Математические основы иерархической термодинамики

Настоящая работа тесно связана со статьями [1-2] и является их продолжением. В этих работах развит, скажем так, полубесконечный подход - оставляя кое-где малое приращение термодинамической переменной, например, передаваемой теплоты , и совершая предельный переход (используя частную производную ) иной раз. Мы предпочитаем говорить на языке приращений, запасая предельные переходы (при ) для конкретно поставленных проблем. В рамках данного в работах [1-3] подхода получается, что двумерный пфаффиан всегда имеет интегрирующий множитель, что справедливо, когда ковариантная и обычная производные совпадают - при нулевой кривизне. В результате класс изучаемых процессов оказывается узким (линейные процессы, описываемые полными дифференциалами). Мы собираемся изучить процессы для любых пфаффианов зависящих от пути дифференциалов. Для этой цели используем развитый в [4] ("Stair-Step"-иерархический) метод.

Далее, заметим ту некорректность, которая присутствует даже в учебниках не только по термодинамике. Возьмем теорию идеального газа. Выделяют (в терминах давления р, объема v, абсолютной температуры t) изохорный, изобарный и изотермические процессы и предполагается, что все остальные можно свести к ним. Рассмотрим весь процесс получения соответствующих уравнений повнимательнее. Ясно, что в общем, параметры p, v, t взаимосвязаны, что будет обозначатся (p, v, t). Когда фиксируется, допустим р, что обозначим p (v, t) - получается изобарный процесс. Аналогично получаются v (p, t) - изохорный и (р, v) t - изотермический процессы. Существенным является то обстоятельство, что при классификации процессов на классы, каждый должен попасть в один и только один класс. Это значит, что надо соблюдать принципы несовместимости и полноты. Что касается несовместимости, то при совмещении, т.е. когда все три параметра можно фиксировать-разделять, получаются разные допустимые состояния процесса. Что же касается полноты, то к уже существующим в термодинамике классам можно добавить следующие: (pv, t), (pt, v) и (vt, p). В случае (pv, t), каждый из параметров р и v разделяется и выражается, как p = f (v) t и v =g (p) t, где f, g - некоторые функции (постоянные при изобарах и изохорах). Эту ситуацию лучше записать в векторной форме, (рv) = (f (v) g (p)) t = -i (-g (p) f (v)) t = = -iH (pv) t, с некоторым оператором Н и оператором i, со свойством i (a, b) = (-b, a) ([5]). Вспомнив, что указанные уравнения пишутся для приращений, можно написать для производной по t: d/dt (pv) = -iH (pv). Аналогично получается уравнение Шредингера при переходе частицаволна с последующим квантованием (см. [5]). Это означает, что вектор pv ведет себя как волна. Аналогично можно поступить в остальных случаях. Не вникая в детали при сравнении с уравнением Шредингера, думается, что эти дополнительные случаи помогут более детально раскрыть сущности изучаемых процессов и заслуживают внимания.

Вышеупомянутые методы иерархий и разделения присутствуют в научных рассуждениях в виде количественного способа изучения "движения" - как пространственного, так и временного развития (напр., координата-скорость-ускорение, потенциал-сила-напряжение). Надеемся, что они окажутся плодотворными и как качественные способы при раскрытии феномена разумной жизни и биологического развития (онтогенез и филогенез).

1 Основы иерархической термодинамики

Cледуя работе [1], предположим, что состояние S системы описывается обобщенными координатами х = (). Совокупность всех состояний х составляет множество Х.

В термодинамике допускается существование порции (теплота, работа, химическая энергия и пр), при передаче которой система переходит из состояния S в состояние S.

Для соответствующих обобщенных координат пишем х+х ("+" означает передачу ?-теплоты к системе х). Множество G порций , в общем, может иметь структуру группы, полугруппы, моноида и т.п. А множество X при действии G превращается в G-пространство, хорошо изученный объект в математике (см. [1], [6]). Если, к тому же, определяется по начальному и конечному состояниям системы, х- х, то получаем "первое начало" термодинамики.

Количественное развитие системы происходит по последовательности состояний S, S,…, или в координатах х, х,…. Есть и другого рода развитие системы, которое никак не вписывается в количественную схему. Именно, построим совокупность пар (х, ), для G и заданного состояния х Х.

Конечно, эта пара нигде не встречается среди состояний системы S, которые характеризуются между собой количественно. Получается качественно новая иерархическая система S? со своим множеством количественных состояний (X, G) = { (x, ), x X, G}.

При = 0, можно говорить об эквивалентности состояний (х, 0) и х. Далее, (X, G) можно взять за исходную систему и получить новую иерархию ( (X, G), H) c некоторой группой Н и т.д.

Построение таких, качественно новых иерархических систем не является самоцелью.

Нам надо как-то связать получаемые системы с исходной, к изучению которой мы приступили или, вообще, установить связь между соседними иерархическими структурами.

Один из широко распространенных (не только в математике) методов есть представление группы H в виде Н = G + H?, для некоторой группы Н?. Поясним ситуацию в термодинамических терминах. Рассмотрим случай Джоулевой вертушки.

Пусть G-совокупность работ, при совершении которых над вертушкой, калориметру передается тепловой эквивалент.

Пара (X, G) олицетворяет работающую систему, когда при совершении работы (при передаче теплового эквивалента G), изменяется внутренняя энергия U (состояние x Х). Согласно "первому началу" U- U=, или в дифференциалах dU =, (1), где d-полный, а (как и ,, далее) - неполный дифференциалы. Включим систему в электрическую цепь, превращая вертушку в сопротивление.

Передаваемую порцию электрической энергии обозначим W. Она расходуется на нагревание-расширение крыльев вертушки и передается калориметру в виде теплоты.

Получили сложную систему, S = ( (U,),W). Вводя "связность", мы предполагаем, что часть электрической энергии передается калориметру в виде теплоты Q.

Нагревание крыльев влияет на совершаемую вертушкой работу А. Вследствие, калориметру передается зависящая от Q теплота Q. Остальную часть, уже зависящую от и Q, обозначим как , так, что

W=Q +. (2)

Еще раз отметим, что теплота QG полностью определяется изменением энергии калориметра U и полностью это изменение определяет.

С таким же успехом можно написать

= + , (2?)

что в результате приводит к симметричному представлению

. (3)

Следует отметить, что обозначая U=Q +, возвращаемся к классическому представлению выделяемой энергии в виде (поддерживающей возрастание энтропии) теплоты и свободной энергии (функции Гиббса).

Что касается выражения =+, то оно нигде не встречается в классических изложениях термодинамики и, по терминологии дифференциальной геометрии, может использоваться при оценке отклонения ("кривизна" и "кручение") изучаемого процесса от линейного поведения.

Отметим некоторые немаловажные выводы.

а) Равенство (1) характеризует адиабатический, а (2) -неадиабатический случай.

б) Если = 0, то сложность системы S состоит в двойной передаче теплоты калориметру и систему S можно идентифицировать с системой S? (свойство линейности).

В этом случае отсутствует качественное развитие системы. Значит, характеризует степень качественного (и количественного) развития системы.

в) Так же, как при непередаче (Q = 0) калориметру теплоты, система S? остается в равновесии (S? совпадает с S), если W = 0, то и S находится в равновесии (совпадает с S?).

А это может случиться и тогда, когда и Q и A отличны от нуля.

г) Уравнение

Q+= 0, (4)

выделяет класс неравновесных процессов, на которые, на высшем качественном (иерархическом) уровне можно смотреть, как на равновесные.

д) Предполагая, что уравнение (4) есть уравнение относительно теплоты Q, можно построить уравнение относительно работы А:

A+ = 0. (4?)

Ясно, что математически (количественно) неразличимые уравнения (4) и (4?) несут, в отдельности, очень ценную информацию о развитии системы с качественной точки зрения. Взгляд на процессы с точки зрения теплоты (4) и работы (4?) дает повод изучить процессы с различных точек зрения.

е) В силу первого начала, работа для системы (характеризующуюся внутренней энергией U) является внутренней, как и W - для системы . Однако, для системы с внутренней энергией U, оказывается внешней работой.

ж) В случае представления, , где - абсолютная температура, а -энтропия, первый член в правой части (2) ответственен за беспорядок, тогда, как второй член будет мерой порядка, и его можно выразить в терминах работы, при фиксированной величине передаваемой теплоты. Тем самым, можно свести к свободной энергии - функции Гиббса (более точно, к плотности функции Гиббса относительно теплоты).

з) Подход, приводящий к уравнению (2), является всеобщим: рассуждая математически, можно прийти к уравнениям "геодезическим" (ковариантная производная) в дифференциальной геометрии, обеспечивающим переход к "центру механического мира " и к "центру термодинамического мира " (Фейнман, [7]), тем самым, подчеркивая "глубокую аналогию между механикой (динамикой) и термодинамикой" (Эткинс [13]).

2. Термодинамические функции

Термодинамические функции - это термодинамические параметры (тпа) и термодинамические потенциалы (тпо). Тпа определяется как функция многих переменных - обобщенных координат . Тпо определяется как функция от состояния х, , как от единого аргумента х = (х, х,…). Например, тпа являются температура, давление, энтропия и т.д., а тпо являются внутренняя энергия, энтальпия, функция Гиббса, Гельмгольца и др. Установим некоторые соотношения между тпа и тпо в случае применения метода иерархий. Пусть, - некоторая термодинамическая функция от обобщенных координат х. Если системе передается теплота , то определен и вслед за ним - с помощью равенства . Определим как функцию на верхнем уровне заданной системы. Ясно, что при , совпадает с функцией . Если является потенциалом для системы х, то для системы будет уже параметром, тогда как может быть потенциалом.

3. Иерархическая термодинамика живых систем

Настоящий параграф посвящен применению выработанных автором методов "иерархий" ("Stair-Step") и "разделения" к изучению термодинамики живых систем, оставаясь в рамках работ Г.П. Гладышева [9-11]. Не углубляясь в понимание сочетания слов "математические методы в биологии", отметим два основных аспекта. Одним из них есть математик, нуждающийся в примерах из биологии, а другой - биолог, применяющий математические методы для решения стоящих перед ним задач. На этот раз мы рассмотрим последний подход и попытаемся предложить математические "инструменты" для оперирования с биологическими объектами. Определим биологическую систему. В каждом эксперименте система описывается заданием состояний в виде обобщенных координат. В качестве обобщенных координат, в основном, берут термодинамические параметры. Так что в смысле математического подхода различие между физическим - термодинамическим и живыми - биологическими системами не делается. Далее вводится действие, в математике обеспечивающее переход из одного состояния в другое; в термодинамике ему соответствует совершение работы - передача тепла к системе; а в биологии - метаболизм, обмен веществ. В простейшем случае, метаболизм можно заменить питанием - передачей пищи. Здесь выявляются важные особенности, отличающие моделирование в термодинамике и биологии. В термодинамике, для построения системы , наряду с состоянием вполне хватает количественного значения , тогда как, в биологии передача пищи сопровождается "умением" использовать ее. "Лирически" это прекрасно отражается в русских словах - "воспитание" подразумевает "питание", в прямом и переносном смысле, но не сводится к нему. На математическом языке это значит, что в физической термодинамике х и разделимы (обозначим ), а в биологии - нет (обозначение ). Разделение в биологии разрушает живую систему; отняв у организма жизненную самобытность, сведем его к совокупности (количеству) клеток. В отличие от термодинамики, передачу пищи в биологии обозначим "", подчеркивая, что это не механическая передача энергии. Вслед за этим, напрашиваются на существование-изучение два таких "непопулярных" процесса, как "термодинамико-биологический" - (,) и "биолого-термодинамический" - . Думаю, что обнаружение указанных процессов в живом организме не представляет трудностей. Более того, создается впечатление, что живой организм - это цепь взаимосвязанных указанных процессов.

Для обобщения и интерпретации вышеприведенных соображений, рассмотрим известную формулу из хроматографии ([9]),

.

Обозначая через приращение функций G, мы переходим из пространства значений G в пространство приращений G, а дальнейшее употребление для обозначения приращений в другом пространстве - ), является некорректным, если не ошибочным. Конечно, в силу равенства, правая часть вышеприведенного соотношения возвышается в ранг левого и нам остается только провести параллель с равенством (4) (или (4?)):

= 0.

Оказалось, что мы пользуемся свободной энергией, функцией Гиббса G, которая управляется ("геодезическим") уравнением нулевого уровня. Расширяя возможность теории, привлекаем уравнение (2?) уровня . Преимущество состоит не только в варьировании уровней, но и в том, что свободная энергия А нижнего иерархического уровня связывается с энергией W на верхнем иерархическом уровне. Кроме всего этого, так как живой организм состоит из уймы клеток, молекул и т.д., следует усомнится в точности произведенных измерений, приводящих к "точному" уравнению. Чтобы исправить этот пробел, стоит лишь представить уравнение (2?) для средних значений и рассмотреть как случайную величину, для простоты - с нулевым средним (математическим ожиданием). Хотя аппарат теории вероятностей и стохастического анализа позволяет рассматривать более общие схемы.

Ясно, что флуктуации энергии W на верхнем иерархическом уровне привлекут флуктуации свободной энергии А на нижнем иерархическом уровне. Таким образом, уравнение (2?) (как и (2)) устанавливает связь между количественными характеристиками качественно различных, нижних и верхних иерархических уровней. Не стоит перечислять аналогичные преимущества остальных уравнений, они и так очевидны с математической точки зрения.

Сформулируем некоторые полезные заключения в рамках вышеизложенного.

Классическое термодинамическое качественное развитие системы подразумевает возможность отделения системы от передаваемой энергии; возможен обратный процесс - энергию можно отобрать.

Термодинамическое развитие живых систем не допускает возможности разделения. Развитие имеет направление. Разделение разрушает живую систему.

Феноменологически подходы к изучению движения твердых тел в механике и развития систем в термодинамике идентичны. Замена сущности изучаемых объектов, влечет за собой смену применяемых математических терминов и операций.

Неудивительно, что в математике оперируют терминами, взятыми из повседневной жизни. Так, один из основных терминов дифференциальной геометрии - "расслоенный пучок" ("fibre bundle"), обязан своему происхождению биологии. В свою очередь, уверен, что сосудистую систему живого организма можно описать методами дифференциальной геометрии.

Посмотрим, как обстоит дело с приложением вышеизложенных методов к биологической эволюции живых организмов - "закону временных иерархии" Г.П. Гладышева ([10]).

Рассматриваются основные временные иерархии m-молекул, im-супрамолекул, cell-клеток, org-организм, pop-популяции, com-обществ и т.д. Каждая из иерархий получается вследствие "самосборки" структур низшей иерархии. Например, im = (m,), где означает самосборку, которая включает в себя передачу энергии-пищи, для молекул m. Время релаксации и среднее время жизни молекул представляют собой термодинамические потенциалы. В наших обозначениях для времени релаксации имеем - для молекулы, = - для межмолекулярных уровней, = - для клеточных уровней и т.д.

Ясно, что является расширением, другими словами, доминирует над (как объем доминирует над площадью), т.е. и мы приходим к "закону временных качественных иерархий",

…….

То же можно проделать для средних времен жизни. Картина будет аналогичной. Значит, для разных иерархических уровней имеем разные шкалы времени. Чтобы перейти к количественным неравенствам между временами релаксаций, надо разные шкалы привести в соизмерение.

В рамках каждой иерархии в отдельности действует определенная шкала и состояния количественно предопределены. Передача жизненной энергии системе способствует средней продолжительности жизни, и мы приходим к "закону временных количественных иерархий" Г.П. Гладышева ([10]).

Сделаем некоторые выводы.

Существует структурная иерархия в пространственном развитии (онтогенезе) живых организмов.

Развитие живых организмов (онтогенез) имеет веерообразное направление в пространстве.

Биологическое развитие есть открытый - необратимый процесс.

На каждом иерархическом уровне можно выделить равновесные процессы.

Иерархическая связь осуществляется по системе матрешек - каждый иерархический уровень входит в другой как его составная часть и каждый подобен своей части.

Литература