Індивідуальна робота зі здібними дітьми за 2010-2011 н.р.

Пропонується проглянути презентацію «Удивительное число р» (Додаток 2)

ІІІ тур. «Числові та геометричні головоломки»

Кожна правильна відповідь - 1 бал.

1. Як потрібно поставити знаки «+» в записі 1 2 3 4 5 6 7, щоб вийшла сума, рівна 100?

2. Як потрібно поставити знаки «+» в записі 9 8 7 6 5 4 3 2 1, щоб вийшла сума, рівна 99?

3. Напишіть якнайменше число натуральне число, користуючись трьома двійками і знаками дій.

4. Напишіть, користуючись двома однаковими цифрами і знаками дій, якнайменше число.

5. Яке найбільше число можна записати за допомогою трьох одиниць, а чотирьох одиниць?

6. Впишіть в кружечки числа від 1 до 15 (кожне по одному разу) так, щоб суми на кожному з двох кіл і на кожному з п'яти трикутників дорівнювали 30.

7. Порахуйте, скільки тут зображено трикутників?

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Інформаційна 5-тихвилинка «Чи знаєте ви, що…»

Ведуча. Любі друзі! Усі ви знаєте про найцікавішу з наук - математику. Сьогодні ми розповімо вам про деякі цікаві моменти з життя великих математиків.

Ведучий. Микола Іванович Лобачевський мріяв про професію лікаря і, будучи студентом першого курсу Казанського університету, вивчав медицину. Але перша лекція з історії математики, прочитана професором Бартельсом, так полонила юнака, що він сказав: «Так ось яка вона, математика!» З того часу М.І. Лобачевський почав вивчати цю науку.

Ведуча. Давньогрецький математик Піфагор брав участь у кулачному бою на 58 Олімпіаді, яка просолила в 548 р. до н. є. Він був чемпіоном з цього виду спорту і утримував цей титул ще на кількох олімпіадах.

Ведучий. А чи знаєте ви, що знаменитий Фалес був уболівальником і помер на трибуні Олімпійського стадіону, спостерігаючи за кулачним боєм?

Ведуча. Геніального математика Франсуа Вієта ледве не відправили на вогнище за те, що йому далося розшифрувати таємне листування іспанського уряду з командуванням своїх військ. Іспанські інквізитори вважали, що розкриття їх шифру для людського розуму неможливе. А це означало, що Вієту допомагав сам сатана.

Ведучий. А чи знаєте ви, що першим запропонував метод нумерації стільців у театрі за рядами і стільцями Рене Декарт? Аристократи-театрали не переставали докучати королю з проханнями нагородити вченого. Але той опирався, відповідаючи: «Так, те що придумав Декарт - чудово, так, воно достойне ордена! Але дати його філософу?! Ні, це : занадто!»

Ведуча. Великий російський математик Микола Васильович Остроградський не отримав диплом, і двічі успішно складав випускні іспити в університеті. Справа в тому, що він відмовлявся слухати лекції з богослов'я.

Ведучий. Відомий російський учений у галузі теоретичної механіки, гідро- і аеродинаміки С.О.Чаплигін мав феноменальну пам'ять. Усе, що він прочитував, чув, бачив, з фотографічною точністю залишалося в його пам'яті. Коли в перший рік навчання в гімназії Чаплигін побачив, як учні засіли готуватися до екзаменів, він і собі спробував. Але виявилося, що повторювати не було чого. Усе пройдене міцно і точно збережено в пам'яті. Навчаючись у Московському університеті, Чаплигін засперечався з друзями і за три дні вивчив підручник загальної хімії та склав іспит на найвищу оцінку.

Ведуча. Якось Леонард Ейлер висловив припущення, що 1 000 009 - просте число. Щоб перевірити, чи це справді так, учений виявив, що воно є добутком двох чисел; 293 і 3413. Указані обчислення Л. Ейлер виконував у 70 років, коди він був сліпий. Розрахунки він робив усно. Леонард Ейлер мав надзвичайну пам'ять на числа. Він пам'ятав, наприклад, шість степенів перших ста натуральних чисел.

Ведучий. Титул найбільш «швидко думаючої людини» завоював сержант англійської армії Даніель Армстрон. Йому і електронно-обчислювальній машині було запропоновано розв'язати задачу на перевезення вантажу автомашиною в 5 населених пунктів. Армстронг розв'язав задачу за 5 хв 50 с, а машина - за 5 хв 59 с.

Ведуча. Відомо, що грецьке число - це відношення довжини кола до його діаметра. Відомо також, що це число ірраціональне. Голландський математик Лудольф ван Цейлен обчислив 35 десяткових знаків числа я і заповів вибити їх на своїй могильній плиті.

Ведучий. А чи відомо вам, що в центрі Будапешта (столиця Угорщини) недалеко від одного з найкращих мостів стоїть кам'яний пам'ятник нулю. Він символізує початок усіх шляхів.

Ведуча. На полях «Арифметики» Діофанта (III ст.) французький математик П'єр Ферма (1601--1665) записав твердження, яке потім стали називати великою теоремою Ферма: рівняння хⁿ + уⁿ = zⁿ не має цілих розв'язків для жодних значень п таких, що n>2. Далі Ферма записав: «Я знайшов дивне доведення цього твердження, але поля книги надто вузькі, щоб воно могло на них уміститися». Відтоді не припинялися численні спроби знайти втрачене доведення Ферма. Доведенням теореми займалися визначні математики. Тисячі любителів математики і ті, хто не має навіть уявлення про суть задачі, безперервно засипають наукові установи світу своїми «доведеннями» цієї теореми. Особливо зросла кількість «фермістів» після того, як 27 червня 1908 р. Геттінгенське наукове товариство оголосило, що інженер, доктор Пауль Вольфскел заповів величезну, як на той час, суму - 100 000 марок -- тому, хто перший знайде доведення великої теореми Ферма. Відомий німецький математик Едмунд Дандау заготовляв друковані формуляри для розсилання відповідей авторам доведень великої теореми Ферма: «На сторінці..., у рядку ... є помилка». Загальне доведення велика теореми Ферма у 1994 р. запропонував Е. Вайлс, і воно займало 2000 сторінок машинопису. І чи не помилився Ферма, коли писав, що він його знайшов? Це залишається таємницею.

ІV тур. «Числові цікавинки»

Аудиторії пропонується відповісти на запитання, наведені нижче. Після відповіді ведучі показують слайди з презентації «Магія чисел» (Додаток 3).

Перелік запитань:

1. Назвіть кінофільми, в назві яких є числа або цифри. Та команда, яка назве найбільшу к-ть займе 1-ше місце та отримає 1 бал, команда з 2-гим місцем - 0,8 бала, 3-тє - 0,5 бали.

2. Назвіть книги, в назві яких є числа або цифри. (Та команда, яка назве найбільшу к-ть займе 1-ше місце та отримає 1 бал, команда з 2-гим місцем - 0,8 бала, 3-тє - 0,5 бали.)

3. Заспівайте рядки з пісні, в якій є числа або цифри. (Та команда, яка назве найбільшу к-ть займе 1-ше місце та отримає 1 бал, команда з 2-гим місцем - 0,8 бала, 3-тє - 0,5 бали.)

4. Розгадайте числові ребуси. (завдання на кмітливість, вартість - 1 бал)

5. Розв'яжіть задачі. (1 задача - 1 бал)

6. Розв'яжіть задачі з магічним число 12. (Та команда, яка назве найбільшу к-ть займе 1-ше місце та отримає 1 бал, команда з 2-гим місцем - 0,8 бала, 3-тє - 0,5 бали).

(Усі завдання наведені на слайдах презентації)

Підведення підсумків вікторини. Оголошення переможця.

Дякуємо за увагу!

Додаток 1

Декілька слайдів з презентації:

Додаток 2

Декілька слайдів з презентації:

Додаток 3

Декілька слайдів з презентації:

ШИРОКІВСЬКА ЗОШ І-ІІІ СТУПЕНІВ

МІНІСТЕРСТВА ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГЕОМЕТРИЧНА ВІКТОРИНА

Вчитель: Мітрахович О.П.



№ 3 Вставте малюнок, який пропущено:



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Треба розшифрували запис арифметичної рівності, у якій цифри замінені буквами, причому різні цифри означають різні букви, однакові цифри -- однакові букви. Виконуються звичайні правила арифметики: в записах числа перша цифра зліва ніколи не є нулем і використовується десяткова систему числення.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/



1. Показатель

2. Наклонная

3. Подобие

4. Стереометрия

5. Теорема Пифагора

6. Теорема

7. Отрезок

8. Задача

Відтвори записи

1)

2)

3)

Розмістіть дев'ять чисел 1, 2, 3, 10, 11, 12, 19, 20, 21 у клітинках квадрата так, щоб сума чисел на горизонталях, вертикалях і діагоналях дорівнювала 33.



ЦІКАВИНКИ МАТЕМАТИКИ

Множення двоцифрових однакових чисел, що закінчуються цифрою 5

Дивовижна таблиця множення

Тут у вигляді математичних формул та об'єктів зашифровані назви дванадцяти фільмів. Можете дізнатися їх?

Відповіді:

1: "Матриця"

2: "Залізний хрест" (або "Залізна людина")

3: "Соціальна мережа"

4: "Поворот"

5: "Поле чудес"

6: "Сума всіх страхів" (правда, у нас назва цього фільму переклали як "Ціна страху")

7: "Альфа і омега"

8: "Цикл"

9: "Зоряні війни"

10: "Трансформери"

11: "Зелена миля"

12: "Містер Ікс"

Заняття факультативу

Тема: „Цікаві теореми геометрії. Узагальнення теореми Піфагора, різні способи доведення”

Почувши ім'я Піфагор, відразу згадуємо його теорему «Сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи», - це фундаментальне твердження евклідової геометрії

Теорема Піфагора і співвідношення, пов'язані з прямокутним трикутником, широко застосовуються при розв'язуванні задач та доведенні теорем. Тому їх потрібно добре знати і пам'ятати.

Це напевно єдина теорема, яку пам'ятають усі учні. Ті, що добре вчились знають формулювання, доведення, а інші - назву. Та,напевно, кожен пам'ятає вислів: «Пифагоровы штаны во все стороны равны».

Важливість теореми Піфагора ілюструє такий цікавий факт.

Наприкінці XIX ст. було відкрито на Марсі «канали», які тривалий час вважали штучним, зробленими мешканцями Марса. В цей час популярною була пісня «Утверждают космонавти и мечтатели, что на Марсе будут яблоки цвести». Для налагодження зв'язку з марсіанами, запропонували на величезному просторі Західно - Сибірської низовини побудувати гігантську геометричну фігуру, яка б світилася, - рисунок теореми Піфагора, бо вважали, що ця теорема справедлива скрізь і що жителі будь-якої планети повинні зрозуміти такий сигнал. Передбачали, що, побачивши це зображення, марсіани зроблять висновок, що на Землі живуть розумні істоти, і дадуть відповідь також мовою математики. Адже математику вважають універсальною мовою Всесвіту.

У 1995 році в Греції було випущено поштову марку, що ілюструє теорему Піфагора. Дивлячись на неї, можна пересвідчитися,в тому, що в прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Від напівміфічного мудролюба нас віддаляють тисячоліття. І, одночасно, нам зрозумілі і близькі загадки науки, людського буття, які хвилювали легендарного самосця. Йдучи неходженими шляхами пізнання, Піфагорові та його учням важко було не помилитися, все ж вони допомогли людству зробити це один крок до розкриття таємниць природи.

Легенда говорить, що коли Піфагор сформулював І довів теорему, то приніс у жертву богам 100 биків, звідси й пішла друга назва теореми - «гекатомба» (сто биків).

Так німецький письменник-романіст Шаміссо, який на початку XIX ст. був учасником кругосвітньої подорожі на російському кораблі написав слідуючі рядки:

1. Пребудет вечной истина как скоро Все познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далекий вен.

2. Обильно было жертвоприношение Богам от Пифагора . Сто быков

Он отдал на закланье и сожженье За свет луча, пришедший с облаков.

Поэтому всегда с тех самих пор Чуть истина рождается на свет Быки ревут, ее почуя, в след.

Они не в силах свету помешать, А могут лишь, закрыв глаза дрожать От страха, что вселил в них Пифагор.

Піфагор залишив про себе згадку й у мистецтві та літературі. Можна вірити, а можна й ні, але легенди кажуть, що Піфагор надзвичайно гарно грав на арфі, захоплювався віршами і був непоганим оратором. Тому задача -віршована, вона належить стародавнім індійцям, в яких був звичай формулювати задачі у віршованій формі. Задача: Над озером тихим,

С полфута размером, высился лотоса цвет

Он рос одиноко. И ветер поривом

Отес его в сторону. Нет

Боле цветка над водой,

Нашел же рыбок его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода, здесь глибока?

Є багато віршів, присвячених катету, гіпотенузі, Піфагору та його школі, його учням. Один із них «Гімн гіпотенузі

1. Как символ вечного союза, Как вечный символ знак простой, Связала гипотенуза

Навеки катеты собой.

Путей окольных избегая И древней истине верна, Ты по характеру - прямая И по обычаю точна.

Скрывала тайну ты, но скоро Явился некий мудрый грек

И теоремой Пифагора Тебя прославил он навек.

Вірш „Піфагорова теорема”

«Піфагорова теорема»

Не знаю чем кончу поэму И как мне печаль избыть Древнейшую теорему Ника я не в силу забыть.

Стоить треугольник, как ментор, И угол прямой в нем есть.

И всем его элементам Повсюду покой и честь.

Прелестная гипотенуза Взнеслась так смело ввысь! И с нею в вечном союзе Два катета тоже взнеслись.

Она царит на квадратах И песню поет одна

Та песня влечет куда-то Геометров древних волна.

5. И все на торжищах света, Как в огненнам кольце,

И все повторяют это: Ах, а, в, с!

6. И даже в холодной медузе Огонь эта песня зажгла,

И все это гипотенузы, И катетов двух дела!

Справедливим є твердження, обернене до теореми Піфагора: якщо квадрат однієї сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін трикутника, то такий трикутник прямокутний

АВ² = АС² + ВС², то, кут С=90°

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вчитель: Тапер поміркуйте, чому землеміри Стародавнього Єгипту для побудови прямого кута використовували такий спосіб: брали мотузку, ділили її вузликами на 12 рівних частин і кінці зв'язували. Потім мотузку натягували на кілки, щоб отримати трикутник з сторонами 3, 4, 5.

Так за 1500 років до Піфагора, жителі Стародавнього Єгипту знали, що трикутник зі сторонами 3, 4, 5 є прямокутним і користувалися цим для побудови прямокутників, Такий трикутник називається єгипетським.

Інформацію про прямокутний трикутник також знали люди, коли будували до Піфагора чудові храми в Єгипті, Вавилоні, Китаї, Мексиці. Ще раніше теорема була відома в Індії.

Так що стародавні єгиптяни, вавилоняни та інші народи Стародавнього Сходу ще за 2000р. до н.е. знали що трикутник із сторонами 3, 4, 5 -прямокутний.

Стародавні єгиптяни звернули увагу, що квадрат числа 5 дорівнює сумі попередніх двох чисел: 5²= 4²+3² цього було зроблено псевдо-науковий висновок про божественну властивість числа 5.

Як бачимо, Піфагор не відкрив сформульовану в теоремі властивість прямокутного трикутника, а помітив, узагальнив і довів, перевів з практичної галузі в наукову. Можливо, що Піфагор дав перше повноцінне доведення цієї теореми.

Цікаво, що саме такі пропорції 3:4:5 археологи знаходять в розмірах тесаних плит піраміди Хефрена (в Єгипті).

Стародавній спосіб побудови прямих кутів з використанням відношення сторін в єгипетському трикутнику іноді застосовується на будівництві і тепер.

Теорема Піфагора з давніх-давен застосовується в різних галузях науки, техніки і практичного життя. Уже за сучасності теорема добралася й до космосу, задача про космос.

Чи можуть побачити один одного космонавти, які летять над поверхнею Землі на висоті 200 км, якщо відстань між ними по прямій дорівнює 2000 км? Радіус землі наближено дорівнює 6000 км.

Розв'язання

Позначимо через О центр Землі, через К₁ ,К₂ -- положення космонавтів. Тоді ОР = 6000, К₁ К₂ = 2000

MK₂=K₁K₂ : 2 = 1000

K₂O = K₂B + BO =6200

MO² = K₂O² - K₂M²

MO² = 37440000

OP²= 6000² = 36000000

Оскільки МО>ОР, то космонавти будуть бачити одне одного

Розв'язування задач з минулого

1. Стрибок мавпочки.

На дереві сиділи дві мавпочки. Одна - на самій верхівці дерева, інша на висоті - 10 ліктів від землі. Другій мавпочці захотілося напитися води з джерела, що знаходиться на відстані 40 ліктів від дерева. Вона злізла з дерева і пострибала до води. У той самий час перша зістрибнула з дерева і потрапила якраз до того самого джерела. Обидві мавпочки подолали однакову відстань. Скажи о мудра людина, з якої висоти зістрибнула друга мавпочка.

2. „Зламай бамбук”

Бамбук, що має 40 ліктів у висоту, було зламано вітром. Його верхівка торкнулась землі за 20 ліктів від основи стовбура. Скажи, о мудрий математик, на якій відстані від землі було зламано бамбук?

3. Дві вежі висотою 30 і 40 футів, розміщено одна від одної на відстані 50 футів. Між ними знаходився фонтан, до якого одночасно з маківок веж з однаковою швидкістю вилетіли два голуби. Яка з двох веж від фонтана до кожної з двох веж, якщо голуби долетіли до фонтана одночасно?

То хто ж такий Піфагор, ім'я якого кілька разів вже повторювалось?

У Древній Греції жив вчений Піфагор (580-50О)р. до н.е.

1. Назва прямокутного трикутника зі сторонами З, 4, 5.

2. Учений, ім'ям якого названа теорема про суму квадратів катетів прямокутного трикутника.

3. Острів, на якому народився цей учений.

4. Катет, який не лежить проти даного кута.

5. Там Піфагор прожив 12 років.

6. Сторона прямокутного трикутника, яка лежить проти прямого кута.

7. Кількість биків, принесена Піфагором у жертву богам після доведення теореми.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/



... Давайте уявно перенесемося на дві з половиною тисячі років назад, на невеличкий за розмірами острів Самос. Тут народився Піфагор.

Коли хлопчик підріс, батьки віддали його для навчання старому вчителю Гермодамосу. Піфагор виявився цікавим, здібним хлопчиком і вже скоро вчитель зрозумів, що передав учню всі свої невеликі знання. Він дав пораду Піфагору навчитися у других, більш розумніших вчителів.

Піфагор багато чув про знаменитих вчених Єгипту. Але правитель о. Самое заборонив своїм підданим їздити др. Єгипту. Саме тому Піфагор спочатку поїхав на о. Лесбос, де у нього жили родичі. Тут він прожив 10 років, вивчаючи математику, фізику, астрономію. Згодом він потрапив до єгипетського міста Мемфіс. Щоб дізнатися про таємниці наук. Там прийшлось звернутись до жреців.

Жреці довго випробовували Піфагора. Цілий рік до нього придивлялися, перевіряли його. Після цього почалися ще більш тяжкі випробування: голодом і спрагою, холодом і смагою. Він витримав усе - таким великим $уло його бажання за получити знання, В Мемфісі Піфагор прожив більш ніж 20 років, вивчаючи геометрію, астрономію, медицину, філософію, музику.

Коли перси напали на Єгипет, Піфагор потрапив у полон і його вивезли до Вавилону. Тільки через 12 років він зміг повернутися у рідний острів Самос.

Але там теж мали владу перси, і тому Піфагор оселився у місті Кретон. Йому було вже 60 років. Тут в Кратоні він створив свою школу, в якій хлопці з багатих сімей могли вивчити філософію, математику і другі науки, (на півдні Італії , яка була тоді грецькою колонією).

Школа Піфагора, як і другі школи того часу, була несхожа на теперішню. Піфагор говорив з учнями, гулявши по вулицях, по саду, по березі річки. Говорили про те, що зустрічалося їм на шляху: про торговців, про тварин, про загадкові явища природи.

Нелегко було стати учнем Піфагора. Вчитель не одразу допускав новачків до участі в своїх бесідах. По два-три роки вони повинні були мовчати не маючи права заговорити з учителем, задати йому питання. Тільки пройшовши через таке випробування, вони ставали повноправними учнями. Видно не забув Піфагор того, що пережив у єгипетських жреців.

Кожен член гуртка відрікався від свого майна і давав клятву зберігати в таємниці вчення засновника.

В школі існував декрет, згідно якого авторство всіх математичних робіт приписувалося Піфагору.

Піфагор приймав участь в кулачній боротьбі на 58 олімпіаді в 548р. до н.е. Він був чемпіоном з цього виду спорту і отримував цей титул ще кілька олімпіад. Існує версія, що Піфагора спочатку не хотіли допускати до змагань, казали, що в нього «ні зросту, ні сили, ні зовнішності». «Так, - сказав це Піфагор, - але я буду наносити удари з математичною точністю ».

Піфагора вбили у вуличній сутичці під час народного повстання. Після його смерті учні пов'язували з іменем свого вчителя багато легенд, тому встановити правду про Піфагора неможливо.

Піфагор та його учні започаткували вивчення залежності між числами. Цікавість, з якою вони вивчали характер чисел і відношень між ними, вела до містики чисел, до абсолютизації чисел. Числа були підняті на рівень реального існування всіх речей. Так, наприклад, одиниця означена початком всього. Двійка означала протяжність. Піфагор передбачав основні перші чотири числа арифметичного ряду - одиницю, двійку, трійку і четвірку. Цим числам по порядку відповідають: точка, пряма, квадрат і куб. Сума цих чисел дорівнює «десять», яке піфагорійці вважали ідеальним числом. Десять, згідно піфагорійному вченню, - таке число, на яке можна перевести всі предмети і явища природи з його протилежностями.

Найстрашнішою клятвою в піфагорійців вважалася клятва числом 36, що має такі властивості

36=1³+2³+3³

1) 36=(2+4+6+8)+(1+3+5+7)

12; 5; 13; 13; 14; 15;

6; 8; 10; 12; 16; 20;

8;15;7; 12;35;37;

7;24;25; 9;12;15;

Якщо а²+в²=с₂, то n²a²+ n²b²=n²c²

де n - натуральне число

1) 36 дорівнює сумі кубів трьох перших натуральних чисел:

36=1³ + 2³ + 3³

2) 36 дорівнює сумі перших чотирьох парних і перших чотирьох непарних натуральних чисел:

36 -(2+4+6+8)+( 1+3 + 5 + 7)

Прямокутні трикутники, сторони яких виражаються натуральними числами, називаються піфагоровими трикутниками. Піфагорових трикутників безліч. Це, наприклад, прямокутні трикутники зі сторонами:

5;2;13 7; 24; 25 13;14;15 12;16;20 і т. д.

Для величин сторін піфагорових трикутників виведено загальні формули: а = (п - т )к; в = 2тпк; с = (п + т )к, де т, п і к ~ цілі числа. Але дуже легко знайти безліч піфагорових чисел; знаючи лише трійку таких чисел: а, в і с помножаючи ці числа на буді-яке натуральне число п.

Справді, якщо а² + в² = с², то п²а² + п²в² = п² с²

Про цілочислові прямокутні трикутники знали ще в стародавньому Вавилоні ( НІ тисячоліття до н.е.). ї застосовували для вимірювання робіт. Було складено табличку, за якою знаходили сторони цілочислових прямокутних трикутників.

За допомогою теореми Піфагора можна геометрично знаходити значення квадратних коренів з цілих чисел. Потрібні побудови, які слід виконати для цього, добре видно з рисунку.

Будуємо прямокутний трикутник АОВ з одиничними катетами; тоді його гіпотенуза буде завдовжки л/2. Потім будуємо одиничний відрізок СВіОВ, довжина гіпотенузи прямокутного трикутника ОВС = \^3 і т. д. (мал.ЗЗ)

Цей спосіб знаходження квадратних коренів з цілих чисел придумав ще до Евкліда грецький математик Федор Киренський.

За допомогою теореми Піфагора можна визначити і степені цілих чисел. На рисунку подано побудову для знаходження степенів числа 2 , які геометрично зображуються ОВ, ОС, ОД, ОЕ і т.д.

В 1940р. була опублікована книга, яка містить 370 різних способів доведення теореми Піфагора. Тут і є доведення запропоноване президентом США А.ГАрфілдом.

Як кажуть «все тече, все змінюється».

І те, що раніше здавалося складним і недосяжним, згодом стає елементарним. І те, що раніше було не під силу «мужнім» науки, сьогодні робить кожен учень.

У середні віки теорема Піфагора вважалася настільки важкою, що її називали ропз азіпошт (ослячий місток), оскільки далеко не кожний міг її довести, тобто перейти через «ослячий місток». Завчивши теорему напам'ять, без розуміння слабкі учні були прозвані «ослами». Ця теорема була непрохідним мостом для них.

А як справилися з доведеннями цієї теореми ви, зараз ми дізнаємося:

ДОВЕДЕННЯ.

Нехай АСВ - довільний прямокутний трикутник, а СН -- висота, проведена з вершини прямого кута С. Позначимо: СВ = а, АС = b,АВ = с, АН = b₁ ВН = а₁.

Оскільки Д АНС ? Д АСВ, то b₁ : b = b : с, звадки b² = cb₁.

Оскiльки Д СHВ ? Д АСВ, то а₁ : а = а : с, звідки а² = ca₁

Отже, а² + b² = са₁ + cb₁ = с(а₁ + b₁) = с², тобто с² = а² + b².

Теорема Піфагора:У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Дано:

АСВ - прямокутний трикутник;

СД - висота кута С Довести: АВ²=АС²+СВ²

Доведення:

Соs А=АД/АС

Соs А=АС/АВ

АД/АС=АС/АВ

АД * АВ=АС²

Соs В=ДВ/СВ

Соs В=СВ/АВ

ДВ/СВ=СВ/АВ

ДВ АВ=СВ²

АД АВ+ДВ АВ = АС²+СВ²

АВ(АД+ДВ) = АС²+СВ²

АВ² = АС²+СВ²

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Нехай АВСD - квадрат, АВ=ВС=СD=АD=С - гіпотенуза прямокутного трикутника АLB, АL=а, ВL= b Побудуємо СМ ВL і DК АL. Одержимо чотири рівних прямокутних трикутники за гіпотенузою і за катетом і квадрат КLМС, бо КL=LM = МЕ=КЕ= а-b. Тоді площа S_авсd= С², або з другої сторони сумі площ квадрата і трикутників, т.б.

S²= 4аb/2+ (а-b)² = 2аb+а²- 2аb+ b² = a²+b² Що й треба було довести.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дано : трикутник АВС, АС = b, СВ = а, АВ = с

Довести: а²+ b²=с²

Доведення:

Виконаємо добудову. АМDС - прямокутна трапеція з основами АС і МD,

S_тр=(АС+МD)2*СD=(b+a)/2*(a+b)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

S_тр = S₁₊ S_{2 +} S₃ = аb/2+с²/2 +аb/2=2аb/2+с²/2

Прирівнявши обидві площі, отримаємо

(a+b)²/2 = 2ab+c²/2

a²?2аb + b² = 2 аb + с² отже а²+ b² = c²

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Розглянемо прямокутний трикутник із сторонами а, b, с та доведемо, що а + b = с

Доведення: Побудуємо квадрат із стороною а+b. Його площа S = (а+b)² Добудуємо згаданий трикутник в цей квадрат так, як показано на малюнку. З другого боку площа цього квадрата дорівнює сумі площ чотирьох рівних прямокутних трикутників площа кожного з яких 1/2 аb, і квадрата з стороною С,тому S = 4*1/2аb+с²=2аb+с2 Прирівняємо ці площі (a+b)² = 2ab+c²,звідки с²=а²+b²

ЦІКАВІ ФАКТИ ПРО ВИДАТНИХ МАТЕМАТИКІВ

При підготовці даного матеріалу було переглянуто понад сотню біографічних довідок відомих математиків і відібрано для дослідження 80 з них, цікавих своїм особистим життям, зокрема: походженням, освітою, здоров'ям, поглядами, незвичайними ситуаціями тощо.

1. Життя і діяльність математиків простежується в усі часи від V ст. до н. е. і до XXІ ст. н. е. Дослідженням найбільше охоплено XVIII і XIX ст.

2. У калейдоскопі промайнули біографії вчених різних національностей з різних країн світу. Найменша кількість представників Індії, Норвегії, Чехії, Угорщини, Іспанії, Швейцарії, України і Польщі, найбільша - представників Америки, Англії, Стародавньої Греції, Німеччини, Італії, Росії і Франції.

Серед видатних вчених різних національностей є представники і з України - це Остроградський, Вороний і Боголюбов, Ляпунов, Банах, Кулик, Антропольський, Фущич, Самійленко, Перестук, Парасюк, Ядренко, Скороход та інші. В Україні існують такі передові математичні школи: київська, львівська, одеська, харківська, дніпропетровська, донецька.

3. Майбутні вчені народжувались у різних сім'ях: багатих і бідних, безрідних і знатних. По-різному складалося життя і проходило дитинство цих великих у майбутньому людей. Дехто жив у розкошах, а дехто потерпав від злиднів і труднощів. У зрілому віці деякі жили у славі, а інших не розуміли їхні ж сучасники і велич їхніх праць була визнана лише набагато пізніше, після смерті. Деякі вчені незалежно один від одного робили однакові винаходи, а потім все життя сперечались за авторство.

Зазирнемо в дитинство окремих видатних математиків.

Жан Д'Aламбер (Лерон). Початок його життя, як у поганому романі: листопад, ніч, мороз, заметіль. На східцях церкви св. Жана лежав маленький згорточок, що тихенько здригався і попискував. Його знайшов поліцейський, який побачив, що було немовля в дорогій ковд Виявилось, що це був хлопч Його віддали на виховання у і гатодітну сім'ю скляра. Хлопчика назвали Жаном Пероном (тобто Жаном Круглим) за іменем церкви, де його знайшли. Ставши дорослим, він сам собі вигадав ім'я: Жан Лерон Д'Аламбер.

Нікколо Тарталья. Справжнє прізвище вченого - Фонтана. Народився у бідній родині. Коли місто окупували французи, батько Нікколо загинув. Солдати грабували, палили, вбивали. Маленького Нікколо тяжко поранили і викинули у вікно, при цьому пошкодили йому щелепу, у нього був розсічений язик. Матері пощастило врятувати життя сина, але вільно говорити Нікколо вже ніколи не міг, мова його була вкрай незрозумілою, від чого він і дістав прізвисько Тарталья, тобто заїка.

4. По-різному відомі математики здобували освіту. Більшості з них пощастило навчатися у кращих вчителів, у престижних школах. Великий вплив на своїх дітей мали їхні освічені батьки. Але багато хто не мав такої можливості через злидні та інші труднощі, а тому таким дітям довелося здобувати освіту самотужки. Візьмемо, наприклад, одну з шкіл.

Піфагорійський союз. Цей союз був одночасно і філософською школою, і політичною партією, і релігійним братством. Статут піфагорійського союзу був дуже суворим. Кожний, хто вступав до нього, відмовлявся від особистої власності на користь союзу, зобов'язувався не проливати крові, не вживати м'ясної їжі, берегти таємницю вчення свого вчителя. Членам школи заборонялось навчати інших за винагороду.

Для стародавніх греків математика була насамперед геометрією. А тому над дверима Академії, де Платон навчав своїх учнів, було зроблено напис: «Нехай сюди не входить ніхто, хто не знає геометрії».

Одного разу цар Птолемей запитав у Евкліда, чи немає в геометрії коротшого шляху для її вивчення, ніж той, що пропонує Евклід. На що вчений відповів: «Для царів немає окремого шляху в геометрії».

Про феноменальну пам'ять Пуссена існує легенда: однієї безсонної ночі він обчислив у пам'яті 27 цифр квадратного кореня із 53-цифрового числа, а ранком записав їх.

Обдаровані від природи діти з'являються у всі часи і серед всіх народів:

Дазе називали людиною-рахівником. У 15 років він виступав перед публікою.

Боголюбов у 14 років став студентом Академії наук.

Ейлер у 20 років дістав запрошення до Петербурзької Академії наук, у 26 років його обрали академіком.

Гамільтон у 3 роки читав, у 5 років знав три мови, у 10 років став студентом, у 12 років знав 12 мов, у 22 роки став професором.

Фрідман займався наукою у 6 класі.

Грін, навпаки, тільки у 40 років вступив до університету.

Деякі жадібні до знань діти, не маючи можливості здобути світу, були самоучками. Ось деякі факти.

Тарталья через бідність залишив школу, вивчивши абетку тільки до букви К. Потім самостійно опанував грамоту, оволодів латиною і грецькою мовою, математикою. Не маючи паперу для вправ, він свої записи обчислення робив на надгробках одного із затишних кладовищ.

Софі Жермен батьки не дозволяли займатися математикою, якою вона захоплювалась. Софі писала свої виклади таємно ночами під ковдрою.

Еварист Галуа, ще коли був хлопчиком, прочитав першу математичну книжку, що потрапила до його рук, - це була «Геометрія» Лежандра. Прочитав її так, як інші читають роман.

5. Щодо здоров'я великих вчених: одні вчені мали добре здоров'я, інші хворіли (хто з дитинства, хто уже в зрілому віці). Є серед вчених і довгожителі, і ті, хто пішов з життя в ранньому віці, дехто від хвороб, які тоді були невиліковні.

Є вчені, які померли своєю смертю, а є й ті, що загинули насильницькою смертю.

Загинули від хвороби:

від запалення легенів - Декорт, Больцано, Ковалевська;

від чуми - Шикард;

від серцевого нападу - Лузін;

від злиднів і хвороб - Абель;

у стані, близькому до психозу, - Больяй.

Померли насильницькою смертю: Піфагор - випадково під час повстання: Архімед - від руки римлянина під час облоги Сиракуз: Гіпатія - вбили християнські фанатики; Вільмес - спалили інквізитори; Банах - загинув у фашистських застінках; Галуа - загинув на дуелі в 20 років, Ляпунов - самогубство. Ось деякі витяги з цього приводу.

Нестриманість і дратівливість Больяя, успадковані ним від матері, спричиняли його сварки з товаришами, які закінчувалися поєдинками. Було навіть таке, що одного дня його викликали на дуель відразу 12 офіцерів.

У 24 роки Паскаля розбив параліч (в дитинстві його покусав скажений пес). Він ледве пересувався на милицях, але й далі працював. Здавалося, дух цієї людини переміг ії немічну плоть. Потім здоров'я Паскаля то поліпшувалось, то погіршувалось. Коли йому стало краще, він зібрався одружитися, але нещасний випадок (карету понесли коні) зовсім вибив Паскаля із нормального життя. З цієї миті, можна вважати, він помер, хоча прожив іще 8 років. Він сидів одягнений у волосяницю, утикану цвяхами, жовтий, худий, мовчазний. Паскаль помер на 39-му році життя.

Під час німецької окупації Стефана Банаха замучили фашисти: його кинули до в'язниці, де вчений був використаний як донор для годування вошей з метою виготовлення протитифозної сироватки.

Окремо слід поговорити про довгожителів серед вчених математиків. Якщо за точку відліку взяти 70 років, то до цього віку і довше дожили такі вчені, як: Кулик, Вінер, Лейбніц (по 70 років); Фішер (72); Чаплигін (73); Кардано і Архімед (по 75); Ейлер (76); Гулак (77); Лагранж (77); Галілей (78); Платон (80); Вівіані (81); Жордан (84); Діофант (84); Пуссен (87); Гаусс (88); Піфагор (90); Фалес (до 100 років).

6. Математика ставала в нагоді вченим при виконанні складних завдань у різні часи.

Знання математики допомогли французу Вієту розкрити шифр у листуванні іспанського короля Філіппа II під час війни Франції з Іспанією, чим він прискорив перемогу Франції. За це іспанська інквізиція оголосила Вієта чаклуном і боговідступником і присудила його до спалення на вогнищі.

Архімед за допомогою математичних розрахунків сконструював силу-силенну всіляких механізмів, які настільки допомагали у війні проти римлян при облозі Сиракуз, що Марцелло вимушений був сказати: «Треба припинити війну проти геометра». Пізніше тільки зрада допомогла римлянам увійти до Сиракуз.

Для багатьох вчених математика була сенсом життя.

Тяжкохворий Боссю так ослаб, що не подавав ніяких ознак життя. Коли над ним схилились його друзі, які вже думали, що він помер, один з них зауважив: «Зачекайте! Боссю, скажи, скільки буде сім помножити на дев'ять?». Тяжкохворий, не розплющуючи очей, ледь чутно сказав: «63». Друзі зраділи: «Раз обчислює, значить живе».

Тяжкохворому Вороному забороняли займатися обчисленням і взагалі математикою. Він і сам розумів, що не повинен цього робити, та водночас казав лікарям: «Як ви не розумієте, що заняття математикою - це і є життя, а інакше для чого ж тоді жити».

Коли на одній вченій раді постало питання, якому предмету у програмах віддати перевагу - мові чи математиці, піднявся мовчазний Гіббс і сказав: «Математика - це мова».

Про те, що математика може все, влучно сказав Чаплигін у розмові з майбутніми інженерами: «Вивчайте математику, все будете знати».

Штейнгауз зазначав, що коли двом різним людям доручити виконати якусь одну справу, то її краще зробить математик.

7. Вчені-математики за різних часів не знаходилися осторонь політичних подій, вони брали в них активну участь. Деякі виступали проти релігії, проти існуючого уряду і потерпали від цього.

Больцано виступав проти уряду. За ці виступи його звільнили з роботи, віддали під нагляд поліції.

Галуа був революціонером, публічно виступав проти королівського режиму. Його супротивники призвели до ситуації, що спричинила дуель, на якій він і загинув у 20 років, встигнувши за свій короткий вік зробити дуже багато в царині математики.

Марков (батько) виступав проти царських сатрапів.

Лузін був революціонером.

Галілей під натиском інквізиції відрікся від «єресі Коперніка», і ще ходить легенда, що, піднімаючись з колін, він сказав: «А все ж таки вона обертається» (маючи на увазі Землю).

Вільмес Паоло мав необережність у присутності інквізитора Торквемади сказати, що він знає, як розв'язуються рівняння четвертого степеня, які, за словами Торквемади, самим Богом були заховані від людей. За це Паоло було заарештовано, після страшних тортур його спалили за вироком іспанської інквізиції.

Шикарда за винахід лічильної машини (арифмометра) інквізиція засудила до церковного каяття. Машину спалили.

Лобачевському за його атеїзм, волелюбний характер загрожували бути звільненим з університету і відданим у солдати.

Ейнштейну за часів перебування Гітлера при владі винесли заочно смертний вирок.

Янішевський відмовився прийняти присягу на вірність австрійському уряду, змушений був переховуватись.

Платона правитель Сиракуз Діонісій-старший продав у рабство.

Гіпатію з Александрії християнські фанатики вбили за те, що вона не прийняла їхньої віри.

8. На прикладах з життя видатних учених слід вчитися виховувати у собі чуйність, людяність, мужність.

Безу повинен був прийняти екзамен у двох своїх учнів, що захворіли на віспу. Сам Безу не хворів на віспу і дуже цього боявся. Але розумів і те, що коли учні не складуть іспит, то втратять рік навчання. Забувши про свої страхи, він поїхав до хворих, проекзаменував їх і був задоволений, бо його жертва не була марною.

Лобачевський помітив в одній із крамниць хлопчика, який кожної вільної хвилини щось обчислював. Як виявилось, це був сирота, якого господар привіз з Італії. На запитання Лобачевського, чи хоче хлопчик навчатися, той з радістю відповів: «Так». Лобачевський домовився з господарем і, забравши хлопчика, віддав його до гімназії. Закінчивши гімназію, здібний учень закінчив і університет. У майбутньому він став професором фізики. Янішевський роздавав бідним свій одяг, згодом на власні кошти відкрив притулок для сиріт і весь час утримував його. Після смерті своє тіло заповідав віддати до університетської клініки.

9. Математика - чудова наука.

Олександр з Вільдьє написав пісню про алгоритм, яка складається з 2645 віршів.

Леонардо да Вінчі назвав механіку «раєм математичних наук».

У XV ст. арифметику називали «малим мистецтвом», а алгебру - «великим мистецтвом».

Ньютон сказав про математику, що вона подібна до сварливої жінки, якщо хто захоче з нею поспілкуватися, то повинен весь час сперечатися.

Магницький одержав своє прізвище від Петра І за велике прaгнення до математики.

Бурбакі - це псевдонім, під яким виступала ціла група вчен математиків.

Лагранжа за велику ерудицію Наполеон назвав «Хеопсовою пiрамідою математичних наук».

Гаусса називали «королем математики» навіть його сучасники.

Вієта називали «батьком алгебри».

Вінера називали «батьком кібернетики».

Чи знаєте ви, що...

Чи знаєте ви, що Шарль Перро, автор «Червоної Шапочки», написав казку «Любов циркуля і лінійки»?

Чи знаєте ви, що Наполеон Бонапарт писав математичні роботи і один геометричний факт називається «Задача Наполеона»?

Чи знаєте ви, що одна з кривих ліній називається «Локон Аньєзі» на честь першої у світі жінки-професора математики Марії Гаетани Аньєзі?

Чи знаєте ви, що Л. М. Толстой, автор роману «Війна і мир», писав підручники для початкової школи і, зокрема, підручник арифметики?

Чи знаєте ви, що одна з мов програмування називається Ада на честь Ади Лавлейс, однієї з перших програмісток, яка працювала з математичними машинами і була дочкою відомого англійського поета Джорджа Байрона?

Чи знаєте ви, що квітку гортензію назвали на честь Гортензії Лепот, відомої обчислювальниці, що складала математичні таблиці? Вона привезла цю квітку з Індії.

Чи знаєте ви, що англійський математик Дж. Сильвестр написав сонет «Небесна муза», який він присвятив першій російській жінці-математику Софії Василівні Ковалевській?

Чи знаєте ви, що всі сучасні підручники з геометрії укладено на основі відомих «Начал» Евкліда, які написані в IV ст. до н. є.?

Чи знаєте ви, що О. С. Пушкін написав такі рядки: «Натхнення потрібно в геометрії, як і в поезії»?

Чи знаєте ви, що великий Евклід сказав царю Птолемею: «В геометрії немає царської дороги»?

Чи знаєте ви, що великий російський поет М. Ю. Лєрмонтов цікавився математикою і міг до пізньої ночі розв'язувати яку-небудь математичну задачу?

Чи знаєте ви, що радянський розвідник майор Віхрь (з відомого фільму) існував насправді і після війни працював учителем математики в одному невеличкому українському містечку?

Чи знаєте ви, що Піфагор був переможцем з кулачного бою на 58-х Олімпійських іграх, які проходили в 548 році до н. є., а потім перемагав ще на декількох Олімпіадах?

Чи знаєте ви, що знаменитий Фалес був спортивним уболівальником і помер на трибуні олімпійського стадіону під час бою Піфагора?

Чи знаєте ви, що в 1940 році було надруковано книгу, в якій є 370 різних способів доведення теореми Піфагора, а серед них є доведення, яке запропонував президент США Гарфілд?

Чи знаєте ви, що англійська королева, прочитавши книгу Льюїса Керрола «Аліса в Країні див», так зацікавилась нею, що наказала принести їй всі книжки цього письменника, але була розчарована, тому що в інших книгах були математичні формули?

Чи знаєте ви, що зібрання творів Леонарда Ейлера становить 75 великих томів, і якщо кожного дня переписувати по десять годин його роботи, то не вистачить 76 років?

Чи знаєте ви, що Франсуа Вієта майже було відправлено на вогнище за те, що йому пощастило розшифрувати таємне листування іспанського уряду з командуванням своїх військ? Іспанці вважали, що розкриття їхнього шифру людському розуму не під силу і Вієтові допомагав сам Сатана.

Чи знаєте ви, що аристократи-театрали просили французького короля нагородити Рене Декарта, який першим запропонував метод нумерації крісел по рядах і місцях? Але король відповів: «Так, те, що винайшов Декарт, - чудово і гідно нагороди, але дати її філософу?! Ні, це вже занадто!»

Чи знаєте ви, що теорему Піфагора називали «ослячим мостом»? Учнів, що запам'ятовували теорему без розуміння, називали віслюками, оскільки вони не могли перейти через міст - теорему Піфагора.

Размещено на Allbest.ru