b) ^ b) > а (3) не является законом логики. Она означает, что нельзя достоверно умозаключить от утверждения следствия к утверждению основания. Люди иногда неправильно умозаключают так:

Если бухта замерзла, то суда не могут входить в бухту.

Суда не могут входить в бухту.

Бухта замерзла.

Заключение будет лишь вероятностным суждением, т. е. вероятно, что бухта замерзла, но возможно и то, что дует сильный ветер, или бухта заминирована, или существует другая причина, по которой суда не могут входить в бухту.

Вероятностное заключение получится и в таком умозаключении:

Если данное тело - графит, то оно электропроводно.

Данное тело электропроводно.

Вероятно, данное тело - графит.

Второй вероятностный модус

Это второй модус, не дающий достоверного заключения.

Структура его: Схема:

Если а, то b. а >b

Не-а в

Вероятно, не b Вероятно,

Формула ((а>b) ^ в)> (4) не является законом логики. Она означает, что нельзя принимать заключение за достоверное, уме заключая от отрицания основания к отрицанию следствия.

Некоторые врачи ошибочно рассуждают так:

Если человек имеет повышенную температуру, то он болен.

Данный человек не имеет повышенной температуры.

Данный человек не болен.

Учащиеся в школе также допускают логические ошибки при построении умозаключений. Вот пример:

Если тело подвергнуть трению, то оно нагреется.

Тело не подвергли трению.

Тело не нагрелось.

Заключение здесь только вероятностное, но не достоверное, ибо тело могло нагреться по какой-либо другой причине (от солнца, в печи и т. д.).

Заметим, что приведение такого рода примеров вполне достаточно для того, чтобы показать, что формы умозаключений, выражаемые формулами (3) и (4), неправильны. Но никакое количество примеров применения форм, соответствующих формулам (1)| и (2), не в состоянии - если мы оперируем только примерами -- обосновать их логической правильности. Для такого обоснованна требуется уже некоторая логическая теория. Такая теория, фактически отсутствующая в традиционной логике, содержится в алгебре логики. Если формула, в которой конъюнкция посылок и предполагаемое заключение соединены знаком импликации', не является тождественно-истинной, т. е. не выражает закона логики, то в умозаключении заключение не является достоверным. С помощью табличного метода можно доказать, что колонки таблицы 1, соответствующие формулам (1) modus ponens и (2) modus| tollens выражают законы логики, а это означает, что modus ponens и modus tollens представляют собой логически правильные формы умозаключений.

При этом конкретные (или, как иначе говорят, постоянные) высказывания в посылках и заключении надо, как уже было отмечено, заменить переменными.

Таблица 1

а	b	в		a>b	(a>b)^a	((a>b)^a) >b	(а >b)^	(а >b)^
И	И	Л	Л	И	И	И	Л	И
И	Л	Л	И	Л	Л	И	Л	И
Л	И	И	Л	И	Л	И	Л	И
Л	Л	И	И	И	Л	И	И	И

Таблицу для неправильных модусов предоставляем построить читателю самому. В ней наряду со знаками “И” (“истина”) мы увидим и знаки “Л” (“ложь”), а это значит, что выражения:

((а>b)^b)>а и ((а>b)^ )

не являются тождественно-истинными высказываниями, т. е. законами логики.

Если умозаключают от утверждения следствия к утверждению основания, то можно прийти к ложному заключению вследствие множественности причин, из которых может вытекать одно и то же следствие. Например, выясняя причину заболевания человека, надо перебрать все возможные причины: простудился, переутомился, был в контакте в бациллоносителем и т. д.

§8. Разделительные умозаключения

Разделительным называется дедуктивное умозаключение, в котором одна или несколько посылок - разделительные (дизъюнктивные) суждения. Существуют чисто разделительные и разделительно-категорические умозаключения.

В чисто разделительном умозаключении обе (или все) посылки являются разделительными суждениями. В традиционной логике принята следующая его структура:

S есть А, или В, или С.

А есть или ₁А ,или А_2..

S eсть или А_{1 ,} или А_2, илиB, или С.

В первом разделительном суждении каждое из трех простых cуждений “S есть A”, ”S есть В”, “S есть С” называется альтернативой. Из суждения “S есть А” образуются еще две альтернативы, которые составляют два члена новой дизъюнкции.

Например:

Предложения бывают простыми или сложными.

Сложные предложения бывают сложносочиненными или сложноподчиненными.

Предложения бывают простыми, или сложносочиненными, или сложноподчиненными.

В разделительно-категорическом умозаключении одна посылка - разделительное суждение, другая - простое категорическое суждение. Этот вид умозаключения содержит два модуса.

Первый модус - утверждающе-отрицающий (ponendo tollens). Пример его:

Внимание бывает произвольным или непроизвольным.

Это внимание является непроизвольным.

Это внимание не является произвольным.

Заменив конкретные высказывания в посылках и заключении переменными, получим запись этого модуса в терминах символической логики (с двумя членами дизъюнкции) в виде правила вывода:

В этом модусе союз “или” употребляется как строгая дизъюнкция. Формулы, соответствующие этому модусу, имеют вид:

((aэb)^a) (1)

((avb)^b) (2)

Обе эти формулы выражают законы логики. Если в этом модусе союз “или” взят как нестрогая дизъюнкция, то соответствующие формулы не будут выражать закон логики.

Формулы:

((ab)^а) (3)

((ab)^b) (4)

не являются законами логики. Доказательство формул (1) и (3) дано в таблице 2.

Таблица 2

а	b		аb	(аb)^ a	((аb)^a)	(a э b)	(a э b) ^ а	((a э b) ^a)
И	И	Л	И	И	Л	Л	Л	И
И	Л	И	И	И	И	И	Л	И
Л	И	Л	И	Л	И	И	Л	И
Л	Л	И	Л	Л	И	Л	Л	И

Ошибки происходят из-за смешения соединительно-разделительного и строго разделительного смыслов союза “или” в модусе ponendo tollens. Нельзя рассуждать, например, таким образом:

Учащиеся в контрольной работе по математике допускают или вычислительные ошибки, или ошибки в эквивалентных преобразованиях, или ошибки в применении изученных алгебраических правил.

Учащийся Сидоров допустил в контрольной работе вычислительные ошибки.

Сидоров не допустил в работе ни ошибок в эквивалентных преобразованиях, ни ошибок в применении изученных алгебраических правил.

Заключение не является истинным суждением, так как Сидоров может допускать все три вида ошибок.

Второй модус - отрицающе-утверждающий (tollendo ponens).

Приведем пример:

Минеральные удобрения бывают или азотными, или фосфорными, или калийными.

Данное минеральное удобрение не принадлежит ни к азотному, ни к фосфорному.

Данное минеральное удобрение является калийным.

Другой пример возьмем из рассказа А. Конан Дойла “Пестрая лента”, в котором он описал раскрытие страшного преступления -убийство девушки с помощью ядовитой змеи. Ш. Холмс рассказал Уотсону: “Вначале я пришел к совершенно неправильным выводам, мой дорогой Уотсон, - и это доказывает, как опасно опираться на неточные данные. Присутствие цыган, слово “банда”¹, сказанное несчастной девушкой, - всего этого было достаточно, чтобы навести меня на ложный след. Но когда мне стало ясно, что в комнату невозможно проникнуть ни через дверь, ни через окно, не оттуда грозит опасность обитателю этой комнаты, я сразу понял свою ошибку, и это может послужить мне оправданием. с я уже говорил Вам, внимание мое сразу привлекли вентилятор и шнур от звонка, висящий над кроватью. Когда обнаружилось, что звонок фальшивый, а кровать прикреплена к полу, у меня сразу зародилось подозрение, что шнур служит лишь мостом, соединяющим вентилятор с кроватью. Мне сразу пришла мысль о змее, а зная, как доктор любит окружать себя всевозможными индийскими тварями, я понял, что, пожалуй, напал на верный след. Именно такому хитрому, жестокому злодею, прожившему много на Востоке, могло прийти в голову употребить яд, который нельзя обнаружить химическим путем”.

Разделительно-категорическое умозаключение было построено Ш. Холмсом таким образом:

Обитателю комнаты грозила опасность проникновения в комнату или через дверь, или через окно, или через вентилятор.

“В комнату невозможно проникнуть ни через дверь, ни через окно”.

В комнату можно проникнуть через вентилятор.

Отрицающе-утверждающий модус (для случая двучленной разделительной посылки) в виде правила вывода в алгебре логики может быть записан следующим образом:

Логический союз “или” здесь можно употреблять в двух смыслах: как строгую дизъюнкцию (у) и нестрогую дизъюнкцию (v),T. e. характер дизъюнкции на необходимость заключения по этому модусу не влияет.

Этому модусу соответствуют четыре формулы, которые являются законами логики:

(1) ((a vb))> b.

(2) ((a vb) )> a.

(3) ((aэb) )> b.

(4) ((aэb) b) >a.

Обязательным условием при выводах по разделительно-категорическому умозаключению является соблюдение правила, согласно которому в разделительной посылке должны быть предусмотрены все возможные альтернативы, т. e. деление должно быть полным. Это правило обязательно для отрицающе-утверждающего модуса. Пример:

Пожар мог произойти или в результате небрежного обращения с огнем, или в результате поджога, или из-за неисправной электропроводки.

Данный пожар не произошел ни в результате небрежного обращения с огнем, ни из-за неисправной электропроводки.

Данный пожар произошел в результате поджога.

Заключение не достоверное, а вероятностное, так как в первой разделительной посылке перечислены не все возможные причины возникновения пожара (например, в результате взрыва или в результате загорания от молнии и т. д.).

§9. Условно-разделительные (лемматические) умозаключения

Условно-разделительное умозаключение - это такое дедуктивное умозаключение, в котором одна посылка состоит из двух или большего числа условных суждении, а другая является разделительным суждением. В зависимости от числа членов в разделительной посылке это умозаключение может быть дилеммой (если разделительная посылка содержит два члена), трилеммой (если разделительная посылка содержит три члена) или вообще полилеммой (число разделительных членов больше двух).