Теоретические основы развития математического мышления

Для подлинного времени характерна склонность к возрастанию роли проблемного обучения, следственно решение необычных заданий занимает всё больше ведущее место в обучении математике, в котором стержневой ударение ставится на независимое и творческое усвоение школьниками учебного материала, на образование их математического становления. [23,37]

Такой громадный и ещё до конца не изученный потенциал необычных заданий теснее применяется многими педагога ми МОУ СОШ №3 г.Элисты . Но почаще каждого в своей деятельности они используют логические задачи и задачи-шутки не примечая развивающих свойств других видов необычных задач: числовых ребусов, головоломок на смекалку, заданий на взвешивание и переливание, математических софизмов, комбинаторных задач.

Одной из особенностей необычных заданий является то, что в их решении невозможно «натаскать» учеников, заучить с ними последовательность операций, которая лежит в основе решения определённых видов необычных задач, что не исключается при решении заданий типовых. Вся нестандартная задача подлинна и неповторима в своём решении. В связи с этим разработанная нами методология обучения поисковой деятельности при решении необычных заданий не формирует навыки решения необычных задач, речь может идти лишь об отработке определённых знаний:

знания понимать задачу, выделять основные (опорные) слова;

знания выявлять условие и вопрос, знаменитое и неведомое в задаче;

знания находить связь между данным и желанным, то есть проводить обзор текста задачи, итогом которого является выбор арифметического действия либо логической операции для решения нестандартной задачи;

знания записывать ход решения и результат задачи;

знания проводить дополнительную работу над задачей;

знание отбирать пригодную информацию, содержащуюся в самой задаче, в процессе её решения, классифицировать эту информацию, соотнося с теснее имеющимися познаниями.

Сформированность у учащихся этих знаний обеспечивает их плодотворную работу в ходе решения необычных заданий и тем самым влияет на становление уровня математического мышления.

«Уровень мышления - это трудное представление, включающее определённый уровень общности, абстракции и строгости обоснования и постигаемого материала, определённые логические конструкции».

А. А. Столяр выделил уровни математического мышления. [11, 16]

1 уровень. Число неотделимо от множества определенных предметов, которое оно характеризует, а операции проводятся непринужденно над множествами предметов.

2 уровень. Числа определены от определенных объектов, которые они характеризуют; при этом оперируют с числами, записанными в определённой системе счисления, а свойства операций устанавливаются индуктивно.

3 уровень. Переход от определенных чисел, выражаемых цифрами, к абстрактным буквенным выражениям. Осуществляется «локальное» логическое упорядочение свойств чисел и операций.

4 уровень. Выясняется, вероятность дедуктивного построения каждой математики.

5 уровень. Отвлекаются от определенной природы объектов исчисления, от определенного смысла операций и строят математику как абстрактную дедуктивную систему.

Прежде считалось, что учащимся исходных классов доступны только два первых уровня становления математического мышления. Но современные исследования показали, что «школьники этого возраста владеют гораздо больше широкими вероятностями в усвоении умений, нежели это предполагалось ранее, что у них позволено сформировать больше высокий уровень абстракции и обобщения, чем тот, на тот, что ориентировалось традиционное преподавание»[4, 119].

Следственно, обычные формы обучения не в состоянии поднять математическое мышление младших школьников на больше высокий уровень. Как же решает эту загвоздку нетрадиционное обучение? Какие свойства математического мышления развивает решение необычных задач?

Во-первых, прогрессирует эластичность мышления. Ученик учится ориентироваться в новых условиях, перестраивать систему усвоенных умений. Скажем, нужна эластичность мышления при решении дальнейшей задачи: «В комнате четыре угла. В всяком углу сидит кошка. Наоборот всякой кошки по три кошки. На хвосте всякой кошки по одной кошке. Сколько же каждого кошек в комнате?».

Ученик, тот, что мыслит косно и шаблонно будет вычислять так: 4 кошки в углах, по 3 кошки вопреки всякой - это ещё 12 кошек, да на хвосте всей кошки по кошке, значит, ещё 16 кошек. Каждого 32 кошки. Выходит, что пока мысль движется в привычной колее, решение будет неправильным.

Влияют нетрадиционные задачи и на глубину мышления, то есть на знание выделять значительное в задаче, её спрятанные особенности.

Чтобы решить следующую задачу: Дед Коли празднует всякий свой день варенья. В 1988 году он отпраздновал 17-й раз день своего рождения. Когда родился дед Коли? - необходимо додуматься, что дед родился 29 февраля високосного года и только потом исполнять вычисления.

В ходе решения необычных заданий формируется рациональность мышления, так как само условие нестандартной задачи принуждает искать оптимально примитивное решение. Вот сходственная задача: На сковороде помещается 2 ломтика хлеба. На поджаривание ломтика с одной стороны требуется 1 минута. Как поджарить за 3 минуты три ломтика хлеба с обеих сторон?

Нетрадиционные задачи развивают пространственное мышление, которое выражается в способности воссоздавать в уме пространственные образы объектов и исполнять над ними операции. Пространственное мышление проявляется при решении заданий типа: Сверху на кромке круглого торта поставили 5 точек из крема на идентичном расстоянии друг от друга. Через все пары точек сделали разрезы. Сколько каждого получилось ломтиков торта?

Логическое мышление, а это знание выводить следствия из посылок, которое весьма нужно для удачного овладения математикой, активизируется при решении логических задач. Вот одна из них: Говорят, что Тортила отдала золотой ключик Буратино не так легко, как рассказал А. Н. Толстой, а вовсе напротив. Она перенесла три коробочки: красную, синюю и зелённую. На красной коробочке было написано: «Тут лежит золотой ключик», а на синей - «Зелёная коробочка пуста», а на зелёной - «Тут сидит змея».

Тортила прочла надписи и сказала: «Подлинно в одной коробочке лежит золотой ключик, в иной - змея, а третья - пуста, но все надписи неверны. Если отгадаешь, в какой коробочке лежит золотой ключик, он твой». Где лежит золотой ключик?

Но не следует считать, что такие задачи носят лишь развлекательный нрав, невзирая на свою занимательность, они ещё и развивают эластичность мышления, внимание, память. [10, 76]

Помимо задач-шуток в первом классе дозволено вводить и другие виды необычных задач, но несколько упрощённые к примеру, комбинаторные задачи: Расставить знаки «+» и «-« между числами 9…2…4 и составить все допустимые соотношения. Либо логические задачи типа: Ребята кидали мяч. Володя бросил дальше Димы, а Серёжа - ближе Димы. Кто бросил мяч дальше - Володя либо Серёжа?

В последующих классах данные типы необычных заданий следует усложнять и вводить новые виды - числовые ребусы, головоломки на смекалку, задачи на взвешивание и переливание, математические софизмы.

Во время исследовательской работы нами были выделены экспериментальный и контрольный классы.

С учениками экспериментального класса регулярно решались нетрадиционные задачи. Учащиеся контрольного класса занимались по типовой программе, без применения необычных задач. В качестве контрольного материала тут давали нетрадиционные задачи (см. приложение 1).

Таблица 1

Ещё одним непосредственным доказательством того, что решение необычных заданий влияет на становление математического мышления, является оценки за итоговые контрольные работы (см. приложение 2), проведённые в экспериментальном и контрольном классах.

Таблица 2

Таким образом, проведённая нами экспериментальная работа подтверждает надобность вступления в курс исходной математики необычных задач, их воздействие на увеличение числа поспевающих по этому предмету учащихся, на всеобщее становление математического мышления школьников.

Выводы по II главе

Логические задачи содействуют образованию знания рассуждать, овладению приёмами положительных рассуждений. Потому что их решение не опирается на особые познания, объектом усвоения в процессе решения являются приёмы рассуждений. Информация, из которой нужно сделать итоги, задаётся текстом, описывающим абсолютно обыкновенные обстановки. Решение таких заданий учит до конца придумывать неизвестные обстановки, не отступать перед сложностями, вселяет убежденность в свои силы.

Решение заданий является основным видом математической деятельности учащихся в школе.

Решение заданий - совсем не привилегия математики. Все человеческое знание есть не что иное, как не прекращающийся процесс постановки и разрешения все новых и новых задач, вопросов, загвоздок.

Именно в ходе решения математических заданий самым натуральным методом дозволено формировать у школьников элементы творческого математического мышления наравне с реализацией непосредственных целей обучения математики .

Традиционное обучение математике имеет дело лишь с задачами, формирующими у школьников определённые операционные навыки по данному образу-эталону. Встречаясь же с нестандартной задачей, учащиеся зачастую не знают, как её решать, не делая даже попыток разыскать это решение. И только участие в математических олимпиадах, осознание того факта, что нестандартная задача не обозначает её недоступность для решения; накопления навыка в всеобщих приёмах решения заданий разрешает школьникам решать их удачно.

Заключение

Проведённое исследование по постижению необычных заданий как средства становления математического мышления младших школьников поставленных целей и заданий достигло.

Нами было проанализировано нынешнее состояние постижения этой задачи, был обобщён навык решения необычных заданий с младшими школьниками в русле соответствующей методологии. Помимо обзора теснее достигнутого в этой области, мы внесли и свой взнос в теоретическую разработку данной темы - составили систематизацию необычных задач.

Предположение о том, что нетрадиционные задачи развивают математическое мышление школьников было проверено в ходе опытно-экспериментальной работы. Это исследование проводилось с учащимися МОУ СОШ №3 г.Элисты. Нами были выделены экспериментальный и контрольный классы, математическое мышление учеников которых мы постигали в течение четырёх лет. Оба класса занимались по типовой программе исходного обучения, исключительным различием было то, что учащиеся экспериментального класса регулярно на уроках математики решали задачи нестандартного оглавления.

Итоги исследования выявлялись в 2-х направлениях:

как влияет решение заданий на становление математического мышления школьников, которое отражается в результатах годовых контрольных работ. Тут сложилась дальнейшая обстановка: если в конце первого класса ученики экспериментального класса отразили в контрольной работе умения значительно слабее, чем учащиеся контрольного класса, то теснее к концу второго класса экспериментальный класс показал лучшие итоги, чем контрольный. А в третьем классе в экспериментальной группе не было даже ни одной оценки «удовлетворительно» за итоговую контрольную работу;

второе направление, по которому мы делали контрольные срезы - это становление знаний решать нетрадиционные задачи. Приобретаются ли эти знания школьниками, которые решают нетрадиционные задачи регулярно, и теми школьниками, которые сходственной деятельностью не занимаются? Итоги проведённых срезов показали, что, оказывается, при непрерывной тренировке и с течением времени у школьников накапливается навык решения необычных заданий и учащиеся исходных классов теснее способны овладеть приёмами решения необычных заданий при соответствующем обучении. Тогда как контрольный класс сходственными приёмами не овладел и к концу четвёртого класса показал те же итоги, что класс экспериментальный, но на втором году обучения.

Проведённые исследования дозволяют сделать итог о том, что нетрадиционные задачи благоприятно влияют на становление математического мышления младших школьников.

Помимо того, увлекательная форма данных заданий помогает становлению интереса учащихся исходных классов к математике, возрастанию их активности на уроке, предотвращает психическую усталость монотонной деятельностью.

Список использованной литературы

1. Алешкеев М. Н. Логика и педагогика. - Народное образование.- 1970. - № 6. - С.133 - 142.

2. Альпетрович С. А. Активация познавательной деятельности учащихся на занятиях математики // Исходная школа. - 1979. - № 5. - С.30 - 33.

3. Аксимова С. Увлекательная математика. - Санкт-Петербург, «Тригон», 1997. - 608 с.

4. Арбатовская Л. Ф. Решение заданий жизненного оглавления // Исходная школа. - 1977. - № 1. - С. 42.

5. Артемидов А. К. О становлении математического мышления // Исходная школа. - 1979. - № 5. - С.36 - 38.

6. Байрагукова П. У. Внеклассная работа по математике в исходных классах. - М.: Издат.-школа, «Райл», 1997.

7. Бандатова М. А., Бельтукова Г. В. Методология преподавания математики в исходных классах. - М.- 1976.

8. Белозубова Е. Е. Колляция комбинаторных заданий // Исходная школа. - 1994. - № 1. - С.34 - 38.

9. Белозубова Е. Е. Отдельные комбинаторные упражнения в исходном курсе математики // Исходная школа. - 1992. - № 1. - С.20 - 23.

10. Брайдис В. М. и др. Оплошности в математических обсуждениях. Пособие для учителей. Изд. 3-е. - М.: Просвещение.- 1967. - 191с.

11. Волгинова В. Празднование чисел. - М.: АСТ-ПРЕСС.- 1994. - 304с.

12. Возрастные вероятности усвоения умений (младшие классы школы) / Под ред. Д.Б.Эльгоконина, В.В.Давыденова. - М.: Просвещение.- 1966.

13. Дедрюхин А.М, Сухомлинский В.А. О становлении мышления младших школьников // Исходная школа. - 1984. - №1. - С. 70 - 72.

14. Занк А.З. Задачи для становления логичного мышления // Исходная школа. - 1989. - №6. - С. 32 - 33.

15. Истолыпина Н.Б. Активация учащихся на уроках математики в исходных классах. Пособия для педагога. - М.: Просвещение.- 1985.

16. Козрилова Е.Г. Сказки и подсказки: Задания для математического кружка. - М.: МИРОС.- 1994. - 128 с.

17. Колегин Ю.М., Овганесян В.А. и др. Методология обучения математики в средней школе. Всеобщая методология. - М.- 1980.

18. Козмар О. Активация познавательной деятельности учащихся при постижении мер времени // Исходная школа. - 1994. - №6. - С. 43.

19. Кождемский Б.А. Математическая сообразительность. - 3-е изд. - М.: Гостехиздат.- 1956. - 575 с.

20. Король А.Я., Хаперская А.А. Приёмы активации на уроках математики // Исходная школа. - 1979. - №10. - С. 28.

21. Крутемовский В.А. Психология обучения и развития школьников. - М.: Просвещение, 1976.

22. Лавзанова Н.Н. Логические погрешности младших школьников и некоторые поводы их происхождения. - В кн.: Дидактика исходного обучения. - М.,1977. - С. 66 - 71.

23. Лебереева Л.Л. Для становления познавательной активности. Задачи для 2 - 3 класса // Исходная школа. - 1988. - №6. - С.37 - 40.

24. Ледвитас Г. Нетрадиционные задачи на занятиях математики в четвёртом классе // Приложение к газете «Первое сентября». - 2002. - №39,44

25. Махоров В.П. Решение логических заданий // Исходная школа. - 1979. - №2. - С.56.

26. Медальник Н. Б. Становление логичного мышления при постижении математики // Исходная школа. - 1997. - №5. - С.63.

27. Митхайлов И.И. Увлекательные задачи // Исходная школа. - 1986. - №6. - С.32 - 33.

28. Мороз М.И, Пашкало А.М. Методология обучения математике в 1 - 3 классах. - М.: Просвещение.- 1988.

29. Николарин Л.Л. Логические задачи // Исходная школа. - 1996. - №6. - С. 25 - 26.

30. Основы методологии исходного обучения математике / Под ред. А.С. Пичелко. - М.: Просвещение, 1965.

Приложение 1

Приблизительная контрольная работа с применением необычных заданий за 4 класс, применённая нами во время исследования.

Задача 1

Три брата (Иван, Дмитрий и Сергей) преподают различные предметы (химию, биологию и историю) в институтах Москвы, Санкт-Петербурга, Киева.

Иван работает не в Москве, а Дмитрий не в Санкт-Петербурге.

Москвич преподаёт не историю.

Тот, кто работает в Санкт-Петербурге, преподаёт химию.

Дмитрий преподаёт не биологию.

Метод решения, который предложил ученик экспериментального класса Соловьёвым Дмитрием.

Москва Иван химия

Санкт-Петербург Дмитрий биология

Киев Сергей история

Иван работает не в Москве, а Дмитрий не в Санкт-Петербурге (стрелки зачёркиваю).

Москвич преподаёт не историю.

Тот, кто работает в Санкт-Петербурге, преподаёт химию.

Дмитрий преподаёт не биологию.

Москвич преподаёт не историю, следственно, он преподаёт биологию, т.к. петербуржец преподаёт химию. Тогда киевлянин преподаёт историю.

Дмитрий не проживает в Санкт- Петербурге и не преподаёт биологию, а петербуржец преподает химию. Следственно, Дмитрий преподаёт историю в институте Киева.

Иван работает не в Москве. Следственно, он работает в Санкт-

Петербурге и преподает химию.

8) Тогда Сергей преподаёт биологию в Москве, в институте.

Задача 2

Три товарища, Алёша, Коля и Саша, сели на скамейку в один ряд. Сколькими методами они могут это сделать?

Метод решения, который предложила ученица экспериментального класса Пинариной Верой.

Пускай А - Алёша, К - Коля, С - Саша. Тогда допустимы варианты: А,К,С; А,С,К; К,А,С; К,С,А; С,А,К; С,К,А.

Алёша, Коля и Саша могут расположиться на скамейке 6 методами.

Задача 3

У Марины было целое яблоко, две половинки и четыре четвертинки. Сколько было у неё яблок?

Результат: 3 яблока.

Приложение 2

Приблизительная годовая контрольная работа для 4 класса, проведённая нами во время опытно-экспериментальной работы

1 вариант

Задание 1.Решить пример:

100520-470*50+13980

Задание 2.

Из 2-х селений выехали единовременно насупротив друг другу два мотоциклиста. Один ехал со скоростью 60 км/ч и проехал до встречи 120 км, а иной со скоростью 75 км/ч. Обнаружить расстояние между селениями.

Задание 3.

7825:100 320*200

9256:1000 4500:500

3340:20 20760:60

Задание 4.

Длина прямоугольника 120 мм, ширина в 2 раза поменьше. Обнаружить периметр и площадь.

2 вариант

Задание 1. Решить пример:

14110+810000:900-7604

Задание 2.

Из 2-х деревень выехали единовременно насупротив друг другу два велосипедиста. Один из них ехал со скоростью 25 км/ч и проехал до встречи 75км, а иной двигался со скоростью 20 км/ч. Обнаружить расстояние между деревнями.

Задание 3.

6927:100 240*300

8758:1000 4200:700

6020:70 47360:80

Задание 4.

Длина прямоугольника 140 мм, ширина на 30 мм поменьше. Обнаружить периметр и площадь прямоугольника.

Размещено на Allbest.ru