О возможности формирования математических способностей (по В.А. Крутецкому) при изучении математики в деятельностном подходе

Часть этих приемов направляет решающего на использование весьма характерного для творческой деятельности мыслительного эксперимента, который облегчает постановку и предварительную проверку гипотез и пути решения проблем. Включая имеющиеся в условии задачи данные в различные связи, в новые ситуации, решающий тем самым вычерпывает их новые признаки, используя оптимальный для творческого процесса анализ через синтез.

К эвристическим приемам относится конкретизация, когда ученик придает абстрактным данным условия более конкретную форму. Этот прием дополняется приемом графического анализа, вводящего наглядные опоры различной степени символизации. [7]

Противоположным является прием абстрагирования, когда решающий отбрасывает конкретные детали, оголяя данные и соотношения между ними. На 4800 рублей больше и вдвое дороже -- вот и все, что выделено учеником в одной из задач, и на этом сосредотачивает он внимание.

Наиболее распространенным приемом, облегчающим выявление функциональных связей между данными, является варьирование. Этот прием заключается в том, что ученик произвольно отбрасывает или изменяет величину одного из данных (а иногда и нескольких) и на основе логического рассуждения выясняет, какие следствия вытекают из такого преобразования, как отразилась изоляция данного на остальных. По этим изменениям легче судить о связи выделенного данного с другими.

Широко используются при решении проблем приемы аналогии, постановка аналитических вопросов. Ю. Н. Кулюткин указывает, что положительным итогом проведенного обучения явилось изменение самого подхода к учению. [16] Школьников стала привлекать самостоятельная познавательная деятельность, т.е. у них изменилась мотивация учения. Очевидно, существенное влияние оказали положительные эмоции, возникающие при самостоятельном открытии, которое оценивается решающим, как его интеллектуальная победа.

Итак, алгоритмические приемы обеспечивают правильное решение задач известных учащимся типов; они учат школьников логике рассуждений, служат фоном, который возможно использовать при поисках решения проблем. Эвристические приемы позволяют действовать в условиях неопределенности, в принципиально новых ситуациях, облегчая поиск решения новых проблем.

Дискуссионным остается вопрос о том, следует ли заботиться о знании учениками формул, их всегда можно воспроизвести по справочникам. Ответ на вопрос, надо ли запоминать формулы, в частности, получен в исследовании С. И. Шапиро. Результаты экспериментов показали, что в простых ситуациях, когда зависимости используются всегда одинаково (т. е. когда требуется репродуктивное мышление), их предварительное специальное запоминание не обязательно, вполне возможно использование внешних средств (справочников и т. п.). Напротив, в сложных ситуациях, при решении нестандартных задач, т. е. тогда, когда должно активизироваться продуктивное мышление, необходимо прочное закрепление основных формул в памяти. Известный педагог В. Ф. Шаталов на аналогичный вопрос отвечает: Ученик, который работает со справочником, отличается от ученика, который знает все формулы, так же как отличается начинающий шахматист от гроссмейстера. Он видит только один ход вперед. [12] Прямая установка на запоминание повышает уровень мыслительной активности при работе над подлежащим усвоению материалом, степень ее саморегуляции и самоконтроля, что значительно увеличивает эффект усвоения. Этому же способствует сознательное применение рациональных приемов мнемической деятельности (таких как группировка, классификация, составление плана, выделение смысловых опор и т. д.). Чтобы открывать новое, отвергать уже известное, необходимо владеть этим старым, иметь достаточно широкий объем знаний (включая и их операционную сторону), достаточных для движения вперед и находящихся в состоянии готовности к актуализации в соответствии с поставленной перед субъектом целью. Чтобы выполнить это чрезвычайно важное требование, нужно предусмотреть специальную организацию мнемической деятельности, обеспечивающую прочность усваиваемых знаний и их готовность к актуализации при решении проблем. Эта специальная организация -- один из важнейших принципов формирования математических способностей младших школьников.

Для обеспечения достаточного уровня знаний авторы учебных программ и учебников стремятся вводить в них все новые и новые данные. Однако, чем больше объем подлежащих усвоению знаний, тем труднее обеспечить прочность их усвоения. Следовательно, необходимо как-то ограничить тот круг знаний, которые подлежат усвоению, и искать пути организации знаний в такую систему высокого уровня обобщения, в которой по относительно немногим прочно закрепленным ее звеньям на основе рассуждений ученик мог бы найти дополнительные звенья, необходимые для оперирования приобретенными знаниями. Важно четко ограничить обязательный минимум знаний от второстепенного материала и ориентировать учащихся на тщательное закрепление именно основных знаний и способов оперирования ими, что лучше делать сразу же при введении нового материала.

Ориентация на выделение и обобщение существенного в материале, классификацию в зависимости от его значимости содействует формированию одного из важнейших качеств продуктивного мышления -- глубины ума. В связи с большим объемом подлежащих усвоению знаний необходимо по возможности сжать, уплотнить их, что может быть осуществлено на основе более раннего введения обобщенных знаний -- теорий, законов, общих методов решения широкого класса задач. Такие знания позволяют учащимся не запоминать множество отдельных частных закономерностей, способов решения, а самим на основе логических рассуждений выводить их из общих положений.

1.4 Вывод

Нами рассмотрены понятия способностей и математической способности и их связь с умениями и навыками. Также изучены 8 математических способностей (по В.А. Крутецкому), выделили действия, характеризующие каждую способность. И изучили формирование математических способностей в деятельностном подходе.

Глава 2. О возможностях формирования математических способностей в курсе «Начала алгебры»

2.1 Характеристика курса

Проанализируем учебный курс «Начала алгебры», разработанный в рамках деятельностного подхода и выполняющий одну из задач предпрофильной подготовки, т.е. создание условий для получения учащимися минимального личного опыта в различных видах деятельности. [17]

Курс «Начала алгебры» предназначен для классов, продолжающих развивающего обучение математике в среднем звене разработан сотрудниками лаборатории развивающего обучения математике института психологии и педагогики развития г. Красноярска под руководством О.В. Знаменской. Он предназначен для классов обучающихся первые 4 года по системе Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова.

В методическом руководстве курса «Начала алгебры» отмечается, что единицей обучения в курсе является учебный цикл, состоящий из шести этапов:

· оформление существующих знаний;

· постановка проблемы (задачи);

· открытие нового понятия (может использовать рабочий язык);

· систематизация новых знаний;

· анализ текстов учебников (переход на культурный язык);

· выделение класса типовых задач (на навык);

· контроль и оценка.»[5]

В программу заложен дифференцированный подход к обучению, по мнению авторов, это позволяет, как сохранить интерес к предмету у слабых учащихся и, так обеспечивать возможность развития для всех. Это обеспечивается за счет:

· наличия разных уровней проработки материала при решении учебной задачи и возможности переходить с одного уровня на другой, что позволяет даже самому слабому учащемуся вносить вклад в решение общей проблемы и сохранять интерес к предмету;

· введения нескольких способов решения одной задачи, которые могут быть, как открыты самими учащимися, так и найдены в литературе (в частности, в учебнике). (Более слабый учащийся может выбрать наиболее понятный ему способ решения задачи, сильный может освоить все и выбирать наиболее эффективный способ для конкретной ситуации.);

· наличия дополнительного образовательного пространства как места для математического творчества и самостоятельного инициативного движения, учащихся в предмете математики;

· наличия условий для написания разножанровых творческих работ, связанных как места для математического творчества и самостоятельного инициативного движения, учащихся в предмете математики;

· постепенного усложнения требований (то, что на пятом году обучения способны делать самостоятельно лидеры и остальные учащиеся в коллективно-распределенной форме, к шестому - седьмому годам обучения начинает требоваться как норма от всех учащихся).

Авторами говорится, что одна из основных задач курса состоит в том, чтобы представить математику не как набор разрозненных фактов, а как цельную развивающуюся дисциплину общекультурного характера, что может сделать процесс изучения школьной математики осмысленным как для ученика, так и для учителя. В качестве основного результата обучения в среднем звене авторами рассматривается математическая грамотность учащихся как общекультурное умение. В это умения входит:

a)владение основными понятиями и методами изучения математических объектов (такими как общение, спецификация, аналогия, распространение, систематизация и др.);

b) умение эффективно использовать математические способы вычислений, преобразований и др.;

c) владение языком изложения математических знаний (письменная математическая речь);

d) владение терминологией, связанной с исследованием (гипотеза, утверждение, доказательство).

Основы математической грамотности закладываются на пятом году обучения. Авторами описаны результаты 5 года обучения следующим образом: учащиеся должны иметь навыки работы с записью (построения и преобразования формы записи), уметь формулировать утверждения и проверять их на правдоподобность, различать способы проверки утверждения для произвольного и для конкретного случая, понимать разницу между утверждением, теоремой, гипотезой, оценивать эффективность применения способа.

Попытаемся соотнести компоненты a-d математической грамотности и типов математических способностей, описанных в предыдущей главе. По нашему мнению, первые три компонента востребуют становления следующих математических способностей:

1) способность к формализованному восприятию математического материала, схватывания формальной структуры задачи;

2) способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов;

3) способность к логическому рассуждению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики.

Формирование способностей, в том числе и математических «не могут существовать иначе, как в постоянном процессе развития»[11], это обеспечивается курсом «Начала алгебры» за счет: различных уровней проработки материала; введение нескольких способов решения одной задачи; постепенного усложнения требований и т.д.

Можно предположить, что на каждом из этапов становятся разные математические способности. Например, на этапе оформление существующих знаний становится способность формализованному восприятию математического материала, на этапе открытия нового понятия - способность к логическому рассуждению, на этапе систематизация новых знаний -

Таким образом, можно выдвинуть следующее предположение: учебный материал курса «Начала алгебры» способствует формированию следующих математических способностей:

· способность к формализованному восприятию математического материала, схватывания формальной структуры задачи;

· способность к логическому рассуждению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики;

· способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов.

Нашей задачей является проанализировать задачный материал курса, для того чтобы выявить наличие или отсутствие действий, лежащих за каждой из перечисленной способности при решении этих задач и тем самым получить основания для преобразования в гипотезу.

2.2 Анализ задачного материала темы «Теория делимости»

Итак, мы будем искать подтверждение тому, что учебный материал темы «Теория делимости», а именно здесь, наиболее ярко прослеживается задумка авторов курса «Начала алгебры», способствует формированию следующих математических способностей:

· способность к формализованному восприятию математического материала, схватывания формальной структуры задачи;

· способность к логическому рассуждению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики;

· способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов.

Для этого проанализируем соответствие действий, выполнение которых задает те или иные математические способности (по В.А. Крутецкому) действиям, которые выполняются при решении задач темы «Теория делимости» курса «Начала алгебры».

2.2.1 Формирование способности к формализованному восприятию математического материала

Эта математическая способность проявляется в стремлении к своеобразной формализации структуры математического материала в процессе его восприятия. Формализованное восприятия - это своего рода обобщенное восприятия функциональных связей, отдельных от предметной и числовой формы, когда в конкретном воспринимается его общая структура.

Для примера приведем анализ решения одной из задач темы «Теория делимости» курса «Начала алгебры».

Задание. «Составьте таблицу умножения для систем счисления с основаниями 2, 3, 4.

Выведите признаки делимости двухзначных чисел в этих системах счисления».[4]

Для того чтобы выполнить это задание, необходимо заполнить таблицу, правильно выполнив умножения. Правильность умножения можно проверить при помощи сложения или перевода в 10-ичную систему счисления. При помощи признаков делимости в 10-ичной системы счисления можно определить, делится ли оно на некоторое заданное число. А в записи всех кратных чисел, данному в системе счисления по основанию р (р=2, р=3, р=4) можно обнаружить некоторую закономерность, то есть вывести признак делимости на заданное число.

Если рассматривать действия, выполняемые при решении данного задания, и перевести их на язык математической способности, то можно сказать, что задание направлено на формирование способности к формализованному восприятию математического материала. Так как действие «заполнения таблицы» можно соотнести с действием «поиска объединения элементов математического материала в комплексы», а «обнаружения закономерности» с действием «отыскать отношения и функциональных зависимостей элементов математического материала задачи», то можно сказать, что данная задача позволяет формировать математическую способность - формализованное восприятия математического материала.

Ниже в таблице №1 приведены задания из темы «Теория делимости» курса «Начала алгебры», которые, по нашей оценке, позволяют формировать эту математическую способность.

Таблица №1

Вывод: задачи данного типа в учебных материалах встречаются систематически и условия задач постепенно усложняются, то можно говорить, что задачный материал направлен на формирование способности к формализованному восприятию математического материала.

2.2.2 Формирование способности к логическому рассуждению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики

Задание. «Выясните, можно ли без изменения распространить признаки делимости для чисел вида на числа с произвольным количеством цифр в записи. Какие утверждения кажутся вам верными?».[4]

Для решения этого задания необходимо сформулировать и записать утверждение о делимости натурального числа . Затем найти многозначное число, для которого эти утверждения не верны. Если же такое число не найдется, то есть сформулированное утверждение ложно, то надо используется те же идеи, что для случая n=2.

Если рассматривать действия, выполняемые при решении данного задания и перевести их на язык математических способностей, то можно сказать, что задание способствует формированию способности к логическому рассуждению в сфере количественных отношений, числовой и знаковой символики.

Так как действие «сформулировать утверждение о записи натурального ряда» можно соотнести с действием «оперирования специальными математическими знаками, условными символическими обозначениями количественных величин и отношений», действие «записать утверждение о делимости натурального числа» - с действием «перевода на язык символов», а «проверка утверждения на истинность» с действием «умением логически рассуждать (доказывать, обосновывать)».

Ниже в таблице №2 приведены задания из темы «Теория делимости» курса «Начала алгебры», которые, по нашей оценке, позволяют формировать эту математическую способность.

Таблица №2

Вывод: задачи такого же типа рассматриваются в теме «Теория делимости» курса «Начала алгебры» систематически и условия задач постепенно усложняются, то можно говорить, что способность к логическому рассуждению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики формируется.

2.2.3 Формирование способности к быстрому и широкому обобщению математических объектов

Способность к обобщению математического материала рассматривается в двух планах: 1) как способность человека увидеть в частном, конкретном уже известном ему общее (подведение частного случая под известное общее понятие) и 2) способность увидеть в единичном, частном пока еще неизвестное общее (вывести общее из частных случаев, образовать понятие). Одно дело - увидеть возможность применение к данному частному случаю уже известной ученику формулы, другое - на основание частных случаев вывести формулу, еще неизвестную ученику.

Рассмотрим задание из темы «Теория делимости» курса «Начала алгебры», которое, по нашему мнению, позволяет формировать эту математическую способность.

Задание. «Как быстро (не производя вычисления) определить, кратна ли трем сумма 3798+222?».[4]

Задача решается при помощи использования свойств отношений делимости.

Так как действие «использование свойств отношений делимости» можно соотнести с действием «обобщения типа решения», «обобщения схемы доказательства, рассуждения» (что применить), то можно сказать, что данная задача позволяет формировать математическую способность - способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов.

Ниже в таблице №3 приведены задания из темы «Теория делимости» курса «Начала алгебры», которые, по нашей оценке, позволяют формировать эту математическую способность.

Таблица №3

Вывод: так как такие задачи в материале темы «Теория делимости» курса «Начала алгебры» встречаются систематически и условия задач постепенно усложняются, то можно говорить, что способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов формируется.

Также при анализе задачного материала темы «Теория делимости» курса «Начала алгебры» были выявлены задачи, которые направлены на формирование двух других математических способностей: 1) гибкость мыслительных процессов в математической деятельности, 2) способность к быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, переключение с прямого на обратный ход мысли.

Ниже в таблицах №4, 5 приведены задания из курса «Начала алгебры» темы «Теория делимости», которые, по нашей оценке, направлены на формирование этих математических способностей.

Таблица №4

Таблица №5

Вывод: Задания, которые позволяют формировать эти способности, встречаются не систематически, то есть каждый тип заданий представлена в теме «Теория делимости» курса «Начала алгебры» лишь одним заданием. Поэтому мы не можем говорить, что учебный материал темы «Теория делимости» курса «Начала алгебры» эти направлен на формирования этих способностей.

Предположение: возможно, что наличие дополнительного образовательного пространства как места для математического творчества и самостоятельного инициативного движения, учащихся в предмете математики и наличие условий для написания разножанровых творческих работ могут задать системность в формировании способностей к гибкости и обратимости мыслительного процесса.

2.3 Вывод

Итак, мы обосновали, что учебный материал темы «Теория делимости» курса «Начала алгебры» способствует формированию математических способностей: 1) способность к формализованному восприятию математического материала, схватывания формальной структуры задачи; 2) способность к логическому рассуждению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики; 3) способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов.

Заключение

Результаты дипломной работы позволят посмотреть на курс, разработанный для формирования общих способностей к исследовательской деятельности как на курс, позволяющий формировать специальные математические способности.

В дипломной работе представлен анализ задачного материала темы «Теория делимости» курса «Начала алгебры». Курс ориентирован на решение задач деятельностного математического образования. В дипломной работе получено подтверждение, что, задачный материал позволяет формировать три из восьми математических способностей. В этом и состоит основной результат работы.

А именно мы показали, что задачный материал темы «Теория делимости» курса «Начала алгебры» позволяет сформировать способность к формализованному восприятию математического материала; способность к логическому рассуждению; способность к быстрому и широкому обобщению, за счет того, что задачи, содержащиеся в учебном курсе требуют выполнения предметных действий, обеспечивающих развитие указанных способностей.

Нами также выдвинуто предположение, что способности к гибкости и обратимости мыслительного процесса могут быть сформированы за счет реализации дополнительного образовательного пространства. И это требует дополнительного исследования.

Список литературы

1. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. - М., 1970.

2. Выготский Л. С. Развитие высших психических функций. - М.: АПН РСФСР, 1960.

3. Гальперин П.Я. О методе формирования умственных действий/ Хрестоматия по возрастной и педагогической психологии. - М., 1981.

4. Знаменская О.В., Юдина Ю.Г. Начала алгебры. 6 класс/ Красноярская университетская гимназия №1 «Универс», 2004.

5. Знаменская О.В., Юдина Ю.Г. Начала алгебры., 6 класс. Методические материалы./ Красноярск, ИППР, 2004.

6. Колмогоров А.Н. Аксиома (аксиоматический метод в математике).БСЭ, изд.2, Т. I.

7. Кордемский Б.А. Увлечь школьников математикой. - М: Просвещение, 1981.

8. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. - Москва - Воронеж, 1998.

9. Леонтьев А.Н. Избранные психологические произведения. В 2 т. T.I - М, 1983.

10. Лурия А.Р. Мозг человека и психические процессы. М. изд-во АПН РСФСР, 1963.

11. Немов Р.С. Психология: учеб. для студ. высш. пед. учеб. заведений. В кн.3 - 4-е изд. - М, 1997.

12. Новосельцева З.И. Развернутые планы лекций и учебные задания для студентов по курсу "Теоретические основы обучения математике"/ СПб.: Образование, РГПУ, 1997.

13. Ньюэлл А., Шоу Дж., Сайсон Г.А. Процессы творческого мышления. (пер. с анг). Сб. Психология мышления. ред. А.М. Матюшина. М, 1965.

14. Пуанкаре А. О науке (под ред. Л.С. Понтрягина). -- М., Наука, 1989. -- «Ценность науки. Математические науки» (пер. с фр. Т.Д. Блохинцева; А.С. Шибанов).

15. Рубинштейн С.Л. Основы общей психологии: В 2-х т. - М., 1989.

16. Хутогорский А.В. Развитие одаренности школьников: Методика продуктивного обучения. - М.: ВЛАДОС, 2000.

17.Рекомендации об организации предпрофильной подготовки учащихся основной школы (Приложение к письму МО РФ от 20.08.2003 г.).

Размещено на Allbest.ru