Уравнения и неравенства с параметром как средство формирования исследовательских умений учащихся в 7–9 классах

Вместе с тем трудно переоценить роль задач с параметрами в развитии у школьников пространственных представлений. Они по своей постановке и методам решения не только наилучшим образом стимулируют накопление конкретных геометрических представлений, но и развивают способность отчетливо представлять изображение графика той или иной функции и, более того, уметь мысленно оперировать элементами этого графика. Задачи с параметрами способствуют пониманию учащимися происхождения различных геометрических фигур и графиков функций, возможности их преобразования - все это является важной предпосылкой развития пространственного мышления школьников. Кроме того, эти задачи хорошо развивают логическое мышление, геометрическую интуицию. Вообще, в процессе решения задач с параметрами учитель может эффективно формировать элементы алгоритмической культуры.

Главная особенность задач с параметрами - ветвление решения в зависимости от значений параметров Другими словами, процесс решения осуществляется классификацией частных уравнений (неравенств) по типам с последующим поиском общих решений каждого типа.

Одновременное решение бесконечной совокупности частных уравнений и неравенств с учетом требования равносильности преобразований возможно лишь при развитии достаточного уровня логического мышления. С другой стороны, формирование методов решения уравнений и неравенств с параметрами обеспечивает значительный прогресс в развитии математической культуры учащихся. Развивающий характер уравнений и неравенств с параметрами определяется их способностью реализовать многие виды мыслительной деятельности учащихся:

Выработка определенных алгоритмов мышления;

Умение определить наличие и количество корней (в уравнении, системе);

Решение семейств уравнений, являющихся следствием данного;

Выражение одной переменной через другую;

Нахождение области определения уравнения;

Повторение большого объема формул при решении;

Знание соответствующих методов решения;

Широкое применение словесной и графической аргументации,

Развитие графической культуры учащихся;

Все вышесказанное позволяет говорить о необходимости изучения решений задач с параметрами в школьном курсе математики.

2.2 Сравнительный анализ учебников и задачников по алгебре для 7-9 классов с целью выявления основных тенденций в формировании исследовательских умений школьников

Проанализируем различные учебники по алгебре с точки зрения выявления возможностей формирования и развития исследовательских умений, связанных с обучением решению параметрических уравнений и неравенств.

Проанализировав учебники по алгебре таких авторов, как Ш.А. Алимов и другие, С.М. Никольский и другие, Ю.Н. Макарычев и другие и А.Г. Мордкович, можно сказать о том, что почти у всех задания с параметрами встречаются в малых количествах. Также ни один из авторов этих учебников не рассматривает отдельно, «что такое параметр», и как решать различные уравнения и неравенства с параметрами. Решение таких заданий являются наисложнейшими. Нет таких заданий и в дидактических материалах, и в контрольных, проверочных, и в самостоятельных работах.

У таких авторов, как Ю.Н. Макарычев и другие, Ш.А Алимов и другие, С.М. Никольский и другие рассматривается целая система решения таких заданий по классам с 7 по 9. Но у А.Г. Мордковича встречается большее количество заданий с параметрами, что позволяет у учащихся отработать умение и навык решения таких заданий, и даже использует решение систем линейных неравенств. Также в учебниках для 7-9 классов можно встретить у Ю.Н. Макарычева и А.Г. Мордковича решение систем квадратных параметрических уравнений, чего не прослеживается в учебниках других авторов. Задания у всех авторов учебников очень разнообразны и направлены на исследование уравнений, на определение количества решений, на нахождение корней и другие.

Учащиеся сталкиваются с такими заданиями впервые в 7 классе в основном при решении линейных уравнений, далее в 8 классах при решении квадратных параметрических уравнений, позже в 9 классе, встречаются с решением квадратных параметрических неравенств.

Таблица 1. Количество заданий на решение параметрических уравнений и неравенств

№		Учебники по алгебре Ю.Н. Макарычева и др.	Учебники по алгебре Ш.А. Шалимова и др.	Учебники по алгебре А.Г. Мордковича и др.
		7 кл.	8 кл.	9 кл.	7 кл.	8 кл.	9 кл.	7 кл.	8 кл.	9 кл.
1	Общее количество заданий по алгебре в учебниках 7,8,9 классах	1289	1122	1192	763	917	881	1145	1393	676
2	Количество заданий с параметрами	13 ? 1%	23 ? 2%	22 ? 2%	11 ? 1%	45 ? 5%	12 ? 1%	13 ? 1%	63 ? 5%	11 ? 2%

Таблица 2. Количество заданий на решение параметрических уравнений и неравенств в соответствии с темой

№		Учебники по алгебре Ю.Н. Макарычева и др.	Учебники по алгебре Ш А. Алимова и др.	Задачники по алгебре А.Г Мордковича и др.
		7 кл	8 кл	9 кл	7 кл	8 кл	9 кл	7 кл	8 кл	9 кл
1	Линейные параметрические уравнения	10 76,9%	3 13%	2 9%	9 81,8%	1 2%	1 83%	12 75%	-	-
2	Системы линейных параметрических уравнений	3 23%	-	3 13,6%	2 18,1%	-	-	2 12,5%	-	-
3	Линейные параметрические неравенства	-	-	-	-	-	-	-	-	-
4	Квадратные параметрические уравнения	-	20 86,9%	15 68,1%	-	39 86,6%	9 75%	2 12,5%	61 96,8%	1 9,09%
5	Квадратные параметрические неравенства	-	-	-	-	5 11,1%	2 16,6%	-	2 3,17%	5 45,4%
6	Системы квадратных параметрических уравнений	-	-	2 9%	-	-	-	-	-	3 27,2%
7	Системы параметрических неравенств	-	-	-	-	-	-	-	-	2 18,1%

Учащиеся сталкиваются с решением линейных уравнений при изучении темы «Решение уравнений с одним неизвестным, сводящиеся к линейным», где они должны уметь решать линейные уравнения ах = b и выяснить знак корня при различных а и b, т.е. решается задача с двумя параметрами.

В учебнике авторов Ш.А. Алимов и другие «Алгебра 7» есть задание

№99: «решить уравнение, если а и b - заданные числа, отличные от нуля:

1) ax - 3 = b; 2) 4 + bx = a; 3) b = a (x-3);

4 = a - (bx -1); 5) (2x - a): b = 3; 6) (1 - bx): a = 1.

№123 Подобрать число а такое, чтобы уравнение имело корни:

1) 5х -7 = 5х - а;

2) х - (2-х) = 2х - а.

При выполнении этих заданий и аналогичных им упражнений учащиеся решают не одно линейное уравнение, а целый класс линейных уравнений. Выделяя особые (пограничные) значения параметра, учащиеся, кроме того осваивают решение различных уравнений рассматриваемого класса, которые существенно отличаются друг от друга: по наличию, количеству или по виду корней. Таким образом, решение параметрических уравнений и неравенств способствует установлению обобщенных представлений школьников, учит их выделять отдельные виды из целого класса уравнений и неравенств, помогает лучше осознать решение уравнений и неравенств 1 и 2 степени, увидеть возможность эффективно использовать графики соответствующих функций. При систематической и целенаправленной работе учителя школьники довольно быстро осваивают и умело применяют графоаналитический метод при решении параметрических уравнений и неравенств.

При выполнении этих заданий у детей лучше формируются различные свойства уравнений.

№124. При каких значениях а уравнение х = a:

не имеет корней;

имеет только один корень.

Здесь учащиеся вспоминают и повторяют понятие модуля. Есть и одно задание повышенной трудности:

№125* Решить уравнение, принимая за неизвестное х выяснить при каких значениях а это уравнение имеет корни.

2х-3 (х-а) = 3 + а

a + 6 (x-1) = 2a + x

(ax -2): 2 = (3 - ax):4

В учебнике авторов С.М. Никольский и другие «Алгебра 7» при изучении темы «Решение уравнений с параметрами» встречается одно задание с параметрами.

№982 Число k ? 0. Решите уравнение:

а) kx-10=1; в) kx + 23 = 0;

б) kx + а = 0; г) k x - b = 0.

В учебнике под редакцией С.А. Теляковского «Алгебра - 7» при изучении этой темы практически нет заданий с параметрами, но есть задания, относящиеся к этой теме.

№243. Найдите все целые значения а при которых корень уравнения ах = 6 является целым числом.

Имеются два задания повышенной сложности.

№236*. При каких значениях коэффициента m уравнение m х = 5 имеет единственный корень? Существует ли такое значение m, при котором это уравнение не имеет корней; имеет бесконечно много корней?

№237*. При каких значениях коэффициента р уравнение рх = 10 имеет корень равный -5, 1, 20?

Далее учащиеся встречаются с параметрами в заданиях при изучении темы: «Решение уравнений с двумя переменными». Ученики 7 класса должны уметь решить линейные уравнения вида ax + by + c = 0 и выяснить знак корня при различных а и b и определять количество корней.

В учебнике авторов С.М. Никольский и другие при изучении этой темы встречается снова одно задание с параметрами.

№1021 а) При каком а пара чисел (3; - 2) является решением уравнения 3х-ay - 4 = 0;

б) При каком b пара чисел (-1; -4) является решением уравнения bх-7у-3 = 0.

Далее в этом учебнике рассматривается решение системы двух уравнений с двумя неизвестными. После этого в учебнике задания с параметрами больше не встречаются, но в конце учебника есть раздел «Задания для повторения», где автор уделяет большое внимание таким заданиям. Например,

№1142 - №1145. Решите уравнение, считая, что a, d, c, y - заданные числа, а х - неизвестное

1) x - a = 0;

2) x + a =2b;

3) y - 3 = a + x;

4) - ax = b, a ? 0;

5) ax - b (a - x) = c (b - x) - b (c - x), a + c ? 0;

6) (2b - 3x) + (x - 5b) = 4x + 6b.

Так же много заданий с параметрами в разделе задач повышенной трудности.

В учебнике «Алгебра 7» авторов Ш.А. Алимов и другие встречаются задания с параметрами при рассмотрении темы: «Системы двух уравнений с двумя неизвестными». Еще есть одно задание в упражнениях на повторение всего курса алгебры 7 класса.

№732. Дана функция у = kх + b. При каких значениях k и b график функции проходит через точки (-1; 1) и (2; 3). Найдите значение k, если известно, что график функции y = kx - 1 проходит через точку (-3; 2).

Из анализа учебника можно сделать вывод, что Ш.А. Алимов и другие практически не уделяет внимание заданиям с параметрами.

В учебнике Ю.Н. Макарычева «Алгебра-7» после изучения темы: «Линейные уравнения с двумя переменными и их системы» вообще нет подобных заданий, только в дополнительных упражнениях к главе 4 есть задания с параметрами повышенной трудности.

№1214*. При каком значении а прямые х + у = а пересекаются в точке, принадлежащей оси у?

В учебнике «Алгебра -7» под редакцией А.Г. Мордковича тоже практически нет заданий с параметрами.

Приведем примеры некоторых:

№948. Даны две возрастающие линейные функции у=k₁x - m₁, у=k₂x - m₂. Подберите такие коэффициенты k₁, k₂, m₁, т₂, чтобы их графики были параллельны.

№1057. Найдите значения коэффициентов а в уравнении ах +8у= 20, если известно, что решением этого уравнения является пара чисел:

а) (2; 1); б) (-3; - 2).

В рассмотренных учебниках 7 класса встречаются задания с параметрами, но внимания таким заданиям уделяется мало. Такое положение дела представляется, определенным недостатком школьного обучения - хотя известно, что такие задания необходимо включать в учебники с точки зрения необходимости логического развития школьников. Далее учащиеся встречаются с заданиями с параметрами в 8 классе.

Впервые после изучения темы: «Квадратные уравнения». Здесь учащиеся должны уметь решать квадратные уравнения вида: а х² + bx+с = 0.

У С.М. Никольского и другие встречаются такие задания:

№301. При каком числовом значении k уравнение 10х² + 4x - k = 0 имеет корень равный 0?

И есть задание повышенной сложности. Например,

№317*. Для какого числа а уравнение х² + 2х + с = 0.

а) имеет два различных корня;

б) имеет единственный корень;

в) не имеет корней.

Задания с параметрами так же есть в упражнениях на повторение.

В учебнике «Алгебра-8» авторов Ш.А. Алимов и другие тоже значительно мало таких заданий. Есть одно задание, как и в учебнике С.М. Никольского.

№442. Найти все значения а при которых ах² +3х + 2 = 0, где а?0

имеет два различных корня;

не имеет корней;

имеет один корень.

У Ш.А. Алимова и другие встречаются задания с параметрами также при изучении функции вида у = ах² +bх + с

№616. Найти значение k, если точка (-1; 2) принадлежит параболе

у = kх² +3x-4

у = -2х² +kх-6

Также у автора этого учебника рассматривается тема: «Решение квадратных неравенств», в которую включены некоторые задания повышенной трудности с параметрами.

№672*. Найти все значения r, при которых неравенство x² - (2+r) х + 4 >0 выполняется при всех действительных значениях х.

В учебнике «Алгебра - 8» Ю.Н. Макарычева и других уделяется мало внимания решению таких заданий. После теоремы Виета, включены несколько подобных заданий.

Например:

№578. В уравнение х²+ рх-35 = 0 один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент р.

№582. Разность корней квадратного уравнения х² -12x + g=0 равна 2. Найдите g.

Встречаются в главе на повторение более сложные задания на доказательство. После изучения тем «Неравенства и системы неравенств» заданий с параметрами нет, но есть задания такого типа:

№886*. Найдите при каких значениях b уравнение имеет отрицательный корень

а) 10х = 3b

б) 3х-1 = b + 2

в) 3х-3 = 5b - 2

В учебнике «Алгебра - 8» автора А.Г, Мордковича после знакомства с квадратной функцией, ее свойствами и графиком встречается несколько заданий с параметрами среднего уровня трудности.

№474*. Найдите значение коэффициента с и постройте график функции у=х² - 6х+ с, если известно, что наименьшее значение функции равно 1.

№521 * При каких значениях р уравнение х² + 4х - 6 = р имеет два корня?

Понятие параметра в его учебнике вводится следующим образом.

«Пример 7. Решите уравнение x² - (2p+1) x + (p²+p - 2) = 0.

Решение. Это квадратное уравнение отличается от всех рассмотренных до сих пор тем, что в роли коэффициентов выступают не конкретные числа, а буквенные выражения. Такие уравнения называют уравнениями с буквенными коэффициентами или уравнениями с параметром. В данном случае параметр (буква) р входит в состав второго коэффициента и свободного члена уравнения».

При решении квадратных уравнений А.Г. Мордкович вводит много заданий с параметрами, используя в формулировке задания само слово «параметр».

№794. При каких значениях параметра р уравнение:

а) х² + р х + 24 = 0 имеет корень равный 6;

б) 3х² + рх -54 = 0 имеет корень, равный -5;

№820*. При каких значениях параметра р имеет один корень:

а) х²- р х + 9 = 0;

б) х-2 рх+3 р=0.

А.Г. Мордкович очень большое внимание уделяет таким заданиям.

Далее задания с параметрами встречаются у А.Г. Мордковича, Ш.А. Алимова и др., С.М. Никольский и др., Ю.Н. Макарычев и др. в учебниках 9 класса.

В 9 классе в основном рассматривается решение квадратных уравнений с параметрами и решение параметрических неравенств.

В учебнике Ю.Н. Макарычева в дополнительных упражнениях к главе 1 «Квадратичная функция» встречается такое задание.

№161. При каком значении р выражение 2 рх-2х-2 р-3 становится квадратным трехчленом, одним из корней которого является число нуль? Найдите второй корень. После изучения темы «Уравнения с одной переменной» встречаются такие задания:

№210. При каких значениях b уравнение имеет два корня?

а) 2х²+6х+b = 0

б) x² +bx + 5 = 0

№209. При каких значениях р корень уравнения 9х = р- 2 отрицателен?

В учебнике Ш.А. Алимова и др. на протяжении всего курса математики 9 класса практически таких заданий не встречается. Только лишь в конце учебника в разделе «Упражнения для повторения курса алгебры 7-9 классов», учащиеся встречаются с решением квадратных параметрических уравнений и неравенств.

№826. Найти все значения r, при которых уравнение x² +(4+2r) х + 5 + 4r = 0 имеет:

а) равные корни;

б) корни равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку.

В задачнике А.Г. Мордковича для 9 классов в самом начале учащимся предоставляется возможность вспомнить решение квадратных параметрических уравнений и неравенств.

№11. При каких значениях параметра р квадратное уравнение

3х² - 2 рх-р+6 = 0:

а) имеет два различных корня;

б) имеет один корень;

в) не имеет корней.

№18. Найдите такое натуральное значение параметра р, при котором во множестве решений неравенства (х-8) (р + х)? 0 содержатся

а) десять целых чисел;

б) два отрицательных целых числа;

в) четыре целых положительных числа;

г) только положительные целые числа.

Затем учащиеся встречаются с параметрами при решении системы уравнений.

Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:

§ В каждом проанализированном учебнике задания, содержащие параметр, используется для проверки знаний и умений, приобретенных во время изучения той или иной темы. Предлагаются задания творческого характера, требующие от учащихся применения полученных знаний и умений в нестандартных условиях;

§ Ни в одном из рассмотренных учебников не даётся чёткого определения параметра;

§ Во всех учебниках задания однотипны.

Для формирования умения решать параметрические уравнения и неравенства с параметром материалы учебников необходимо дополнить:

1) разъяснениями самого понятия «параметр»;

2) разъяснениями самого понятия «уравнения и неравенства с параметрами»;

3) материалом, направленным на уточнение понятия, что значит «решить параметрическое уравнение или неравенство»;

4) образцами (в необходимом объеме) решения параметрических уравнений и неравенств: хода рассуждения и оформления решения;

5) разъяснениями по поводу записи и «прочтения» ответа.

3. Разработка элективного курса по теме: «Квадратные уравнения и неравенства с параметром»

В рамках школьной программы очень сложно вести подробный разговор о задачах с параметрами, в частности, об уравнениях и неравенствах с параметрами. Однако более глубокое знакомство с параметрами не только желательно, но и необходимо. Отработка же прочных навыков решения уравнений и неравенств с параметрами, тонкости и нюансы, различные приемы решений - прерогатива элективных курсов.

3.1 Общие методические положения по проведению элективного курса «Квадратные уравнения и неравенства с параметром»

Функции вида (- квадратный трёхчлен), где , в школьном курсе математики придаётся большое значение. Если не считать самой простой функции - линейной, то это единственная функция, для которой в школьном курсе могут быть достаточно строго доказаны основные свойства, составляющие содержание теории и необходимые для решения задач.

Актуальность курса определяется значимостью понимания школьниками особого положения квадратного трехчлена в школьной программе. Но программа школьного курса ограничена и не позволяет в полном объеме рассмотреть задачи на решение квадратных уравнений и неравенств, содержащих параметр. К таким задачам относятся: задачи на применение теоремы Виета, на соотношения между корнями квадратного уравнения, на взаимное расположение корней квадратного уравнения, решение квадратных уравнений и неравенств с параметром аналитически и графически. Разрешить трудности учащихся и рассмотреть вышеназванные задачи может данный элективный курс «Квадратные уравнения и неравенства с параметром».

Цель курса: перейти от простого решения квадратных уравнений и неравенств к творческому; научить применять знания свойств квадратного трёхчлена при решении задач.

Задачи курса:

· углубить и расширить знания по алгебре;

· предоставить ученику возможность реализовать свой интерес к выбранному предмету, определить готовность ученика осваивать выбранный предмет на повышенном уровне;

· видеть квадратный трехчлен во всех его разнообразных формах и уметь использовать его свойства для решения задач;

· уметь применять теорему Виета к квадратному трехчлену;

· исследовать расположение корней квадратного уравнения;

· уметь решать квадратные уравнения и неравенства с параметром.

По типу данный курс является предметным, главная задача которого состоит в расширении знаний по алгебре.

Мотивами для выбора данного курса у учеников могут быть следующие:

· подготовка к выпускным и вступительным экзаменам;

· поддержка изучения базового курса математики;

· любопытство;

· заинтересованность математикой;

· профессиональная ориентация.

Ожидаемый результат изучения курса:

· знание учащимися свойств квадратного трехчлена;

· умение самостоятельно добывать информацию и осознанно ее использовать при выполнении заданий;

· приобретение опыта в нахождении правильного и рационального пути решения задачи;

· практика работы в группе: умение распределять обязанности, учитывать мнение каждого члена группы, адекватно оценивать работу товарищей (при условии коллективной формы организации обучения).

Система форм контроля уровня достижений учащихся и критерии оценки:

I. Формы промежуточного контроля:

· письменные задания по материалу;

· проверка домашнего задания;

· взаимоконтроль;

· устный ответ ученика.

На занятиях ученики будут получать баллы, выставляемые в табель баллов каждого (Таблица 1).

Таблица 1

Элективный курс «Квадратные уравнения и неравенства с параметром» (14 часов) Табель баллов …………………………………………………. (Ф.И.)

№ занятия

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

X

XI

XII

XIII

XIV

Баллы

Общий итог:

Все набранные учеником баллы по окончанию курса суммируются, и выясняется, как школьник усвоил программу данного курса.

II. Форма итоговой работы - зачетная работа, состоящего из трех блоков:

А - задания с выбором вариантов ответа;

В-задания с краткой записью ответа;

С - задания, предполагающие развернутый ответ.

Предлагаемый курс рассчитан на 14 часов.

Содержание изучаемого курса

1. Квадратное уравнение и его корни.

Определение квадратного уравнения. Дискриминант квадратного уравнения. Корни квадратного уравнения. Степень трехчлена. Число корней квадратного уравнения. Понятие о решение задачи с параметром.

2. Теория Виета. Знаки корней квадратного уравнения. Соотношения на корни квадратного трехчлена.

Теорема Виета для полного и приведённого квадратного уравнения.

Теорема, обратная теореме Виета. Условия, определяющие знаки корней квадратного уравнения. Решение задач на применение теоремы Виета и обратной ей, определение знаков корней квадратного уравнения, на соотношение между корнями квадратного трехчлена.

3. Расположение параболы относительно оси абсцисс.

График квадратичной функции.

Применение графика квадратичной функции при решении квадратных уравнений и неравенств с параметром.

4. Расположение корней квадратного уравнения.

Графическая характеристика расположения корней квадратного уравнения на числовой прямой по отношению к фиксированному числу.

5. Графические приемы решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами.

6. Решение квадратных уравнений и неравенств с параметром.

Таблица 2. Учебно-тематический план

№ п\п	Тема	Количество часов	в том числе:
			лекции	Практикумы
1 2 3	Квадратный трехчлен и его свойства. Понятие об уравнении с параметром. Теорема Виета. Знаки корней квадратного трехчлена Соотношения на корни квадратного трехчлена	3	0,5	1,5
4	Квадратный трехчлен: Теорема Виета. Знаки корней квадратного трехчлена. Соотношения на корни квадратного уравнения	1		1
5	Расположение параболы относительно оси абсцисс	1		1
6	Расположение корней квадратного трехчлена	2	1	1
7	Графические приемы решения квадратных уравнений и неравенств с параметром	2	1	1
8	Решение квадратных уравнений и неравенств с параметром	2		2
9	Разные задачи	2		2
10	Зачёт	1		1
11	Конференция	1		1
12	Итого часов:	14	2	12

Требования к уровню усвоения учебного материала

В результате изучения программы элективного курса «Квадратные уравнения и неравенства с параметром» учащиеся получают возможность:

ЗНАТЬ:

· условия, определяющие знаки корней квадратного уравнения;

· способ решения задачи на соотношение между корнями квадратного трехчлена;

· варианты расположения параболы относительно оси абсцисс и условия, выраженные через коэффициенты уравнения параболы, задающие соответствующее расположение;

· условия, определяющие расположение корней квадратного уравнения;

· графические приемы решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами.

УМЕТЬ:

· использовать свойства квадратного трехчлена;

· применять теорему Виета и обратную ей для составления квадратного уравнения по его корням и нахождение корней квадратного уравнения;

· находить знаки корней квадратного трехчлена, не зная самих корней, в зависимости от параметра;

· определять корни квадратного уравнения в зависимости от параметра, удовлетворяющие некоторым соотношениям;

· исследовать квадратные уравнения и неравенства с параметром, используя график квадратичной функции;

· решать задачи на расположение корней квадратного трехчлена;

· применять графические приемы решения квадратных уравнений и неравенств с параметром;

· находить способ решения задач, связанных с исследованием квадратных уравнений и неравенств с параметром.

3.2 Разработка занятий элективного курса «Квадратные уравнения и неравенства с параметром»

Занятие I. Квадратный трехчлен и его свойства. Понятие об уравнении с параметром

Цель: закрепление знаний по теме «Квадратный трехчлен и его свойства»; развитие умения решать нестандартные задачи.

Ход занятия:

1. Организационный момент. Введение в элективный курс «Квадратные уравнения и неравенства с параметром», сообщение целей и задач данного курса, требований к учащимся, форм и методов работы, системы контроля уровня достижений учащихся и критериев оценки, ожидаемого результата по окончании изучения курса.

2. Обзорная лекция по теме «Квадратный трехчлен и его свойства. Понятие об уравнении с параметром».

Прежде всего, вспомним факты, изученные в курсе алгебры, о квадратном трехчлене Ax+Bх+C (при А0) (1).

1. Количество корней квадратного трехчлена.

Для определения количества корней квадратного трехчлена достаточно знать знак дискриминанта D=B²-4AC: два корня, если D>0; один корень, если D=0; нет корней, если D<0.

2. Нахождение корней квадратного трехчлена при D0 по формуле . Причем, при D=0 корни совпадают .

3. Теорема Виета: Если дискриминант (при А0), то трехчлен Ax+Bх+C имеет корни и , удовлетворяющие соотношениям:

(*)

И наоборот, если числа и удовлетворяют соотношениям (*), то они являются корнями квадратного трехчлена Ax+Bх+C.

4. Квадратное уравнение - это уравнение, соответствующее квадратному трехчлену (1), Ax+Bх+C=0, где х - переменная, А, В, С - некоторые числа, А0.

5. Понятие об уравнении с параметром.

Пусть задано уравнение f (x, a)=0. Его называют уравнением с неизвестным х и параметром а, если, в частности, ставится задача найти х для каждого значения а.

Уравнение с параметром - это, по существу, краткая запись множества уравнений, получаемых при различных значениях а.

Пример. Рассматривается серия уравнений: , , . В общем виде эти уравнения можно записать: , где а - некоторое число, которое называется параметром.

При решении задач с параметрами нужно иметь представление о множестве допустимых значений параметра. Если параметру, содержащемуся в уравнении (неравенстве) придать некоторое значение, то возможен один из двух случаев:

1) Получиться уравнение (неравенство), содержащее лишь данные числа и неизвестные и не содержащее параметров.

2) Получиться равенство (неравенство), одно (по крайней мере) из выражения не имеет смысла.

Говорят, что в первом случае значение параметра является допустимым, а во втором недопустимым.

Решить уравнение или неравенство с параметром - это значит, для каждого допустимого значения параметра найти множество всех решений данного уравнения или неравенства.

3. Решение задач

3.1. Рассмотрение примера решения задачи:

При каких значениях m ровно один из корней уравнения 3х²+х+2m-3=0 равен 0?

Учитель записывает решение на доске и поясняет каждый шаг.

3.2. Решение задач.

- задания 1, 2: каждое задание один из учеников решает на доске, остальные - в тетради. После решения задания 2 ученик с помощью учителя записывает на доске условия, определяющие количество корней квадратного уравнения в зависимости от значения А(а).

- задание 3: учащимся дается время на самостоятельное выполнение задания. После того, как с заданием справилась треть класса, один из учеников, его выполнивших, записывает решение на доске.

Дополнительные задания:

- учащиеся, решающие «вперед», самостоятельно выполняют задания 4-7. В конце занятия производится устная проверка решения этих заданий: рассказывается идея и шаги решения.

Задания.

Основная часть:

1. При каких значениях m ровно один из корней уравнения равен 0:

x²+(m+3) x+m-3=0

2. При каких значениях параметра р уравнение рх- х+3=0 имеет единственное решение?

При решении данного уравнения необходимо учесть, что может быть р=0. В этом случае уравнение также имеет единственное решение.

В общем случае условия существования единственного решения запишутся следующим образом:

или

Если то уравнение не имеет корней.

Если то уравнение имеет бесконечно много решений.

3. При каких значениях параметра а уравнение ах-4х+а+3=0 имеет не более одного корня?

Дополнительные задания:

4. При каких значениях а корни уравнения 4х²+(5а-1) х+3а=-а равны по модулю, но противоположны по знаку?

5. Найдите все значения параметра k, при которых уравнение (k-2) x-2kx+2k-3=0 имеет хотя бы один корень?

6. Доказать, что при любом значении а уравнение х²+(а-2) х+(а-3)=0 имеет два корня.

7. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

4. Подведение итогов занятия:

- Интересными ли явились задания?

- Не являются ли они сложными или, наоборот, простыми?

Выставление учениками самим себе баллов за каждое верно решенное задание (1 задание - 1 балл).

5. Постановка домашнего задания:

Задания, аналогичные задачам, решаемым на занятии:

№1. а) При каких значениях k оба корня уравнения х²+(16-k) х+k+8=0 равны 0?

б) При каких значениях а корни уравнения х²-2х+m-1=0 равны по модулю, но противоположны по знаку?

№2. При каких а уравнение

а) (а-4) х+(2а-4) х - (а-2)=0 имеет не менее одного решения;

б) (а+1) х+2 (а+1) х-2=0 не имеет корней.

Задания на самостоятельный поиск решения:

№3. а) Найти корни квадратного уравнения ах²+bх+с=0, если а-b+с=0.

б) При каких значениях параметра а уравнения равносильны?

(Вспомнить, какие уравнения называются равносильными).

Занятие II. Теорема Виета. Знаки корней квадратного трехчлена

Цель: формирование умения определять знаки корней квадратного трехчлена, применяя теорему Виета.

Ход занятия:

1. Организационный момент. Сообщение темы и целей занятия.

2. Проверка домашнего задания: решение №1, №2 записано учителем на доске, ученики проверяют; №3: один из учеников, выполнивший задание №3а), записывает до начала занятия решение на доске, второй - №3б); затем задания разбираются. Если задания никем не выполнены, то решение объясняет учитель.

3. Обзорная лекция по теме «Теорема Виета. Знаки корней квадратного уравнения».

Теорема Виета: Если дискриминант (при А0), то трехчлен Ax+Bх+C имеет корни и , удовлетворяющие соотношениям:

(*)

И наоборот, если числа и удовлетворяют соотношениям (*), то они являются корнями квадратного трехчлена Ax+Bх+C.

Исходя из теоремы Виета, получаются условия, определяющие знак корней трехчлена (Таблица 3).

Таблица 3

Знак корней	>0 >0	0 0	<0 <0	0 0	>0 <0	=0 >0	=0 <0
Условия

Рассмотрим пример:

При каких значениях m оба корня уравнения (m² - 4) x² + (2m - 1) x + 1= 0 отрицательные?

Решение: Замечаем, что при m ? ± 2 уравнение обращается в линейное и иметь двух корней не может.

D = 4m² - 4m + 1 - 4m² +16 = - 4m +17

Уравнение имеет два корня при - 4m + 17 > 0, т.е. при m < 4,25 и m ? ± 2. Т.к.

x₁+x₂ = - и x₁* x₂ = , а x₁ < 0, x₂ < 0, то

откуда m > 2.

Учитывая, что m < 4,25, m ? ± 2, приходим к выводу, что

Ответ:

Заключение

Уравнения и неравенства с параметрами - прекрасный материал для настоящей исследовательской работы, но школьной программой задачи с параметрами не предусмотрены как отдельная тема. Это связано с тем, что материал достаточно сложный для всех учеников класса и его освоение требует большого количества времени.

Поэтому данную тему целесообразно было вынести в элективный курс.

Элективные курсы - это новейший механизм актуализации и индивидуализации процесса обучения.

С хорошо разработанной системой элективных курсов каждый ученик может получить образование с определенным желаемым уклоном в ту или иную область знаний. Данный курс позволяет сделать материал доступным для широкого круга учащихся и развить исследовательские навыки при решении задач.

В ходе написания работы были достигнуты цели, поставленные в ведении: был проведен анализ школьных учебников по алгебре за 7-9 классы с целью изучения места уравнений и неравенств с параметрами.

Как средство формирования исследовательских умений, расширения кругозора учащихся, повышения интереса к предмету, был разработан элективный курс для 9 класса «Квадратные уравнения и неравенства с параметром».

Элективный курс может иметь свое продолжение в старшей школе при изучении такого курса, как «Уравнения и неравенства с параметром, сводящиеся к квадратным».

При написании работы были поставлены следующие задачи:

· рассмотреть общие положения по изучению уравнений и неравенств с параметрами в 7-9 классах;

· разработать методические рекомендации по изучению уравнений и неравенств с параметрами в 7-9 классах;

· разработать элективный курс по алгебре «Квадратные уравнения и неравенства с параметром» и методику его проведения.

В процессе написания работы все поставленные задачи были достигнуты, сформулированная гипотеза доказана.

Библиография

1) Алгебра [Текст]: Учебник для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин. Ю.В. Сидоров и др. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1995. - 191 с: ил.

2) Алгебра [Текст]: Учебник для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин. Ю.В. Сидоров и др. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1995. - 223 с: ил.

3) Алгебра [Текст]: Учебник для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин. Ю.В. Сидоров и др. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1995. - 224 с: ил.

4) Алгебра [Текст]: Учебник для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др.; Под ред. С.А. Теляковского. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 2001. - 239 с: ил.

5) Алгебра [Текст]: Учебник для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др.; Под ред. С.А. Теляковского. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 2001. - 240 с: ил.

6) Алгебра [Текст]: Учебник для 9 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др.; Под ред. С.А. Теляковского. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 2001. - 239 с: ил.

8) Алгебра. 7 кл. [Текст]: Задачник для общеобразоват. учреждений /А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская и др. - 4-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2001. - 160 с: ил.

9) Алгебра. 7 кл. [Текст]: Учебник для общеобразоват. учреждений /А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская и др. - 4-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2001. - 160 с: ил.

10) Алгебра. 8 кл. [Текст]: Учебник для общеобразоват. учреждений /А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская и др. - 3-е изд. доработ. - М.: Мнемозина. 2001. - 223 С: ил.

11) Алгебра. 9 кл. [Текст]: Задачник для общеобразоват. учреждений /А.Г. Мордкович. Т.Н. Мишустина. Е.Е. Тульчинская и др. - 4-е изд. - М.: Мнемозина. 2002. - 143 с: ил.

12) Алгебра [Текст]: Учебное пособие для учащихся 9 класса с углубленным изучением математики / Н.Я. Виленкин, Т.С. Сурвилло, А.С. Симонов и др.; Под ред. Н.Я. Виленкина. - М.: Просвещение, 2001. - 384 c.

13) Бабанский, Ю.К. Оптимизация учебно-воспитательного процесса [Текст] / Ю.К. Бабанский. - М.: Просвещение, 1982. - 192 с. - (Метод. основы)

14) Болтянский, В.Г. Лекции и задачи по элементарной математике [Текст]

/ В.Г. Болтянский, Ю.В. Сидоров, М.И. Шабунин. - М.: Наука, 1974. - 576 с.

15) Бондаревский В.Б. Воспитание интереса к знаниям и потребности к самообразованию [Текст]: Кн. для учителя /. - М.: Просвещение, 1985. - 144 с.

16) Галицкий, М.Л. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов [Текст]: учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубленным изучением математики / М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. - М.: Просвещение, 1994. - 271 с.

17) Горнштейн, П.И. Задачи с параметрами [Текст] / П.И. Горнштейн. - Киев: Текст: Око, 1992. - 290 с.

18) Горнштейн, П.И. Задачи с параметрами [Текст] / П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир. - М.: Илекса, 1999. - 336 с.

19) Громов, А.И. Пособие-репетитор по математике. Подготовка к письменному экзамену [Текст]: Учеб. пособие / А.И. Громов, В.М. Савчин. - Ростов н/Д: Феникс, 2001. - 480 с.

20) Груденов, Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике [Текст] / Я.И. Груденов. - М: Педагогика, 1987. - 158 с.: ил.

21) Гусев, В.А. Математика: Справочные материалы [Текст] / В.А. Гусев, А.Г. Мордкович. - М.: Просвещение, 1990. - 416 с.: ил.

22) Ермаков, Д.С. Элективные курсы в профильном обучении [Текст] / М-во образования РФ. Национальный фонд подготовки кадров. - М.: Вита-Пресс, 2004. - 144 c.

23) Здоровенко, М.Ю. Сборник задач по элементарной математике [Текст]

/ М.Ю. Здоровенко, Л.В. Караулова. - Киров, 1998. - 80 с.

24) Здоровенко, М.Ю. Учимся решать задачи с параметрами [Текст]: квадратный трехчлен: Учеб. пособие / М.Ю. Здоровенко, В.М. Караулов. - Киров, 2001. - 140 с.

25) Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года [Текст] // Вестник образования. - 2002. - №6. - С. 3-13.

26) Крамор, В.С. Примеры с параметрами и их решение [Текст]: Пособие для поступающих в вузы / В.С. Крамор. - М.: АРКТИ. - 2000. - 342 с.

27) Мирошин, В.В. Решение задач с параметрами. Теория и практика [Текст] / В.В. Мирошин. - М.: Экзамен, 2009. - 286 с.

28) Петунин, О.В. Элективные курсы на этапе предпрофильной подготовки [Текст] / О.В. Петунин, Л.В. Трифонова // Школьные технологии. - 2006. - №1.- С. 88-90.

29) Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра 7-9 классы [Текст] / Т.А. Бурмистрова. - М.: Просвещение, 2008. - 256 с.

30) Черникова, Т.В. Методические рекомендации по разработке и оформлению программ элективных курсов [Текст] / Т.В. Черникова // Профильная школа. - 2005. - №5. - С. 11-16.

Размещено на Allbest.ru