Контроль знаний и умений учащихся по математике в школе

Закрепив его на штыре они вращают его вокруг его стороны. Вращая его так, они получают наглядное представление о конусе.

IV. Решение задач по темам “ Основные элементы конуса ”, “ Сечения конуса ”.

В ходе решения задач ученикам задаются следующие вопросы:

Чему равна площадь круга? (Sкр = R)

Чему равна площадь треугольника (S = ab sin )

Что называется sin , cos в прямоугольном треугольнике?

Сформулируйте теорему Пифагора

V Сообщение домашнего задания.

V. Подведение итогов урока.

Урок 2. Тема “Сечения конуса. Усеченный конус”

Цели урока:

1. Развить пространственное воображение.

2. Совершенствовать навыки решения задач.

3. Проверить навыки решения задач по теме “Сечения, основные элементы конуса ”.

4. Проверить практическое усвоение материала.

Ход урока:

I Оргмомент

II Проверка домашнего задания

III Практическая работа.

Каждому ученику выдается подставка, штырь и проволока.

Задание: Выгнуть фигуру при вращении которой получается конус с радиусом равным 5см и образующей равной 13 см.

IV Решение задач по теме “Сечения конуса”.

На этом уроке решаются задачи на сечение конуса, проходящего через вершину конуса, а так же сечения конуса плоскостью перпендикулярной оси симметрии конуса. В ходе решения задач ученикам задаются следущие вопросы:

Какой конус является усеченным?

Назовите основные элементы усеченного конуса.

Какой должна быть высота конуса, осевое сечение которого имеет ту же площадь, что и его основание.

Основные отношения в прямоугольном треугольнике: sin , cos, tg.

Сформулируйте теорему Пифагора.

V Сообщение домашнего задания.

VI Самостоятельная работа по теме “Сечения конуса. Основные элементы конуса ”.

С целью улучшения качества решения задач используются тесты при проведении самостоятельной работы.

Учащимся выдаются карточки, в которых предлагается решить задачи по готовому чертежу, заполнив пропуски в первой задаче, и ответить на вопросы во второй задаче.

Приведем пример этой работы:

Задача 1. Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под углом . Найдите площадь основания конуса, если = 30.

Дано: конус, SA=SB=12 см, SBO=30

Найти: S

Решение:

SOB - прямоугольный, в нем катеты - 1, гипотенуза - 2

= cos30 OB = 3,

ОВ = R (радиус основания)

В основании конуса лежит 4

S=R S = 5 (см)

Ученики на листках записывают ответы с 1 по 5. После этого карточка ответов выглядит следующим образом:

SO, OB

SB

SB cos30= 12 = 6

Круг

72

Задача 2. Осевое сечение конуса - правильный треугольник, со стороной 2r . Найти площадь сечения проведенного через две образующие конуса, угол между которыми равен 60.

Дано: SAB - правильный, SA=SB=AB=2r, CSD = 60

Найти: SCSD

Решение:

Какая фигура является сечением конуса плоскостью, проходящей через его вершину?

Чему равны стороны SC и SD треугольника CSD ?

Выразить площадь треугольника через стороны треугольника и угол между ними.

Чему равна площадь сечения (записать ответ).

VII Подведение итогов

Урок 3. Тема “Конус”

Цели урока:

1. Развить пространственное воображение.

2. Закрепить понятия по теме “Вписанные, описанные пирамиды”.

3. Решить задачи по теме “ Вписанные, описанные пирамиды ”.

4. Проверить навыки решения задач по теме “Сечения цилиндра”.

5. Проверить практическое усвоение материала.

Ход урока:

I Оргмомент

II Проверка домашнего задания

III Подготовка к изучению нового материала.

Перед тем, как решать задачи по теме “Вписанные, описанные пирамиды”, учащиеся отвечают на следующие вопросы:

Что такое касательная плоскость к конусу?

Какая пирамида называется вписанной в конус?

Какая пирамида называется описанной около конуса?

IV Применение учащимися знаний в различных конкретных ситуациях.

Каждому ученику выдается подставка, штырь и проволока.

Задание: Выгнуть фигуру, при вращении которой получается усеченный конус; фигуру при вращении которой получается конус, поставленный на цилиндр.

V Решение задач

На этом уроке решаются задачи по темам “Сечения конуса”, “Вписанные, описанные пирамиды ”.

VI Сообщение домашнего задания

VII Самостоятельная работа

В конце урока проводится самостоятельная работа общепринятого характера по теме “Сечения конуса”. В этой работе учащимся предлагается самим решить задачи без помощи учителя.

Радиус основания конуса 6 см (10 см). Через середину высоты проведено сечение параллельно основанию. Найти площадь сечения. Ответ: 9(2).

Радиусы оснований усеченного конуса относятся как 5:3, образующая равна 17 см (10 см), высота - 15 см (8 см). Найти площадь осевого сечения конуса. Ответ: 480 см (192 см).

С целью развития навыков самообразования и самоконтроля учащимся сразу даются ответы к задачам.

VIII Подведение итогов

2.3 Тема: “Шар. Сфера”

На решение задач по теме “Шар. Сфера” отведено 3 часа.

Из них:

“Сечение шара” - 1 час

“Касание шара” - 1 час

“Вписанные, описанные многогранники” - 1 час

Урок 1. Тема “Сечение шара”

Цели урока:

1. Развить пространственное воображение.

2. Проверить знания по теме “Основные элементы шара. Сечение шара”.

3. Научить учащихся применять полученные знания к решению задач.

Ход урока:

I Оргмомент

II Проверка домашнего задания

III Подготовка к решению задач.

Перед тем, как решать задачи, необходимо выяснить как учащиеся усвоили теорию по теме “Шар. Сфера”(определения, основные элементы, сечения). С этой целью проводится викторина. Учитель предлагает ученикам ответить на следующие вопросы:

Что называется шаром?

Что такое сфера?

При вращении какой фигуры получается шар?

Что называется радиусом шара, диаметром шара?

Сделать чертеж шара. Показать на нем основные элементы шара.

Каким свойством обладают все точки поверхности шара?

Найти геометрическое место точек, удаленных от данной точки на расстояние, которое меньше или равно 10 см (шар радиусом 10 см).

Какая фигура является сечением шара плоскостью?

Какая плоскость называется диаметральной плоскостью шара?

Ученики отвечают на вопросы с места, обсуждая каждый вопрос викторины. За более правильный, точный ответ учащиеся получают красный жетон, если же в ответе есть какие-то неточности, то выдается зеленый жетон. В том случае, если ученик дополнял ответы, то ему выдается синий жетон. В конце урока подводится итог. Наиболее активным ученикам выставляются оценки в журнал.

IV Расширение и углубление знаний, умений и навыков учащихся.

Каждому ученику выдается подставка, штырь и проволока, из которой предлагается выгнуть полуокружность с радиусом 15 см.

Закрепив фигуру на штыре они вращают ее вокруг диаметра. Вращая ее так, они получают наглядное представление о сфере.

V Решение задач по теме “Сечения шара”.

В ходе решения задач учащимся предлагается ответить на следующие вопросы:

Сформулируйте теорему Пифагора.

Какая фигура называется кругом. Окружностью.

Чему равна площадь круга?

Какой треугольник называется вписанным в окружность?

Как выражается через стороны треугольника и радиус описанной окружности площадь треугольника? (S=)

Чему равна площадь треугольника по формуле Герона?

(S = , p = )

VI Сообщение домашнего задания.

VII Подведение итогов урока.

Урок 2. Тема “Касания шара”

Цели урока:

1. Развить пространственное воображение.

2. Проверить навыки решения задач по теме “Сечение шара”.

Закрепить знания по теме “Касания шара”.

Совершенствовать навыки решения задач по теме “Шар. Сфера”.

Проверить практическое усвоение материала.

Ход урока:

I Оргмомент

II Проверка домашнего задания

На дом учащимся было задано 4 задачи по теме “Сечение шара”. Для проверки усвоения этой темы, а также правильности выполнения домашнего задания, проводится самостоятельная работа, содержащая такие же задачи, как в домашнем задании.

Приведем один из вариантов.

I Вариант

Задача 1. Сечение шара плоскостью имеет площадь 36(м). Радиус шара 10м. Найти расстояние от центра шара до плоскости сечения.

Дано: шарS(O,OX) S= 36(м) , R = OX = 10 м

Найти: ОО

Решение:

1. Любое сечение шара плоскостью есть круг. S= r 36 = r r= 36 (м)

2. ООХ - прямоугольный

ОО = h , OX = r , OX = R

h= R- r - т. Пифагора

h=100 - 36 =64, h = 8 м

Ответ: h = 8м

Задача 2. На поверхности шара даны три точки, кратчайшее расстояние между которыми равно 6 см. Определить площадь сечения, проходящего через эти точки.

Решение:

1. Пусть А, В, С - три данных точки. Рассмотрим сечение шара плоскостью. Это будет круг, окружность которого описана около АВС; R - радиус окружности, описанной около АВС R =

2. S= p = ; p = = 9(см)

S= = 9 (см)

3. R = = (см)

Любое сечение шара плоскостью - круг

S=R S= = 12(см)

Ответ: S= 12(см)

После того, как ученики сдали листочки с ответами, учитель открывает на доске ответы. Учащиеся проверяют решения в тетрадях друг друга. Все оценки за эту работу выставляются в журнал.

III Практическая работа.

Каждому ученику выдается подставка, штырь и проволока разных цветов.

Задание: Из проволоки разных цветов выгнуть фигуру при вращении которой получится сфера и вписанный в нее цилиндр.

Закрепив фигуру на штыре они вращают ее вокруг оси. Вращая ее так, они получают наглядное представление о вписанном цилиндре.

IV Решение задач по теме “Касательная плоскость к шару”.

В ходе решения задач учащимся задаются следующие вопросы:

Какая плоскость называется касательной к шару?

Сколько общих точек с шаром имеет касательная плоскость?

Какая прямая называется касательной к шару?

Сколько можно провести прямых, касающихся поверхности шара в одной и той же точке? (бесчисленное множество)

Чему равна площадь круга?

V Сообщение домашнего задания

VI Подведение итогов урока

Урок 3. Тема “Вписанные и описанные многогранники”

Цели урока:

Развитие пространственного воображения

Закрепление основных понятий по теме “ Вписанные и описанные многогранники ”

Научить применять полученные знания при решении задач

Проверить практическое усвоение материала

Ход урока:

I Оргмомент

II Проверка домашнего задания

Используется следующая форма проверки домашнего задания - самопроверка по образцу. На доске выписана задача из домашнего задания с решением. Учащиеся проверяют свои решения по образцу.

№ 40 Погорелов

Стороны треугольника 13, 14, 15 см. Найти расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника. Радиус шара 5 см.

Решение:

Рассмотрим треугольник АВС со сторонами 13, 14, 15 см

S= p = ; p = = 21(см)

S== 84 (см)

SАВС = pr , где r - радиус вписанной окружности

S= 21r 84 = 21r r = 4 см

h =R- r - т. Пифагора

h = = 3 (см)

Ответ: h = 3 (см)

Проверка домашнего задания имеет 2 цели:

Проверка правильности выполнения домашнего задания

Подготовка учащихся к самостоятельной работе

III Самостоятельная работа

В учебнике Погорелова [19] есть 2 важные теоремы (сечение шара плоскостью и касательная плоскость к шару), знание которых необходимо проверить. Поэтому в самостоятельную работу включаются эти теоремы, которые ученики должны доказать. Кроме этого в самостоятельную работу включена задача обязательного уровня математической подготовки.

Приведем II вариант самостоятельной работы.

Докажите, что касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.

Стороны треугольника равны 5, 5, 6 см. Найдите расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника. Радиус шара равен (см)

Решение:

Рассмотрим треугольник АВС со сторонами 5, 5, 6 см

S= p = ; p = = 8(см)

S== 12 (см)

SАВС = pr , где r - радиус вписанной окружности

S= 8r (см) 12 = 8r r = 1 см

h =R- r - т. Пифагора R - радиус шара

h = = = 2(см)

Ответ: h = 2 (см)

IV Практическая работа.

Каждому ученику выдается подставка, штырь и проволока разных цветов.

Задание: Из проволоки разных цветов выгнуть фигуру при вращении которой получится сфера и вписанный в нее конус.

Закрепив фигуру на штыре они вращают ее вокруг оси. Вращая ее так, они получают наглядное представление о вписанном конусе.

V Решение задач по теме “Вписанные, описанные многогранники”

VI Сообщение домашнего задания

VII Подведение итогов урока

3. Урок - семинар по теме “Шар. Сфера”

Семинар по теме “Шар. Сфера” предназначен для углубленного изучения материала. Семинар - это активная форма обучения, на нем учащиеся учатся рассуждать, обобщать, отстаивать свою точку зрения, а учитель лишь корректирует их мысли и идеи. К семинару ученики подготавливаются самостоятельно. Один из учеников готовится по литературе предлагаемой учителем, а остальные прорешивают задачи по рекомендуемой литературе. Учитель на данном семинаре только слушает учащихся и исправляет ошибки. Всем учащимся принявшим активное участие в проведении этого урока выставляются оценки. Кроме того в конце урока проводится обучающая самостоятельная работа, оценки за которую выставляются только положительные.

Приведем I вариант этой работы.

1. Даны точки А(-3;1,5;-2) и B(3;-2,5;2). Отрезок АВ является диаметром сферы.

а) запишите уравнение сферы

б) принадлежит ли сфере точка с координатами (;-1,5;3) ,(3;2,5;1)

Ответ: а) x+(y + 0,5)+ z=17

б) да, нет

Доказать, что т.А(4;-2;1) принадлежит сфере x+ y+ z=21

4. Подготовка и проведение зачета по теме “Тела вращения”

В самом начале изучения темы “Тела вращения” учитель сообщает, что в завершении будет проводится зачет. Вопросы к зачету заранее. Всего вопросов 15, из них 5 по теме “Цилиндр”, 5 по теме “Конус” и 5 по теме “Шар. Сфера”. Из числа сильных учащихся выбираются трое помощников учителя, которые будут принимать зачет у остальных учеников класса. Эти помощники заранее сдают учителю зачет, по тем же вопросам. Они же изготавливают карточки с вопросами по числу учащихся в классе, которые будут сдавать зачет.

Вопросы к зачету:

I Ответить на вопросы по теме “Цилиндр”

Определение цилиндра. Чертеж (на карточке сделать чертеж с буквенными изображениями)

По чертежу показать и назвать основные элементы цилиндра

Как получить цилиндр вращением? Сделать чертеж

Сечение цилиндра плоскостями(перечислить, сделать чертеж)

Доказать, что осевое сечение цилиндра есть прямоугольник

II Ответить на вопросы по теме “Конус”

Определение конуса. Чертеж (на карточке сделать чертеж с буквенными изображениями)

По чертежу показать и назвать основные элементы конуса

Как получить конус вращением? Сделать чертеж

Назвать и показать сечение конуса разными плоскостями

Доказать, что сечение усеченного конуса плоскостью, проходящей через 2 его образующие, представляет собой равнобедренную трапецию

III Ответить на вопросы по теме “Шар. Сфера”

Определение шара, сферы. Чертеж (на карточке сделать чертеж с буквенными изображениями)

По чертежу показать и назвать основные элементы шара

Доказать, что пересечение шара плоскостью есть круг

Доказать, что касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания

Уравнение сферы в прямоугольной системе координат

Зачет по теме “Тела вращения”

Урок - “Вертушка”

Цели урока:

проверить знания по данной теме

закрепить основные понятия

развить память, самостоятельность мышления учащихся

Оборудование: карточки с вопросами, зачетный лист учащихся

Подготовка к уроку:

класс разбивается на пятерки; из числа сильных учащихся выбираются трое экспертов

столы ставятся по два, та чтобы за ними могли сидеть по 5 человек

Ход урока:

Эксперты занимают свои места. Затем группы учащихся распределяются за каждый стол. Эксперты раздают каждому учащемуся карточку с вопросами, на которые они письменно отвечают.

После того, как группа ответила первому эксперту, она переходит ко второму, а от него к третьему. На ответы ученикам отводится по 10 минут и 3 минуты эксперты подводят итоги, выставляя оценки в зачетный лист учащегося.



Фамилия	Иванов М. 11А класс	Итоговая оценка
вопросы	Тема цилиндр	Тема конус	Тема шар, сфера
1 вопрос	+	+	+	4
2 вопрос	+	+	+
3 вопрос	+	+	-
4 вопрос	+		+
5 вопрос	+	-	+
Итоговая оценка	5	4-	4

Как только эксперты выставят свои оценки учащимся за каждую тему, учитель собирает зачетные листы и выставляет итоговые оценки за тему “Тела вращения”. На все ответы за столами отводится 40 минут, на подведение итогов и выставление оценок в журнал - 5 минут. Во время игры учитель ходит от стола к столу, делает для себя пометки и выводы.

Во время зачета учащиеся закрепляют основные понятия темы “Тела вращения”, тем самым подготавливают себя к контрольной работе.

5. Контрольная работа по теме “Тела вращения”

Контрольная работа по теме “Тела вращения” проводится после зачета, а так же урока посвященного подготовке к контрольной работе. Контрольная работа проводится в двух вариантах.

Ниже приведем II вариант этой работы.

1 Задание. Образующая конуса равна 18 см. Угол между образующей и плоскостью основания 60. Найти высоту и площадь основания конуса.

Дано: конус, SA=18 см.; SAO = 60

Найти: SO, S

Решение:

SAO - прямоугольный

= sin 60, SO = SA sin 60,

SO = 18 (см)

, АО = SA cos 60, R=AO = 18 = 9 (см)

В основании конуса лежит круг

S=R, S=81(см)

Ответ: SO = (см) ; S=81(см)

2 Задание. Шар радиус которого равен 6 см, пересечен плоскостью. Расстояние от центра шара до этой плоскости 4 см. Найти площадь сечения.

Дано: шарS(O,OX), R=OX=6 см, h =OO= 4см

Найти: S

Решение: 1. OOХ - прямоугольный

r = OX , OХ= OХ- OO- т. Пифагора

OХ= 36 - 16 = 20 (см)

S=r,

так как любое сечение шара плоскостью шара есть круг. S=20(см)

Ответ: S=20(см)

3 Задание. Внутри цилиндра с радиусом основания 4 дм и высотой 6 дм расположен отрезок так, что его концы лежат на окружностях обоих оснований. Найти кратчайшее расстояние отрезка от оси, если его длина 8 дм.

Дано: цилиндр, АВ = 8 дм; ОО = АА = ВВ =6 дм; ОА=ОВ=4 дм

Найти: ОК

Решение:

Прямые АВ и ОО - скрещивающиеся. Расстояние между ними - длина общего перпендикуляра прямых ОО и АВ.

Дополнительное построение - построим через АВ плоскость, параллельную прямой ОО. Искомый перпендикуляр - ОК.

2. ААВ - прямоугольный

АВ=АВ - АА- т. Пифагора.

АВ= 64 - 36 = 28; АВ = 2(дм)

3. АОК - прямоугольный

АК = = = (дм),

так как ОК в АОВ является медианой, биссектрисой, высотой.

ОК = АО- АК- т. Пифагора;

ОК = 16 - 7 =9; ОК = 3(дм)

Ответ: ОК = 3(дм)

Краткие выводы

Задание 1 и 2 контрольной работы соответствуют обязательному уровню математической подготовки. Оценка 5 (отлично) за контрольную работу ставится в том случае, если выполнены все 3 задания без ошибок и помарок. Оценка 4 (хорошо) ставится, если первые два задания выполнены без ошибок, а в третьем есть какая-то ошибка или же оно выполнено не до конца с условием, что в нем нет ошибок. Оценка 3 (удовлетворительно) ставится, если выполнено правильно только 2 задания.

Этот текст контрольной работы проводился как в 11Б (экспериментальный), так и в 11А (уроки велись по обычному плану) классах. Проанализируем результаты выполнения учащимися контрольной работы. Нам необходимо установить общую картину, характеризующую усвоение учащимися изученного материала. Для этого приведем количественный анализ, который представлен в виде таблицы.

Класс	Кол-во учащихся в классе	Кол-во учащихся писавших работу	Отметка	Средний балл
			5	4	3	2	1
11А	20	18	2	6	9	1	-	3.5
11Б	24	20	5	12	3	-	-	4.1

Как видно из таблицы, средний балл в 11Б классе выше, чем в 11А. Из анализа контрольной работы видно, что зачетная система дает положительные результаты.

По результатам контрольной работы, можно сделать вывод, что выдвинутая гипотеза на практике оказывается верной.

Таким образом наша методика оправдала себя на практике, не требует затрат, значительно повышает качество изучаемого материала.

Заключение

Систематический контроль знаний и умений учащихся - одно из основных условий повышения качества обучения. Учитель математики в своей работе должен использовать не только общепринятые формы контроля (самостоятельная и контрольная работы, устный опрос у доски и т.д.), но и систематически изобретать, внедрять свои средства контроля. Умелое владение учителем различными формами контроля знаний и умений способствует повышению заинтересованности учащихся в изучении предмета, предупреждает отставание, обеспечивает активную работу каждого ученика. Контроль для учащихся должен быть обучающим.

В результате проведения нетрадиционных форм контроля знаний и умений раскрываются индивидуальные особенности детей, повышается уровень подготовки к уроку, что позволяет своевременно устранять недостатки и пробелы в знаниях учащихся.

Литература

Амонашвили Ш. А. Обучение. Оценка. Отметки. - М: Знание, 1980.

2. Педагогика: учебное пособие для студентов пед. ин-тов / Под ред. Бабанского Ю.К - М: Просвещение, 1988.

Баймуханов Б. Б. Тематический контроль и учет знаний // Математика в школе, 1989 №5.

Борода Л.Я. Некоторые формы контроля на уроке // Математика в школе, 1988 №4.

Вахламова А. П., Рабунский Е. С. О систематической взаимопроверке знаний учащихся на уроках // Математика в школе, 1979 №1.

Груденов Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики - М: Просвещение, 1990.

Дакацьян У. В. Проверка знаний учащихся по математике - М: Академия педагогических наук РСФСР, 1963.

Денищева Л. О., Кузнецова Л. В., Лурье И.А. и др. Зачеты в системе дифференцированного обучения математики - М: Просвещение, 1993.

9. Зив Б. Г. Задачи к урокам геометрии: 7-11 кл. - М: Русское слово, 1998.

10. Ильина Т. А. Педагогика: курс лекций: учебное пособие для студентов пед. ин-тов.- М: Просвещение, 1984.

11. Калинина М.И. К вопросу о контроле и оценке знаний учащихся/ сб. статей “Организация контроля знаний учащихся в обучении математики”, сост. Борчугова З. Г., Батий Ю. Ю. - М: Просвещение, 1980.

12. Колобова Е. В. Использование зачетной системы для контроля и оценки знаний учащихся // Математика в школе , 1991 №3.

13. Качество знаний учащихся и пути его совершенствования / Под ред. Скаткина М.Н., Краевского М.Н. - М: Педагогика, 1978.

14. О совершенствовании методов обучения математики / Сб. статей сост. Крамор В. С. - М: Просвещение, 1978.

15. МПМ в средней школе. Частная методика / Сост. Мишин В. И. - М: Просвещение, 1987.

16. Литвиненко В. Н. Трафареты для изображения пространственных фигур // Математика в школе, 1990 №2.

17. Петровский Е. И. Проверка и оценка знаний учащихся - М: АПН РСФСР, 1960.

18. Планирование обязательных результатов обучения математике / сост. В. В. Фирсов - М: Просвещение, 1989.

19. Погорелов А.В. Геометрия 7-11 - М: Просвещение, 1991.

20. Программы общеобразовательных учреждений. Математика - М: Просвещение, 1994.

21. Скобелев Г. Н. Контроль на уроках математики - Минск: Народная асвета, 1986.

22. Современные основы школьного курса математики. / Н. Я. Виленкин, К. И. Дудничев, Л. А. Калужнин, А. А. Столяр. - М: Просвещение, 1980.

23. Утеева Р. А. Групповая работа как одна из форм деятельности учащихся на уроке // Математика в школе, 1985 №2.

24. Харламов И. Ф. Педагогика. Курс лекций. - Минск, 1979.

25. Шаталов В. Ф. Куда и как исчезли тройки - М: Педагогика, 1976.