В результате изучения параграфа учащиеся должны знать определения пропорциональных отрезков и подобных треугольников, теорему об отношении площадей подобных треугольников и свойство биссектрисы треугольника (задача 535); уметь применять их при решении задач типа 534 - 538, 541, 542, 544 - 548.

Признаки подобия треугольников

В этом параграфе рассматриваются три признака подобия треугольников. При изучении параграфа необходимо сформировать у учащихся навыки применения этих признаков при решении задач.

Особое внимание следует обратить на первый признак подобия треугольников, так как именно он лежит в основе доказательства двух других признаков, а, кроме того, чаще других применяется при решении задач.

Материал параграфа рекомендуется распределить по урокам следующим образом: первый признак подобия треугольников - 2урока; второй и третий признаки подобия треугольников - 2 урока; решение задач - 2 урока; после изучения этих тем рекомендуется провести контрольную работу.

Перед тем как приступить к изучению первого признака подобия треугольников, полезно повторить понятие пропорциональных отрезков и теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу. Это можно сделать в процессе устного решения задач по заготовленным чертежам (см. план урока№3). Доказательство первого признака подобия треугольников рекомендуется провести самому учителю.

В классе на первом и втором уроках можно решить задачи 550, 551(а), 553(а), 561, 556, 557(а, б).

Дома: вопрос 5 (с. 153); задачи 551(б), 552(а), 553(б), 557(в), 558(обратить особое внимание на эту задачу).

На втором уроке можно провести небольшую самостоятельную работу обучающего характера (см. приложение 1 урок№4).

Доказательство теорем, выражающих второй и третий признаки подобия треугольников, также желательно провести самому учителю. Учащиеся записывают в тетради план - конспект доказательства каждой теоремы.

На применение второго и третьего признаков подобия треугольников в классе рекомендуется решить задачи по готовым чертежам (см. приложение 1 урок№5, урок№6), кроме того, можно решить задачи 560(а), 613(а).

Дома: вопросы 6,7 (с. 153 - 154); задачи 559, 560(б), 613(б).

На последнем уроке в классе решаются задачи на применение признаков подобия треугольников (по выбору): 552(б), 554, 555(а), 562, 563(а), 611.

Дома: 552(в), 553(в), 555(б), 563(б), 605.

В конце урока рекомендуется провести проверочную работу (см. приложение 1 урок№7). Закончить изучение данного параграфа проведением контрольной работы (см. приложение 1 урок№9).

Урок№3

Первый признак подобия треугольников

Цели: образовательные - закрепить знания, умения и навыки учащихся по теме «Определение подобных треугольников, отношение их площадей» в процессе решения задач; рассмотреть первый признак подобия треугольников и сформировать у учащихся навыки применения этого признака при решении задач;

развивающие - развивать мыслительную деятельность учащихся на уроке; развивать интеллектуальные качества личности учащихся, способствовать формированию навыков коллективной и самостоятельной работы; формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли;

воспитательные - воспитывать внимательность и аккуратность при выполнении заданий, а также бережное отношение к школьным принадлежностям.

Ход урока

1.Организационный момент:

· приветствие;

· рапорт дежурного;

· сообщить тему урока, сформулировать образовательные цели.

2.Устная работа.

Повторить определение пропорциональных отрезков, определение подобных треугольников, теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, теорему об отношении площадей двух подобных треугольников.

Устно решить следующие задачи с целью подготовки учащихся к восприятию нового материала:

1. На рис.4 AD - биссектриса треугольника АВС, АВ = 4см, АС = 8см, ВС = 6см. Найдите: а) BD и CD; б) S:S.

2. По данным рис.5 найдите отношение площадей треугольников COD и АОВ.

3. На рис.6 S = 36см, AN:NC = 3:1, ВМ:МС = 2:1, АК = КВ. Найдите: а) S; б) S; в) S.

рис.4 рис.5 рис.6

3.Объяснение нового материала.

1. Сформулировать первый признак подобия треугольников.

2. Доказать первый признак подобия треугольников и записать план доказательства на доске и в тетрадях учащихся.

Дано: ?АВС, ?А₁В₁С₁, А = А₁, В = В₁.

Доказать: ?АВС ~ ?А₁В₁С₁.

Доказательство:

1. С = 180⁰ - (А + В) = 180⁰ - (А₁ + В₁) = С₁.

2. А = А₁, тогда .

3. С = С₁, тогда .

4. Из (2) и (3) следует АВ : А₁В₁ = ВС : В₁С₁.

5. Т.к. А = А₁, В = В₁, то ВС : В₁С₁ = СА : С₁А₁.

6. Из (4) и (5) следует , то ?АВС ~ ?А₁В₁С₁.

Пункт 5) доказательства теоремы можно рекомендовать доказать самостоятельно на уроке или дома на усмотрение учителя.

4.Закрепление нового материала.

В классе можно решить следующие задачи 550, 551(а), 553(а), 561.

Для уменьшения количества ошибок нужно добиться того, чтобы в задачах типа 550, 551 учащиеся записывали отношения всех сходственных сторон подобных треугольников, причем задачу 551(а) предложить учащимся решить самостоятельно после обсуждения плана решения задачи.

Условимся в числителе писать стороны большего треугольника, а в знаменателе меньшего. Для вычисления сторон выбираем те отношения, про которые что - либо известно.

5.Итоги урока.

Предложить учащимся устно ответить на вопросы:

· Какие треугольники подобны по определению?

· Как звучит первый признак подобия треугольников?

Прокомментировать работу учащихся на уроке и отметить активных.

6.Домашнее задание: п.59, вопрос 5 (с.153); №551(б), 552(а), 553(б).

В качестве творческого задания можно предложить учащимся вырезать из бумаги или картона следующие треугольники:

а) Углы меньшего треугольника равны 70 и 30 градусов, коэффициент подобия равен 3.

б) Углы большего треугольника равны 50 и 80 градусов, коэффициент подобия равен 2.

В результате изучения параграфа учащиеся должны знать признаки подобия треугольников, уметь их доказывать и применять при решении задач типа 550 - 555, 559 - 562, а также знать утверждения, сформулированные в задачах 556, 558, и уметь их применять при решении задач типа 557.

Применение подобия к доказательству теорем и решению задач

Назначение параграфа - показать применение подобия треугольников при доказательстве теорем, решении задач (в том числе задач на построение циркулем и линейкой), в измерительных работах на местности; выработать у учащихся навыки использования теории подобных треугольников при решении разнообразных задач.

Материал параграфа рекомендуется распределить по урокам следующим образом: теорема о средней линии треугольника и свойство медиан треугольника - 2 урока; теоремы о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике и деление отрезка в данном отношении - 2 урока; практическое приложение подобия треугольников - 2 урока; о подобии произвольных фигур - 1 урок.

В начале первого урока полезно повторить с учащимися второй признак подобия треугольников и познакомить их с идеей доказательства теоремы о средней линии треугольника, решив устно задачи по заготовленным чертежам (см. урок№10). После этого нужно дать определение средней линии треугольника, сформулировать теорему о средней линии треугольника. Доказательство теоремы можно предложить учащимся провести самостоятельно. На применение этой теоремы в классе рекомендуется решить задачи 564(устно), 567. О свойстве медианы треугольника (задача 1 из параграфа 3) целесообразно рассказать учителю самому, а затем учащиеся решают (на доске и в тетрадях) задачу 570 (см. приложение 1 урок№11).

Дома: вопросы 8,9 (с.154); задачи 565, 566, 571.

На следующем уроке усвоение изученного материала закрепляется в процессе решения устных задач (см. приложение 1 урок№11). Кроме того, в классе рекомендуется решить задачи 568(а), 617.

Дома: задачи 568(б), 618.

Перед рассмотрением задачи 2 из пункта 63 о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике полезно ввести понятие среднего геометрического (среднего пропорционального) двух отрезков и далее устно решить задачи (см. урок№12).

Изучение п.63 можно организовать следующим образом: по заготовленному чертежу (рис.7) доказать подобие треугольников АВС и ACD, АВС и CBD, CBD и ACD, а затем как следствия из доказанного обосновать утверждения 1⁰ и 2⁰ п.63.

рис.7

Далее в классе рекомендуется решить задачи 572(а, в), 573(устно), 574(а), 575 и разобрать приведенное в учебнике решение задачи 578.

Дома: вопросы 10, 11(с.154); задачи 572(б), 574(б), 576.

Замечания. 1. Задачу 574(а) полезно решить двумя способами: с помощью теорем о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике и с помощью формулы площади прямоугольного треугольника. 2. Желательно, чтобы решение задачи 578 (доказательство теоремы Пифагора) учащиеся законспектировали в тетрадях.

На следующем уроке в классе можно решить задачи 577, 584, 585(а, б), 614.

Перед тем как разобрать задачу 584 (деление отрезка в данном отношении), полезно вспомнить задачу 556, выполнить устно задания (см. приложение 1 урок№13).

Дома: задачи 585(в), 607, 623 (с предварительным комментарием учителя).

При наличии времени на уроке рекомендуется провести проверочную самостоятельную работу (см. приложение 1 урок№13).

Перед тем как приступить к решению задач на построение методом подобия, желательно напомнить учащимся основные задачи на построение. С этой целью в начале урока можно выполнить задания на построения, при которых достаточно, если учащиеся укажут в каждом случае последовательность выполнения операций (см. приложение 1 урок№14).

Задачу 3 из п.64 целесообразно разобрать самому учителю, а затем в классе можно решить задачу 589 с оформлением на доске и в тетрадях учащихся, далее задачи 590, 622.

Дома: вопрос 12 (с.154); задачи 586, 587, 588.

При наличии времени в конце урока можно провести самостоятельную работу (см. приложение 1 урок№15).

На последнем из уроков, отведенных на изучение параграфа 3, рекомендуется рассмотреть материал раздела «Измерительные работы на местности» и решить в классе задачи 581, 582. В конце урока желательно провести небольшую беседу (10 мин) о подобии произвольных фигур (см. приложение1 урок№16).

Дома: вопросы 13, 14 (с 154); задачи 579, 580.

Урок№10

Средняя линия треугольника

Цели: образовательные - рассмотреть теорему о средней линии треугольника и свойство медиан треугольника, показать их применение в процессе решения задач; совершенствовать навыки решения задач на применение теории подобных треугольников;

развивающие - развивать мыслительную деятельность учащихся на уроке; развивать интеллектуальные качества личности учащихся, способствовать формированию навыков коллективной и самостоятельной работы; формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли;

воспитательные - воспитывать внимательность и аккуратность при выполнении заданий, а также бережное отношение к школьным принадлежностям.

Ход урока

1.Организационный момент:

· приветствие;

· рапорт дежурного;

· сообщить тему урока, сформулировать образовательные цели.

2.Анализ контрольной работы.

a) Сообщить общий результат выполненной работы.

b) Обсудить идею решения задач, с которыми не справились большинство учащихся.

c) Предложить выполнить работу над ошибками самостоятельно дома.

3.Подготовка к восприятию нового материла

Повторение теоретического материала по готовым чертежам.

1. На рис.8 CD = 4, AD = 8, СЕ = 5, ВЕ = 10. Доказать: а) ?CDE ~ ?CAB; б) АВРРDE.

рис.8

2. Рис.9 ABCD - трапеция. Доказать: а) АО : ОС = ВО : OD.

рис.9

4.Изучение нового материала.

1) Ввести определение средней линии треугольника.

На доске и в тетрадях учащихся рис.10 и запись: если АМ = МВ и CN = NB, то MN - средняя линия ?АВС.

рис.10

2) Творческое задание

- Исследуйте, какими свойствами обладает средняя линия треугольника. (Работа осуществляется в группах с последующим обсуждением решения задания.)

3) Оформление теоремы о средней линии треугольника с доказательством на доске и в тетрадях учащихся.

Дано: ?АВС, MN - средняя линия (рис.10)

Доказать: MNРРАС, MN = АС/2.

Доказательство:

а) ?MBN ~ ?АВС (ВМ : ВА = BN : NC = 1 : 2, В - общий).

б) BMN = BAC MNРРАС.

в) MN : АС = ВМ : ВА = 1 : 2 MN = АC/2.

5.Закрепление нового материала.

· Решить задачу№564 (устно);

· Решить задачу№1 пункта 62 учебника;

· Решить в тетрадях задачи: №567, 568(а), 570;

· Решить устно задачу с целью закрепления свойства медиан треугольника:

В ?АВС медианы АА₁, ВВ₁, СС₁, равные соответственно 6см, 9см и 12см, пересекаются в точке О. Найти АО + ОВ + СО (рис.11)

рис.11

6.Итоги урока.

Вспомнить вместе с учащимися определение средней линии треугольника и теорему о средней линии треугольника.

Прокомментировать и оценить работу наиболее активных учащихся.

7.Домашнее задание: п.62, вопрос 8, 9 (с.154); № 565, 566, 568(б).

Урок№12

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Цели: образовательные - ввести понятие среднего пропорционального (среднего геометрического) двух отрезков; рассмотреть задачу о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике: свойство высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла; сформировать у учащихся навыки использования изученной темы в процессе решения задач;

развивающие - развивать мыслительную деятельность учащихся на уроке; развивать интеллектуальные качества личности учащихся, способствовать формированию навыков коллективной и самостоятельной работы; формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли;

воспитательные - воспитывать внимательность и аккуратность при выполнении заданий, трудолюбие, усердие, целеустремленность.

Ход урока

1.Организационный момент:

· приветствие;

· рапорт дежурного;

· сообщить тему урока, сформулировать образовательные цели.

2.Актуализация знаний учащихся

Решение задач на готовых чертежах с целью подготовки учащихся к восприятию нового материала.

1. Рис.12. Дано: В = 90⁰, С = 35⁰. Доказать: а) ?ABD ~ ?BCD; б) ?ABD ~ ?ACB.

рис.12

2. Рис.13. Дано: В = 90⁰. Найти АВ, ВС, BD.

рис.13

3.Изучение нового материала

· Среднее геометрическое двух отрезков

Ввести понятие среднего пропорционального (среднего геометрического) двух отрезков.

Запись на доске и в тетрадях учащихся: XY = , XY - среднее пропорциональное (среднее геометрическое) для отрезков АВ и CD.

· Решить устно задачи:

а) Найти длину среднего пропорционального отрезков MN и КР, если MN = 9см, КР = 16см.

б) Среднее пропорциональное отрезков АВ и CD равно 10, а разность их длин равна 21. Найти длины отрезков АВ и CD.

· Творческое задание по группам

I группа: Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

II группа: доказать, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Данные задачи желательно дать группам на отдельных карточках для обеспечения максимально самостоятельного подхода к решению задач.

· Обсуждение решений задач

На доске и в тетрадях записать и изобразить рис.14:

Если в ?АВС С = 90⁰, CD - высота, то

а) ?АВС ~ ?ACD; ?ABC ~ ?CBD; ?ACD ~ ?CBD.

б) CD = .

в) АС = ; СВ = .

рис.14

4.Закрепление нового материала

Решить самостоятельно задачи 572(б, г), 574(а), в ходе решения задач достаточно начертить общий рисунок.

5.Подведение итогов

Предложить учащимся ответить на вопросы:

· Какой отрезок XY называется средним пропорциональным?

· На какие два треугольника делит высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, заданный треугольник?

· Средним пропорциональным чего является высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла?

· Что является средним пропорциональным между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой?

Прокомментировать работу учащихся и отметить наиболее активных.

6.Домашнее задание: п.63, вопросы 10, 11; задачи № 572(а, в, д), 573, 574(б).

В результате изучения параграфа учащиеся должны знать теоремы о средней линии треугольника, точке пересечения медиан треугольника и пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике; уметь их доказывать и применять при решении задач типа 567, 568, 570, 572 - 577, а также уметь с помощью циркуля и линейки делить отрезок в данном отношении и решать задачи на построение типа 586 - 590.

Замечание. Практическое занятие (лабораторную работу) по проведению измерительных работ на местности можно провести в удобное время в конце года.

Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника

В этом параграфе учащиеся знакомятся с элементами тригонометрии, необходимыми для решения прямоугольных треугольников. Здесь вводятся понятия синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника, вычисляются их значения для углов 30⁰, 45⁰ и 60⁰. Столь раннее введение элементов тригонометрии связано в первую очередь с тем, что они необходимы учащимся на уроках физики уже в самом начале 9 класса.

Материал параграфа можно распределить по урокам следующим образом: п.66 - 1 урок, п.67 - 2 урока, решение задач - 1 урок.

Весь теоретический материал п.66 можно дать в виде небольшой лекции, содержание которой закрепляется в классе в процессе решения задач 591(а,б), 592(а, в, д), 593(а) (см.приложение 1 урок№17).

Дома: вопросы 15, 16, 17 (с.154); задачи 591(в, г), 592(б, г, е), 593(б).

Решению прямоугольных треугольников рекомендуется посвятить часть первого и часть второго уроков. Полезно к каждой задаче составлять план решения. В классе можно решить задачи 594(б), 597(б), 598(а). Дома: задачи 595(б), 596(б), 598(б).

Перед тем как приступить к вычислению значений тригонометрических функций для углов 30⁰, 45⁰ и 60⁰, желательно напомнить учащимся свойство прямоугольного треугольника с острым углом в 30⁰ и признак равнобедренного треугольника. С этой целью можно устно решить задачи по заготовленным чертежам (см. урок№18).

После заполнения таблицы значений тригонометрических функций для углов 30⁰, 45⁰ и 60⁰ в классе рекомендуется решить задачи 593(а, б), 601.

Дома: вопрос 18 (с.154); задачи 600, 602.

Последний урок отводится на решение задач к 3 и 4 параграфам, подготовку к контрольной работе. На этом уроке рекомендуется провести проверочную самостоятельную работу (см. приложение 1 урок№20).

Урок№18

Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30⁰, 45⁰ и 60⁰

Цели: образовательные - научить учащихся вычислять значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30⁰, 45⁰ и 60⁰; формировать умение решения прямоугольных треугольников, используя синус, косинус и тангенс острого угла;

развивающие - развивать мыслительную деятельность учащихся на уроке; развивать интеллектуальные качества личности учащихся, способствовать формированию навыков коллективной и самостоятельной работы; формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли;

воспитательные - воспитывать внимательность и аккуратность при выполнении заданий, трудолюбие, усердие, целеустремленность.

Ход урока

1.Организационный момент:

· приветствие;

· рапорт дежурного;

· сообщить тему урока, сформулировать образовательные цели.

2.Актуализация знаний учащихся

Ш Математический диктант

1. Закончите предложение: «Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение…» [Запишите, используя обозначение: косинус 60⁰ равен 1/2.]

2. Запишите, использую обозначение: косинус 45⁰ приближенно равен 7/9. [Закончите предложение: «Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение…»]

3. Запишите формулой, чему равен тангенс угла . [Запишите основное тригонометрическое тождество]

4. Постройте угол, косинус которого равен 0,6 [синус, которого равен 0,3]

Ш Решение задач на готовых чертежах

1.Рис.14. Найти: sinА, cosА, tgА, sinВ, cosВ, tgВ.

2.Рис.15. Дано: ABCD - параллелограмм. Найти: S_ABCD.

3.Рис.16. Найти: S_АВС.

4.Рис.17. Дано: ABCD - трапеция. Найти: AD.

рис.14 рис.15

рис.16 рис.17

3.Изучение нового материала

Вычислить значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30⁰, 45⁰ и 60⁰ можно в процессе решения задач. Параллельно можно заполнить таблицу значений sin, cos, tg для углов , равных 30⁰, 45⁰ и 60⁰.

Задача№1

В ?АВС (С = 90⁰) А = 30⁰. Вычислите sinА, cosА, tgА, sinВ, cosВ, tgВ.

Рекомендации учителя для учащихся:

1. Примите ВС за х и найдите остальные стороны ?АВС.

2. Вычислите sinА, cosА, tgА, sinВ, cosВ, tgВ.

3. Найдите еще один способ для вычисления cosА, tgА, cosВ, tgВ.

Задача№2

(Предложить учащимся решить самостоятельно с последующим обсуждением)

В прямоугольном треугольнике АВС С = 90⁰, А = 45⁰. Вычислите sinА, cosА, tgА.

4.Закрепление изученного материала

Решить задачи 594, 596.

Дополнительно можно решить следующие задачи:

1. В прямоугольной трапеции основания равны 6см и 11см, меньшая боковая сторона равна 4см.

2. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что OD = 10см. Из точки D на отрезок ОВ опущен перпендикуляр DE, ОЕ = 6см. Найдите DOE.

3. Сторона AD параллелограмма ABCD равна 12см, диагональ BD перпендикулярна стороне АВ и равна 7см. Найдите углы параллелограмма.

5.Подведение итогов урока

Еще раз вспомнить чему равны синус, косинус, тангенс для углов 30⁰, 45⁰ и 60⁰. Прокомментировать работу учащихся и оценить активных.

5.Домашнее задание: п.67, вопросы 15 - 18 (с.154); задачи 595, 598.

В результате изучения параграфа учащиеся должны знать определение синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника; уметь доказывать основное тригонометрическое тождество; знать значения синуса, косинуса, тангенса для углов 30⁰, 45⁰ и 60⁰; уметь решать задачи.

6.Разработка факультативного занятия

Цели и задачи: образовательные - показать учащимся практическое применение подобия треугольников для проведения измерительных работ на местности: определение высоты предмета; познакомить учащихся с различными способами определения высоты предмета, основанных на теоремах подобных треугольников; учить учащихся применять полученные знания при решении задач данного вида;

развивающие - развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся на уроке посредством анализа и сравнения различных способов определения высоты предмета; с помощью решения задач исследовательского характера развивать интеллектуальные качества личности школьников такие, как самостоятельность, гибкость мышления, способность к оценочным действиям, обобщению, быстрому переключению; способствовать формированию навыков коллективной и самостоятельной работы; в целях развития эмоций учащихся обеспечить в ходе урока ситуации эмоциональных переживаний; формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли;

воспитательные - прививать учащимся интерес к предмету посредством включения их в решение практических задач: измерение высоты предмета Фалесом, измерение высоты скалы «Дальнего вида» героями книги Жюля Верна «Таинственный остров»; формировать умения аккуратно и грамотно выполнять математические записи.

Оборудование:

- книга Жюля Верна «Таинственный остров»;

- рисунки со схематичным изображением пирамиды;

- карточки с заданиями;

- указания к решению задач;

- кодоскоп, плёнки.

Ход занятия

I.Организация начала занятия

Учитель: Давайте вместе внимательно прочитаем тему: « Практические приложения подобия треугольников. Определение высоты предмета». Вдумайтесь в формулировку темы, сформулируйте и запишите в тетради проблемы, которые на ваш взгляд мы должны решить по этой теме.

Учащиеся называют проблемы, а учитель кратко записывает их на доске и обещает, что на все вопросы постараемся дать ответы на этом занятии или последующих уроках в классе. Учитель сообщает учащимся, какие ещё проблемы ему удалось выделить.

Проблемы:

- Как могут быть использованы свойства подобных треугольников для определения высоты предмета?

- Какие существуют способы для определения высоты предмета?

- Какие приборы или приспособления необходимы, чтобы измерить высоту предмета?

- В чём сходство и различие в определение высоты предмета? Какой из них самый оптимальный?

- Кто впервые использовал свойства подобных треугольников для определения высоты предмета?

Учитель: Оказывается, существует множество способов производить подобные измерения при помощи весьма незамысловатых предметов и даже без всяких приспособлений. Сегодня мы попытаемся выделить способы определения высоты предмета, вывести необходимые формулы и применить их при решении ряда задач.

Если знать теорию подобных треугольников, то такие чудеса выполняются достаточно просто. Повторим её с помощью решения задачи по готовому чертежу.

II.Актуализация знаний

В В

15 15

? D Д

А 4 Е С Е С

12 4 А 12

Рис.18 Рис.19

Задания классу:

1. Составьте задачу по рис.18

(На сторонах АВ и АС прямоугольного треугольника АВС ( С = 90⁰) взяты точки D и Е, соответственно так, DE АС, АЕ=4, АС=12. Найдите AD, если АВ=15)

2. Составьте план решения этой задачи.

Возможный план:

1) Доказать, что ADE подобен АВС.

2) Выделить сходственные стороны треугольников и записать соответствующую пропорцию.

3) Найти AD - неизвестный член пропорции.

3. Ответьте на вопросы: Какие ещё вопросы можно поставить к условию этой задачи? Какие теоремы нужно применить, чтобы ответить на тот или иной вопрос?

Возможные вопросы:

1) Найдите AD, ВС.

2) Чему равно отношение площадей треугольников ADE и АВС?

3) Найдите площади треугольников ADЕ и АВС.

4) На сколько периметр треугольника АВС больше периметра треугольника ADE? и т.п.

4. Изменим рис.18. Изменим положение треугольника АDЕ так, как показано на рис.19 . Найдите DE, не используя найденные данные в 1 задаче. Укажите несколько способов. Что изменилось?

5. Пусть, В =45⁰ . Как при этом должно измениться условие задачи. Сколько данных тогда нужно будет знать, чтобы найти DE.

Чертежи к задаче строятся заранее на доске или плёнке кодоскопа. Ответы на поставленные вопросы выясняются в ходе беседы.

III.Поиск новых знаний

Учащиеся работают в четвёрках. Учитель даёт инструкции по работе в группе.

1. Учитель: Мы повторили свойства подобных треугольников, которые должны помочь вам разрешить проблемы, о которых мы говорили в начале занятия.

Первый способ определения высоты предмета вы узнаете, прослушав историю, которая произошла в VI веке до нашей эры и проведя некоторое исследование.

« Усталый пришёл чужеземец в страну Великого Хапи. Солнце уже садилось, когда он подошёл к великолепному дворцу фараона. Он что-то сказал слугам. По мгновению распахнули перед ним двери и провели его в приёмную залу. И вот он стоит в запылённом походном плаще, а перед ним на золоченом троне сидит фараон. Рядом стоят высокомерные жрецы, хранители великих тайн природы.

- Кто ты? - спросил верховный жрец.

- Зовут меня Фалес. Родом я из Милета.

Жрец надменно продолжал:

- Так это ты похвалялся, что сможешь измерить высоту предмета, не взбираясь на неё? - Жрецы согнулись от хохота. - Будет хорошо, - насмешливо продолжал жрец, - если ты ошибёшься не более чем на 100 локтей.

- Я могу измерить высоту пирамиды и ошибусь не более чем на пол-локтя. Я сделаю это завтра.

Лица жрецов потемнели. Какая наглость! Этот чужеземец утверждает, что может вычислить то, чего не могут они - жрецы великого Египта.

- Хорошо, - сказал фараон. - Около дворца стоит пирамида, мы знаем её высоту. Завтра проверим твоё искусство».

На следующий день Фалес нашёл длинную палку, воткнул её в землю чуть поодаль пирамиды. Дождался определённого момента. Провёл некоторые измерения, сказал способ определения высоты пирамиды и назвал её высоту.

А что он сказал, вы попробуете мне рассказать через 10 минут. Перед вами на парте лежит карточка с изображением пирамиды (рис.20). Используя рисунок, выведите формулу, с помощью которой, можно найти высоту пирамиды. Допустим, что Фалес воткнул палку в землю так, как показано на рис.20. Если, приступая к заданию, вы поняли, что вам нужна помощь, то вы можете взять указания к решению этой задачи:

1. Выполните чертёж.

2. Посмотрите, какие измерения вы смогли бы провести. Введите обозначения.

3. Если вы правильно выполнили дополнительные построение, то получили 2 треугольника. Исходя из того, что солнечные лучи, идущие к пирамиде можно считать параллельными, определите вид треугольников.

4. Выведите формулу.

5. Восстановите фразу Фалеса, сказанную фараону и его жрецам.

Солнечные

лучи.

Рис.20

Проверка выполнения задания:

Указания:

1. Та группа, которая справилась с заданием, кладёт листок с решением на стол учителя.

2. Учащимся предлагается взять листок любой другой группы и проверить правильность выполнения задания. Если они не согласны с решением, то им разрешается подойти к другой группе и высказать свою точку зрения.

3. Группам выделяется часть доски, на которой они записывают выводы формул. Если решения аналогичные, то записать их может только одна из групп.

4. Обсуждаются представленные решения и оформления задач. Выделяются верные решения.

5. Учащимся предлагается записать понравившееся им решение в тетрадь.

6. Ребята зачитывают возможные слова Фалеса.

7. Учитель просит школьников назвать преимущества и недостатки данного способа определения высоты пирамиды; дать ему название.

Учитель зачитывает фразу Фалеса, сказанную фараону и его жрецам. Сравниваем их со словами, приведёнными учениками.

Решение задачи:

D

H

В

h

А С E

Рис.21

1 способ.

1) Выполним дополнительные построения. Соединим отрезками точки А и В, D и C, C и E. Получим треугольники АВС и CDE.

2) Так как Солнце от Земли очень далеко, то идущие от него к пирамиде лучи можно считать практически параллельными. Поэтому, АВ параллельно CD. Следовательно, ВАС = DCE, как соответственные при параллельных прямых АВ и CD, и секущей АЕ.

3) Если выбрать тот момент, когда тень от палки будет равна длине самой палки, т.е. АС=ВС, то треугольник АВС будет равнобедренным и прямоугольным. Поэтому, ВАС = АВС = 45⁰

4) DCE = ВАС, поэтому DCE = 45⁰ . А так как DEC - прямоугольный, то и CED = 45⁰. По признаку равнобедренного треугольника, CDE также равнобедренный. Следовательно, СЕ=ED,т.е. H=b

5) Слова Фалеса: Когда тень от палки будет той же длины, что и сама палка, то длина тени от центра основания пирамиды до её вершины будет иметь ту же длину, что и сама пирамида.

Преимущества:

- не требуются вычисления.

Недостатки:

- можно определить высоту предмета только в короткий промежуток времени, в солнечную погоду и когда нет рядом предметов, тени которых сливаются с тенью данного предмета

Название: Способ Фалеса.

2 способ.

1) Так как в прямоугольных треугольниках АВС и CDE углы ВАС и DCE равны, то эти треугольники подобны по двум углам.

2) Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон.

= = H =

Преимущества:

- измерения можно проводить в любое время в солнечную погоду, когда предметы отбрасывают тени.

- Простота формулы.

Недостатки:

- нельзя измерить высоту предмета, в день, когда предметы не отбрасывают тени;

- нельзя измерить высоту предмета, если его тень сливается с тенью другого предмета.

Название: По длине тени.

2. Учитель: Подведём итоги. Мы выяснили, что высоту предмета можно определить по длине его тени. Но это сделать можно лишь в солнечную погоду и тех предметов, которые находятся на достаточном расстоянии от других предметов. Следовательно, нам нужно найти ещё способ для определения высоты предмета. Может быть, кто-то из вас уже сейчас готов предложить такой способ? (Если, учащиеся готовы высказать свои соображения по этому вопросу, то мы внимательно их слушаем, обсуждаем представленный способ определения высоты предмета. Потом знакомимся со способом Жюля Верна)

Учитель: Один из таких способов измерения картинно описан у Жюля Верна в известном романе «Таинственный остров».

Отрывок из романа.

«-Сегодня нам надо измерить высоту площадки Дальнего вида, - сказал инженер.

- Вам понадобится для этого инструмент? - спросил Герберт.

- Нет, не понадобится. Мы будем действовать несколько иначе, обратившись к не менее простому и точному способу.

Юноша, стараясь научиться, возможно, большему, последовал за инженером, который спустился с гранитной стены до окраины берега.

Взяв прямой шест, длиной 12 футов, инженер измерил его возможно точнее, сравнивая со своим ростом, который был хорошо ему известен. Герберт нёс за ним отвес, вручённый ему инженером: просто камень, привязанный к концу верёвки.

Не доходя футов 500 до гранитной стены, поднимавшейся отвесно, инженер воткнул шест фута на два в песок и, прочно укрепив его, поставил вертикально с помощью отвеса. Затем он отошёл от шеста на такое расстояние, чтобы лёжа на песке, можно было на одной прямой линии видеть и конец шеста, и край гребня. Эту точку он тщательно отметил колышком.

Оба расстояния были измерены. Расстояние от колышка до палки равнялось 15 футам, а от палки до скалы 485 футам. По окончании измерений составили следующую запись…»

А какую запись он составил и чему равна высота скалы «Дальнего вида», вы мне скажите через 7 минут.

Проверка выполнения задания:

1. Группам выделяется часть доски, на которой они строят чертёж к задаче и записывают вывод формулы.

2. Учитель зачитывает отрывок из романа, где приведено описание решения задачи.

3. Сравниваем решения учащихся с верным решением.

4. Ученикам предлагается сравнить вывод формулы для определения высоты предмета по длине тени и по данному способу.

5. Школьники записывают решение задачи в тетрадь.

6.Учитель просит школьников назвать преимущества и недостатки данного способа определения высоты предмета по сравнению с предыдущими способами; дать ему название.

Отрывок из романа.

«-Тебе знакомы зачатки геометрии? - спросил он Герберта, поднимаясь с земли.

- Да.

- Помнишь свойства подобных треугольников?

- Их сходственные стороны пропорциональны.

- Правильно. Так вот: сейчас я построю 2 подобных прямоугольных треугольника. У меньшего одним катетом, будет отвесный шест, другим - расстояние от колышка до основания шеста; гипотенуза же - мой луч зрения. У другого треугольника катетами будут: отвесная стена, высоту которой мы хотим определить, и расстояние от колышка до основания этой стены; гипотенуза же - мой луч зрения, совпадающий с направлением гипотенузы первого треугольника.

- Понял! - воскликнул юноша. - Расстояние от колышка до шеста так относится к расстоянию к расстоянию от колышка до основания стены, как высота шеста к высоте стены.

- Да, и следовательно, если мы измерим два расстояния, то зная высоту шеста, сможем вычислить четвёртый неизвестный член пропорции, т.е. высоту стены. Мы обойдёмся, таким образом, без непосредственного измерения этой высоты. По окончании измерений инженер составил следующую запись:

10:Н=15:500

15Н=5000

Н=5000:15

Н333,33

Значит, высота гранитной стены равнялась приблизительно 333 футам».

H-?

h=10 ф.

485 ф. a=5 ф.

b = 500 ф.

рис.22

H =

Преимущества:

- можно производить измерения в любую погоду;

- простота формулы.

Недостатки:

- нельзя измерить, высоту предмета не испачкавшись, так как приходится ложиться на землю.

Название: Способ Жюля Верна.

3. Учитель: Таким образом, данный способ определения высоты предмета неудобен тем, что вызывает необходимость ложиться на землю. Можно, разумеется, избежать такие неудобства. Попробуйте усовершенствовать способ Жюля Верна так, чтобы измерения можно было производить стоя. Измените чертёж, введите новые обозначения и выведите формулу.

Проверка выполнения задания:

1. Та группа, которая справилась с заданием, кладёт листок с решением на стол учителя.

2. Учащимся предлагается взять листок любой другой группы и проверить правильность.

Группам выделяется часть доски, на которой они записывают выводы формул. Если решения аналогичные, то записать их может только одна из групп.

3. Обсуждаются представленные решения и оформления задач. Выделяются верные решения.

4. Учащимся предлагается записать понравившееся им решение в тетрадь.

5. Учитель просит школьников назвать преимущества и недостатки данного способа определения высоты пирамиды.

Решение задачи:

E

H-?

D

A h. B C

A с

A₁ B₁ C₁

b

рис.23 Н- высота предмета. h - длина шеста. а- расстояние от человека до шеста. b- расстояние от человека до предмета. с- рост человека.

Нужно запастись шестом выше роста человека. На некотором расстоянии от скалы воткнуть его вертикально в землю. Отойти от шеста назад до того места, с которого, глядя на скалу, её вершина была бы видна верхняя точка шеста.

1) CBD подобен CAE

2) BD=h-c, EA=H-c, CB=b, CA=a.

3) ; ;

Преимущества:

- можно производить измерения в любую погоду;

- одежда будет чистой.

Недостатки:

- условная сложность формулы.

4. Учитель: Но и этот способ не совершенен. Допустим, что герои романа не нашли не одного подходящего шеста. Но, случайно, у Герберта в кармане оказалось зеркало. Как они теперь смогут измерить высоту скалы?

Проверка выполнения задания:

1. Группам даётся 1 минута на обсуждение решения задачи.

2. Один из школьников устно решает задачу по готовому чертежу (рис.24).

3. Учитель обращает внимание школьников на совпадении полученной формулы с формулами определения высоты предмета по длине тени и по способу Жюля Верна.

4. Учитель просит школьников назвать преимущества и недостатки данного способа определения высоты предмета по сравнению с предыдущими способами; дать ему название.

Решение задачи:

C

H-?

D

h

В

E a A b

Рис.24

1). Зеркало нужно положить на некотором расстоянии от скалы, на ровной земле и отойти от него назад в такую точку, стоя в которой наблюдатель увидит в зеркале вершину скалы.

2) Так как угол падения равен углу отражения, то .

3) Так как и , тоDAE подобен CAB , т.е.

Преимущества:

- можно производить измерения в любую погоду;

- одежда будет чистой;

- простота формулы;

Недостатки:

- нужно специальное приспособление: зеркало.

Название: При помощи зеркала.

IV.Подведение итогов занятия

Ещё раз сравниваются, разобранные способы определения высоты предмета. Выделяется самый, по мнению учащихся, оптимальный способ, если таковой имеется.

Учитель просит учащихся оценить, как они справились с работой, что было удачным, а что нет; на все ли поставленные в начале занятия вопросы были найдены ответы, а какие ещё предстоит решить.

V.Информация о домашнем задании

Придумать или подобрать из литературы, не разобранные способы определения высоты предмета. В тетради выполнить чертёж и вывести соответствующую формулу.

Заключение

Данная работа посвящена одной из важнейших тем планиметрии и в тоже время сложной по восприятию: «Подобные треугольники». Материал этой темы имеет большое значение в реализации межпредметной связи с алгеброй и с физикой.

В результате проведённого исследования были реализованы следующие задачи:

1. Изучены и проанализированы основные теоретические положения по теме «Подобные треугольники».

2. Проведён анализ психолого-педагогической и учебно-методической литературы.

3. Определены методические особенности изучаемой темы.

4. Подобран дидактический материал.

5. Разработаны уроки и групповые, факультативные занятия

Тема «Подобные треугольники» в этой работе рассмотрена с точки зрения школьной геометрии.

В процессе написания работы были разработаны методические рекомендации для изучения материала по теме «Подобные треугольники», включённого в школьный курс геометрии.

При выполнении работы были достигнуты цели и задачи поставленные изначально.

Данная работа рекомендуется студентам математических факультетов педагогических вузов в процессе изучения курса «Методика преподавания математики», а также может быть использована начинающими учителями.

Литература

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия: Учеб. для 7 - 9 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 2000-335 с.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А. и др. Изучение геометрии в 7,8,9 классах: Метод. Рекомендации к учеб.: Кн. Для учителя - М.: Просвещение, 2003.-255с.

3. Барышенко Е. Авторское планирование геометрии. Зачетные задания. // Газета «Математика». Приложение к «Первому сентября». №35. 2001.-с.23.

4. Волович М. «Как сделать геометрию понятной и интересной» // Газета «Математика». Приложение к «Первому сентября». №13. 2001.-с.26-27.

5. Воропаева А. «Методические советы из опыта преподавания» // Газета «Математика». Приложение к «Первому сентября». №35. 2001.-с.5-7.

6. Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии: 8 класс. - М.: ВАКО, 2004.-288с.

7. Гилярова М.Г. Геометрия 8 кл. Поурочные планы по учебнику Атанасяна Л.С. и др. «Геометрия. 8 класс». Часть 1, часть 2 - Волгоград: Учитель АСТ, 2003-96с.

8. Дубровина И.В., Прихожан А.М., Зацепин В.В. Возрастная и педагогическая психология: Хрестоматия: Учебное пособие. - М.: Издательский центр «Академия», 1999 - 320 с.

9. Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике: формирование приёмов учебной деятельности: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1990. - 128 с.

10. Кац М. Физический материал на уроках математики. // Газета «Математика». Приложение к «Первому сентября». №4. 2001.-с.14.

11. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Мокрушин Е.Л., Оганесян В.А., Синнинский В.Я., Пичурин Л.Ф. Методика преподавания математики. Частные методики. Учеб. пособие. - М.: Просвещение, 1977 - 477с.

12. Кузнецова Г.М., Миндюк Н.Г. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика 5-11 кл. - М.: Дрофа, 2002 - 320 с.

13. Петухова Л., Солопова А. «Методические советы из опыта преподавания» // Газета «Математика». Приложение к «Первому сентября». №33. 2001.-с.1-3.

14. Петухова Л., Солопова А. «Методические советы из опыта преподавания» // Газета «Математика». Приложение к «Первому сентября». №6. 2001.-с.1-3.

15. Радугин А.А. Психология и педагогика. - М.: Просвещение, 1999.-236

16. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии: Учебное пособие.- М.: Народное образование, 1998.- 256 с.

17. Смирнова И., Смирнов В. Тематическое планирование и контрольные работы. // Газета «Математика». Приложение к «Первому сентября». №29. 2002.-с.24.

18. Шарыгин И.Ф. «Нужна ли школе XXI века геометрия?» // Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе». №4. 2004.-с.74-76.

Размещено на Allbest.ru