Способы и методы изучения темы многочленов на уроках математики

Существенные сдвиги в интеллектуальном развитии ребенка при изучении теоремы Безу, а так же при исследовании следствия теоремы Безу. Эти сдвиги выражаются в познании все больше глубоких свойств многочленов, в формировании необходимых для этого мыслительных операций, возникновении новых мотивов познавательной деятельности.

В результате этого становятся доступны более сложные познавательные задачи. В процессе их решения мыслительные операции обобщаются, формализуются, благодаря чему расширяется диапазон их переноса и применения в различных новых ситуациях. Формируется система взаимосвязанных, обобщенных и обратных операций. Развивается способность рассуждать, обосновывать свои суждения, осознавать и контролировать процесс рассуждения, овладевать его общими методами, переходить от его развернутых форм к свернутым формам. Совершается переход от понятийно - конкретного к абстрактно - понятийному мышлению.

Интеллектуальное развитие ребенка характеризуется закономерной сменой стадий, в которой каждая предыдущая стадия подготавливает последующие. С возникновением новых форм мышления старые формы не только не исчезают, а сохраняются и развиваются.

Всякий мыслительный процесс совершается в обобщениях (понятий), но, как правило, он, кроме понятий, включает в себя также образы. Начальной фазой такого процесса является осознание проблемной ситуации. Сама постановка проблемы является актом мышления, часто это требует большой мыслительной работы.

Первый признак мыслящего человека - умение видеть проблему там, где она есть. Возникновение вопросов есть признак развивающейся работы мысли. Человек видит тем больше проблем, чем больше круг его знаний.

От осознания проблемы мысль переходит к ее разрешению. Решение задач осуществляется разными способами. Есть особые задачи, для решения которых достаточно лишь по-новому соотнести исходные данные и переосмыслить ситуацию.

В большинстве случаев для решения задач необходима некоторая база теоретических обобщенных знаний. Решение задачи предполагает привлечение уже имеющихся знаний в качестве средств и методов решения.

Применение правила включает две мыслительных операции:

- определить, какое именно «правило» привлечь для решения;

- применение общего правила к частным условиям задачи.

Важно отметить, что при решении таких задач, роль мыслительных навыков велика именно в тех областях, где имеется очень обобщенная система знаний.

При решении очень сложной проблемы обычно намечается путь решения, который осознается как гипотеза. Осознание гипотезы порождает потребность в проверке. Когда заканчивается проверка, мыслительный процесс переходит к окончательной фазе - суждению по данному вопросу.

Таким образом, мыслительный процесс - это процесс, которому предшествует осознание исходной ситуации (условия задачи), который является сознательным и целенаправленным, оперирует понятиями и образами, и который завершается каким-то результатом.

Выделяют 4 стадии решения проблемы:

- подготовка;

- созревание решения;

- вдохновение;

- проверка найденного решения.

Структура мыслительного процесса решения проблемы:

1. Мотивация (желание решить проблему).

2. Анализ проблемы (выделение «что дано», «что требуется найти», какие недостающие или избыточные данные и т.д.).

3. Поиск решения

3.1. Поиск решения на основе одного известного алгоритма (репродуктивное мышление).

3.2. Поиск решения на основе выбора оптимального варианта из множества известных алгоритмов.

3.3. Решение на основе комбинации отдельных звеньев из различных алгоритмов.

3.4. Поиск принципиально нового решения (творческое мышление).

3.4.1. На основе углубленных логических рассуждений (анализ, сравнение, синтез, классификация, умозаключение и т.д.).

3.4.2. На основе использования аналогий.

3.4.3. На основе использования эвристических приемов.

3.4.4. На основе использования элементарных методов проб и ошибок.

В случае неудачи:

3.5. Отчаяние, переключение на другую деятельность «период инкубационного отдыха» - «созревание идей», озарение, вдохновение, инсайд, мгновенное осознание решения некоторой проблемы (интуитивное мышление).

Факторы способствующие «озарению»:

а) высокая увлеченность проблемой;

б) вера в успех, в возможность решения проблемы;

в) высокая информативность в проблеме, накопленный опыт;

г) высокая ассоциативная деятельность мозга (во сне, при высокой температуре, лихорадке, при эмоционально положительной стимуляции).

4. Логическое обоснование найденной идеи решения, логическое доказательство правильности решения.

5. Реализация решения.

6. Проверка найденного решения.

7. Коррекция (в случае необходимости возврат к этапу 2).

Мыслительная деятельность реализуется как на уровне сознания, так и на уровне бессознательного, характеризуется сложными переходами и взаимодействиями этих уровней. В результате успешного (целенаправленного действия получается результат, соответствующий предварительно поставленной цели).

Таким образом, при развитии мышления необходимы многообразие операций, которые не существуют сами по себе, а взаимодействуют друг с другом.

2.2 Методы обучения, используемые при преподавании темы

Под методами обучения понимают последовательное чередование взаимодействия учителя и учащихся направленное на достижение определенной цели посредством проработки учебного материала. «Метод» (по-гречески - «путь к чему-либо») - способ достижения цели, способ приобретения знаний.

В педагогической литературе нет единого мнения относительно роли и определения понятия «метод обучения». Так, Ю.К. Бабанский считает, что «метод обучения» называют способ упорядоченной взаимосвязанной деятельности преподавателя и обучаемых, направленной на решение задач образования.

Т.А. Ильина понимает под методами обучения «способ организации познавательной деятельности учащихся».

В истории дидактики сложились различные классификации методов обучения.

Распространенная классификация методов построена на основе выделения истоков передачи содержания. Это словесные, практические и наглядные методы:

СЛОВЕСНЫЕ МЕТОДЫ	Рассказ, беседа.
ПРАКТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ	Упражнение, тренировка.
НАГЛЯДНЫЕ МЕТОДЫ	Иллюстрирование, показ плакатов.

Другая классификация, которую будем использовать, построена на основе учета структуры личности:

МЕТОДЫ ФОРМИРОВАНИЯ СОЗНАНИЯ	Рассказ, беседа, инструктаж, показ, иллюстрирование.
МЕТОДЫ ФОРМИРОВАНИЯ ПОВЕДЕНИЯ	Упражнение, тренировка, самоуправление.
МЕТОДЫ ФОРМИРОВАНИЯ ЧУВСТВ (стимулирование)	Одобрение, похвала, контроль.

Классификация методов по характеру деятельности обучаемых:

Метод	Вид деятельности	Уровни умственной деятельности ученика	Уровни знаний	Сущность	Усовершенствование
1	2	3	4	5	6
1. Объяснительно-иллюстративный	С помощью учителя (репродуктивный)	I - узнавание	II - знания-знакомства	Традиционное обучение-процесс передачи готовых известных знаний	Программированное обучение
2. Репродуктивный	Сам ученик (репродуктивный)	II-воспроизведение	II - знания-знакомства
3. Проблемное изложение	С помощью учителя (продуктивный)	III - применение	III - знание-умение	Проблемное обучение-процесс активного поиска и открытия учащимися новых знаний	Деловые игры
4. Частично-поисковый	Продуктивный под руководством учителя	III - применение IV - творчество	III - знание-умение IV - знание-трансформация
5. Исследовательский	продуктивный без помощи учителя	IV - творчество	IV - знание-трансформация

Выделяют также монологические (информационно-сообщающие) методы обучения, например: рассказ, лекция, объяснение и диалогические методы изложения учебного материала (беседа, проблемное изложение, диспут)

Остановимся еще на одной классификации методов по характеру (степени самостоятельности и творчества) деятельности обучаемых. Эту весьма продуктивную классификацию еще в 1965 г. предложили И.Я. Лернер и М.Н. Скаткин. Они справедливо отметили, что многие прежние подходы к методам обучения основывались на различии их внешних структур или источников. Поскольку же успех обучения в решающей степени зависит от направленности и внутренней активности обучаемых, от характера их деятельности, то именно характер деятельности, степень самостоятельности и творчества и должны служить важным критерием выбора метода. И.Я. Лернер и М.Н. Скаткин предложили выделить пять методов обучения, причем в каждом из последующих степень активности и самостоятельности в деятельности обучаемых нарастает.

1. Объяснительно-иллюстративный метод обучения (преподаватель объясняет, наглядно иллюстрирует учебный материал) - осуществляется как лекция, рассказ, беседа, демонстрация опытов, трудовых операций, экскурсия и т.п. Деятельность ученика направлена на получение информации и узнавание, в результате формируются «знания-знакомства»).

2. Репродуктивный метод (преподаватель составляет задание для учащихся на воспроизведение ими знаний, способов деятельности, решение задач, воспроизводство опытов и, таким образом, ученик сам активно воспроизводит учебный материал: отвечает на вопросы, решает задачи и т.д.; в результате формируются «знания-копии».

3. Метод проблемного изложения. Используя самые различные источники и средства, педагог, прежде чем излагать материал, ставит проблему, формулирует познавательную задачу, а затем, раскрывая систему доказательств, сравнивая точки зрения, различные подходы, показывает способ решения поставленной задачи. Студенты как бы становятся свидетелями и соучастниками научного поиска. И в прошлом, и в настоящем такой подход широко используется.

4. Частично-поисковый, или эвристический, метод. Заключается в организации активного поиска решения выдвинутых в обучении (или самостоятельно сформулированных) познавательных задач либо под руководством педагога, либо на основе эвристических программ и указаний. Процесс мышления приобретает продуктивный характер, но при этом поэтапно направляется и контролируется педагогом или самими учащимися на основе работы над программами (в том числе и компьютерными) и учебными пособиями. Такой метод, одной из разновидностей которого является эвристическая беседа - проверенный способ активизации мышления, возбуждения интереса к познанию на семинарах и коллоквиумах.

5. Исследовательский метод. После анализа материала, постановки проблем и задач и краткого устного или письменного инструктажа обучаемые самостоятельно изучают литературу, источники, ведут наблюдения и измерения и выполняют другие действия поискового характера. Инициатива, самостоятельность, творческий поиск проявляются в исследовательской деятельности наиболее полно. Методы учебной работы непосредственно перерастают в методы научного исследования.

В процессе обучения метод выступает как упорядоченный способ взаимосвязанной деятельности педагога и учащихся по достижению определенных учебно-воспитательных целей, как способ организации учебно-познавательной деятельности учащихся.

Объяснительно-иллюстративный и репродуктивный - методы традиционного обучения, основная сущность которого сводится к процессу передачи готовых известных знаний учащимися.

Недостатки традиционного обучения: 1) усредненный общий темп изучения материала; 2) единый усредненный объем знаний, усваиваемых учащимися; 3) большой удельный вес знаний, получаемых учениками в готовом виде через учителя без опоры на самостоятельную работу по приобретению этих знаний, в результате ученики «разучиваются думать»; 4) почти полное незнание учителем, усваиваются ли учащимися сообщаемые знания; 5) преобладание словесных методов изложения материала, создающих объективные предпосылки рассеивания внимания; 6) затрудненность самостоятельной работы учеников с учебником из-за недостаточной расчлененности учебного материала; 7) преобладание нагрузки на память учащихся, т. к. надо по памяти воспроизводить учебный материал; у кого лучше память, тот успешнее воспроизводит. Но в будущей профессиональной деятельности эти методы заучивания и точного воспроизведения информации по памяти не требуются, не применяются, и, с другой стороны, ученик не подготовлен к тем формам работы, которые встретятся в профессиональной практике (умение находить нужную информацию для определения производственного решения, умение находить самостоятельное творческое решение в сложных ситуациях). Таким образом, при традиционном обучении наблюдается разрыв между теми требованиями, которые предъявляются к человеку в процессе обучения, и теми, которые предъявляются в реальной профессиональной деятельности.

Частично некоторые недостатки традиционного обучения устраняются с помощью программированного обучения, которое зародилось на стыке педагогики, психологии и кибернетики в 60-х гг. В основе программированного подхода лежат три представления об обучении: 1) как о процессе управления, 2) как об информационном процессе и 3) как о процессе индивидуализированном.

В основе программированного обучения лежит обучающая программа, в которой строго систематизируются: 1) сам учебный материал; 2) действия учащегося по его усвоению; 3) формы контроля усвоения.

Учебный материал разбивается на небольшие по объему логически завершенные учебные дозы, после усвоения каждой дозы учащийся отвечает на контрольные вопросы, выбирая правильный, по его мнению, ответ из некоторого числа заранее заготовленных преподавателем-программистом ответов, либо с помощью заданных символов, букв, цифр конструирует ответ самостоятельно. Если дается правильный ответ, следует очередная учебная доза. Неверный ответ влечет за собой необходимость повторения учебной дозы и новую попытку ответа.

Адаптивные программы предусматривают возможность перехода на менее или более трудные участки (ветви) программы, причем этот переход происходит на основе учета всех предыдущих ответов и ошибок ученика. В адаптивную обучающую программу закладывается схема анализа ответов учащихся, серия параллельных подпрограмм, в которых предусмотрена возможность изменения способа подачи информации, уровня трудности, глубины и объема изучаемого материала, характера вопросов и т.п. в зависимости от индивидуальных особенностей и ответов ученика.

Разработанная обучающая программа может быть реализована с помощью машины - технического устройства, с помощью ЭВМ либо с помощью программированных учебников, построенных по типу «перепутанные страницы» (в зависимости от своего ответа ученик переходит к определенной странице учебника).

Основные принципы и достоинства программированного обучения: 1) дозированность учебного материала, 2) активная самостоятельная работа ученика, 3) постоянный контроль усвоения, 4) индивидуализация темпа обучения, объема учебного материала, 5) возможность использования технических автоматизированных устройств обучения.

Программированное обучение полезно в преподавании дисциплин, основанных на фактическом материале и повторяющихся операциях, имеющих однозначные, четкие формулы, алгоритмы действий. Главная задача программированного обучения - выработка автоматизированных навыков, крепких однозначных знаний и умений.

Программированное обучение стимулировало развитие и применение технических средств обучения. К техническим средствам обучения (ТСО) относятся различные приспособления, машины и системы в сочетании с учебно-дидактическими материалами, используемые с целью повышения эффективности учебного процесса. Выделяют: 1) информационные ТСО - технические средства предъявления информации, 2) контролирующие ТСО, 3) обучающие ТСО, которые обеспечивают весь замкнутый цикл управления обучением, представленный обучающей программой, реализуют программированное обучение.

3. Методические рекомендации по проведению практических занятий

3.1 Как начать урок

Всякое начало трудно, в том числе и начало урока. Ведь с первых его минут должны создаться необходимые условия для успешной совместной деятельности учителя и учащихся по достижению намеченных целей. Возникающие при этом проблемы многоплановы и связаны, главным образом, с разрешением следующих вопросов:

- организационных;

- содержательных;

- этических.

Необходимость решения организационных вопросов возникает перед учителем сразу же после звонка на урок, когда он еще входит в класс. Первый из них - взаимное приветствие учителя и учащихся.

Если эта процедура не сразу дается учащимся, то изменить ситуацию к лучшему за один - два урока, как правило, не удается. Здесь необходимо проявить терпение и настойчивость, добиваясь от учащихся уравновешенного и быстрого выполнения всех указанных действий, включая их посадку за рабочие место после ответного приветствия учителя.

В практике обучения начало урока порой происходит как бы без решения организационных вопросов: учащиеся сразу же включаются в урок, поддерживая инициативу учителя и сосредотачиваясь на осваиваемом материале. В действительности же за этим стоит длительная и кропотливая работа учителя по выработке у учащихся соответствующих навыков организации своей деятельности на уроке и, в частности, на первых его минутах.

Но бывает необходимым специально привлечь внимание учащихся к предстоящей работе. Для этого иногда достаточно обратиться к ним со словами: «Внимание, начинаем урок». Когда же учащиеся сильно возбуждены, то подобные обращения оказываются, как правило, мало эффективными. Такое случается после контрольных работ, выяснения личных отношений в классе. Здесь уместно начать урок с предварительной содержательной работы с использованием интересных и посильных заданий, составленных на изученном материале. И тогда сам процесс их выполнения, особенно письменных заданий, помогает постепенно снять напряжение и возбуждение и естественным образом включить учащихся в урок. Нередко при этом проводится в той или иной степени и проверка выполнения домашнего задания.

Процесс постановки и решения содержательных вопросов в начале урока может осуществляться несколькими способами. Их различают в зависимости от того, как и кем отбираются, разрабатываются и даются задания:

- только учителем (предусмотрено при изучении нового материала, главная роль предстоит учителю);

- учащимся вместе с учителем (Учитель намеренно не заканчивает мысль и просит учеников завершить её). Таким образом, учащиеся логически мыслят над окончанием примера, а, следовательно, представляют ход решения.

- самими учащимися.

В практике обучения предварительная содержательная работа на уроке организуется чаще всего только учителем. Она направлена главным образом на подготовку учащихся к усвоению нового материала, применению имеющихся знаний, овладению новых умений. С этой целью в начале урока используется математические диктанты, игровые задания, задания на поиск закономерностей, на выбор рациональных способов решения поставленных задач. При этом не следует останавливать свой выбор только на каком-то одном или нескольких видах заданий. Постоянное стремление разнообразить набор используемых заданий привносит элементы неожиданности и новизны, а значит, способствует проявлению у учащихся интереса к уроку с первых его минут.

Совершенствовать управление содержательной предварительной работы на уроке возможно путем привлечения учащихся к ее организации. И дело здесь кроется не только в достижении предсказуемости действий части учащихся, но и в том реальном содействии в организации начала урока, которое они в состоянии оказать. Для этого следует приобщать учащихся к составлению математических кроссвордов.

Конечно, на первых порах ученики будут, скорее всего, лишь незначительно отличающиеся от тех, которые используются учителем в начале урока. Но их постоянно в этом плане следует поддерживать и поощрять, чтобы способствовать развитию процесса самоорганизации учащихся с первых минут урока. Тогда можно надеться, что учащиеся научатся глубже разрабатывать идеи, заложенные в предлагаемых учителем в начале урока заданий, приобщаться к чтению дополнительной литературы. И не надо здесь бояться того, что они, возможно, сумеют предложить учителю задачу, которую он сразу не решит. В таких случаях ребята смогут показать ее решение и заработать отличную отметку. Конечно, желательно, чтобы Учитель как можно реже оказывался в подобной роли, но для этого ему надобно быть в постоянном творческом поиске.

Таким образом, при комплексной реализации отмеченных способов организации содержательной работы на первых минутах урока становится невозможным всякий раз начинать урок одними и теми же действиями. В этой связи уместно напомнить, что обучаемые «устают от однообразия организации их деятельности на уроке, а новое начало позволит избежать этого, даже если вся остальная часть урока построена традиционно».

Успеху урока способствует так же создание с первых минут благоприятного эмоционального настроя учащихся, что связано, главным образом, с решением этических вопросов.

Деловой настрой учителя, его увлеченность выполняемой работой, умение начинать и проводить урок с хорошим настроением высоко ценится учениками. Нельзя переносить на урок свои неприятности, проявлять несдержанность, грубость, придирчивость, откровенную злость, равнодушие к работе.

Учитель должен следить за грамотностью своей речи, избавляться от неправильного произношения звуков и слов, при высказывании основных мыслей добиваться краткости, четкости и логичности, очищать речь от слов-паразитов, вроде «ну», «короче», «так сказать» и т.п. Так как учащихся одинаково раздражают и монотонно - тихая, и громкая речь учителя в течении всего урока, то следует варьировать силу своего голоса и его тан в соответствии с изменяющейся обстановкой в классе.

Умение решать все поставленные выше вопросы в начале урока оказывает существенное влияние на дальнейший его ход: оно предопределяет необходимый темп урока, эмоциональный настрой, плодотворную деятельность учителя и учащихся в течение всего урока.

3.2 Методические рекомендации по изучению нового материала

Ключевым моментом в структуре урока является изучение нового материала. С опорой на него или во взаимосвязи с ним решаются на уроках остальные вопросы: будь-то закрепление, контроль и т.д. В процессе обучения математике оно сводится чаще всего к изучению математических понятий, предложений, теорем. Можно при этом выделить три основные этапа: подготовку к восприятию, введение и первичное осмысление нового материала.

Этап подготовки к восприятию нового материала во многом связан с формированием опорных понятий. Этого, однако, может показаться для обеспечения готовности учащихся к получению новых знаний. Подобное преподавание, чаще всего наблюдается в тех случаях, когда не уделяется должного внимания мотивировке изучения нового или актуализации опорных знаний.

1. Подготовка к изучению через выявление их существенных признаков и актуализацию опорных знаний может быть осуществлено в процессе предварительного решения практических примеров, соответствующих наглядных пособий, кратких исторических справок. Действительно, определяя некоторое математическое понятие, можно свести его к более общему, которое в свою очередь при определении сводится к еще более общему понятию.

2. В ходе подготовки учащихся к восприятию теорем, аксиом математических предложений, описывающих свойства многочленов, могут, принимаются без доказательств.

Подвести учащихся к восприятию формулировок теорем можно в ходе организованной совместной деятельности по выдвижении гипотезы. Достигается это путем планомерного выполнения на нескольких уроках подряд соответствующих упражнений до формирования у учащихся определенных навыков по расположению, чтению и записи отмеченных выражений.

Управление деятельностью учащихся при изучении нового материала должно осуществляться и с учетом психолого-дидактических закономерностей. Особое внимание при этом следует обратить на то, что при пассивном участии многое ускользает от внимания обучающегося. К более же полному, богатому восприятию приводит активная, мыслительная деятельность, которая по ходу ознакомления с материалом возрастает, если соблюдать следующие условия:

- учащиеся знакомившись с материалом, одновременно выполняет конкретное задание, помогающее глубже понять данный материал;

- это задание направляет усилие учащегося на использование определенного приема мыслительной деятельности;

- учащийся обладает знаниями, необходимыми для выполнения данного приема;

- материал не является чрезмерно легким.

В конечном счете, надобно обеспечить «ориентировку» в новом материале, которая достигается фиксированием его основного содержания, подлежащего усвоению, и способов работы с ним.

Безусловно, при изучении нового материала лишь начинают решаться вопросы, связанные с его усвоением, т.е. пониманием, запоминанием, умением его применять. Дальнейшее же развитие эти процессы получают при закреплении изученного, что специально рассматривается нами вслед за изложенным.

3.3 Методические рекомендации по закреплению изученного

При закреплении изученного обеспечивается усвоение учащимися учебного материала на уровне, отвечающем программным требованиям.

Как известно, знание усваиваются только в ходе соответствующей собственной работы с ними. Поэтому должно уделяться организации собственной деятельности учащихся в форме, позволяющей учителю проконтролировать ее ход и получаемые результаты. Такие «материализованные» действия должны завершаться постепенным снятием внешнего контроля и переходом к выполнению этих действий в умственном плане.

В ходе закрепления можно обеспечить запоминание учебного материала и формирование умений применять его при решении задач.

Безусловно, в процессе обучения учащемуся приходится много запоминать специально. При этом он нередко должен ставить перед собой цель - запомнить точно, полно и по возможности прочно то, что помечено им самим или задал учитель. Здесь второму необходимо провести мотивацию, то что, по этому материалу вам писать контрольную работу.

Разумеется, запоминание затрудняется, если материал плохо понят. То же самое наблюдается и в случае, когда усвоению подлежит материал относительно большего объема. Вообще говоря, успешное запоминание возможно тогда, когда учащиеся выполняют над ним активную мыслительную деятельность, и она способствует углубленному пониманию материала.

Заучивая учебный материал, нельзя ограничиваться лишь чтением его вслух или про себя. Надобно еще письменно воспроизвести его по памяти, фиксируя план изложения. Вот почему вопросы касающиеся освещения темы даются под диктовку. При этом учебный материал запоминается прочнее, поскольку нервы, ведущие от глаза к мозгу, в двадцать пять раз толще нервов, ведущих от уха к мозгу.

Процессом, противоположным запоминанию, является забывание. Оно биологически целесообразно для человеческого организма. Особенно интенсивно забывание происходит в первое время после заучивания. И хотя бессмысленный материал забывания значительно быстрее (за первые восемь часов после его проработки забывается больше, чем за последующие тридцать дней) связанного по смыслу, эта закономерность является общей.

Основным способом предотвращения забывания служит повторение изученного и включение его в постановку, и решение новых задач. Повторение же в неизменном виде путем решения только однотипных задач малоэффективно. Но это не значит, что от однотипных задач нужно отказаться. Надобно только не злоупотреблять таким повторением, помня, что для осознания некоторой особенности оптимальное число однотипных упражнений равно трем.

Таким образом, чтобы более эффективно повторить и закрепить материал, изученный на уроке, предусматриваются проверочные работы, а так же самостоятельные. Содержание, форма, продолжительность таких работ, проводимых в классе, должны соответствовать поставленным целям урока. Нередко они занимают всего лишь несколько минут, а порой могут длиться в течение всего урока.

3.4 Диагностика знаний и умений

Составными частями совместной деятельности учителя и учащихся по освоению программного материала, как и любой другой полноценной деятельности является ориентировочная, исполнительная и контролирующая. В контролирующей части устанавливается обратная связь в системе «Учитель - ученик», позволяющая регулярно получать информацию, используемую для определения качества усвоения учащимися учебного материала, своевременного диагностирования и корректирования их знаний и умений. Иначе говоря, в ходе контроля выявляются и оцениваются знания и умения учащихся, что дает возможность получить и накоплять сведения, необходимые для устного управления их обучением, воспитанием и развитием.

В этой связи различают три типа контроля:

Внешний контроль приучает обучающихся добросовестно и систематически выполнять учебную работу, вызывает стремление сделать ее лучше, а при целенаправленной работе учителя способствует развитию взаимоконтроля и самоконтроля.

При проведении же самоконтроля осознается правильность своих действий, что выражается в его направленности на предупреждение или обнаружение уже совершенных ошибок.

Представим схему развития самоконтроля:

1. Формирование потребности к самоконтролю можно организовать при самостоятельном решении заданий. Например, одному из учеников дать задание по теме «Схема Горнера» и, выполнив его, он показывает решение на доске и объясняет его решение.

2. Особое внимание следует уделить проверки учащимися деятельности учителя. При объяснении темы учитель может дает преднамеренно ошибку. И если обучаемые сразу не заметят ошибку, то учитель «наводящими» вопросами - подсказками подталкивает к нужному.

3. Взаимные проверки учащихся можно организовать следующим образом. На 10 минут провести проверочную работу. В конце урока (около двух минут) прекратить решение. И сказать: «А теперь поменяйтесь листочками с соседом и проверьте его работу. А после проверки поставьте ту оценку, по-вашему мнению, которую он заслужил».

В общем, контроль должен быть целенаправленным, объективным, всесторонним, регулярным и индивидуальным. Его результативность выражается в оценке, характеризующейся установлением степени соответствия знаний и умений учащихся с программными требованиями. Это соответствие нормам может иметь цифровую или другую символическую форму выражения и фиксации оценки, именуемой отметкой.

Методические рекомендации

1. Использование свойств делимости многочленов

Для изучения данной темы необходимо провести актуализация базовых знаний учащихся, повторить теорему о делимости многочленов. Проверить понимание учащихся на правильное понимание формулировки и смысла, рассматриваемой теоремы. Это можно проверить на примерах приведённых ниже:

Предложить учащимся: «Давайте рассмотрим пример, для закрепления изученной теоремы».

Вызвать одного из учащихся к доске и попросить решить его данный пример с использованием повторённого материала. Тем временем другие ученики должны приступить к самостоятельному решения этого же примера на местах, изредка сравнивая своё решение с решением учащегося у доски. Ход решения у доски должен непосредственно контролироваться учителем.

Пример. Известно, что многочлен 2x⁴-x³+2x²+1 делится на многочлен x²-x+1. Найти частное от деления.

После постановки решения попросить отвечающего у доски комментировать все свои действия, по ходу решения. Это дозволит ещё раз закрепить усвоение материала.

Решение. Частным от деления от многочлена четвёртой степени на многочлен второй степени будет многочлен второй степени. Для нахождения многочлена, который является частным от деления многочлена четвёртой степени на многочлен второй степени, необходимо ввести замену. Пусть искомый многочлен есть ax²+b·x+c. Тогда справедливо тождественное равенство:

2x⁴-x³+2x²+1=(x²-x+1)·(ax²+bx+c)=ax⁴+(b-a)·x³+(a+c-b)·x²+(b-c)·x+c.

Рассмотрим многочлен 2x⁴-x³+2x²+1, равный многочлену ax⁴+(b-a)·x³+(a+c-b)·x²+(b-c)·x+c. Заметим, что у обоих многочленов одинаковые степени x, но различные коэффициенты при них. Найдём неизвестные коэффициенты, приравнивая их при одинаковых степенях x, получаем систему:

, откуда a=2, b=1, c=1.

Вернёмся к замене ax²+b·x+c, где a=2, b=1, c=1 из составленной и решённой системы. Итак, частное от деления многочлена 2x⁴-x³+2x²+1 на многочлен x²-x+1 есть многочлен 2x²+x+1.

2. Методика изучения теоремы Безу и её следствий

Урок по изучению данной темы можно провести в форме лекции, которая должна длиться не более 30 минут.

Этот метод в педагогической литературе называют объяснительно-иллюстративным, в методической - школьной лекцией. Здесь дано своеобразное название «образец ответа», чтобы подчеркнуть одну из основных особенностей лекционного метода.

Основное требование к рассматриваемому методу сводится к тому, что объяснения учителя (кратковременные или более длительные) надо рассматривать как образцы ответов. Причем имеются в виду не только образцы изложения теоретических вопросов, но и, что, пожалуй, главное, - образцы решения задач.

Образец ответа при решении задачи - это один из важнейших способов обучения связному рассказу. Формирование умений безупречно объяснять, комментировать выполняемое упражнение в виде связного цельного рассказа начинается с объяснения учителя. Он показывает, как выполняется упражнение нового типа, как следует располагать записи, в какие моменты и каким образом необходимо комментировать выполняемые операции.

Образец ответа, излагаемый учителем, - необходимый этап в обучении связному рассказу. Дело в том, что образец выполнения учителем упражнения нового типа (если только этот образец удовлетворяет перечисленным требованиям) включает в себя не только содержательные элементы (как выполнять?), но и чисто методические компоненты (каким образом комментировать, как располагать записи, демонстрировать рисунки и т.д.?). Эти чисто методические компоненты образца ответа может дать сначала только учитель.

Главное при проведении урока-лекции состоит в том, что бы добиться активной мыслительной деятельности учащихся. В арсенале учителя должно иметься достаточное число приемов, помогающих добиться того, чтобы учащиеся активно мыслили в процессе рассказа.

Приступая к объяснению, учитель ставит классу конкретное задание, направляющее на понимание нового материала. Выполнение этого задания по ходу рассказа учителя активизирует мыслительную деятельность учащихся.

Рассмотрим соответствующие приемы обучения.

Учитель сообщает, что, объясняя новый материал, он намеренно допустит неточности, а учащимся предлагается внимательно слушать и обнаружить эти неточности. Чтобы убедиться в достоинствах этого приема, учителю достаточно два-три раза применить его и посмотреть, с каким азартом и сосредоточенным вниманием учащиеся стараются обнаружить неточность.

Пример. Дать формулировку теоремы следующим способом: «Частным от деления многочлена P_n(x) на двучлен x - равен значению многочлена P_n(x) при x =, т.е. r = P_n()». Попросить учащихся осмыслить формулировку и заметить ошибку.

Приступая к объяснению теоремы, учитель дает план ее доказательства. План помогает осознать идею доказательства в целом. В результате установка на запоминание способствует лучшему пониманию. Слушая объяснение учителя, учащиеся сопоставляют его рассуждения с предложенным планом, легче осознают переходы от одной логической части материала к другой, устанавливают связи между ними. При таком приеме обучения учащиеся хорошо усваивают материал, а главное, учатся слушать, применять план и в дальнейшем составлять его в процессе рассказа учителя.

Для наилучшего усвоения данного раздела, необходимо чтобы ученики конспектировали ход мыслей выступающего, так как работает не только зрительное и слуховое запоминание, но и механическое.

Схема Горнера

Схему Горнера так же можно включить в лекцию

Рекомендуется рассмотреть следующие примеры:

Пример 1. Найти остаток от деления многочлена P₄(x) = x⁴+x³+3·x²+2·x+2 на x -1.

Решение.

Рассмотрим уравнение х-1=0, от куда следует, что х=1. Согласно теореме Безу, подставим значение х=1 в многочлен P₄(x), получим:

P₄(1) = 1⁴+1³+3·1²+2·1+2 =9. Таким образом остатком от деления многочлена P₄(x) = x⁴+x³+3·x²+2·x+2 на x -1 является многочлен нулевой степени 9

Пример 2. Найти остаток от деления многочлена P₃(x)=x³-3x²+5x+7 на 2x+1.

Решение. Рассмотрим уравнение 2x+1=0, от куда следует, что х=-.

Согласно сделанному замечанию (см. стр. 13), остаток т деления многочлена P₃(x)=x³-3x²+5x+7 на 2x+1 есть

r=P₃(-)=(-)³-3 (-)²+5 (-)+7=. Таким образом, остаток от деления многочлена P₃(x)=x³-3x²+5x+7 на 2x+1 равен многочлену нулевой степени

Пример 3. Выяснить, делится ли многочлен P₄(x)=x⁴+4x³+5x+8 на

a) x+2;

б) x+1.

Решение.

a) Из того, что х+2=0, следует, что х=-2, по теореме Безу получим:

P₄(-2)=(-2)⁴+4 (-2)³+5 (-2)+8=16-32-10+8=-18, остаток от деления многочленов равно -18, а раз есть остаток от деления, то значит данный многочлен на x+2 нацело не делится;

б) Из того, что х+1=0, следует, что х=-1, по теореме Безу получим:

P₄(-1)=(-1)⁴+4 (-1)³+5 (-1)+8=1-4+-5+8=0, остаток от деления многочленов равно 0, так как нет остатка от деления, то значит данный многочлен делится на x+1.

Применение следствия теоремы Безу

Ученики, при правильном понимании теоремы в состоянии решить следующие примеры самостоятельно.

Пример. Доказать, что многочлен

P₁₇(x) = x¹⁷-15·x¹⁴+37·x¹⁰-16·x⁸-7 делится на x-1.

Решение.

Из уравнения х-1=0, получим х=1. По теореме Безу получим:

P(1)=1-15+37-16-7 = 0, то по следствию 1 многочлен P_n(x) делится на x-1.

Пример. Разделить многочлен P₅(x) =x⁵-32 на x-2.

Решение. Так как P₅(x) =x⁵-2⁵, то по следствию 2 многочлен P(x) делится на x-2, причем

⁴+2·x³+4·x²+8·x+16.

Использование теоремы Безу и схемы Горнера

Для закрепления изученного материала можно предложить ученикам небольшую самостоятельную работу, которую рекомендуется проводит в течении 10 - 15 минут. После чего ученики самостоятельно могут проверить правильность выполнения работы друг друга. Это делается для усовершенствования навыков решения учеников.

Для выполнения работы предлагается два варианта:

1 вариант решает примеры а) и в), а 2 вариант - б) и г).

Пример. Разложить на множители:

а) P₃ (x) = x³ - x² -8·x+12;

б) P₃ (x) = 2x³ - x-5·x²+1;

в) P₄ (x) = x⁴+4·x³-2·x²-4·x +1;

г) P₆ (x) = x⁶+3·x⁵+ 7·x⁴+9·x³+x²-3·x -18.

Решение.

а) Коэффициент при старшей степени равен 1; поэтому целые числа, которые и могут быть корнями многочлена P₃(x), являются делителями свободного члена - числа 12. выпишем эти числа: Непосредственной подстановкой находим

P₃ (1)= 4,

P₃ (-1)=18, P₃ (2)= 0.

Так как P₃ (2)= 0, то x=2 является корнем многочлена P₃ (x); поэтому многочлен P₃ (x) делится на x-2. Найдем по схеме Горнера коэффициенты частного от деления P₃(x) на x-2. (Здесь и далее таблица из схемы Горнера приводится с сокращениями):

1 -1 -8 12

2 1 1 -6 0 таким образом x³ - x² -8·x+12= (x-2)·(x²+x-6).

Так как x²+x-6= x²-4 +x-2 = (x-2)·(x+2)+(x-2) = (x-2)·(x+3), то

P₃(x) = x³ - x² -8·x+12 = (x-2)²·(x-3).

б) Если многочлен P₃(x) имеет рациональный корень p/q, то p является делителем свободного члена (+1), а q является делителем коэффициента 2, поэтому среди всех рациональных чисел корнями могут быть только числа 1, 1/2. Непосредственной подстановкой находим

P₃ (1) = -3, P₃ (-1) = -5, P₃ (1/2) =-1/2, P₃ (-1/2) =0.

Так как P₃ (-1/2) =0, то x =-1/2 является корнем многочлена P₃(x) и многочлен P₃(x) делится на x+1/2:

2 -5 -1 1

-1/2 2 -6 2 0

Таким образом 2·x³ -5·x² - x+1 = (x+1/2)·(2x²-6·x+2) = 2 (x+1/2)·(x²-3·x+1). Найдем дискриминант квадратного трехчлена x²-3·x+1. Так как D = 5>0, то

x₁ = и x₂ = - корни этого трехчлена; поэтому

x²-3·x+1 = (x₁ -)·(x₂ -).

Итак, P₃(x) = 2·x³ -5·x² - x+1 = (x+)·(x₁ -)·(x₂ -).

в) Если среди корней данного многочлена есть целые числа, то это числа 1 или -1. Найдем P₄(1): P₄(1) = 1+4-2-4+1 = 0.

Так как P₄(1) =0, то x=1 есть корень многочлена P₄(1), и многочлен P₄(x) делится на x-1. По схеме Горнера найдем коэффициенты частного от деления многочлена P₄(x) на x-1:

Таким образом, x⁴+4·x³-2·x²-4·x +1 = (x-1)·(x³+5·x²+3·x -1).

Многочлен P₃(x) = x³+5·x²+3·x -1 при x =-1 обращается в нуль; поэтому он делится на x+1.

По схеме Горнера найдем коэффициенты частного от деления многочлена P₃(x) на x+1:

Отсюда получаем P₃(x) = x³+5·x²+3·x -1= (x+1)·(x²+4·x-1).

Поскольку

x²+4·x-1 = x²+4·x+4-5 = (x+2)²-5 = (x+2-)·(x+2+), то

P₄(x) =x⁴-4·x³-2·x²-4·x+1 = (x -1)·(x+1)· (x+2-)·(x+2+).

г) Так как P₆(1) = 0, то, согласно схеме Горнера, получаем:

Отсюда

P₆(x) =(x-1)·(x⁵+4·x⁴+11·x³+20·x²+21·x+18).

Применяя схему Горнера, убеждаемся, что многочлен

P5 (x) = x5+4·x4+11·x3+20·x2+21·x+18 делится на x+2:

Отсюда

P₅(x) = (x+2)·(x⁴+2·x³+7·x²+6·x+9).

Группируя и выделяя полный квадрат, имеем

x⁴+2·x³+7·x²+6·x+9 = x⁴+2·x²·x+x²+6·x²+6x+9 = (x²+x)²+6·(x²+x)+9 =(x²+x+3)².

Так как дискриминант квадратного трехчлена x²+x+3 меньше нуля, то этот трехчлен на линейные множители не разлагается.

Итак, P₆(x) =(x-1)·(x+2)·(x²+x+3)².

3. Применение утверждения о корнях многочлена

Данная тема знакома ученикам и они в состоянии самостоятельно раскрыть смысл этого параграфа. Можно предложить нескольким ученикам подготовить эту тему, для изложения её на урока в виде доклада. Для закрепления можно предложить ученикам самостоятельно рассмотреть следующие примеры. Все действия учащихся постоянно должны контролироваться учителем, в ходе объяснения он может корректировать докладчика и отвечать на все, затруднительные вопросы учеников для докладчика по данной теме.

Пример. Найти корни многочлена

P(x)=2x³+x²-4x-2.

Решение. Выясним, имеет ли данный многочлен своим корнем рациональное число. Пусть несократимая дробь p/q является корнем данного многочлена, тогда, согласно приведённому выше утверждению, число p может принимать значения: -1, 1, -2, 2, а число q-может принимать значения 1, 2. Таким образом, рациональными корнями данного многочлена могут быть только следующие числа:

-2, -1, -, , 1, 2.

Непосредственной подстановкой каждого из этих чисел в данный многочлен получаем

P(-2)0, P(-1)0, P(-)0, P()0, P(1)0, P(2)0.

Следовательно, x =- является корнем данного многочлена P(x) и P(x)=(x+)·Q(x).

Применяя схему Горнера, находим выражение Q(x)=2x²-4, корнями которого являются числа и -. Поэтому данный многочлен имеет корни x₁=-, x₂= и x₃=-.

Пример. Разложить на множители многочлен P(x)=2x⁴+2x²+3x-2.

Решение. Выясним, имеет ли многочлен своим корнем рациональное число. Пусть несократимая дробь p/q является корнем данного многочлена, тогда число p может принимать значения -1, 1, -2, 2, а число q-значения 1 и 2. Таким образом, рациональными корнями данного многочлена могут быть следующие числа:

-2, -1, -, , 1, 2.

Непосредственной подстановкой каждого из этих чисел в многочлен получаем

P(-2)0, P(-1)0, P(-)0, P()0, P(1)0, P(2)0.

Так как P(-1)= P()=0, то числа -1 и являются корнями данного многочлена; следовательно, P(x)=(x+1)·(x-)·Q(x).

Многочлен Q(x) можно найти, например, делением «столбиком» многочлена P_n(x) на многочлен (x+1)·(x-)=x²+- или делением по схеме Горнера многочлена P_n(x) на x+1, а затем делением полученного частного на x- или методом неопределённых коэффициентов.

Найдём многочлен Q(x)=2x²+bx+c методом неопределённых коэффициентов.

Поскольку справедливо тождественное равенство

2x⁴-x³+2x²+3x-2=(x²+-)·(2x²+bx+c)

И свободный член многочлена, стоящего в левой части, равен -2, а свободный член многочлена, стоящего в правой части, равен -c, то c=4. Подставляя в тождество вместо c значение 4, а вместо х число 1, находим b:

2·1-1+2·1+3·1-2=(1+-)·(2·1+b·1+4), откуда b=-2.

Итак, Q(x)=2x²-2x+4.

Многочлен 2x²-2x+4 действительных корней не имеет и на множители не разлагается. Поэтому данный в условии задачи многочлен разлагается на множители следующим образом: 2x⁴-x³+2x²+3x-2=2 (x -)·(x²-x+2).

4. Методы разложения многочлена на множители

Эту работу можно предложить ученикам в виде повторительного урока. Вызывать учеников к доске и решать предложенные примеры. У обучаемых достаточно знаний для решения подобных примеров. Аналогично проводить работу на местах, кто «ушёл» дальше остальных, получает дополнительные задания и решает их.

Пример. Разложить на множители многочлен:

а) x²-5·x +6;

б) - x²-7·x -12.

Решение.

а) Из уравнения x²-5·x +6, решив, получим числа 2 и 3, они таковы, что их произведение равно свободному члену q=6, а их сумма равна -5, то они являются корнями многочлена x²-5·x +6, и, следовательно, x²-5·x +6 разлагается на множители (x-2)·(x-3);

б) Решив уравнение - x²-7·x -12=0 получим числа -3 и -4, они таковы, что (-3)·(-4)= и (-3)+(-4)=-, то они являются корнями квадратного трёхчлена - x²-7x-12, и, следовательно, -12-7x-x² можно преобразовать следующим образом: (-1)·(x+3)·(x+4).

Пример. Разложить на множители:

1) P₃ (x)= x³+4x²+5x+2;

2) P₄ (x)= 2x⁴-3x³-7x²+6x+8.

Решение.

1) Так как P₃ (-1)=0, то многочлен P₃ (x) делится на x+1. Методом неопределённых коэффициентов найдём частное от деления многочлена

P₃ (x)= x³+4x²+5x+2 на двучлен x+1.

Пусть частное есть многочлен x²+. Так как

x³+4x²+5x+2=(x+1)·(x²+)=x³+(+1)·x²+()·x+, получим систему

Откуда . Следовательно, P₃ (x)=(x+1)·(x²+3x+2).

Поскольку x²+3x+2=x²+x+2x+2=x·(x+1)+2·(x+1)=(x+1)·(x+2), то P₃ (x)=(x+1)²·(x+2).

2) Поскольку P₄(2)=32-24-28+12+8=0, то многочлен P₄ (x) делится на x-2. Метод неопределённых коэффициентов найдём частное 2x³+x²+x+.

Так как 2x⁴-3x³-7x²+6x+8=(x-2)·(2x³+x²+x+)=2x⁴+(-4)·x³+(-2)·x²+(-2)·x-2

Получим систему

Откуда =1, =-5, =-4. Следовательно, P₄ (x) =(x-2)·(2x³+x³-5x-4).

Разложим на множители многочлен правой части:

2x³+x²-5x-4=2x³+2x²-x²-x-4x-4=2x²·(x+1) - x·(x+1) - 4·(x+1)=(x+1)·(2x²-x-4).

Найдём дискриминант квадратного трёхчлена 2x²-x-4. Так как D=1+4·4·2=330, то

x₁₌ и x²= корни этого трёхчлена. Поэтому 2x² - x - 4 =

2·(x - )·(x - ).

Итак, P₄ (x) = 2·(x+1)·(x -2)· (x - )·(x - ).

Заключение

В процессе написания курсовой работы была изучена различная литература: учебники по методике преподавания математики, журналы «Математика в школы», газеты «Математика». Рассмотренный материал был обобщён и систематизирован. На основе рассмотренного материала в данной курсовой работе приведены методические рекомендации по изучению многочленов на факультативных занятиях, а так же предложены готовые сценарии для проведения уроков, что может в значительной мере помочь начинающим учителям и студентам-практикантам в подготовке и проведении занятий.

В работы были реализованы поставленные задачи:

· систематизирован материал по теме «Многочлены»;

· приведены методические рекомендации по проведению занятий по данной теме.

При выполнении работы были проанализированы учебная и научная литература, обобщён и систематизирован материал по данной теме.

Данная работа полезна начинающим учителям, студентам математического факультета при подготовке к практическим занятиям по теории и методике изучения математики.

Размещено на Allbest.ru