Методика организации и проведения курса по выбору "тела вращения" в условиях профильной дифференциации обучения

№ п

/ п

Название темы

Вид занятия

Количе ство часов

Характеристика основных видов деятельности

учащихся

1

Вводное занятие. Интерфейс программы GeoGebra. Основы использования GeoGebra.

Вводная лекция

1

Овладевают навыками работы с инструментами интерактивной среды GeoGebra.

2

Цилиндр.

Лекция

№1, практическ

ое занятие

№1

2

Формулируют определения тел вращения, цилиндрической поверхности, цилиндра, их элементов.

Распознают цилиндрические поверхности и цилиндры на моделях и чертежах, указывают их элементы. Изображают цилиндры.

Изучают формулы площадей поверхностей и объема цилиндра, решают задачи на нахождение объема и площадей поверхностей. Изучают возможные варианты сечений фигуры.

Отрабатывают навыки использования компьютерной среды для поиска и иллюстрации решения задач.

3

Конус. Усеченный конус.

Лекция

№2,

2

Формулируют определения тел вращения, конической поверхности, конуса,

практическ ое занятие

№2

усеченного конуса, их элементов. Распознают конические поверхности, конусы и усеченные конусы на моделях и чертежах, указывают их элементы.

Изображают конусы и усеченные конусы. Изучают формулы площадей поверхностей и объемов конуса и усеченного конуса, решают задачи на нахождение объема и площадей поверхностей.

Отрабатывают навыки использования компьютерной среды для поиска и иллюстрации решения задач.

4

Сфера. Шар. Теоремы о касательных и секущих.

Лекция

№3, практическ

ое занятие

№3

2

Формулируют определения сферы и шара. Формулируют определение касательной прямой и касательной плоскости к сфере, их признаки.

Распознают сферу и шар на моделях и чертежах.

Изображают сферу и шар. Знакомятся с формулами площадей поверхностей и объемов, решают задачи на нахождение объемов и площадей поверхностей.

Изучают теоремы о касательных и секущих. Решают задачи на Отрабатывают навыки использования компьютерной среды для поиска и иллюстрации решения задач.

5

Части сферы, шара.

Лекция

№4, практическ

ое занятие

№4

2

Формулируют определения частей сферы

и шара. Распознают части сферы и шара на моделях и чертежах. Знакомятся с формулами площадей поверхностей и объемов частей сферы и шара, решают задачи на нахождение элементов, на нахождение объемов и площадей поверхностей. Отрабатывают навыки использования компьютерной среды для поиска и иллюстрации решения задач.

6

Взаимное расположение двух сфер.

Лекция

№5, практическ

ое занятие

№5

1

Изучают различные случаи взаимного расположения двух сфер. Решают задачи на нахождение радиусов вписанных и описанных шаров. Отрабатывают навыки использования компьютерной среды для поиска и иллюстрации решения задач.

7

Комбинации шара с цилиндром, конусом, усеченным конусом.

Лекция

№6, практическ

ое занятие

№6

2

Формулируют определения описанного и вписанного шара. Решают задачи на нахождение элементов многогранников и радиусов вписанных и описанных шаров. Отрабатывают навыки использования компьютерной среды для поиска и иллюстрации решения задач.

8

Комбинации цилиндра, конуса, усеченного конуса с многогранниками.

Лекция

№7, практическ

ое занятие

№7

2

Формулируют определения вписанного, описанного многогранника, касательных плоскостей к цилиндру и конусу.

Рассматривают случаи взаимного расположения. Решают задачи на нахождение элементов многогранников, радиусов, площадей поверхности и объемов вписанных и описанных фигур. Отрабатывают навыки использования компьютерной среды для поиска и иллюстрации решения задач.

9

Разбор и решение задач ЕГЭ.

Лекция

№8, практическ

ое занятие

№8

2

Овладевают навыками решения стандартных задач государственной итоговой аттестации в форме ЕГЭ с использованием компьютерной среды.

1

0

Итоговое занятие.

Контрольн ая работа

1

Отрабатывают приемы и навыки использования компьютерной среды для поиска и иллюстрации решения задач.

Обосновывают динамическую модель, отражающую условие задачи и ее решение.

Этап занятия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1.

Организационн ый этап (2 мин)

Здоровается. Сообщает число и записывает тему урока на доске - «Цилиндр».

Садятся, открывают тетради, записывают число и тему урока.

2. Подготовка к основному этапу (2 мин)

Формулирует цели курса:

На этом курсе мы приступим к более детальному рассмотрению одного из основных класса тел в курсе стереометрии - "Тела вращения" и приступим к повторению и обогащению материала относительно его главных представителей - цилиндра, конуса, усеченного конуса и шара.

Слушают.

3. Основной

Результаты археологических раскопок

Слушают, записывают

этап:

показывают, что многие предметы быта, такие,

в тетради основные

формирование

как кувшины из глины и копья, применялись

определения: тело

новых знаний,

людьми еще до нашей эры. В основе форм

вращения, поверхность

способов

большинства из этих предметов лежат тела

вращения,

деятельности и

вращения. В современном мире тела вращения

цилиндрическая

первичная

можно наблюдать вокруг нас: в технике на

поверхность, цилиндр,

проверка

производстве, в архитектуре, в быту, в

прямой, круговой,

понимания (26

изобразительном искусстве. Геометрические

сечения цилиндра

мин)

тела, построенные путем вращения, например

сопровождая их

конус, цилиндр или шар, можно наблюдать в

соответствующими

сочетаниях многих форм. Например, самый

рисунками с

обыкновенный гвоздь представляет собой

отмеченными на них

сочетание цилиндра, конуса, усеченного

элементами

конуса.

рассматриваемых

Кастрюли, бутылки, тарелки, вазы, ведра - с

фигур, выполняют в

давних времен люди использовали тела

тетрадях рисунки

вращения в быту. Однако одной из самых

рассматриваемых

широких сфер применения тел вращения стало

сечений и развертки

техническое производство. Множество

цилиндра. Записывают

станков, начиная с древнего гончарного круга

формулы боковой,

и заканчивая современными фрезерными

полной поверхностей и

аппаратами, создаются для получения тел

объема цилиндра.

вращения. Перед выполнением физической

модели какой-либо детали конструкторы

машин вычисляют ее вес при помощи

чертежей и расчетов. Например, поэтому так

важно уметь вычислять площади поверхностей

и другие физические свойства не только

отдельных геометрических тех, но и их

совокупности. В конечном итоге, тела

в), д), е).

Ученики, ответившие

правильно приступают

к заданию 2.

Задание 2 (для тех, кто ответил на задание 1 правильно): с помощью вращения каких фигур получились тела вращения, указанные на рис.

Вариант неправильного ответа: а), б), д), е).

1? Нарисовать фигуры-ответы в тетради.

Почему вы выбрали пункт б)?

Потому что на первый

взгляд фигура

воспринимается

Исходя из наглядных представлений, скажите,

круглой.

какая фигура получится в сечении тела

вращения плоскостью, перпендикулярной оси

вращения и пересекающей тело вращения? Где будет находиться ее центр?

Окружность.

На оси цилиндра.

Следовательно, какой ответ будет правильным?

Заменить пункт в) на б).

Разбивает учащихся на пары по принципу

«правильно-неправильно» ответил на задание

1. Выводит на экран проектора правильное решение задания 2 (слайд 3):

Обучающиеся разбиваются на пары. Ученики, сделавшие задание 2, сверяют свои

ответы с правильным

ответом на доске.

Те, кто правильно

выполнил задание 1,

приступают к

объяснению его

решения напарнику с

использованием

иллюстраций в тетради.

В противном случае

первый ученик ищет

ошибки в своем

решении, анализирует

их и затем объясняет

соседу по паре верное

решение.

Правильный ответ: а),

б), д), е).

Вариант неправильного

ответа: а), в), д), е).

Вероятно, ошибка была допущена из-за того,

что ученик не обратил внимания на слова

«тело ограничено двумя параллельными

плоскостями» в определении. Если это учесть,

Пункт в) надо заменить

как изменится ответ?

на б).

Слайд 6:

Далее рассматриваются только прямые

Правильный ответ: д), е).

круговые цилиндры, которые для краткости

будем называть просто цилиндрами.

Цилиндр может быть получен вращением

прямоугольника вокруг оси, проходящей через

его сторону. Следовательно, цилиндр - тело

вращения.

Задание 3: указать на слайде 5 прямые круговые цилиндры.

Вариант неправильного

Почему в ответе был выбран вариант б)?

ответа: б), д), е)

Потому что он похож

Какая фигура лежит в основании прямого кругового цилиндра?

на д) и е).

Круг. Значит, ответ б) неверный.

Вопрос 2: какую фигуру представляет собой сечение цилиндра плоскостью, параллельной его образующей?

Почему?

Правильный ответ: прямоугольник или отрезок.

Потому что

образующие цилиндра

параллельны его оси, а

осевое сечение есть

прямоугольник.

Вопрос 3: два цилиндра имеют две общих образующих. Какая фигура получится при пересечении их плоскостью,

Правильный ответ: два пересекающихся круга. Вариант неправильного

перпендикулярной к их осям?

Почему эти круги будут пересекаться, иметь общие точки?

Представим себе, что боковая поверхность цилиндра сделана из бумаги. Разрежем ее по образующей и «развернем» так, чтобы получилась плоская фигура. Получим развертку боковой поверхности цилиндра -

прямоугольник со сторонами 2??? и ?. Тогда,

площадь развертки - это площадь боковой

поверхности цилиндра. Чтобы найти площадь полной поверхности, необходимо к площади боковой поверхности прибавить удвоенную площадь основания. Объем цилиндра равен произведению площади основания на длину его высоты.

ответа: два круга.

Потому что если два данных цилиндра имеют две общих образующих, следовательно, в сечении должны быть фигуры, имеющие точки пересечения, следовательно, круги будут пересекающимися.

4. Закрепление

Вопросы:

Правильные ответы:

и применение

1. можно ли получить в сечении цилиндра: а)

1. а) да;

новых знаний и

окружность;

б) нет;

способов

б) треугольник;

в) да, при условии ? ?

деятельности.

в) квадрат?

?/2.

Контроль и

самоконтроль

2. Сколько существует плоскостей,

2. а) одна;

усвоения (10

рассекающих данный цилиндр: а) на два

б) бесконечное

мин)

равных цилиндра; б) на две равные фигуры?

множество.

Вариант неправильного

ответа: б) две.

Какими будут эти плоскости?

А любое другое осевое сечение как будет делить данный цилиндр?

Как изменится боковая поверхность цилиндра, если радиус его основания увеличим в 2 раза?

Что сделается с полной поверхностью цилиндра, если радиус основания и его высоту увеличим в 2 раза?

Как изменится объем цилиндра, если радиус его основания увеличим в 5 раз?

Сколько раз радиус как множитель участвует формуле объема цилиндра?

Что произойдет с объемом цилиндра, если радиус его основания и высоту увеличим в 5 раз?

Задает наводящий вопрос по аналогии с предыдущим наводящим вопросом.

Первая - проходящая перпендикулярно к оси через середину высоты, а вторая - проходящая через ось.

Тоже на две равные части. Значит, правильный ответ - бесконечное число плоскостей.

Увеличится в 2 раза.

Увеличится в 4 раза.

Увеличится в 25 раз. Неправильный ответ: увеличится в 5 раз.

Два, так как радиус в квадрате.

Следовательно, правильный ответ - увеличится в 5*5=25 раз.

Увеличится в 125 раз.

Неправильный ответ: увеличится в 25 раз.

Замечает и исправляет ошибку, приходя к правильному ответу.

5. Подведение

Сегодня мы с вами повторили и обогатили

Слушают.

итогов и

теоретический материал по теме "Цилиндр".

рефлексия (3

Рассмотрели элементы и типы сечений

мин)

цилиндра, научились распознавать на

изображениях, называть их элементы.

Познакомились с понятием развертки

цилиндра, что помогло нам доказать

справедливость формулы для нахождения

боковой поверхности цилиндра. Также мы

рассмотрели формулы полной поверхности и

объема цилиндра, которые нам пригодятся для

решения задач.

6. Домашнее

Задача 1: Высота ведра цилиндрической

Записывают домашнее

задание (2 мин)

формы равна 40 см, его диаметр - 40 см.

задание. Разбор

Можно ли сделать заготовку боковой части

домашнего задания

этого ведра из куска жести прямоугольной

происходит в начале

формы размером 62х38 см?

следующего занятия.

Указание: воспользоваться формулой боковой поверхности цилиндра.

Задача 2: По улице движется каток для укатывания грунта. Его диаметр - 1 м, ширина

- 1,5 м. Какая площадь за ним выравнивается за один его оборот?

Указание: воспользоваться формулой боковой поверхности цилиндра.

Задача 3: Боковую поверхность цилиндра склеивают из бумажного прямоугольника со сторонами a и b. Какие стороны надо склеить между собой, чтобы цилиндр с такой боковой поверхностью имел максимальный объем?

Указание: воспользоваться формулой объема цилиндра.

Повторение теории.

Этап занятия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1.

Организацио нный этап (2 мин)

Здоровается. Сообщает число и записывает тему урока на доске - «Цилиндр».

Садятся, открывают

тетради, записывают число и тему урока.

2. Проверка

Задача 1: Высота ведра цилиндрической

Решение :

домашнего

формы равна 40 см, его диаметр - 40 см.

площадь имеющегося

задания (10

Можно ли сделать заготовку боковой части

куска жести ? = 62Ч38 =

мин)

этого ведра из куска жести прямоугольной

2356, а площадь боковой

формы размером 62х38 см?

Указание: воспользоваться формулой

поверхности ведра ?б = 2???? = ???? =

боковой поверхности цилиндра.

??Ч20Ч40 ? 2512см2, что

больше чем количество

жести в наличие и ее не

хватит для изготовления

ведра. Ответ : нет.

Задача 2: По улице движется каток для укатывания грунта. Его диаметр - 1 м, ширина - 1,5 м. Какая площадь за ним выравнивается за один его оборот?

Указание: воспользоваться формулой боковой поверхности цилиндра.

Решение: Площадь,

выравниваемая катком за один его оборот - это площадь полной поверхности цилиндра, из которого состоит каток:

?б = 2???? = ???? =

??Ч1Ч1,5 ? 4, 71 м2

Задача 3: Боковую поверхность цилиндра склеивают из бумажного прямоугольника со сторонами a и b. Какие стороны надо склеить между собой, чтобы цилиндр с такой боковой поверхностью имел максимальный объем?

Указание: воспользоваться формулой объема цилиндра.

Ответ : Склеить надо

наименьшие стороны, т.к.

тогда большая сторона будет участвовать в формуле объема как множитель большее количество раз (два), в итоге полученный объем

цилиндра будет больше,

чем во втором случае.

3.

Формулирует цели занятия вместе с

Слушают и формулируют

Подготовка к

учениками:

цели вместе с учителем:

основному

На прошлой лекции мы повторили и

сегодня мы будем

этапу (3 мин)

закрепили теоретический материал об одном

заниматься применением

из основных представителей тел вращений -

изученного на прошлом

цилиндре. Как вы думаете, какова возможная

занятии материала для

цель нашего занятия сегодня?

решения задач по теме

"Цилиндр".

Правильно. Некоторые из них мы будем

решать с помощью компьютерной программы GeoGebra, которая позволит нам наглядно визуализировать результаты.

4. Основной

Задача 1: Найти геометрическое место точек

Ответ: а) Ось цилиндра;

этап:

цилиндра, равноудаленных от а)

б) Круг, лежащий в

формировани

образующих; б) оснований.

плоскости, параллельной

е и усвоение

основаниям и

новых знаний

проходящий через центр

и способов

симметрии цилиндра.

деятельности

Задача 2: Радиус основания цилиндра равен

Слушают, выполняют

(21 мин)

3 м, высота равна 8 м. Найти диагональ

построения в программе.

осевого сечения.

После выполнения

Построение (в GeoGebra):

построений ученики

Строим цилиндр с осью ??1.

На одном из его оснований отмечаем

имеют возможность вращать, поворачивать

произвольную точку А. Через точки А и О

полученное трехмерное

проводим прямую до ее пересечения с

изображение для

противоположной стороной окружности

получения более полных

основания, получаем точку В.

и всесторонних

3. Через точки А и В проводим прямые,

представлений о

параллельные ??1 до пересечения с другим

основанием цилиндра, получаем,

полученной фигуре, ее

свойствах и сечениях.

соответственно, точки D и C. Соединяя

последовательно точки A, B, C и D, получаем

осевое сечение цилиндра ABCD.

Аналогично строится любое осевое и не

осевое сечения, перпендикулярные плоскости

основания цилиндра.

Решение:

Какую фигуру представляет собой данное

Осевым сечением

сечение? Укажите ее данные.

цилиндра является

прямоугольник со

сторонами 2? = ?? = 6 и

? = ?? = 8

Как с помощью этих данных найти искомую

Искомую диагональ

диагональ?

можно найти из

прямоугольных

треугольников, на

которые она делит

сечение: ??2 = ??2 +

??2 = (3 + 3)2 + 82 =

36 + 64 = 100

?? = 10

Итоговая иллюстрация

(рис. 1):

Задача 3: Доказать, что сечение цилиндра, параллельное его оси - прямоугольник.

На доске (рис. 2):

Рис. 2

Задача 4: Цилиндр пересечен плоскостью, не пересекающей его основания и не перпендикулярной его образующей. Если развернуть боковую поверхность цилиндра вместе с линией пересечения на плоскость, какая кривая получится?

Решение: Возьмем прямоугольный лист бумаги и проведем через середины сторон

оси координат ?? и ?? параллельно его

сторонам. Свернем этот лист в прямой

круговой цилиндр, радиус основания

которого обозначим за 1. Ось O? свернется в окружность единичного радиуса, а ось ??

станет образующей цилиндра (рис. 3):

Через диаметр ?? полученной окружности проводим сечение, под углом 45° к плоскости

Рис. 1 Доказательство:

1.Пусть плоскость ??, параллельная оси ??1,

пересекает одно из его

оснований по отрезку ??. Построим плоскости

?1?2? и ?1?2?. Пусть

они пересекают плоскость

?? по прямым ? и ?

соответственно. Так как

(?1?2) ? ??, то b ? (?1?2)

и c ? (?1?2).

Следовательно, прямые

? и ? перпендикулярны

основанию цилиндра и,

значит, проходят через

его обазующие ??1 и

??1. Четырехугольник

???1?1- прямоугольник, так как (??) ? (?1?1), (??1) ? (??1) и (??) ?

(??1). Ч. т. д.

Слушают, выполняют

рисунки с доски в тетрадях, записывают решение, отвечают на вопросы:

окружности. Какая фигура получится в сечении?

На доске (рис. 4, 5):

с. 3

Рис. 4 Рис. 5

Развернем цилиндр обратно в прямоугольник. Опустим из произвольной

точки А на эллипсе перпендикуляры на

плоскость окружности и диаметр окружности

??. Получим точки В и С, соответственно. Каким будет треугольник ????

Следовательно, ?? = ??. ?? = ??????, где х - длина дуги ОВ. Таким образом, АВ = ??????,

т.е. это кривая является частью синусоиды

? = ??????.

Задача 5: На боковой поверхности цилиндра

взяты три очки так, что никакие две из них не лежат на одной образующей. Как найти точку пересечения плоскости, проходящей через 3 данные точки, с любой образующей цилиндра?

Так как сечение не

содержит ось цилиндра и

не параллельно

плоскостям его

оснований, то это будет

эллипс.

Треугольник ???

прямоугольный и

равнобедренный, так как

???? = 45°

Построение (в GeoGebra):

1. Проецируем три

данные точки ?, ?, С на

основание цилиндра, их

проекции - ?1, ?1, ?1;

cоединяем точки ?1 и ?1

хордой и точки ? и ?

отрезком прямой ??;

проводим из точки ?1

произвольную хорду ?1?1

так, чтобы она пересекала

хорду ?1?1 в какой-

нибудь точке ??1;

проводим ????1

параллельно образующей

цилиндра до пересечения

с ??. Искомая точка ?

лежит на пересечении

образующей ??1 с

прямой ??, проходящей

через точку ??.

Итоговая иллюстрация

(рис. 6):

Задача 6: Цилиндр с радиусом основания, равным 5 см, и высотой, равной 8 см, пересечен плоскостью параллельно оси так, что в сечении получился квадрат. Найти расстояние от сечения до оси.

Чем будет отличаться построение для данной задачи в GeoGebra от построения в задаче 1?

Почему построенное сечение будет искомым?

Что представляет собой расстояние от оси до данного сечения?

Какие элементы надо отметить на рисунке для нахождения расстояния?

Рассмотрим верхнее основание цилиндра. Что мы увидим?

Рис. 6 Построение (в GeoGebra):

Построим цилиндр, с заданными параметрами.

Построим его сечение

????: берем

произвольную точку ? на

одном из оснований, от

нее откладываем отрезок длины 8 так, чтобы его конец - точка B, лежала на том же основании; через полученные точки проводим прямые, параллельные оси

цилиндра ??1, до

пересечения с другим

основанием цилиндра, получим соответственно точки D и C; последовательно соединяя их, получим искомое

сечение ????.

Так как оно является

квадратом в силу

построения: ?? = ?? =

?? = ?? = 8

Перпендикуляр ??,

опущенный из точки на

оси на плоскость сечения.

Строим ??.

Построить радиусы

?? и ?? (проводим их).

Решение:

Равнобедренный треугольник ??? с высотой ??, две вершины

которого лежат на

Укажите его стороны.

Укажите способ нахождения искомого расстояния.

Задача 7*: ? площадь основания цилиндра, угол между образующей и диагональю

осевого сечения - ??. Найти площадь боковой

поверхности цилиндра.

На доске (рис. 8):

Рис. 8

Задача 8*: В цилиндрический сосуд с диаметром 8 см опущена деталь. Уровень жидкости поднялся на 12 см. Каков объем этой детали?

окружности, а третья совпадаеет с ее центром.

?? = ?? = ? = 5,

?? = 8

Из прямоугольных

треугольников с катетом 4 и гипотенузой 5, на которые делит

треугольник ??? высота

??. Тогда

?? = v??2 ? ??2

= v25 ? 16

= v9 = 3

Итоговая иллюстрация

(рис. 7):

Рис. 7

Решение: 1. Пусть ???? - осевое сечение цилиндра.

Обозначим: радиус

цилиндра - ?, высота - ?, тогда ?? = 2?, ?? = ?

2. Из треугольника ??? получим ?? = ? = 2????? ??

3. ?б = 2???? = 2??? •

2????? ?? = 4???2??????. По условию задачи ???2 =

? => ?б = 4???????

Решение: 1. Изначальный объем цилиндрического сосуда и жидкости в нем -

?? = 16???. Обозначим

объем искомой детали за

?. Тогда объем жидкости

с помещенной в нее

деталью будет 16??? +

? = 16??(? + 12). Решая

уравнение, получаем

правильный ответ: ? = 16?? • 12 = 192??

5.

Закрепление

и применение новых

знаний. Контроль и самоконтроль усвоения (5 мин)

Вопросы:

Чему равен угол между плоскостью основания цилиндра и плоскостью, проходящей через его образующую?

На основаниях цилиндра взяты две не параллельные друг другу хорды. Может ли кратчайшее расстояние между точками этих хорд быть: а) равным высоте цилиндра; б) больше высоты цилиндра; в) меньше высоты цилиндра?

Две цилиндрические детали покрываются слоем никеля одинаковой толщины. Высота второй детали в три раза меньше высоты первой, радиус основания первой детали в три раза меньше радиуса основания второй детали. На какую из деталей приходятся большие затраты никеля?

Правильные ответы:

1. 90°

а) да; б) да;

в) нет.

На вторую, ту, которая шире.

6.

Сегодня мы с вами занимались применением

Варианты ответов: 1.

Подведение

изученной теории к одному из основных

научился строить осевые

итогов и

представителей такого класса тел как тела

сечение цилиндра;

рефлексия (2

вращения - к цилиндру. Будьте добры,

2. научился строить не

мин)

каждый назовите новое умение, которым вы

только осевые, но и

овладели на этом занятии.

параллельные им сечения;

3. научился применять

формулу площади

боковой поверхности

цилиндра для ее расчета

из имеющихся данных;

Ученик 4: научился

применять формулу

объема цилиндра для его

вычисления.

5. Я научился строить

необходимые для

решения задачи по теме

цилиндра фигуры в

GeoGebra.

7. Домашнее задание (2 мин)

Раздает ученикам карточки с домашним заданием (рис. 9):

Рис. 9

Задача 1: Через образующую ??1 цилиндра проведены 2 секущие плоскости, одна из

которых является осевым сечением цилиндра. Найти отношение площадей сечения цилиндра данными плоскостями,

если уголь между ними равен ??.

Задача 2: Два цилиндра образованы

вращением одного и того же прямоугольника

вокруг каждой из его неравных сторон ? и ?. Найти отношение объемов полученных

цилиндров.

Задача 3: Уровень жидкости в цилиндрическом сосуде достигает 16 см. Если перелить жидкость в сосуд, диаметр которого в 2 раза больше первого, на какой высоте будет находиться уровень жидкости?

Записывают домашнее задание. Разбор

домашнего задания

происходит на следующем занятии.

Этап занятия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1.

Организационны й этап (2 мин)

Здоровается. Сообщает число и записывает тему урока на доске -

«Комбинации цилиндра, конуса, усеченного конуса с многогранниками».

Садятся, открывают

тетради, записывают число и тему урока.

2. Подготовка к

Формулирует цели занятия вместе с

Слушают и формулируют

основному этапу

учениками:

цели вместе с учителем:

(3 мин)

На прошлой лекции мы изучили

теоретический материал по теме

"Комбинации цилиндра, конуса,

усеченного конуса с многогранниками".

Сегодня мы будем

Как вы думаете, какова возможная цель

заниматься применением

нашего занятия сегодня?

изученного на прошлом

занятии материала для

решения по данной теме.

Правильно. Большую часть из них мы

будем решать с помощью математической

программы GeoGebra, которая позволит

нам наглядно визуализировать результаты.

3. Основной этап:

Вопрос: В какую треугольную пирамиду

Ответ: Вписать конус

формирование

можно вписать прямой круговой конус?

можно в такую пирамиду,

новых знаний и

Около какой треугольной пирамиды

у которой высота

способов

можно описать конус?

проходит через центр

деятельности (30

окружности, вписанной в

мин)

основание пирамиды.

Описать можно около

такой пирамиды, у

которой высота проходит

К задачам 1-3, 5, 6 необходимо

через центр окружности,

описанной около

основания пирамиды.

построить и предъявить иллюстрации в

GeoGebra.

Задача 1: В цилиндр вписан куб с ребром

Построение в GeoGebra:

a. Найдите площадь осевого сечения

1. Построим куб

цилиндра.

?????1?1?1?1.

2. Через 3 точки его

основания проведем

окружность основания

цилиндра.

3. "Выдавливаем"

цилиндр с высотой,

равной стороне куба так,

что верхняя грань куба

лежит в плоскости

верхнего основания

Почему полученный цилиндр будет описанным около куба?

цилиндра.

Потому что основания куба вписаны в основания

цилиндра.

4. Проводим диагонали

?? и ?1?1 верхней и

нижней граней куба,

получаем осевое сечение

Почему данное сечение будет осевым?

конуса ???1?1.

Потому что оно будет

проходить через ось

цилиндра ??1.

Решение:

1. В кубе ?????1?1?1?1

AB = ? => ?? = ?v2 -

диаметр цилиндра.

2. Высота цилиндра ? =

A?1 = ?. Тогда ?ос.сеч.ц. =

?? = ?2v2

Итоговая иллюстрация

Задача 2: Около цилиндра с радиусом

Построение в GeoGebra:

основания и высотой, равными 1, описан прямоугольный параллелепипед. Найти объем параллелепипеда.

Построим цилиндр с заданными параметрами.

Построим два взаимно перпендикулярных

диаметра на одном из

оснований. Через точки

пересечения с основанием

проводим 4 образующих

цилиндра, отмечаем точки

пересечения с другим

Как расположена каждая боковая грань параллелепипеда относительно цилиндра?

основанием.

Каждая боковая грань будет лежать в

касательной плоскости к

цилиндру, проходящую

через соответствующую

ей образующую.

3. Для четырех данных

образующих: через

каждое пересечение

образующей с

основаниями цилиндра

проводим прямые,

параллельные диаметру,

не имеющему с ними

общих точек.

4. Восемь точек

пересечения полученных

прямых - вершины

искомого

параллелепипеда,

Почему построенный параллелепипед будет искомым?

соединяем их.

Потому что основания цилиндра будут вписаны в

верхнюю и нижнюю

грани параллелепипеда по

построению.

Какая фигура лежит в основании

В общем случае -

параллелепипеда в данном случае?

прямоугольник. Так как в

него вписана окружность,

в данном случае это будет

квадрат.

Решение:

1. Высота

параллелепипеда равна

высоте цилиндра ?ц. =

?п. = 1

2. В основании

параллелепипеда лежит

квадрат, так как в него

Задача 3: Прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 лежит в основании прямой призмы, боковые ребра равны 4. Найти

вписана окружность

основания цилиндра.

Следовательно, стороны

параллелепипеда равны

? = ? = 2? = 2.

3. ??п. = ??? = 2 • 2 • 1 = 4

Итоговая иллюстрация

(рис. 11):

Построение в GeoGebra:

1. Построим

прямоугольный

объем описанного около этой призмы

треугольник с заданными

цилиндра.

сторонами и прямым

углом ?.

2. Через его вершины

проводим окружность по

Чем будет являться гипотенуза данного треугольника для данной окружности?

трем точкам.

Гипотенуза будет лежать на диаметре окружности,

так как на нее опирается

прямой угол

треугольника.

3. "Выдавливаем" из

окружности и

треугольника

соответственно цилиндр и

призму высоты 4.

Почему полученная призма будет вписана

Потому что ее основания

в данный цилиндр?

вписаны в основания цилиндра по построению.

Решение:

1. ?? = v??2 + ??2 =

v62 + 82 = v100 = 10 -

гипотенуза основания

призмы.

2. Так как основание

призмы вписано в

основание цилиндра,

гипотенуза треугольника

??? является диаметром

окружности основания

цилиндра. Следовательно,

Фронтальная работа (рис. 13):

Рис. 13

Как найти ??1 и ???

Как найти радиусы вписанного и описанного цилиндров?

Чему будет равно отношение объемов описанного и вписанного цилиндров?

Задача 4: Правильная n-угольная призма вписана в цилиндр. Найти отношение

? = 5.

3. ?ц. = ?п. = 4, ??ц. =

???2? = 100??

Итоговая иллюстрация

(рис. 12):

Рис. 12

Записывают условия задачи, решают ее в тетрадях, сверяют полученное решение с решением, приведенным на слайде, отвечают на вопросы:

Из треугольника ???1:

??1 = ??1 • sin 60° = 4v3.

?? = ??1 • cos 60° =4.

В треугольнике ???

?? = ??? = ?? = 2 = ? -

2

радиус описанного

цилиндра, высота ??? =

v3 = ? - радиус

вписанного цилиндра.

??впис.ц. = ???2? = 12v3??.

??опис.ц. = ???2? = 16v3??.

??опис.ц. 16 v3?? 4

= =

??впис.ц. 12v3?? 3

Слушают, выполняют

рисунки с доски в тетрадях, записывают

объемов цилиндра и призмы. На доске (рис. 14):

Рис. 14 Решение:

Введем необходимые обозначения:

? = ??1, ? = ??, ? ? периметр,

? ? площадь основания призмы.

В треугольнике ????:

180° 180°

????? = , ??? = ? • cos ,

?? ??

180°

??? = ? • sin

??

Следовательно, чему будет равно ???

Тогда чему будет равен периметр

основания призмы?

А площадь основания призмы?

Получаем:

?? 1 2 360°

???? ?•sin

призмы = 2 ?? = ?? • sin 360° .

??цилиндра ????2? 2?? ??

Задача 5: Осевое сечение конуса - равносторонний треугольник. В конус вписана треугольная пирамида, основанием которой служит прямоугольный треугольник с катетами 12 см и 16 см. Найти высоту пирамиды.

решение, отвечают на вопросы:

180 °

?? = 2? • sin

??

180°

? = 2??? sin

??

1

? = ? • ???

2

1 360°

= ???2 sin

2 ??

Построение в GeoGebra:

Построим

прямоугольный

треугольник ??? с заданными сторонами b и

прямым углом ?.

Построим окружность

через вершины треугольника. Гипотенуза треугольника будет лежать на диаметре окружности.

"Выдавливаем" конус и пирамиду с вершиной D из окружности. Образующие конуса

Почему эти стороны равны?

равны длине гипотенузы

треугольника ???. Решение:

1. В треугольнике ???:

?? = v??2 + ??2

= v122 + 162 = v400

= 20

2. ?? = ?? = ?? = 20

Потому что осевое

сечение цилиндра - равносторонний

треугольник ???.

Из треугольника ???:

?? = ?? • sin 60° = 10v3

Итоговая иллюстрация

(рис. 15):

Рис. 15 Построение в GeoGebra:

Построим окружность с заданным радиусом.

Проведем два взаимно перпендикулярных

диаметра ?? и ??.

Соединим отрезки

??, ??, ??, ??, получим квадрат ????.

Потому что искомая

пирамида - правильная и четырехугольная.

"Выдавим" из

окружности и

полученного квадрата соответственно конус и пирамиду высоты 4.

Потому что они находятся на одинаковой высоте и проецируются в одну точку - центр окружности и точку пересечения диагоналей квадрата.

Как найти искомую высоту конуса?

Задача 6*: Радиус основания равен 3,

высота конуса равна 4. Вычислить

площадь полной поверхности правильной

четырехугольной пирамиды, вписанной в

этот конус.

Почему в основании пирамиды будет

квадрат?

Почему вершины конуса и пирамиды

совпадут?

4. Проведем высоту ??, соединим точки ? и ?.

Решение:

Пусть ? - точка пересечения диагоналей

пирамиды и центр

основания конуса, ? - вершина конуса и

пирамиды. Тогда из

треугольника ??? найдем сторону основания

пирамиды и высоту треугольника:

?? = v??2 + ??2 =

v32 + 32 = v18 = 3v2,

тогда ?? = ?? = 3v 2

2 2

Из треугольника ???

получаем: ?? =

v??2 + ??2 =

v42 + (3v 2 = v 82

)2

2 2

3. Тогда ? = 1 ?? •

бок.грани 2

?? = 3v 41

2

Следовательно, ?бок.пир. = 4?бок.грани = 6v41 и

?полн.пов.пир. = ?бок.пир. +

?осн.пир. = 6v41 + (3v2)2 = 6(v41 + 3).

Итоговая иллюстрация

(рис. 16):

Рис. 16

4. Закрепление и

Фронтальный опрос:

Ответ:

применение новых знаний и способов

1. Какая призма называется а) вписанной в цилиндр;

1. а) Призма называется вписанной в цилиндр, если ее основания

деятельности.

вписаны в основания

Контроль и самоконтроль

б) описанной около цилиндра?

цилиндра.

б) Призма называется

усвоения (5 мин)

2. Какая усеченная пирамида называется а) вписанной в усеченный конус;

описанной около

цилиндра, если ее

основания описаны около

оснований цилиндра.

2. а) Усеченная пирамида называется вписанной в усеченный конус, если ее

основания вписаны в

основания усеченного

конуса.

б) описанной около усеченного конуса?

б) Усеченная пирамида называется описанной

около усеченного конуса,

если ее основания

описаны около оснований

усеченного конуса.

5. Подведение

Сегодня на занятии мы рассмотрели

Слушают.

итогов и

различные случаи взаимного

рефлексия (3

расположения цилиндра, конуса и

мин)

многогранников и научились решать

задачи по данной теме для нахождения

площадей поверхностей и объемов

вписанных и описанных фигур, их

элементов.

6. Домашнее

Задача 1:

Записывают домашнее

задание (2 мин)

Диагональ правильной четырехугольной

задание. Разбор

призмы длины 4, наклонена к плоскости

домашнего задания

основания под углом 45. Найти площадь

происходит в начале

боковой поверхности цилиндра,

следующего занятия.

вписанного в эту призму.

Задача 2:

Вписать равносторонний цилиндр в куб со

стороной a так, чтобы диагональ куба

содержала ось цилиндра, а окружности

оснований цилиндра касались граней куба.

Найти объем цилиндра.

Задача 3: В конус высоты h и с радиусом

основания r вписать цилиндр, у которого

площадь боковой поверхности будет

наибольшая. Найти ее.

Задача 4: Радиус основания конуса

равен 5, высота конуса равна 7. Найти

отношение объемов конуса и правильной

четырехугольной пирамиды, вписанной в

этот конус.

№ вопроса

I

II

III

Ответы

1.

23%

15%

21%

2.

42%

39%

31%

3.

35%

46%

14%

4.

-

-

11%

5.

-

-

23%

Оценка

5

4

3

2

Класс

11 «б»

21%

54%

19%

6%