Методика проведения уроков математики с использованием элементов исследовательской деятельности учащихся

Особенности деятельности учащихся

Особенности учебной деятельности учащихся:

всю учебную работу школьники выполняют самостоятельно;

исследовательская работа ведется коллективно, по принципу разделения труда;

учебная работа выходит за рамки классно-урочной системы;

Обучение происходит при постоянном консультировании и общем руководстве учителя;

Учебная работа ведется по планам и программам, разработанным самими учениками на основе общих программ в соответствии с их жизненными интересами;

Учет выполненной работы, педагогический контроль осуществляется по реальным результатам (докладам, рисункам, схемам и т.д.);

Работать можно над любым материалом, взятым из книги или жизни [6].

Тем самым С.Н. Поздняк подчеркивает еще раз отличие исследовательского обучения от традиционного, его эвристическую сущность, направленную на более глубокое и осознанное усвоение знаний.

Действительно, в исследованиях и проектировании школьники изучают предметный материал избирательно и осмысленно, активны в постановке и достижении целей. Этим исследовательская деятельность ценна и этим она и отличается от традиционного учения в школе. Но в этой работе, как это ни покажется странным, возникает основной набор трудностей, которые испытывает и учитель, и ученик в проектной или исследовательской деятельности.

- развитие исследовательских умений учащихся блокируется преобладанием репродуктивных методов в их обучении, установкой обучающихся на передачу, а обучаемых на усвоение готовых знаний;

- основным видом исследовательской деятельности учащихся чаще всего выступают рефераты, доклады, сочинения, не становящиеся по настоящему творческими в силу шаблонности тематики и сведенному минимуму, а то и вовсе не предполагающему самостоятельному решению исследовательской задачи;

-учащиеся активно не включаются в поисковую деятельность из-за нехватки свободного времени, их загруженности;

-исследовательские умения вырабатываются стихийно без учета их структуры, логики развития, что тормозит формирование у учащихся творческих способностей;

-для того, чтобы овладеть приемами исследовательской деятельности школьнику требуется специальное обучение, которое часто оказывается невозможным из-за нехватки учебного времени.

Часть II. Методика изучения свойств квадратичной функции с применением элементов исследовательской деятельности учащихся

В первой части данной курсовой работы мы разобрали теоретические основы исследовательской деятельности школьников и исследовательского подхода в обучении. В этой главе мы остановимся на практическом применении этого метода исследования на уроках математики.

Метод исследования можно широко применяться на уроках математики, как алгебры, так и геометрии. Решение многих классов задач по алгебре предполагает исследование. Одним из таких классов является класс задач, содержащих параметры.

В данный момент задачи с параметрами приобретают все большую актуальность. Их включают в различного рода тесты по алгебре, варианты ЕГЭ, вступительные экзамены в вузы, именно потому, что, выполняя задания такого типа, учащиеся зачастую не имеют строгого алгоритма решения, а должны сами найти его, исследовать все возможные варианты решения данных задач.

Прежде, чем приступить к непосредственной организации исследовательской деятельности учащихся, учитель должен, как мы уже отмечали выше, спланировать свою деятельность с учетом ряда этапов. Мы остановимся на системе, предложенной А.В. Леонтовичем.

В соответствии с этой системой учитель на первом этапе определяет, что именно будут исследовать учащиеся и как это согласуется с учебным планом. В нашем случае мы предлагаем школьникам исследовать, свойства квадратичной функции, зависимость вида графика функции от исходных значений параметров и применение этих свойств на практике при решении квадратных уравнений с параметрами.

Отбор материала для исследования учитель отбирает, руководствуясь рядом принципов:

- принцип естественности (проблема должна быть понятной учащимся, плавно входить в контекст изучаемой темы, заинтересовывать школьников);

- принцип осознанности (проблема, цели исследования и его задачи должны быть поняты и приняты учениками, т.е. формулировка и смысл предстоящей деятельности должен быть доступен школьникам)

- принцип самостоятельной деятельности (школьник должен быть в состоянии выполнить исследование, т.е. уровень подготовки ребят должен соответствовать предлагаемой теме и способу исследования)

- принцип наглядности (проблему и методы ее решения нужно подобрать таким образом, чтобы ученики могли наблюдать за процессом, видеть результаты исследования и качественные изменения модели)

На втором этапе учитель определяет базовые сведения, который должен будет сообщить ученикам перед началом исследования, причем эти сведения должны натолкнуть школьников на мысль о недостаточности информации для получения полной картины об изучаемом предмете. В данном случае учитель сообщает школьникам аналитический вид квадратичной функции, вид ее графика и говорит о том, что коэффициенты квадратного уравнения влияют на вид и положение графика, а соответственно и на особенности функции. У учащихся возникнет логичный вопрос: а как именно? Этот вопрос будет определяющим в течение всего процесса исследования.

На третьем этапе, определившись с темой, учитель формулирует школьникам тему исследования и ограничивает круг вопросов, на которые школьники должны найти ответ. Учитель предлагает ребятам установить характер влияния коэффициентов квадратного трехчлена на вид функции, в правой части которой стоит этот трехчлен, затем выйти на зависимость положения вершины параболы в пространстве от значения этих коэффициентов и установить эту зависимость. Учебные цели, преследуемые учителем в данном случае можно сформулировать так:

На четвертом этапе учитель определяет формы и методы исследовательской деятельности. Мы предлагаем организовать урок в виде лабораторной работы в компьютерном классе с использованием программного продукта Microsoft Excel, который содержится в стандартном пакете Microsoft Office, а потому доступен на любом компьютере, где установлен данный пакет. Можно также организовывать исследовательскую деятельность школьников на уроках алгебры в форме практических работ (вычислительные эксперименты), уроков одной задачи (где будут исследоваться все возможные подходы к решению этой задачи), мастерских, уроков - бенефисов (выступление учащихся с результатами собственных исследований и их последующим обсуждением).

Методы исследовательской деятельности без сомнения должны быть эвристичными. Мы считаем целесообразным использовать следующие методы познания:

- наблюдение и опыт. Эти методы содействуют открытию новых фактов, позволяют наглядно показать изменение свойств объекта, могут подсказать путь их логических обоснований

- анализ - логический прием, состоящий в том, что изучаемый предмет мысленно расчленяется на составные элементы, каждый из которых затем исследуется в отдельности (мы изучаем отдельно влияние каждого параметра на вид графика функции)

- синтез - мысленное соединение частей предмета, расчлененного в процессе анализа, установление взаимодействия и связей частей и познание этого предмета как единого целого (изучив в отдельности влияние каждого параметра, мы устанавливаем зависимость расположения вершины параболы от значений коэффициентов)

- обобщение как форма перехода от частного к общему. Имеет целью выделение общих существенных свойств, принадлежащих данному классу объектов (например, направленность ветвей параболы в зависимости от знака коэффициента а) [Саранцев].

Также учителю, основываясь на требованиях к содержанию и процессу исследовательской деятельности, необходимо учесть некоторые положения.

Мы предлагаем в данном случае учитывать следующие требования:

К содержанию:

- начальные сведения, сообщаемые учителем, должны заинтересовать школьников и побудить их к дальнейшему изучению данного предмета;

- новые сведения не должны противоречить уже имеющимся, давать широкие возможности для использования (в нашем случае школьники уже были знакомы в курсе 7 класса с особенностями расположения прямых в зависимости от коэффициентов, теперь им предлагают посмотреть, как меняется вид параболы также в зависимости от значений коэффициентов, обращая внимание на то, что эти сведения помогут им в дальнейшем при изучении квадратных уравнений);

2. К процессу.

- во время исследования учащихся нужно побуждать к высказыванию и последующей проверке своих предположений, догадок (в предложенной методике это достигается путем наводящих вопросов, предложения альтернативных заключений с предложением установить их верность (неверность));

- давать учащимся возможность для самостоятельного исследования в свободной обстановке (в данной методике основную часть исследования школьники проводят самостоятельно, используя компьютер свободной обстановке ()ельног я самостоятельног оисследования верность ()оложений, догадок.вненийвисимости от коэффициентов, т);

- предоставить учащимся возможность апробирования полученных знаний на практике, чтобы они могли оценить их прикладное значение (в данной методике после исследования школьникам предлагается решить несколько уравнений с параметрами и посмотреть, как расположен график функции, сколько корней имеет уравнение в зависимости от значений коэффициентов).

Разберем, как можно помочь школьнику освоить свойства квадратичной функции и приобрести навыки решения квадратных уравнений, используя задания с параметрами.

Пример 1.

В курсе алгебры 7 класса школьники знакомятся с квадратичной функцией у=х. На этом этапе обучения вопросам о свойствах данной функции, о ее расположении в пространстве уделяется немного внимания. В заданиях учебника рассматривается лишь случай у=х. В связи с этим у школьников может сложиться стереотипное понимание данного класса функций, т.е. они могут воспринимать график этой функции как параболу, ветви которой направлены только вверх, а вершина лежит в центре координат.

В 8 классе школьники начинают изучать квадратные уравнения вида ах+bх+с=0. Известно, что решение уравнений такого вида во многом зависит от поведения функции у=ах+bх+с и от ее расположения относительно осей координат.

Для решения проблемы стереотипного восприятия и более глубокого понимания школьниками свойств квадратичной функции и их последующего применения в решении квадратных уравнений, мы предлагаем провести с детьми исследование, направленное на изучение особенностей поведения функции в зависимости от коэффициентов а, b и с, т.е. ввести в рассмотрение параметры. Мы предлагаем провести это исследование с использованием компьютеров и программного продукта Microsoft Excel, т.е. в виде интегрированного урока математики и информатики.

После проведения исследования проведем коллективное подведение итогов. Ребятам понадобится помощь учителя в объяснении полученных результатов. Обсудим их вместе и запишем.

Итак, по графикам видно, что увеличение параметра а по модулю ведет к сжатию графика к оси ординат, т.е. график становится «круче», при уменьшении параметра а по модулю график растягивается вдоль оси Ох, т.е. становится более «пологим». Также положение графика зависит от знака параметра а. При а>0 график представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, и функция в данном случае принимает только неотрицательные значения, при а<0 ветви параболы направлены вниз и функция в нашем случае принимает только неположительные значения. В случае же а=0, мы имеем дело с линейной функцией, т.к. слагаемое, содеращее квадрат переменной обращается в ноль.

Рассмотрим, влияет ли на поведение функции параметр b.

Изменяя коэффициент b, мы смещаем график вниз по оси Оу и влево и вправо по оси Ох.

И, наконец, попробуем установить влияние параметра с на вид графика функции. Это несложно и дети смогут сами исследовать этот случай и сделать самостоятельный вывод о том, что изменение с приводит к смещению графика функции по оси Оу. Причем если c >0, график поднимается по оси Оу, а если c <0 - опускается.

Исследовав эти зависимости и сделав выводы, можно предложить ребятам такой вопрос.

«Итак, ребята, т.к. вы знаете, что положение параболы на плоскости во многом определяется положением ее вершины, а в том, что вершина может быть в любой точке координатной плоскости, вы сейчас убедились. Также мы с вами выяснили, от чего это зависит. От чего? (Ребята ответят, что положение вершины параболы на плоскости зависит от значений коэффициентов) Итак, как вы считаете, можно ли по известным значениям параметров аналитически (без построения графика) вычислить координаты вершины параболы?» Без сомнения школьники ответят, что можно, поскольку только что убедились в зависимости положения вершины параболы от значений параметров на опыте. Мы предлагаем ввести формулу вычисления координат вершины параболы следующим образом.

Мы предлагаем учащимся три различные формулы для нахождения абсциссы вершины параболы, предупреждая, что только одна из них является верной.

;

;

.

Предложим школьникам опытным путем установить верную с помощью построенной модели. Каждый из ребят задаст свое значение параметров а, b и с, в соответствие с ними получит модель и график. Вторым шагом учащиеся вычислят значения для абсциссы вершины по каждой из трех формул и значение функции у=ах+bх+с в этой точке. Затем, используя график и значения функции, вычисленные с помощью модели, школьники сделают вывод о правильности третьей формулы.

Также полезно будет предложить школьникам рассмотреть такую задачу.

Как изменяются корни квадратного уравнения ах + 4х - 8 = 0 и график соответствующей параболы, когда величина а стремится к нулю?

Из анализа условия получаем выводы: аО, так как дано квадратное уравнение; дискриминант неотрицателен, то есть корни уравнения существуют. В процессе анализа выясняем также, что в задании сформулированы фактически две связанные между собой задачи: об изменении параболы и об изменении корней квадратного уравнения. Объединяет эти задачи общий процесс изменения коэффициента а.

Затем учащимся дается задание выяснить, что будет происходить с параболой, если коэффициент а станет уменьшаться по абсолютной величине. Школьники легко сделают вывод, что будет происходить деформация параболы. Учащиеся могут изменять значения коэффициентов a, b и с уравнения ах + bх + с = 0 и проследить изменения параболы на получаемых конкретных примерах.

Получив ответы на вопросы, поставленные перед выполнением лабораторной работы, практически от каждого учащегося, сравниваем их.

Далее приступаем к обобщению полученных результатов, которое начинаем с вопроса: во что же «вырождается» парабола? В прямую. Можем ли мы найти уравнение прямой, в которую стремится обратиться парабола? Да. Её уравнение:

у = bх + с

Мы считаем, что этот пример поможет учащимся в дальнейшем понять, что квадратное уравнение может «превратиться» в линейное в зависимости от значения старшего коэффициента.

На этом блок, посвященный исследованию квадратичных функций в зависимости от значений коэффициентов, завершим и перейдем к рассмотрению квадратных уравнений с параметрами.

Пример 2.рассмотрим с детьми такое задание:

Когда уравнение имеет:

два различных корня;

один корень;

два одинаковых корня;

не имеет корней.

Решение:

Прежде всего нужно вспомнить с учащимися, от чего зависит наличие и количество корней квадратного уравнения. Школьники без труда скажут, что от дискриминанта и назовут все возможные случаи, за исключением, быть может, случая, когда данное уравнение может иметь 1 корень. Но, вспомнив лабораторную работу на исследование, проделанную ранее, школьники сделают верный вывод, что для достижения такого результата необходимо, чтобы старший коэффициент был равен нулю.

Итак, находим дискриминант.

Предлагаем школьникам установить, какие значения принимает дискриминант при различных значениях а.

Владея навыками решения неравенств, учащиеся быстро придут к необходимым заключениям

при а,

D=0 при

D<0 при а

Т.е. соответственно, уравнение имеет 2 различных корня при а, два одинаковых корня при , не имеет корней при а и имеет 1 корень при а=0.

Предложим ребятам схематически на графике показать все возможные решения этого уравнения и проанализируем результаты.

Возможно сначала ребята дадут неверный ответ, что может, т.к. уравнение имеет два корня, но немного подумав, ответят, что нет, т.к. старший коэффициент всегда положителен для этого случая.

Школьники ответят, что в данном случае возможен и тот и другой вариант, т.к. параметр а может принимать и положительные и отрицательные значения.

На основании проделанной работы школьники усвоят свойства квадратичной функции осознанно, увидев их наглядно и попробовав самостоятельно поработать с ними.

Мы считаем, что данная методика преподавания школьникам свойств квадратичных функций с использованием исследовательского подхода способствует более эффективному усвоению и глубокому пониманию изучаемого материала, нежели традиционная, поскольку учащиеся несомненно будут привлечены новизной использования компьютера на уроках математики, а наглядность и возможность исследования помогут более четко представлять себе поведение и расположение функции в зависимости от значения коэффициентов квадратного трехчлена.

Заключение

В данной работе рассмотрены приемы и методы применения исследовательской деятельности на уроках алгебры. В ходе работы нами были выяснена сущность исследовательской деятельности, определены пути знакомства учащихся с методами научного познания, т.е. исследовательский подход в процессе обучения, рассмотрены приемы организации исследовательской деятельности в школе.

Также данная работа содержит часть, в которой представлены примеры применения элементов исследования при изучении свойств квадратичных функций. Таким образом, можно с уверенностью сказать, что цели, поставленные в начале нашей работы, достигнуты.

На основании проделанной работы можно сделать вывод о необходимости организации исследовательской деятельности в школе, как важной составляющей полноценного развития ребенка и качественной подготовки выпускников школ к поступлению в вузы и к осуществлению там научной деятельности. Важным выводом данной работы является, то, что математическая исследовательская деятельность делится на этапы исследования, предполагающую тщательную организацию со стороны учителя, нормирующие исследовательскую деятельность учащихся в области математики. Каждый из рассмотренных этапов предполагает достижение определенных целей и задач, которые поставлены в начале выполнения этапов и осуществление собственной деятельности. Данная деятельность порою важнее самого результата, т.к. в процессе исследовательской деятельности очень важно не научить какому либо способу доказательства, а развить у детей способности в постановке целей исследования, выдвижению гипотез, умению обосновывать и доказывать. И в данном случае наряду с полученным результатом гораздо важнее сам процесс исследования, который и несет развивающий эффект в образовании, стимулирует развитие интереса к изучаемому предмету, способствует осознанному и глубокому пониманию материала, заставляет стремиться к доказательности и проверке сведений, получаемых от учителя.

Список литературы

1. Громова Т. Исследовательская деятельность в учебном процессе// Практика административной работы в школе.- 2003.-№3.

2. Знаменская О. Динамика становления исследовательских и математических компетентностей старшеклассников// Директор школы.- 2006.- №5.- С.60-65.

3. Леонтович А.В. Учебно-исследовательская деятельность школьников как модель педагогической технологии

4. Мухина В.С. Психологический смысл исследовательской деятельности для развития личности // Школьные технологии

5. Обухов А.С. Исследовательская деятельность как способ формирования мировоззрения

6. Поздняк С.Н. Исследовательская деятельность школьников и метод проектов// Стандарты и мониторинг в образовании.- 2006.- №3. - С.52-56.

7. Файн Т.А. Исследовательский подход в обучении// Практика административной работы в школе.-2003.- №6.

8. Чаплыгин В.Ф. Анализ и задачи с параметрами.

Размещено на Allbest.ru