Использование компьютерных математических пакетов для развития умений информационного моделирования в учебно-исследовательской деятельности старшеклассников

№ Темы

Тема

Кол-ва часов

1

Вводное занятие

1

2

Введение в Maple

2

3

Алгебраические преобразования в Maple

2

4

Тригонометрические преобразования в Maple

2

5

Алгебраические уравнения в Maple

2

6

Исследование функций в Maple

2

7

Исследование модели нормального размножения

2

8

Исследование логистической модели

2

9

Модель отлов с постоянной квотой

2

10

Итоговое занятие

1

Этап урока

Деятельность

учителя

Деятельность учащихся

Орг. момент

2 мин

Здравствуйте. Сегодня мы начинаем с вами курс под названием «Информационное моделирование».

Подготовка к активной деятельности

2 минуты

В данном курсе вы узнаете много нового и интересного. Мы будем работать с математическим пакетом Maple от компании MapleSoft. И сегодняшний на урок будет полностью посвящен знакомству с данной программой. Запишите тему нашего урока в тетрадь «Введение в Maple».

Изучение нового материала

30 минут

Для начала я хочу чтобы вы используя любые средства(калькуляторы, КПК, компьютеры) решили следующий пример.

(Учащимся дается 3-4 минуты на убеждение в собственном бессилии).

Как видите данная задача крайне трудоемка для ручного подсчета, поэтому крайне просто ее решить при помощи специальных программ, например Maple.

Давайте посмотрим что представляет из себя данная программа.

Окно программы поделено на 3 части. Сверху находиться меню позволяющее работать с файлами, запускать и отлаживать введенный текст.

Меню слева позволяет использовать быстро набирать текст примера. Здесь собраны различные математические константы, символы различных алфавитов и названия функций.(Демонстрация каждой вкладки).

И основная часть окна программы это рабочее поле в которое можно ввести текст примера, посмотреть его решение, график и тд.

Итак давайте посмотрим как эта программа может нам помочь решить наш пример.

Запись темы с тетрадь

«Введение в Maple»

Попытка решения примера

>a:=sqrt(47^(12/24)+sqrt(29)^/log(5))

>evalf(a)

3.194001506

Как видите решение не заняло больше минуты. После каждой строчки вы видите промежуточные результаты.

Из увиденного можно сделать вывод что текст задачи вводятся при помощи клавиатуры в текстовом режиме. В специальной форме.

Простейшие математические операции производятся аналогично языкам программирования.

+ сложение

- вычитание

* умножение

/ деление

С добавление следующих надстроек.

^ - степень

sqrt() - корень

:= - присвоить

Расстановка скобок аналогична языкам программирования.

С полным списком функций можно познакомиться в справке программы.

Итак разберем наш пример:

Мы присвоили переменной «a» выражение, записанное в специальном формате.

И выполнив команду evalf(Выражение) получили результат.

Попробуем посчитать следующие три примера:

1+2

2*3+1

Sin(Pi/6)

Как вы видите, эти примеры вычисляются одним нажатием клавиши «Enter».

А теперь попробуем сложить эти три примера между собой. Для этого нам не придется вписывать еще раз сами примеры или их результаты, чтобы сложить между собой. А нам поможет встроенная функция в Maple.

Последний, предпоследний и предпредпоследний результаты Maple сохраняет под именами %, %%, %%% и нам остается просто сложить эти проценты. %+%%+%%%.

Далее разберемся как ввести . Это можно реализовать следующем образом x^y.

Корень квадратный (арифметический) из неотрицательного числа х обозначается sqrt(9).

Показатели степени, имеющие вид заключаются в круглые скобки. Например 27^(1/3).

Вычисление числовых выражений проводятся встроенной функцией , где - числовое выражение, n - необязательный параметр, определяющий число значащих цифр. По умолчанию n=10, В частности это продолжение вычисления. Evalf(%).

Логарифмы набирается в виде , в частности:

Для ввода математических символов можно использовать панель EXPRESSION, которая упрощает вычисления.

Если результат является промежуточным, не требующим вывода на рабочий лист, то ставится : (двоеточие) - отказ от вывода результата. 1+2:%+5.

Для вычисления одной переменной надо вписать f:=x->x^2; f(6); то ответ будет 36.

Для вычисления функций двух переменных надо написать f:=(x,y)->x+y; f(1,2); то ответ будет 3.

Присваивания которые производились не однократно, отменяются одновременно командой restart: x:=1:y:=2:z:=3:x+y+z; ответ 6 restart:x+y+z;

Имеется изящный способ задания функции, как процедуры программирования, завершаемый нажатием «Enter»:

<имя функции>:=proc(переменные)

аналитическое выражение

End;

Например, функция вводится им следующим образом:

y:proc(x)

x^2+3*x-4

end;

вычисление ее значения при х=1

y(1);

ответ 0

Учащиеся записывают проведенные манипуляции в тетрадь.

Практическая часть

40 минут

Записать данные выражения в текстовом виде в программе Maple.

Проверка выполнения заданий.

Подведение итогов

5 минут

Сегодня вы познакомились с основными возможностями программы Maple и ее интерфейсом.

Обсуждение распространенных ошибок. Выставление оценок.

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Орг. момент

2 минут

Приветствие учащихся.

Повторение изученного материала

8 минут

Какая была тема прошлого урока?

Для чего нужны математические пакеты?

Как возможности предоставляет пакет Maple?

Каким образом вводиться текст задачи в Maple?

Какие возможности Maple мы изучили на прошлом уроке?

Подготовка к изучению нового материала

Запишите тему урока «Алгебраические преобразования в Maple».

На прошлом уроке, мы познакомились с основными возможностями математического пакета Maple. На этом уроке мы узнаем какие встроенные функции есть и как их использовать.

Изучение нового материала

30 минут

Существуют следующие встроенные функции элементарных преобразований:

Simplify - упростить.

Expand - раскрыть скобки.

Factor - разложить на множители.

Normal - привести к общему знаменателю.

Combine - преобразовать степени (или тригонометрическое выражение).

collect - привести подобные члены.

Теперь посмотрите на проектор, сейчас будут приведены примеры использования встроенных функций элементарных преобразований.

Simplify((a^3-b^3)/(a-b));

Expand((a-b)*(a^2+a*b+b^2));

Factor(a^3-b^3);

Normal(y/x+1/(x^2));

Combine((x^(1/2))*x^(3/2));

Collect(x^2+3*x^2+4*x+4)x+y,x);

Давайте упростим выражение:

1. Чтобы упростить данное выражение, мы должны ввести его на рабочий лист.

2. Выделяем введенное выражение и правой кнопкой мыши выбираем simplify и получаем

3. Теперь вводим

4. Нажимаем «Enter»

5. Далее производим замену и присваиваем все в переменную g

Результат:

Копируем полученное выражение, присваиваем его переменной g, после чего выделяем и правой кнопкой мыши нажимаем simplify и получим следующее выражение:

Учащиеся записывают в тетрадь цепочку преобразований.

Практическая часть

40 минут

Упростить следующие выражения:

Проверка выполнения заданий.

Подведение итогов

5 минут

Обсуждение распространенных ошибок. Выставление оценок.

Этап урока

Деятельность

учителя

Деятельность учащихся

Орг. момент

2 мин

Приветствие учащихся.

Повторение ранее изученного материала

5 минут

Какие встроенные функции Maple вы знаете?

Раскройте действие каждой функции?

При помощи каких функций можно упростить выражение?

Подготовка к активной деятельности

2 минуты

Тема нашего урока «Тригонометрические преобразование в Maple».

На прошлом уроке, мы научились преобразовывать алгебраические выражения с использованием основных операций математического пакета Maple. На этом уроке мы узнаем как можно преобразовывать разнообразные тригонометрические преобразования.

Изучение нового материала

30 минут

Существуют следующие встроенные функции тригонометрических преобразований:

Simplify(cos(x)^2+sin(x)^2);

Expand(cos(x+y));

Expand(sin(x+y));

Expand(tan(x+y));

Expand(cot(x+y));

Expand(cos(2*x));

Expand(sin(2*x));

Expand(tan(2*x));

Expand(cot(2*x));

Combine(cos(x)^2);

Combine(sin(x)^2);

Expand(cos(3*x));

Expand(sin(3*x));

Combine(sin(x)*cos(y));

Combine(cos(x)*cos(y));

Combine(sin(x)*sin(y));

Также если вы забудете какую-либо из перечисленных формул, то ее легко получить. Только надо правильно подобрать встроенную функцию, в противном случае возвращается исходное тригонометрическое выражение. Например:

Simplify(sin(x)*sin(y))

Sin(x)sin(y)

Данный пробел можно устранить процедурами:

cpc:=proc(x,y)

2*cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

end;

cpc:=proc(x,y) 2*cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) end;

Теперь можно перейти к примерам.

Тригонометрические тождества, как и любые другие виды тождеств, доказываются в Maple встроенной функцией testeq.

Задача 1: Доказать тождество

1. Чтобы доказать данное тождество, мы должны ввести его на рабочий лист.

2. Чтобы проверить истинность данного выражения нам необходимо нажать «Enter».

3. Если результатов работы является true, то тождество верно, иначе false.

4. Если такое рациональное решение, по каким - либо причинам, не устраивает, то можно преобразовать левую и правую части заданного равенства и убедиться, что они равны. Чтобы проверить правую и левую часть нужно для начала взять левую. На рабочем листе пишем Simplfy(cot(alpha)-tan(alpha)) и нажимаем «Enter»

5. Как только мы получили выражение левой части, так сразу берем правую часть и выполняем аналогичные действия. Теперь пишем на рабочем листе правую часть Expand(2*cot(2*alpha)) и нажимаем «Enter».

6. А теперь упростим полученное выражение. На рабочем листе пишем simplify(subs(cot(alpha)=cos(alpha)/sin(alpha),%)) и нажимаем «Enter».

Практическая часть

40 минут

Докажите тождество:

Вычислите:

3. Докажите тождества:

Проверка выполнения заданий.

Подведение итогов

5 минут

Обсуждение распространенных ошибок. Выставление оценок.

Этап урока

Деятельность

учителя

Деятельность учащихся

Орг. момент

2 мин

Приветствие учащихся.

Повторение ранее изученного материала

5 минут

Какие встроенные функции Maple вы знаете?

Раскройте действие каждой функции?

При помощи каких функций можно упростить тригонометрическое выражение?

Подготовка к активной деятельности

2 минут

Тема нашего урока «Алгебраические уравнения в Maple».

На прошлом уроке, мы познакомились с темой тригонометрические преобразования математического пакета Maple, научились доказывать тождества. На этом уроке мы узнаем какие встроенные функции есть и как их использовать.

Изучение нового материала

30 минут

Встроенная функция, предназначенная для решения уравнений и неравенств, имеет вид:

Solve(уравнение или неравенство, переменная), причем в случае уравнения (неравенства) с одной переменной имя переменной можно не указывать.

Рассмотрим на примере:

Решить алгебраическое уравнение:

Для решения вводится уравнение и проверяется правильность ввода:

(x^2+1)/(x-4)-(x^2-1)/(x+3)=23; Далее мы находим корни вводя команду solve(%) и получаем ответ, но можно получить ответ выполнив только одно действие solve((x^2+1)/(x-4)-(x^2-1)/(x+3)=23).

Возьмем еще один пример. Решить уравнение с параметрами:

Так как переменных несколько, то необходимо указать переменную, относительно которой решается уравнение, то есть solve(%,x)

Еще проще решаются уравнения smart - способом - через контекстное меню:

В командную строку вводится уравнение и находится его стандартный математический вид (как при проверке правильности ввода);

после выполнения команды solve (или, если переменных несколько, по нужной переменной строки solve equation for a variable) в командной строке следующей секции появляются корни.

Решить уравнение с параметрами:

1. Для решения данное выражение, мы должны ввести на рабочий лист.

2. Теперь вводим оператор на выполнение solve(%,x);

Ответ:

Решить уравнение:

1. Для решения данное выражение, мы должны ввести на рабочий лист и нажать «Enter».

2. Используя контекстное меню, в котором выбираем “Solve” и получаем:

3. Теперь сделаем проверку: subs(x=1, 5*x^2+abs(x+7)-13);

4. Теперь проверим другой «х»: (x=-6\5, 5*x^2+abs(x+7)-13);

5. Из чего следует ответ

Практическая часть

40 минут

Перечень заданий для самостоятельной работы:

Решить уравнение:

Решить иррациональное уравнение:

Решить уравнение:

Подведение итогов

5 минут

Обсуждение распространенных ошибок. Выставление оценок.

Этап урока

Деятельность

учителя

Деятельность учащихся

Орг. момент

2 мин

Приветствие учащихся.

Повторение ранее изученного материала

5 минут

Какие встроенные функции Maple вы знаете?

Раскройте действие каждой функции?

При помощи каких функций можно упростить алгебраическое уравнение?

Подготовка к активной деятельности

2 минуты

Тема нашего урока «Исследование функций в Maple».

На прошлом уроке, мы изучили как можно при математического пакета Maple решать алгебраические уравнения. На этом уроке мы узнаем какие встроенные функции позволяют исследовать функции.

Изучение нового материала

30 минут

Исследование функции необходимо начинать с нахождения ее области определения, но, к сожалению, это трудно автоматизируемая операция. Поэтому при рассмотрении этого вопроса приходится решать неравенства (см. тему II). Однако, ответить на вопрос, определена ли функция на всей числовой оси, или нет, можно исследовав ее на непрерывность.

Проверить непрерывность функции f(x) на заданном промежутке [x1,x2] можно с помощью команды iscont(f,x=x1..x2). Если функция f непрерывна на этом интервале, то в поле вывода появится ответ true - (истина); если функция f не является непрерывной на этом интервале, то в поле вывода появится ответ false - (ложь). В частности, если задать интервал x=-infinity..+infinity, то функция f будет проверяться на всей числовой оси. В этом случае, если будет получен ответ true, то можно сказать, что функция определена и непрерывна на всей числовой оси. В противном случае следует искать точки разрыва. Это можно сделать двумя способами:

1. с помощью команды discont(f,x), где f - функция, исследуемая на непрерывность, x - переменная. Эта команда пригодна для нахождения точки разрыва первого и второго родов.

2. с помощью команды singular(f,x), где f - функция, x - переменная. Эта команда годится для нахождения точек разрыва второго рода как для вещественных значений переменной, так и для комплексных.

Перед использованием этих команд их следует обязательно загрузить из стандартной библиотеки readlib(name), где name - имя любой из указанных выше команд.

Обе эти команды выдают результаты в виде перечисления точек разрыва в фигурных скобках. Тип такой записи называется set. Для того, чтобы в дальнейшем можно было использовать полученные значения точек разрыва, следует из типа set с помощью команды convert перевести их в обычный числовой тип.

Еще одна очень полезная встроенная функция plot - она позволяет строить двухмерные графики(на плоскости). Ее минимальные параметры:

Функция от переменной

И диапазон изменения переменной

Диапазон от a до b записывается так: x=a..b

Например:

Пример 1:

Найдите точки разрыва функции

> readlib(iscont): readlib(discont):

> iscont(exp(1/(x+3)),x=-infinity..+infinity);

false

Это означает, что функция не является непрерывной. Поэтому следует найти точки разрыва с помощью команды:

> discont(exp(1/(x+3)),x);

{-3}

Ответ: Точка разрыва x=? 3.

Пример 2:

Найдите точки разрыва функции

и построить график функции.

>

>

>

Теперь построим данный график на отрезке (-1;1):

>plot(1/x,x=-1..1)

Как видно графически точна разрыва именно там где и было найдено.

Экстремумы

В Maple для исследования функции на экстремум имеется команда extrema(f,{cond},x,'s') , где f - функция, экстремумы которой ищутся, в фигурных скобках {cond} указываются ограничения для переменной, х - имя переменной, по которой ищется экстремум, в апострофах 's' - указывается имя переменной, которой будет присвоена координата точки экстремума. Если оставить пустыми фигурные скобки {}, то поиск экстремумов будет производиться на всей числовой оси. Результат действия этой команды относится к типу set. Пример:

> readlib(extrema):

> extrema(arctan(x)-ln(1+x^2)/2,{},x,'x0');x0;

{{x=1}}

В первой строке вывода приводится экстремум функции, а во второй строке вывода - точка этого экстремума.

К сожалению, эта команда не может дать ответ на вопрос, какая из точек экстремума есть максимум, а какая - минимум. Для нахождения максимума функции f(x) по переменной х на интервале используется команда maximize(f,x,x=x1..x2), а для нахождения минимума функции f(x) по переменной х на интервале используется команда minimize(f, x, x=x1..x2). Если после переменной указать 'infinity' или интервал

x=-infinity..+infinity, то команды maximize и minimize будут искать, соответственно, максимумы и минимумы на всей числовой оси как во множестве вещественных чисел, так и комплексных. Если такие параметры не указывать, то поиск максимумов и минимумов будет производиться только во множестве вещественных чисел. Пример:

> maximize(exp(-x^2),{x});

1

Недостаток этих команд в том, что они выдают только значения функции в точках максимума и минимума, соответственно. Поэтому для того, чтобы полностью решить задачу об исследовании функции y=f(x) на экстремумы с указанием их характера (max или min) и координат (x, y) следует сначала выполнить команду:

> extrema(f,{},x,'s');s;

а затем выполнить команды maximize(f,x); minimize(f,x). После этого будут полностью найдены координаты всех экстремумов и определены их характеры (max или min).

Команды maximize и minimize быстро находят абсолютные экстремумы, но не всегда пригодны для нахождения локальных экстремумов. Команда extrema вычисляет так же критические точки, в которых функция не имеет экстремума. В этом случае экстремальных значений функции в первой строке вывода будет меньше, чем вычисленных критических точек во второй строке вывода. Выяснить характер найденного экстремума функции f(x) в точке x=x₀ можно, если вычислить вторую производную в этой точке и по ее знаку сделать вывод: если , то в точке x₀ будет min, а если ? то max.

В последней версии пакета аналитических вычислений Maple 6 описанный выше недостаток команд maximize и minimize устранен. Координаты точек максимума или минимума можно получить, если в параметрах этих команд после переменной записать через запятую новую опцию location. В результате в строке вывода после самого максимума (минимума) функции будут в фигурных скобках указаны координаты точек максимума (минимума). Например:

> minimize(x^4-x^2, x, location);

, {, }

В строке вывода получились координаты минимумов и значения функции в этих точках.

Команды extrema, maximize и minimize обязательно должны быть загружены из стандартной библиотеки командой readlib(name), где name - имя загружаемой команды.

Задание

1. Найти max и min .

> readlib(extrema):

> y:=(x^2-1/2)*arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/4-

Pi*x^2/12:

> extrema(y,{},x,'s');s;

После выполнения этих команд найдены экстремумы функции и точки экстремумов. Порядок следования x-координат экстремумов во второй строке вывода соответствует порядку следования значений экстремумов в первой строке вывода. Таким образом, найдены экстремумы в точках (0,0) и (1/2, -pi /24+). Осталось выяснить, какая из них является максимумом, а какая - минимумом. Для этого используйте команды maximize и minimize.

> readlib(maximize):readlib(minimize):

> ymax:=maximize(y,{x});

> ymin:=minimize(y,{x});

Ответ:

“Экстремумы: , .”

Практическая часть

40 минут

Перечень заданий для самостоятельной работы:

Найдите наибольшее и наименьшее значение на интервале

Найти экстремумы функции

Найти точки разрыва функции

Исследовать и построить график функции

Подведение итогов

5 минут

Обсуждение распространенных ошибок. Выставление оценок.

Этап урока

Деятельность

учителя

Деятельность учащихся

Орг. момент

2 мин

Приветствие учащихся.

Повторение ранее изученного материала

5 минут

Какие встроенные функции Maple вы знаете?

Раскройте действие каждой функции?

При помощи каких функций можно исследовать функцию?

Подготовка к активной деятельности

2 минуты

Тема нашего урока «Исследование модели нормального размножения».

На прошлом уроке, мы изучили как можно при математического пакета Maple исследовать функции. На этом уроке мы на реальной модели из биологии проведем исследование.

Изучение нового материала

30 минут

В большом пруду разводят карасей. Караси не мешают друг другу, не борются за выживание, корма им хватает. Выясним как будет меняться число карасей x(t) с течением времени t. Скорость прироста карасей (скорость изменения численности карасей) при этих условиях оказывается пропорциональной количеству особей. Поэтому можно записать:

dx/dt = k*x, k>0

( здесь dx/dt - производная по времени )

Эта модель называется моделью нормального размножения или мальтузианской моделью.

Названа она там по имени ее создателя.

Томас Роберт Мальтус (англ. Thomas Robert Malthus, свое среднее имя он обычно опускал; 1766--1834) -- английский священник и учёный, демограф и экономист, автор теории, согласно которой неконтролируемый рост народонаселения должен привести к голоду на Земле.

Графики решений дифференциального уравнения называются интегральными кривыми. Эти кривые лежат в пространстве - времени, т.е. на плоскости с координатами (t , x). Для вычерчивания интегральных кривых полезна заготовка, которая называется полем направлений уравнения и состоит из маленьких отрезочков, приложенных в каждой точке пространства - времени под углом к оси времени, тангенс которого равен правой части уравнения ( в данном случае - k*x). Интегральная кривая в каждой своей точке касается соответствующего отрезка, и обратно, кривая всюду касающаяся наших отрезков будет графиком решения ( в этом и состоит смысл дифференциального уравнения).

Построение поля направлений и интегральных кривых для уравнения нормального размножения с использованием системы Maple

Для решения уравнений имеющих в своем составе производную нам понадобится еще одна встроенная функций diff. С параметрами:

функция

переменная

Например:

>

То есть взять производную от функции x^2, по переменной x.

Задаем исходное уравнение:

dx/dt = k*x, k>0

>

Для решения уравнений содержащих производную используется аналог уже знакомой нам функции solve, функция dsolve.

>

(в ответе через _С1 обозначена константа)

Находим частное решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию х(0)=1:

dsolve({equ,x(0)=1},x(t));

Получен график функции позволяющий отразить зависимость количества популяции карасей от времени.

Давайте посмотрим график данной функции:

>

Практическая часть

40 минут

Перечень заданий для самостоятельной работы:

Найти производную и построить ее график функции:

а)

б)

в)

г)

Исследовать Мальтузианскую модель размножения:

а) на что влияет коэффициент K

б)что произойдет если коэффициент К будет отрицательным

в) какие погрешности есть в Мальтузианской модели

г) как измениться функция если в условии будет что в каждый момент времени половину популяции вылавливают, простроить график функции и провести сравнение со стандартной Мальтузианской моделью.

При помощи встроенной функции DEplot, построить поля направлений для различных значений параметра.

Подведение итогов

5 минут

Обсуждение распространенных ошибок. Выставление оценок.

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Орг. момент

2 мин

Приветствие учащихся.

Повторение ранее изученного материала

5 минут

Какие встроенные функции Maple вы знаете?

Раскройте действие каждой функции?

При помощи каких функций можно исследовать функцию?

Подготовка к активной деятельности

2 минуты

Тема нашего урока «Исследование логистической модели».

На прошлом уроке, мы изучили как можно при математического пакета Maple исследовать Мальтузианскую модель. На этом уроке мы проведем исследование на более совершенной модели.

Изучение нового материала

30 минут

Как мы выяснили на практической части Мальтузианская модель имеет некоторые несоответствия реалиям. Таким несоответствием является например что всегда есть верхний предел популяции связанный с ограниченностью ресурсов, другое препятствие это внутривидовая конкуренция. Сегодня мы рассмотрим с вами моле

Если наш пруд с карасями невелик, или если число карасей в большом пруду сильно возросло, то конкуренция из-за пищи приводит к уменьшению скорости прироста. Простейшее предположение состоит в том, что коэффициент k зависит от числа карасей линейно, т.е. k = a - b*x .Таким образом, мы приходим к уравнению размножения с учетом конкуренции или так называемому логистическому уравнению:

dx/dt = (a - b*x)*x

Коэффициенты a и b можно превратить в единицы выбором масштабов t и x, в связи с этим возможны следующие частные случаи:

dx/dt = x*(1 - x) ;

dx/dt = x*(1 - i*x) ;

dx/dt = x*(i - x)

Если скорость прироста карасей равна нулю, то численность карасей в пруду с течением времени не меняется. Такое состояние называется равновесным или стационарным состоянием.

В данной модели ненулевое стационарной состояние равно x0 = a/b.

Интегральная кривая, соответствующая начальному условию x(0) = x0, является прямой.

Стационарное состояние может быть устойчивым и неустойчивым. Определить тип стационарного состояния можно по виду интегральных кривых. Если малейшие колебания системы выводят систему из равновесного состояния, то такое состояние будет неустойчивым, если же со временем система возвращается в положение равновесия, то такое состояние будет устойчивым. Т.е. если интегральные кривые, соответствующие начальным условиям x(0) меньшим и большим стационарного состояния x0, с течением времени приближаются к стационарному состоянию (к прямой), то стационарное состояние будет равновесным.

1. Рассмотрим уравнение dx/dt = x*(1-x)

Задаем уравнение: >

Находим общее решение уравнения: >

( в ответе через _С1 обозначена константа)

Строим интегральные кривые: Вспоминаем наше задание с практической части посмотреть справочную информацию по функции deplot.

>

Как видите при помощи такого способа можно задать сразу несколько параметров и сравнить графики на одной плоскости.

S-образные интегральные кривые в полосе 0<x<1 называются логистическими кривыми. Мы видим, что процесс имеет два стационарных состояния (скорость эволюции равна нулю): x = 0 и x = 1. Стационарное состояние x = 0 неустойчивое, а стационарное состояние x = 1 устойчивое. В дальнейшем состояние x = 0 мы рассматривать не будем. Каким бы ни было начальное число карасей x > 0, с течением времени процесс выходит к устойчивому состоянию равновесия x =1.

2. Рассмотрим уравнение dx/dt=x*(1-i*x)

Задаем уравнение:

>

Находим общее решение уравнения:

>

Строим поле направлений и интегральные кривые:

>

В данном случае устойчивое стационарное состояние равно x = 2.

Практическая часть

40 минут

Самостоятельно исследовать случай:

dx/dt=x*(i-x)

i:=1.5;

Сравнить результаты трех испытаний и сделать выводы касательно входных параметров и результатов.

Подведение итогов

5 минут

Обсуждение распространенных ошибок. Выставление оценок.

Этап урока

Деятельность

учителя

Деятельность учащихся

Орг. момент

2 мин

Приветствие учащихся.

Повторение ранее изученного материала

5 минут

Какие встроенные функции Maple вы знаете?

Раскройте действие каждой функции?

При помощи каких функций можно исследовать функцию?

Подготовка к активной деятельности

2 минуты

Тема нашего урока «Модель отлов с постоянной квотой».

На прошлом уроке, мы изучили как можно при математического пакета Maple исследовать логистическую модель.

Изучение нового материала

30 минут

До сих пор мы рассматривали свободную популяцию карасей, развивающуюся по своим внутренним законам. Предположим теперь, что карасей вылавливают, и скорость отлова постоянна. Мы приходим к:

dx/dt = (1 - x)*x - c

Величина c характеризует разрешаемую скорость отлова и называется квотой.

Найдем стационарное состояние. Для этого решим уравнение: dx/dt = 0, т.е. - x² + x - c = 0. Дискриминант квадратного уравнения равен D = 1 + 4*c. В зависимости от значения от значения параметра с, дискриминант может принимать значения больше нуля, равные нулю и меньше нуля. Тогда стационарных состояний будет получаться два, одно или вообще не будет:

1) D>0 : 0<c<1/4;

2) D=0 : c=1/4;

3) D<0 : c>1/4.

Случай c=1/4:

Исследование производиться аналогично нашему прошлому занятию:

>

>

>

При с=1/4 имеется одно неустойчивое состояние равновесия. Отлов с такой квотой при достаточно большой начальной популяции математически возможен в течение сколь угодно длительного времени, однако квота с=1/4 недопустима, так как сколь угодно малое колебание численности установившейся равновесной популяции вниз ведет к полному вылову популяции за конечное время.

Случай 0<c<1/4

>

>

>

Из рисунка видно, что при не слишком большой скорости отлова (0<c<1/4) существует два стационарных состояния. Верхнее - устойчивое стационарное состояние - это стационарный режим, на который выходит популяция при постоянном отлове с.

Практическая часть

40 минут

Самостоятельно исследовать случай c>1/4

Сравнить результаты трех испытаний и сделать выводы касательно входных параметров и результатов.

Подведение итогов

5 минут

Обсуждение распространенных ошибок. Выставление оценок.