Изучение линий второго порядка в школе

Программа позволяет:

ь строить разнообразные графики на плоскости, а также проводить исследование функций;

ь одновременно на чертеже изобразить до 100 геометрических объектов (это могут быть графики функций, заданных явно или неявно в декартовых координатах, параметрически, в полярных координатах, а также заштрихованные области, лежащие между двумя графиками функций).

ь в начале работы выбрать готовый шаблон с системой координат или создать новый;

ь изменить систему координат и ее настройки в любой момент работы с данным чертежом;

ь фиксировать построенные объекты в списке функций в левой части окна программы;

ь скрывать отдельные функции на плоскости чертежа, отмеченные «галочкой» (это удобно для объяснения учебного материала).

· Программа «MyTest» - программа тестирования учащихся, редактор тестов для создания и проведения компьютерного тестирования, сбора и анализа результатов, выставления оценки по указанной в тесте шкале.

Программа дает возможность:

ь создавать тесты для промежуточного и итогового контроля знаний по линиям второго порядка;

ь сохранить параметры тестирования, задания и рисунки в одном файле текста;

ь для различных заданий выставить разное время для выполнения;

ь быстро и относительно точно оценить большое количество испытуемых.

Обобщим возможности использования ЭСО в изучении линий второго порядка в таблицу (Таблица № 3).

Таблица № 3

Линии 2^го порядка в ЦОР

№ п/п.	Дидактические единицы	Математический пакет «MathCAD»	Программа «Maple»	Программа «Живая геометрия»	Программа «Advanced Grapher»
1.	Определение	-	-	+	-
2.	Вывод уравнения	-	-	-	-
3.	Исследование свойств по уравнению	+	-	+	+
4.	Изображение линий	+	+	+	+

Вывод: Проанализировав имеющиеся компьютерные программы по математике, позволяющие строить линии второго порядка, заключаем, что данные программы не дают возможность реализовать все дидактические единицы темы «Линии второго порядка в элементарной математике». Рассматривая таблицу, видим, что главной функцией программ является построение графиков, их визуализация и исследование свойств линии по ее уравнению. Программы «MathCAD», «Maple» и «Живая геометрия», интересны тем, что они позволяют исследовать линии, при изменении параметров в их уравнениях. Прогоамма «Advanced Grapher» позволяет не только исследовать линии, но и фиксировать построения в списке функций, а также скрывать отдельные функции на плоскости черчежа.

Программа «MyTest» не дает возможности ни строить,ни исследовать линии второго порядка. Основной функцией «MyTest» является создание тестов для усвоения и закрепления изученного материала.

2.2 Особенности использования ЦОР в изучении линий второго порядка на уроках алгебры

Для того чтобы соответствовать требованиям современного информационного общества школа должна подготовить выпускников, которые являются не только хорошими специалистами в своей области, но и владеют одной из ключевых компетенций - умением применять информационно-коммуникационные технологии. Использование ИКТ в обучении способствует активизации образовательного процесса, развитию познавательного интереса и, как следствие, повышению качества знаний, что приводит к достижению учащимися максимальных результатов в различных областях.

Рассмотрим особенности использования описанных в работе ЦОР на уроках алгебры 7-9 классов. При проведении уроков математики с компьютерным сопровождением лучше использовать электронную версию уроков «Кирилла и Мефодия», разработки компании «Физикон», !Открытая математика. Планиметрия» (7- 9 кл.), «Открытая математика. Графики и функции» (7- 9 кл.), «Интерактивная математика» (5- 9 кл.) издательства «Дрофа», «Алгебра не для отличников» и другие. Они содержат материалы по многим темам программы, по истории математики, видеосюжеты, а иногда сопровождается и звуковым объяснением материала.

В настоящее время существует множество программ, позволяющих рисовать графики функций, выполнять построения, проводить доказательства, проводить исследования и т.д. Они позволяют давать иллюстрацию важнейших понятий, причем сделать это наглядно и быстро, что повышает и активизирует познавательную активность учащихся. Появляется возможность оптимально сочетать практические и аналитические виды деятельности в соответствии с индивидуальными особенностями каждого ученика. К таким программам относятся: «Живая геометрия», «Mathcad», «Maple». Одной из таких программ является ADVANCED GRAPHER. Эта программа давно известна. Использовать ее можно практически на всех уроках при изучении графиков функций. Особенно эффективно применение программы при изучении следующих разделов математики:

• взаимное расположение графиков линейных функций (7 класс);

• графический способ решения системы линейных уравнений (7 класс);

• графический способ решения уравнений (8 класс);

• построение графика квадратичной функции (9 класс);

• графический способ решения систем уравнений (9 класс);

ADVANCED GRAPHER можно использовать и на внеклассных занятиях, так как программа позволяет строить кривые, заданные параметрическими уравнениями или уравнениями в полярных координатах, изображать на плоскости области, являющиеся решением неравенств.

Проектная деятельность на основе ИКТ позволяет разнообразить учебную деятельность. При этом повышается мотивация учащихся к самостоятельному изучению математики.

Плюсы и минусы при использовании ИКТ на уроках

Положительные стороны использования ИКТ:

Конечно же, использование компьютера в учебном процессе способствует:

· развитию познавательного интереса;

· активизирует речемыслительную деятельность;

· позволяет в увлекательной творческой форме продуктивно решать все задачи урока;

· индивидуализация обучения, позволяющая ученику развиваться в соответствии с его способностями и особенностями.

Компьютер в школе, особенно в кабинете математики - это не просто атрибут современного урока, это, прежде всего, возможность повышения мотивации к изучению математики, повышения качества обучения и развития творческих способностей учащихся. Создавая презентации, весь материал " как на ладони", наглядность, доступность и т.д. Большая экономия времени на уроке при использовании ИКТ, в этом я убедилась на практике.

Можно создавать тренажёры и использовать их на уроках в целях закрепления или итогового контроля, появляется интерес к изучаемому.

Отрицательные стороны использования ИКТ:

Использование ИКТ на уроке должно быть методически правильным (безусловно, с соблюдением санитарно-гигиенических требований), разумным и целесообразным. Есть определенные требования к уроку. Про сбережение здоровья забывать не имеем права. Нельзя весь урок работать у компьютера. Дети перестают говорить и рассуждать. Все должно быть в меру. От мастерства учителя зависит, сможет ли он найти эту меру и не навредить.

Даже самая умная машина не сможет заменить живое общение учителя и ученика, яркого, грамотного, эмоционального слова учителя.

Сегодня современные информационные технологии становятся важнейшим инструментом модернизации школы в целом - от управления до воспитания и обеспечения доступности образования. Учитель решает, исходя из индивидуальных особенностей ученика, какого характера программы более целесообразно использовать на том или ином этапе обучения. Осуществляя личностно-ориентированное обучение с использованием компьютера и новых информационных технологий, надо помнить о том, что необходимо обеспечить ученику возможность реализации личностных устремлений, индивидуальности, инициативы и самостоятельности. А учителю важно получать достаточно полную и объективную информацию о процессах личностного становления ученика, всячески содействуя этому процессу.



Заключение

В работе отражено историческое развитие теории линий второго порядка. Систематизированный материал по каждой линии второго порядка был раскрыт и разбит по дидактическим единицам: определение, вывод уравнения, исследование свойств, изображение линий. Для обобщения работы по теории линий второго порядка в элементарной математике и для удобства использования информации о линиях при решении задач, все данные о линиях второго порядка были занесены в таблицу (Таблица №1). Во второй части первой главы описано изучение и анализ комплектов учебников по алгебре таких авторов, как Г. В. Дорофеева, Ш. Ф. Алимова, А. Г. Мордковича по теме «Линии второго порядка». Содержание данной темы в школьных учебниках отображено в таблице № 2.

Внедрение компьютерных технологий в процесс обучения, которые становятся неотъемлемой частью целостного образовательного процесса, значительно повышают его эффективность. Учитывая развитие новых технологий, встал вопрос: «Возможно ли изучение линий второго порядка в школьном курсе алгебры, при помощи использования ИКТ?». Рассматривая этот вопрос, большое внимание уделялось рассмотрению компьютерных программ. Исследуя геометрические программы, как: «MathCAD», «Maple», «Живая геометрия», «Advanced Grapher» результат показал, что данные программы дают возможность изучения отдельных дидактических единиц линий второго порядка (Таблица №3). Они позволяют активно работать, оперируя их возможностями. Во время работы предоставляется возможность изучения закономерностей изменения линий за счет изменения параметров.

Во второй главе выпускной квалификационной работы раскрыто практическое применение ИКТ при изучении линий второго порядка учащимися: систематизированы ЦОР, содержащии линии второго порядка; рассмотрены особенности использования ЦОР в изучении линий второго порядка на уроках алгебры; разработаны и реализованы на практике фрагменты уроков по алгебре на тему «Линии второго порядка».

Целью данной работы являлось: установить возможности использования ИКТ в изучении линий второго порядка в школьном курсе алгебры.

Основные задачи работы:

1. Проанализировать и систематизировать содержание линий второго порядка в элементарной математике;

2. Проанализировать содержание и возможности использования для изучения линий второго порядка имеющиеся ЦОР по математике;

3. Проанализировать содержание темы «Линии 2го порядка» в школьных учебниках;

4. Рассмотреть примеры использования ИКТ в решении задач с линиями второго порядка

В ходе выполнения работы достигнута цель и частично решены поставленные задачи:

1) проанализировано и систематизировано содержание линий второго порядка в элементарной математике;

2) проанализировано содержание и возможности использования для изучения линий второго порядка трех ЦОР по математике;

3) рассмотрены примеры использования ЦОР в решении задач с линиями второго порядка.



Литература

1. Алгебра. 7 класс: Учеб. для общеобразовательных учеб. заведений / К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В. Дорофеев. М.: Дрофа, 1999.

2. Алгебра. 7 класс: В двух частях. Ч. 1: Учебник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2000.

3. Алгебра. 8 класс: Учеб. для общеобразовательных учеб. заведений / К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В. Дорофеев. М.: Дрофа, 2001.

4. Алгебра. 9 класс: Учеб. для общеобразовательных учеб. заведений / К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В. Дорофеев. М.: Дрофа, 1999.

5. Алгебра. 9 класс: В двух частях. Ч. 1: Учебник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2000.

6. Алгебра. 8 класс: В двух частях. Ч. 1: Учебник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2000.

7. Алгебра. Учеб. для 7 класса средней школы /Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. М.: Просвещение, 2000.

8. Алгебра. Учеб. для 8 класса средней школы /Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. М.: Просвещение, 2001.

9. Алгебра. Учеб. для 9 класса средней школы /Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. М.: Просвещение, 2001.

10. Анищенко А.С. Лекции по геометрии. Ч.1. Красноярск: РИО КГПУ, 2004. 144 с.

11. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: учебник для студ. Вузов. / Д.В. Беклемишев. М.: Физматлит, 2002. 374 с.

12. Глушакова Т.Н., Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Воронеж, 2008 г. 47 с.

13. Гусак А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Мн.: Тетрасистемс, 1998. 143 с.

14. Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике для ВТУЗов (4 части). М.: Наука, 1993. 98 с.

15. Ильин В. А., Позняк Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1974. 218 с.

16. Калиновский Ю. Л. Пособие для выполнения курсовых работ по линейной алгебре и аналитической геометрии, 2005. 32 с.

17. Клетеник Д.И. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, 1980. 198 с.

18. Математический энциклопедический словарь./ Гл. ред. Ю.В. Прохоров; Ред. кол.: С.И. Адян, Н.С. Бахвалов, В.И. Битюцков, А.П. Ершов, Л.Д. Кудрявцев, А.Л. Онищик, А.П. Юшкевич. М.: Сов. энциклопедия, 1988. 847 с.

19. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике./ А.Д. Мышкис. М.: Наука, 1969. 640 с.

20. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-11 кл. общеобразоват. Учреждений. 9-е изд. М.: Просвещение,1999. 383 с.

21. Овсеец М. И., Светлая Е. М. Сборник задач по высшей математике. Учебное издание. Мн.: ЧИУиП, 2006. 67 с.

22. Савелов А.А. Плоские кривые. М.: ГИФ-МЛ, 1960.

23. Савотченко С. Е., Кузьмичева Т.Г. Методы решения математических задач в Maple. Учебное пособие. Белгород, 2001. 58 с.

24. Дубровский В. Н., Поздняков С. Н. Динамическая геометрия в школе. Стереометрия в двух мерных средах. Учебное пособие. 2008. 76 с.

25. http://www.km.ru - КМ - школа, образование.

26. http://www.km-school.ru/- школа «Кирилл и Мефодий».



Приложение 1

Анализ содержания темы «Линии 2^го порядка» в школьных учебниках по алгебре А. Г. Мордковича

Изучение функции начинается в 7 классе с § 37, где переход от линейной функции к квадратичной осуществляется на примере. (пусть x - сторона квадрата, y - его площадь, то ). Затем независимой переменной x дают конкретные значения, чтобы рассчитать значения y и вводится таблица вида:

x	0	1	2	3
y	0	1	4	9

Вводится понятие таблица значений, а затем полученные координаты строятся в прямоугольной системе координат. И сразу же говорится, что построенная линия называется параболой. Далее перечисляются геометрические свойства параболы:

1. симметричность относительно оси OY;

2. дается определение ветвей параболы;

3. вершина и её координаты;

4. наибольшее и наименьшее функции;

5. Убывание, возрастание;

6. Фокус параболы.

Построение функции и , сравнивание, и анализ графика.

Весь материал представлен параллельно с примерами и изображенными графиками функций.

Функция рассматривается в 8 классе в 3-ей главе § 17. И здесь говориться о том, что функция аналогична функции при a=1. Затем рассматриваются функции, и , составляется таблица значений, строятся графики (наглядность построения) и сравниваются. Затем идет пояснение, что каждая линия- парабола, а осьy -ось симметрии. Далее рассматривается случай при a=-1, выполняется построение графика, и делается вывод о направлении ветвей параболы. После чего дается определение функции . Отдельным пунктом автор выделяет свойства при a>0:

1. Область определения функции (-?;+?);

2. y=0 при x=0;y>0 при x?0;

3. Непрерывна;

4. y_наим=0 при x=0, y_наиб - не существует;

5. возрастает при x?0 и убывает при x?0;

6. ограничена снизу, не ограничена сверху;

7. Область значений функции - луч [0;+?);

8. Функция выпукла вниз.

И при a<0 с непосредственной опорой на геометрическую модель-параболу.

После теоретической части идут непосредственно, задания на усвоение:

1) Найти наиб. И наим. Значения функции на отрезках: [0;2], [-2;-1], [-1;1,5].

2) Решить уравнение и другие.

Задания на закрепление, охватывают всю теоретическую часть и представлены в большом количестве. Здесь приведены задания на построение функции как в явной форме, так и построение линии по заданным значениям, свойствам. Также имеются задания на исследование уже построенных функций по рисункам.

В 8 классе с § 37 изучается функция и её свойства. Изучение начинается с рассмотрения многочлена , где a,b,c-числа, причем a?0. И поясняется, что это квадратичный трехчлен. Затем рассматривается функция и дается ее определение. При этом рассматривается несколько функций: и делается обобщение, что эти функции являются квадратичными. Автор предлагает рассмотреть квадратный трехчлен и путем преобразований привести его к виду , где . Затем вводится формула и поясняется, что это формула для вычисления вершины параболы.

При этом дается задание: Не выполняя построения графика функции , ответить на следующие вопросы:

1. Какая прямая служит осью параболы?

2. Каковы координаты вершины параболы?

3. Куда направлены ветви параболы?

После построения графика данной функции вводится алгоритм построения параболы .

Практическая часть содержит большой объем заданий: легких, средней сложности и повышенной сложности.

В 8 классе в § 18 Мордкович предлогает познакомимся с функцией , где коэффициент k может принимать любые значения, кроме k=0. И предлагается рассмотреть функцию при k=1, составляется таблица значений при x>0, и строится график функции , а затем при x<0. Дальше говориться, что этот график функции называется гиперболой. По чертежу перечисляются основные свойства:

1) Гипербола симметрична относительно центра;

2) Имеет две асимптоты: ось x и ось y;

3) Имеет оси симметрии: y=x и y=-x.

Затем дается пример: Найти наименьшее и наибольшее значение функции : на отрезке [1/2;4], на полуинтервале [-8;-1] и подробно расписывается ход действий.

Далее вводится определение графика функции .

И поясняется, что две величины x и y обратно пропорциональны, если они связаны отношением xy=k (где k - число, отличное от нуля)

Дальше автор по отдельности выделяет свойства функции при k>0 и при k<0. Для усвоения изученного материала предлагается решить уравнение .

Практическая часть для закрепления и усвоения данного материала содержит большое количество заданий трех уровней сложности. При этом это задачи как на построение графика функции, так и на исследование его свойств по строящимся чертежам, так и по готовым рисункам.

Анализ содержания темы «Линии 2^го порядка» в школьных учебниках по алгебре автора Ш. Ф. Алимова.

В 8 классе в §35на примере тела, брошенного вверх со скоростью v, выводится формула , и дается определение квадратичной функции.

Начиная с §36, рассматривается функция при a=1,b=c=0. Составляется таблица значений, строятся точки, кривую называют параболой. Сразу рассматриваются её свойства:

1. Проходит через начало координат

2. Симметричность относительно OY.

3. Вершина параболы

4. Убывание и возрастание на промежутках.

5. Фокус параболы (с ссылкой на рисунок)

В конце параграфа представлена система заданий на усвоение и закрепление материала.

Такие задания, как:

1. Построить график функции , найти значение y при и т.д.;

2. При каких x значения функции больше 9, меньше 16?

3. Найти координаты точек пересечения и прямой

Функция рассматривается в 8 классе в § 37. Изучение сразу начинается с построения графика функции и с помощью таблицы значений. Сравнивая графики, делается вывод о том, что каждую точку графика функции можно получить из точки графика функции с той же абсциссой увеличением её ординаты в 2 раза. Далее дается определение функции и перечисляются свойства при a?0:

1. Если a>0, то функция принимает положительные значения, если a<0-отрицательные. И если значение функции равно 0, значит x=0.

2. Парабола симметрична относительно оси ординат

3. Если a>0, то функция возрастает при x?0 и убывает при x?0;если a<0, то функция убывает при x?0 и возрастает при x?0.

Затем задается задача:

На одной координатной плоскости построить графики функций и . С помощью этих графиков решить неравенство .

Упражнения представлены в конце параграфа и содержат как легкие, так и повышенной сложности задания.

Изучение графика функции начинается с §38, где сразу дается задание:

Построить график функции и сравнить его с графиком функции . После проведенных рассуждений делается заключение, что графиком функции является парабола, полученная сдвигом параболы вдоль координатных осей. И перечисляются свойства:

1. Вершина параболы , где ;

2. Ось симметрии параболы параллельна оси ординат и проходит через вершину параболы;

3. Направление ветвей параболы, если a>0- вверх, если a<0-вниз.

Практическая часть разделена на уровни по сложности, каждый из уровней имеет по 6 заданий. Некоторые из них:

1) Найти координаты вершины параболы .

2) Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат: .

3) Записать уравнение параболы, пересекающей ось абсцисс в точках x=-1 и x=3, а ось ординат в точке y=2.

Функция изучается в 9 классе, начиная с §15. Изучение начинается с задания: Построить график функции . И по графику начинается изучение свойств:

1) Область определения

(-?;0)?(0;+?);

2) нечетная, так как при .

3) убывает на промежутке x>0;

4) При x>0 функция принимает положительные значения;

Затем говорится, что график функции называется гиперболой, а две части, из которых она состоит, называются ветвями гиперболы.

Сразу дается на рассмотрение задача 2: Построить график функции при k=2 и k=-2.

Исследуя две функции поясняется, что функции симметричны относительно оси абсцисс.

Функция соотносится с функцией и говорится, что обладает теми же свойствами, что и .

при k>0 выражает обратную пропорциональную зависимость между x и y. И приводится пример из физики. Далее следует практическая часть, состоящая по сложности из уровней. Каждый из уровней содержат по четыре задачи на закрепление.

Анализ содержания темы «Линии 2^го порядка» в школьных учебниках по алгебре под редакцией Г. В. Дорофеева.

Функция изучается с §22 по §23. В §22 на рассмотрение выносится две задачи:

1. За t секунд велосипедист проезжает 600 км. Какова его скорость?

2. Площадь прямоугольника с основанием ф (м) равна 40 м². Какую высоту имеет этот прямоугольник?

В первой задаче, если скорость обозначить за v, тогда . А во второй задаче, если обозначить высоту за h, получим: . Обобщая эти задачи, говорится, что функции в каждой из них получаются делением некоторого отличного от нуля числа на соответствующее значение аргумента. Обозначив число буквой k, а аргумент и функцию соответственно x и y получаем общий вид формул: , где k- число, отличное от нуля. После чего рассматривается пропорция , говорится, что частное двух значений переменной x обратно частному соответствующих им значений переменной y. И такие переменные называют обратно пропорциональными. К данному параграфу прилагаются практические задания по уровню сложности на составление пропорции, на нахождение одного из компонентов формулы . В §23 рассматривается график функции при k=12. Составляется таблица значений для положительными абсциссами, а затем с отрицательными и выполняется построение. Анализируя построенные графики функции, выделяются следующие свойства:

1) Графики не имеют общих точек пересечения с осями координат;

2) Ветви графика функции расположены симметрично относительно начала координат: если k>0, то ветви расположены в I и III координатных четвертях; а если k<0, то во II и IV координатных четвертях.

После выделенных свойств, говорится, что кривые вида называются гиперболами.

На этом теоретическая часть заканчивается, и начинается практическая часть, состоящая из двух уровней сложности, по количеству заданий и их характеру для изучаемой темы возможно достаточно хорошо усвоить и закрепить материал, так как все задания различны.



Приложение 2

Таблица № 3

Примерное распределение учебного материала «Линии 2-го порядка» к школьному учебнику по алгебре под редакцией Г. В. Дорофеева

№ п/п	Тема урока	Кол-во часов
1.	Функция у =х, её свойства и график.	1
2.	Функция у= х, её свойства и график. Функция у = -х2	1
3.	Контрольная работа	1
4.	Функция у=aх, её свойства и график	1
5.	Функция у=aх, её свойства и график	1
6.	Функция у=aх, её свойства и график	1
7.	Контрольная работа	1
8.	Функция у = k/x, её свойства и график	1
9.	Функция у = k/x, её свойства и график	1
10.	Контрольная работа	1
11.	Функция у=ax2+bx+c, её свойства и график	1
12.	Функция у=ax2+bx+c, её свойства и график	1
13.	Функция у=ax2+ bx+c, её свойства и график	1
14.	Квадратные неравенства	1
15.	Контрольная работа	1
16.	Итоговый урок	1



Приложение 3

Вывод уравнения окружности

Введем прямоугольную систему координат так, что:

a) М₀(x_0;y₀) - центр окружности, совпадающий с началом системы координат и . Пусть - текущая точка окружности.(чертеж 2.)

Чертеж 2

Если центр окружности находится в начале координат, то x₀=0, y₀=0. В этом случае уравнение окружности имеет вид:

,

так как по определению окружности и .

b) Пусть не совпадает с началом системы координат. По построению окружности:

=

тогда или возведя обе части в квадрат получим:

Размещено на http://www.allbest.ru/

(1)

где уравнение окружности радиуса R c центром в точке с координатами (чертеж 3.)

Иногда уравнение окружности пишут так: - канонический вид уравнения окружности с центром в точке с координатами и радиусом R.

Чертеж 3

Изображение окружности

Ш Построим окружность центром в точке и радиусом равным 1.

a) Построение без использования ИКТ: Для построения окружности задаем прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Строим циркулем окружность с центром О и радиусом, равным 1.(чертеж 4.)



Чертеж 4

b) Построение с использованием ЭСО- Mathcad:

Уравнение окружности имеет вид: . Для построения линии в программе Mathcad уравнение нужно привести к виду: (чертеж 5.)

Чертеж 5

Ш Построим окружность центром в точке и радиусом равным 5.

a) Построение без использования ИКТ: Для построения окружности задаем прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Строим циркулем окружность с центром О и радиусом, равным 5.(чертеж 6.)



Чертеж 6

b) Построение с использованием ЭСО- Mathcad:

Уравнение окружности имеет вид: . Для построения линии в программе Mathcad уравнение нужно привести к виду: (чертеж 7.)

Чертеж 7

Вывод уравнения эллипса

Введем прямоугольную систему координат. Пусть фокусы эллипса лежат на оси Х, причем т. Е. - межфокусное расстояние эллипса. (чертеж 8.) [8.С.467]



Чертеж 8

Пусть - произвольная точка эллипса. Величины называются фокальными радиусами точки М эллипса. По определению эллипса: r₁ + r₂ = 2a, а > c. Из прямоугольных треугольников, по теореме Пифагора, имеем:

Преобразуем уравнение, умножим уравнение (2) на , получим:

(3)

Сложим уравнения (2) и (3):



(4)

Возведем равенство(4) в квадрат, получим:

Пусть так как , откуда уравнение имеет вид:

где (5) каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат.

Соответственно, отсюда получаем уравнение:

где каноническое уравнение эллипса с центром в точке . Где числа а и b соответственно большая и малая полуоси эллипса. Заметим, что а >с Если а < , то фокусы эллипса будут лежать на оси ОУ, если а = , то эллипс превращается в окружность.

Точки , называются вершинами эллипса. Отметим, что эллипс целиком расположен внутри прямоугольника, ограниченного прямыми

Изображение эллипса

Ш Построим эллипс с центром в точке и с большей осью равной 14 и меньшей осью равной 10.

a) Построение без использования ИКТ: Для построения эллипса построим прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Построим прямоугольник со сторонами 2a=14,2b=10 и впишем в него эллипс так, чтобы координаты точек (-7;0),(7;0),(0;-5),(0;5) принадлежали эллипсу.(чертеж 14.)

Чертеж 14

b) С использованием ЭСО- Mathcad:

Полученное уравнение эллипса имеет вид: . Для построения линии второго порядка в программе Mathcad приводим уравнение к виду: (чертеж 15.)



Чертеж 15

Ш Дано параметрическое уравнение эллипса , построить данную линию второго порядка.

a) Построение без использования ИКТ: Для построения эллипса построим прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Построим прямоугольник со сторонами 2a=8,2b=14 и впишем в него эллипс так, чтобы координаты точек (-4;0),(4;0),(0;-7),(0;7) принадлежали эллипсу.(чертеж 16.)

Чертеж 16

b) С использованием ЭСО- Mathcad:

Для построения линии в Mathcad приведем ее к виду: ,.(чертеж 17.)

Чертеж 17

Изображение гиперболы

Ш Построим гиперболу с действительной осью равной 4 и мнимой осью равной 4.

a) Построение без использования ИКТ: Для построения гиперболы задаем прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Строим прямоугольник со сторонами 2a=4,2b=4, проводим диагонали прямоугольника. Выполняем построение ветвей гиперболы так, чтобы координаты точек (-2;0),(2;0) являлись их вершинами, и ветви гиперболы не пересекали диагоналей прямоугольника.(чертеж 24.)

Чертеж 24

b) С использованием ЭСО- Mathcad:

Полученное уравнение линии имеет вид: . Для построения линии второго порядка в программе Mathcad приводим уравнение к виду: (чертеж 25.)

Чертеж 25

Ш Построим гиперболу с действительной осью равной 10 и мнимой осью равной 8.

а) Построение без использования ИКТ: Для построения гиперболы задаем прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Строим прямоугольник со сторонами 2a=10,2b=8, проводим диагонали прямоугольника. Выполняем построение ветвей гиперболы так, чтобы координаты точек (0;4),(0;-4) являлись их вершинами, и ветви гиперболы не пересекали диагоналей прямоугольника.(чертеж 26.)

Чертеж 26

b) С использованием ЭСО- Mathcad:

Полученное уравнение имеет вид: . Для построения линии второго порядка в программе Mathcad приводим уравнение к виду: (чертеж 27.)

Чертеж 27

Вывод уравнения параболы

Введем прямоугольную систему координат, где . Пусть ось проходит через фокус F параболы и перпендикулярен директрисе, а ось проходит посередине между фокусом и директрисой. Обозначим через расстояние между фокусом и директрисой. Тогда а уравнение директрисы .

Число- называется фокальным параметром параболы. Пусть - текущая точка параболы. Пусть - фокальный радиус точки гиперболы.-расстояние от точки до директрисы. Тогда (чертеж 28.)



Чертеж 28

По определению параболы . Следовательно,

Отсюда:

Возведем уравнение в квадрат, получим:

Размещено на http://www.allbest.ru/

(15)

где (15) каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси и проходящей через начало координат.

Изображение параболы

Ш Построим параболу с вершиной в точке и .

a) Построение без использования ИКТ: Для построения параболы задаем прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Отмечаем на оси ОХ фокус ,так как , проводим такую, что , и директрису параболы . Выполняем построение окружности в точке и радиусом равным расстоянию от прямой до директрисы параболы. Окружность пересекает прямую в точках и . Строим параболу так, чтобы она проходила через начало координат и через точки и .(чертеж 30.)

Чертеж 30

b) С использованием ЭСО- Mathcad:

Полученное уравнение имеет вид: . Для построения линии второго порядка в программе Mathcad приводим уравнение к виду: .(чертеж 31.)

Чертеж 31

Ш Построим параболу с вершиной в точке и .

a) Построение без использования ИКТ: Для построения параболы задаем прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Отмечаем на оси ОХ фокус ,так как , проводим такую, что , и директрису параболы . Выполняем построение окружности в точке и радиусом равным расстоянию от прямой до директрисы параболы. Окружность пересекает прямую в точках и . Строим параболу так, чтобы она проходила через начало координат и через точки и .(чертеж 32.)

Чертеж 32

b)С использованием ЭСО- Mathcad:

Полученное уравнение имеет вид: . Для построения линии второго порядка в программе Mathcad приводим уравнение к виду: .(чертеж 33.)



Чертеж 33

Размещено на Allbest.ru