Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

Для любых векторов а, b, с и любого числа k сраведливы соотношения:

1. а2 ? 0, причем а2 > 0 при а ? 0

2. (Переместительный закон) а?b = b?a

3. (Распределительный закон) (а + b)?с = а?с + b?с

4. (Сочетательный закон)

Чтобы умножить произведение числа на вектор (скалярно) и на другой вектор достаточно это число умножить на скалярное произведение этих векторов

(kа) ?b= k? (ab)

Пусть вектор а имеет координаты (а1;а2), вектор b имеет координаты (b1;b2)

Найдем левую часть:

ka = (ka1? ka2)

(ka) ?b =k?a1b1 +k?a2b2 = k? (a1b1+a2b2)= k? (ab)

IV. Закрепление нового материала

Учитель вызывает к доске двух учащихся для решения написанных на доске примеров, остальным более шустрым предлагается решать номера заданий, написанных на доске самостоятельно в тетрадь на оценку. На доске написаны номера заданий для решения в классе № 1041 (а, б), № 1044 (а, б) № 1045, № 1046.

1. Вычислите скалярное произведение векторов a, b, если | a | = 2, | b | =3, а угол между ними равен 1350, 450, 900.

Воспользуемся формулой a? b= |a|? |b|? cos ц, которая написана на доске.

А. a? b = 2 ?3 ?соs 1350 = 6 ?соs (900 + 450) = 6 ?sin 450 =;

Б. a? b= 2 ?3 ?соs 450 =;

В. a? b= 2 ?3 ?соs 90 0=6? 0 = 0.

2. Вычислите скалярное произведение векторов a, b, если

А. a( ); b(2; 3);

Б. a(- 5; 6); b(6; 5);

В. a(1.5; 2); b(4; -0.5);

Воспользуемся формулой a? b = (а1 b1+ а2 b2), которая написана на доске.

А. a? b= ;

Б. a? b= -5 ?6 +6 ?5 = (-30)+ (-30)= 0;

В. a? b= 1.5 ?4+ 2 ?(-0.5) =6+ (-1) = 5.

самостоятельный школьник обучение работа

3. При каком значении х векторы a( х; - 1) и b(3; 2) перпендикулярны.

Воспользуемся формулой a? b = (а1 b1+ а2 b2), которая написана на доске.

a? b =3х - 2 = 0

Решим получившееся уравнение

3х - 2 = 0;

3х = 2;

х = .

V. Постановка домашнего задания и подведение итогов урока

Объяснение домашнего задания

№ 1047 (а) - решать аналогично заданиям, выполняемым в классе;

№ 1054 и № 1055- самостоятельно рассмотреть, записать в тетрадь;

№ 1056 - на повторение ранее изученного материала.

Выучить конспект урока.

Подведение итогов урока

Учитель вместе с учащимися подводит итоги урока, выставляет отметки учащимся за работу на уроке.

Приложение 2

Урок закрепление изученного материала.

Тема: «Скалярное произведение векторов.

Свойства скалярного произведения векторов».

Цели:

- закрепление изученного материала;

- повышение мыслительной деятельности учащихся;

- воспитание уважительного отношения к сверстникам.

- воспитание уважительного отношения к сверстникам и к старшим.

Оборудование:

Доска, мел, указка, учебник, таблицы с формулами.

Структура урока:

I. Организационный момент (5 мин.)

1. Приветствие;

2. Отмечание в классный журнал учащихся, выяснение причины отсутствующих;

3. Ознакомление с темой урока, постановка его целей.

II. Проверка домашней работы (10 мин.)

1. Дети задают вопросы по домашней работе;

2. Разбор не получившихся заданий на доске;

3. Проверка наличия домашней работы.

III. Закрепление изученного материала (20 мин.)

1. Разминка;

2. Решение задач.

IV. Постановка домашнего задания и подведение итогов урока (5 мин.)

Ход урока

I. Организационный момент

Учитель проверяет готовность класса к уроку. Приветствует детей (дети - учителя), отмечает отсутствующих (интересуется причиной). Далее дети открывают тетради, записывают число, классная работа, тему урока, а тем временем учитель сообщает учащимся, что на этом занятии будет закрепление темы предыдущего урока «Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения векторов».

II. Проверка домашней работы

Учитель интересуется все ли сделали домашнее задание, если нет - узнает причину. Учитель вызывает к доске несколько человек для решения задач № 1047 (а), 1056, 1054, 1055 из домашнего задания (или вызывает тех, у кого не получилось решить дома, если такие дети есть), всех остальных учитель призывает сверять ответ (и решение) на доске со своим, те у кого не получилось что - то пишут с «доски» в тетрадь. Пока они оформляют решения задач на доске, учитель просит всех ребят открыть тетради на домашней работе, проходит по рядам и проверяет наличие домашней работы.

Закрепление изученного материала

Перед тем как начать закреплять изученный материал, учитель делает разминку, для этого у него заранее на доске записаны короткие задания. В процессе решения примеров учитель обращает внимание учащихся на формулы скалярного умножения векторов (плакат с формулами висит над доской), проговаривает.

1. Разминка.

Найдите скалярное произведение векторов a, b, если

| a | = 5, | b | = 8, a ^ b= 600

| a | = 8, | b | = 0.8, a ^ b= 300

| a | = 0.5, | b | = 3, a ^ b= 1350

| a | = 7, | b | =12, a ^ b= 750

a(4; - 1); b(- 8; -0.9);

a(- 12; 0.2); b(- 9; -0.25);

a(- 2; 0.5); b(- 5; 8);

a(7; - 7); b(5; -5);

2. Решение задач.

Далее для решения у доски (на оценку) задания № 1045 вызывается учащийся. Он решает, а проверяют его с места на оценку (учитель проверяет на доске по готовности, интересуется у проверяющих согласны ли они с ним, выставляет оценки) еще несколько учащихся.

Условие задания:

Докажите, что ненулевые векторы a(х; у) и b(-у; х) перпендикулярны.

Решение:

1. Если они перпендикулярны, то a? b = 0

2. Воспользуемся формулой скалярного умножения для векторов. Заданных координатами

Получаем: - ху + ху = 0.

Далее ребятам предлагается решить № 1051

Условие задания:

Известно, что a ^ с = b^ с = 600, | a | = 1, | b | = | с | = 2. Вычислите (a+ b) с.

Решение:

Воспользуемся переместительным законом скалярного умножения векторов.

(a+ b) с = ас + bс;

Получим:

(a+ b) с = | a | ?| с | ?соs 600 + | b | ?| с | ?соs 600 =1 ?2? 0.5 + 2 ?2? 0.5 = 1 + 2 = 3.

Далее примеры усложняются, решаем № 1049

Решение:

1. Воспользуемся формулой нахождения длины от точки до точки

| a | = , а (х ; у)

| АВ | = с =

| ВС | = а =

| АС | = b =

2. Воспользуемся формулой нахождения соs угла между векторами

соs б =

соs в =

соs г =

Получаем:

соs А =

соs В =

соs С =

Постановка домашнего задания и подведение итогов урока

На домашнюю работу выносятся задания, подобные тем, которые дети решали в классе № 1068, № 1069, № 1067, № 106. Учитель говорит детям о том, что на следующем уроке будет самостоятельная работа по этой теме и что нужно повторить все определения и формулы по теме.

Итог урока подводится выставлением оценок в дневник учащимся и в журнал.

Приложение 3

Урок обобщения и систематизации знаний.

Самостоятельная работа по теме: «Скалярное произведение векторов.

Свойства скалярного произведения векторов».

Цели:

- обобщение и систематизация знаний по изученной теме;

- повышение мыслительной деятельности учащихся;

- воспитание уважительного отношения к сверстникам и к старшим.

Оборудование:

Доска, мел, указка, учебник, таблицы с формулами.

Структура урока:

I. Организационный момент (5 мин.)

1. Приветствие;

2. Отмечание в классный журнал учащихся, выяснение причины отсутствующих;

3. Ознакомление с темой урока, постановка его целей.

II. Обобщение и систематизация знаний по изученной теме (30 мин.)

1. Разминка;

2. Самостоятельная работа.

III. Постановка домашнего задания и подведение итогов урока (5 мин.)

Ход урока

I. Организационный момент

Учитель проверяет готовность класса к уроку. Приветствует детей (дети - учителя), отмечает отсутствующих (интересуется причиной). Далее дети открывают тетради, записывают число, классная работа, тему урока, а тем временем учитель сообщает учащимся, что на этом занятии будет самостоятельная работа по теме «Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения векторов».

II. Обобщение и систематизация знаний по изученной теме

1. Разминка

Учитель устно проверяет готовность учащихся к уроку, задает им вопросы:

1. Что такое вектор? Какие способы его задания вы знаете?

2. Что называют скалярным произведением векторов?

3. Запишите формулы скалярного произведения векторов.

4. Запишите формулы нахождения косинусов углов.

5. Запишите свойства (формулы) скалярного произведения векторов.

6. Какие векторы называют перпендикулярными?

7. Запишите условие перпендикулярности двух не нулевых векторов с кордитами (х1 ; у1) и (х2 ; у2).

2. Самостоятельная работа по учебнику.

1. № 1044 (а, б, в)

2. № 1046

3. № 1052

4. № 1053

5. № 1049

Пока ребята решают самостоятельную, учитель собирает тетради с домашней работой и проверяет. Через полчаса учитель собирает тетради с самостоятельной.

Постановка домашнего задания и подведение итогов урока

Постановка домашнего задания: самостоятельно изучить, законспектировать п. 105, 106, 107, 108 со стр. 258 - 260 учебника Геометрии (Геометрия: Учеб. для 7 -9 кл. общеобразоват. учреждений/ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. - 10 -е изд. - М.: Просвещение, 2000. - 335 с. )

Подведение итогов урока: через полчаса учитель собирает тетради с самостоятельной и оглашает оценки за домашнюю работу, раздает тетради с домашней работой учащимся.

Размещено на Allbest.ru