Методика преподавания неравенств в курсе математики 5-9 классов средней общеобразовательной школы

При выполнении упражнений предполагается использование калькулятора. Например, с его помощью следует искать десятичные приближения квадратных корней и определять в непростых случаях несколько первых цифр десятичных представлений рациональных чисел.

Основной результат изучения материала - это усвоение введенной терминологии, умение сравнивать и упорядочивать действительные числа и соотносить их с координатной прямой.

3.2 Общие свойства неравенств

Свойства неравенств, рассматриваемые в пункте, вводятся в сопоставлении со свойстами равенств - подчеркивается аналогия и различие в их свойствах. Особенность подхода в том, что все свойства обосновываются с помощью координатной прямой и иллюстрируются конкретными примерами. Такое геометрическое обоснвоание вполне корректно. “Алгебраическая” трактовка неравенства на основе определения знака разности будет дана позднее, в пункт 1.5, в котором многие из выведенных в этом пункте свойств можно будет обосновать и алгебраически.

В результате изучения пункта учащиеся должны научиться применять свойства неравенств для перехода от одних неравенств к другим, а также для оценки суммы и произведения по заданным границам слагаемых или множителей.

3.3 Решение линейных неравенств

Материал посвящен формированию умения решать линейные неравенства с одной переменной и применять полученные знания для решения задач. Кроме того, на этом этапе систематизируются и обобщаются сведения о линейных уравнениях. Знания учащихся о линейных уравнениях и линейных неравенстах объединяются в единое целое.

Здесь выделяются три смысловых фрагмента.

В первом - вводится алгоритм решения линейного неравенства. Подчеркивается, что он похож на алгоритм решения линейного уравнения, однако отмечаются и их различия.

Такой подход дает учащимся в руки простой инструмент для самопроверки. Так, в случае сомнений в правильности решения ученик сможет поступить следующим образом: решить соответствующее линейное уравнение f(x) = g(x). Корень этого равнения разобьет координатную прямую на два луча, один из которых служит множеством решений неравенства f(x) > g(x), а другой - множеством решений неравенства f(x) < g(x). Подставив в исходное неравенство какое-нибудь число из каждого из этих промежутков, можно проверить правильность полученного решения.

Тем учащимся, которые часто ошибаются при делении на отрицательный коэффицент, целесообразно порекомендовать следующий полезный прием. Получив неравенство, например, -10х > -25, можно избавиться от отрицательного коэффицента при переменной: для этого надо умножить обе части неравенства на -1 и поменять при этом знак неравенства на противоположный: 10х < 25. После этого закончить решение.

Во втором фрагменте вводится понятие равносильности уравнений и неравенств. Разъясняется термин “равносильные упражнения (неравенства)”, и уже известные учащимся правила преобразования уравнений и неравенств формулируются как правила, позволяющие переходить от одного уравнения (неравенства) к другому, ему равносильному. Этот материал следует рассматривать как обобщающий.

И, наконец, третий фрагмент - исследование линейных уравнений и неравенств, в том числе рассмотрение “крайних” случаев, когда уравнение (неравенство) не имеет решений или имеет бесконечное множество решений. Этот материал следует разобрать со всеми учащимися, однако не надо требовать умения решать соответствующие уравнения (неравенства) от всех девятиклассников.

К обязательным результатам изучения материала этого пункта относится умение решать несложные линейные неравенства.

Примеры

1. В провинции Х фермер перевозит початки кукурузы в мешках по 40 кг в грузовике, масса которого без груза равна 4500 кг. Какое количество мешков может находиться в грузовике, чтобы он мог переехать через ручей по мосту, выдерживающему груз в 7 т?

Решение. Пусть в грузовике находится х мешков с кукурузой, тогда масса груза равна 40х кг. Числом ешков, которое можно перевозить на грузовике, должно удовлетворять неравенству

40 х + 4500 7000,

отсюда 40 х 2500, х 62.

Ответ: не более 62 мешков.

2. Дом Татьяны находится на расстоянии 800 м от школы и 500 м от дома Наташи. На каком расстоянии от школы может находиться дом Наташи?

Решение. Обозначим искомое расстояние буквой х. Так как все три задания могут оказаться и на одной прямой, тов неравенстве треугольника следует взять знак настрогого неравенства (каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из них не превосходит суммы двух других расстояний):

х 500 + 800, 800 х + 500, 500 х + 800

В результате 300 х 1300

Ответ: от 300 м до 1300 м.

3. При каких значениях а уравнение ах2 + 2х + 6 = 0 имеет два корня?

Решение: Здесь часто учащиеся допускают ошибки, забывая исключить из найденного промежутка значений а число 0. Поэтому надо обратить внимание учащихся на то, что уравнение является квадратным, т.е. может иметь два корня, только если а 0.

а 0, D = 4 - 24а, 4 - 24а 0, отсюда а ?.

Ответ: при а ? и а 0

Ответ можно записать и так: - а 0, 0 а ? . Чтобы избежать формализма при выполнении этого задания и непонимания сути решаемой задачи, полезно предложить учащимся записать какое-нибудь уравнение с конкретным значением а, удовлетворяющее данному условию. Можно дополнительно спросить: при каких значениях а уравнение имеет корни, т.е. имеет два или один корень,; ответ будет таким: а ?.

3.4 Решение систем линейных неравенств

При введении понятия “система неравенств” целесообразно обратить внимание учащихся на то, что фактически им уже приходилось решать системы. А словосочетание “решить систему неравенств” означает то же самое, что “найти общие решения неравенств” или же “найти значения переменной, удовлетворяющие одновременно двум и более неравенствам”. Иными словами, ничего принципиально нового в изучаемом материале нет, и основная цель, которая стоит перед учеником, - внимательно и аккуратно решить входящие в систему неравенства и научиться находить эти общие решения. Вводная задача пункта служит разъяснением изложенного.

Здесь и в дальнейшем учащиеся на последнем этапе решения неравенст должны обращаться к координатной прямой. Иногда в целях самопроверки полезно взять по одному числу из получившихся на прямой промежутков и, подставив в систему неравенств, убедиться в правильности выбранного ответа.

Выполнению упражнений способствует усвоению понятия “система неравенств”. С их помощью учащиеся отрабатывают заключительный шаг решения любой системы, в котором обычно допускается наибольшее число ошибок. Поэтому такие упражнения не следует пропускать.

Ряд упражнений направлены на отработку умения решать системы неравенств, а другие - двойных неравенств. Показываются два способа решения двойного неравенства. Первый, - это запись двойного неравенства в виде системы и последующего ее решения; второй, ведение записи решения с помощью двойного неравенства. Следует иметь в виду, что меньше ошибок учащиеся допускают при использовании первого способа. Поэтому тем школьникам, которые еще не достигли уверенности при решении двойных неравенств, следует рекомендовать превый способ их решения.

Заключительная группа упражнений - это текстовые задачи, решаемые с помощью систем неравенств.

В следующем разделе приведены системы, более сложные в техническом отношении; системы, содержащие более двух неравенст; а также задачи на исследование функций, решаемые с помощью систем неравенств.

К обязательным результатам обучения относится умение решать несложные системы неравенств и несложные двойные неравенства.

Примеры

Возможна ли следующая ситуация?

Один класс за 4 альбома по 10 руб. и 12 шариковых ручек заплатил

меньше 100 руб., а другой - за один такой же альбом и 15 таких же шариковых ручек заплатил больше 100 руб.

Решение: Пусть шарикова яручка стоит х руб. Тогда один класс заплатил (10 4 + х 12) руб., что меньше 100 руб. Другой клас заплатил (10 1 + х 15) руб., это по условию больше 100 руб. Таким образом получаем систему неравенств:40 + 12х 100;

10 + 15х 100,

решение которойх 6.

х 5

Эта система не имеет решения, следовательно, рассматриваемая ситуация невозможна.

Ответ: данная ситуация невозможна.

2. Стороны треугольника выражаются различными целыми числами. Какую длину может иметь третья сторона, если длины двух других сторон 8 см и 5 см, а периметр не превосходит 20 см?

Решение: Обозначим длину третьей стороны буквой х и составим систему неравенств по условию задачи:

х 5 + 8х 13

8 х + 5х 3

5 х + 8илих - 3

х + 5 + 8 20, х 7.

Чтобы найти решение системы, изобразим полученные промежутки на координатной прямой.

-3 3 7 13

Решением системы является промежуток:

3 х 7.

Ответ: 4 см, 6 см и 7 см.

3. Решите систему неравенств

-9 5 + 2х 5

х + 4 3.

2

Решение данную систему неравенств перепишем в виде системы трех неравенств5 + 2х -9

5 + 2х 5

х + 4 6

и выполним необходимые преобразования:

х -7

х 0

х 2

Изобразив решение каждлого неравенства на координатной прямой увидим, что у них общего решения нет.

Ответ:

3.5 Доказательство неравенств

Здесь вводится алгебраическая трактовка соотношений “больше” и “меньше”, которая иллюстрируется на координатной прямой, и рассматривается ее применение для доказательства неравенств. Здесь же учащимся демонстрируется, как алгебраически можно доказать изученные в главе свойства неравенств, ранее они были обоснованы геометрически.

Доказательство неравенств - это довольно трудный для учащихся материал, поэтому в зависимости от уровня подготовки класса его следует рассматривать с разной степенью полноты.

Особенность задач на доказательство неравенств - возможность их решения различными способами. Поэтому целесообразно показать несколько вариантов доказательства неравенств, чтобы расширить возможности учащихся при решении задач.

Предлагаются два основных пути доказательства неравенств:

1) на основе составления разности правой и левой частей неравенства и последующего сравнения этой разности с нулем;

2) переход от одного неравенства к другому, ему равносильному, на основе свойств неравенств.

Оба пути равноправны. Но нужно следить за аккуратностью записей в том и другом случае. Учащимся необходимо разъяснить, что если выбран первый путь решения, то после составления разности выполняются преобразования этого выражения, которые можно записать в виде цепочки со знаком “=”. Полученное в итоге выражение сравнивается с нулем и, на основе этого делается заключение об исходном неравенстве. Если же выбран второй путь, то записывается последовательность равносильных неравенств (как при решении неравенства), и о последнем из них делается заключение - верно оно или нет. Вот как может, например, выглядеть оформление решения упраженения в том и в другом случае.

Доказать неравенство а2 + b2 + 2 2 (а + b) .

Составим разность Перенесем 2 (а + b) в левую

левой и правой частей часть неравенства:

неравенства: а2 + b2 + 2 - 2 (а + b) 0;

а2 + b2 + 2 - 2 (а + b) =а2 + b2 + 2 2а - 2b 0;

= а2 + b2 + 2 - 2а - 2b == (а2 - 2а + 1) +

= (а2 - 2а + 1) ++ (b2 - 2b + 1) 0;

+ (b2 - 2b + 1) =(а - 1)2 + (b - 1)2 0 -

= (а - 1)2 + (b - 1)2 .верно, следовательно,

(а - 1)2 + (b - 1)2 0,верно и исходное неравенство:

следовательно, а2 + b2 + 2 2 (а + b) .

неравенство доказано:

а2 + b2 + 2 2 (а + b) .

Заметим, что в «Обязательный минимум содержания» доказательство неравенств не входит. Поэтому соответствующие умения могут рассматриваться как результат усвоения темы, но не как итоговый результат обучения. В связи с этим задания на доказательство неравенств не включаются в экзамен, не следует включать их и в иные итоговые проверки.

Примеры

Докажите, что для положительных чисел p и q: p4 + q4 p3q + pq3.

Решение. Преобразуем разность

p4 + q4 - (p3q + pq3).

p4 + q4 - p3q - pq3 = p3 (p - q) + а3 (q - p) =

= (p - q) (p3 - q3) = (p - q)2 (p2 + pq + q2).

Так как p 0, q 0, то pq 0, p2 + pq + q2 0, кроме того, (p - q)2 0.

Произведение неотрицательного и положительного чисел - неотрицательно, т.е. рассматриваемая разность больше или равна нулю. Следовательно, при p 0, q 0 p4 + q4 p3q + pq3.

Докажите разными способами, что если a b 0, то а2 + а b2 + b.

Решение. При доказательстве неравенства вторым способом,

воспользуемся неравенством, доказанным в примере: если а и b - положительные числа и а b, то а2 b2. А потом, почленно сложив неравенство а2 b2 и неравенство а b, получим требуемое.

3. В каком случае турист пройдет одно и то же расстояние быстрее: если он будет идти по горизонтальной дороге с постоянной скоростью или же если половину пути он будет идти в гору со скоростью, на 1 км/ч меньшей, чем его скорость по горизонтальной дороге, а половину пцти - с горы со скоростью, на 1 км/ч большей, чем по горизонтальной дороге?

Решение. Обозначим скорость туриста по горизонтальной дороге буквой х, а расстояние примем за 1. Задача сводится к сравнению выражений

1 и ___1___ + ___1___

х 2(х-1) 2(х+1).

Составим их разность и преобразовав ее , получим, что

-___1___ 0,

х(х2-1)

а это означает, что при таких условиях время движения по горизонтальной дороге меньше, чем по дороге с подъемом и спуском.

3.6 Что означают слова «с точностью до...»

Здесь вводятся понятия точности приближения и относительной точности. В результате изучения материала учащиеся должны понимать запись вида //////////////, уметь читать ее используя слова «с точностью до...», определять по такой записи промежуток, которому принадлежит точное значение величины. Должны также уметь переходить от двойного неравенства, задающего промежуток, в котором находится точное значение величины, к записи приближенного значения в виде ///////////

Есть упражнения посвященные содержательному усвоению понятия точности приближения. В ходе выполнения других упражнений учащиеся усваивают, как зависит от точности приближения запись приближенного значения величины в виде десятичной дроби.

Следует обратить внимание на упражнения, в которых главный элемент задачи - интерпретация полученного ответа. Главная идея решения некоторых упражнений: если интервалы, в которых находятся значения сопоставляемых величин (например, процент опрашиваемых людей) пересекаются, то нельзя с уверенностью отдать предпочтение какой-либо из этих величин, если же нет - то с большой степенью вероятности можно.

Список использованной литературы

Бородуля И.Т. Тригонометрические уравнения и неравенства.-М.:Просвещение, 1989.-239 с.

Бочарова О.Ю. Урок применения свойств линейных неравенств с одной переменной //Математика в школе.-2002.-№7.-с.40

Вороной А.Н. Пять способов доказательства одного неравенства //Математика в школе.-2000.-№4.-с.12

Вороной А.Н. Интеграл помогает доказывать неравенства //Математика в школе.-2002.-№6.-с.66

Глейзер Г.И. История математики в школе: VII-VIII кл.-М.:Просвещение,1982.-240 с.

Глейзер Г.И. История математики в школе: IХ-Х кл.-М.:Просвещение,1983.-351 с.

Груденев Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики.-М.:Просвещение,1990.-224 с.

Гилемханов Р.Г. Об одном способе решения неравенство второй степени с одной переменной //Математика в школе.-2004.-№8.-с.69

Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности.-М.:Просвещение,1990.-128 с.

Имранов Б. О системе изучения неравенств //Математика в школе.-2002.-№7.-с.38

Кипнис И.М. Задачи на составление уравнений и неравенств.-М.:Просвещение,1980.-62 с.

Кузнецова Л.В., Минаева С.С. Методические указания к теме «Неравенства» //Математика в школе.-2002.-№6.-с.22

Кривова В.А. Разноуровневые тесты в обучении решению неравенств //Математика в школе.-1998.-№2.-с.23

Калинин С.И. Неравенство Ки Фана //Математика в школе.-2004.-№8.-с.69

Легошина С. Решение неравенств первой и второй степени с параметрами //Математика.-2000.-№6.-с.15-17

Литвиненко В.Н., Мордокович А.Г. Задачник-практикум по алгебре.-М.:Школа-Пресс,1995.-320 с.

Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика Сост.В.И.Мишин.-М.:Просвещение,1987.-416 с.

Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. /В.А.Оганесян, Ю.М.Колягин, Г.Л.Луканкин, В.Я.Саннинский.-2-е изд., перераб. и доп.-М.:Просвещение,1980.-368 с.

Средства обучения математике: Сб.статей /Сост.А.М.Пышкало.-М:Просвещение, 1980.-208 с.

Смоляков А.Н. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля //Математика в школе.-2003.-№9.-с.45

Семенов П.В. Рациональные неравенства и метод неопределенных коэффицентов //Математика в школе.-2004.-№8.-с.67

Санина Е.И. Педагогическая диагностика результативности изучения неравенств //Математика в школе.-1998.-№2.-с.65

Сорокин Г.А. О неравенстве Коши и задачах прикладного характера //Математика в школе.-2000.-№8.-с.43

Харкевич О. Преемственность в обучении математике //Учитель.-2005.-№6.-с.76

Цвилева И.А. Числовые неравенства и их свойства //Математика в школе.-2002.-№7.-с.42

Чакликова С.Е. Цели обучения математике в новой образовательной парадигме //Средняя школа Казахстана.-2004.-№8.-с.4

Чучаев И.И., Крюкова В.Л. Геометрические неравенства и уравнения //Математика в школе.-2004.-№10.-с.37; //Математика в школе.-2004.-№8.-с.7

Размещено на Allbest.ru