Задача решена. Ответ наглядно представлен в таблице.

3. Прием моделирования с помощью графов

Ситуации, в которых требуется найти соответствие между элементами различных множеств, можно моделировать с помощью графов. В этом случае элементы различных множеств будем обозначать точками, а соответствия между ними - отрезками. Пунктирные линии будут обозначать указанное в задаче отсутствие соотношения.

Задача 7. Три товарища - Иван, Дмитрий и Степан преподают различные предметы (химию, биологию и физику) в школах Москвы, Тулы и Новгорода. О них известно следующее:

Иван работает не в Москве, а Дмитрий - не в Новгороде;

москвич преподает физику;

тот, кто работает в Новгороде, преподает химию;

4) Дмитрий и Степан преподают не биологию;

Какой предмет, и в каком городе преподает каждый?

Решение: В задаче можно выделить три множества: учебных предметов, городов, учителей. Каждое множество содержит по три элемента. Обозначим их точками - вершинами графа (рисунок 1.2)

Рисунок 1.2

В зависимости от условий задачи будем соединять точки отрезками, если имеет место соответствие между данными элементами, или пунктирной линией, если соответствия нет.

Задача сводится к нахождению на графе трех сплошных треугольников с вершинами в разных множествах (на доске и в тетради их можно выделить разными цветами).

Так, используя условие 1), проведем пунктирную линию, соединяющую объекты Иван и Москва, Дмитрий и Новгород.

В соответствии с условием 2) соединим сплошной линией вершины Москва и физика, а условие 3) выразим сплошной линией от точки Новгород до точки химия.

Дмитрий и Степан преподают не биологию, соединим соответствующие вершины пунктирными линиями. Кто же преподает биологию? Если это не Дмитрий и не Степан, то получается, что биологию преподает Иван. Эти объекты соединяет сплошная линия.

Где же живет преподаватель биологии? Известно, что химик живет в Новгороде, а физик в Москве, следовательно, биолог живет в Туле. Обратим внимание на треугольник, образованный вершинами Иван, Тула, биология: в нем есть две сплошные стороны, значит, третью сторону также можно выделить сплошной линией. В самом деле, если Иван преподает биологию, а биолог живет в Туле, то Иван живет в Туле.

Что известно про Дмитрия? Дмитрий не живет в Новгороде (по условию) и не живет в Туле (там живет Иван), значит, Дмитрий живет в Москве - проведем соответствующую сплошную линию. Но москвич преподает физику - эта линия тоже сплошная. В треугольнике с вершинами в точках Дмитрий, Москва и физика две стороны сплошные, следовательно, третью сторону тоже можно выделить сплошной линией.

Что же известно про Степана? Степан не живет в Туле (там живет Иван) и не живет в Москве (там живет Дмитрий), следовательно, Степан живет в Новгороде - проведем сплошную линию. Но тот, кто живет в Новгороде, преподает химию - эта линия тоже сплошная. Так появляется третий треугольник из сплошных линий.

Ответ указан на графе треугольниками.

4. Приемы моделирования с помощью блок-схемы

Анализируемые ситуации полезно делать максимально наглядными. Мы уже показали различные способы наглядности (таблица, граф). Займемся теперь еще одним способом - составлением блок-схемы, где каждый шаг в рассуждении выделен отдельным изображением (прямоугольником).

Задача 8. На некотором острове отдельными селениями живут правдолюбы и шутники. Правдолюбы всегда говорят только правду, а шутники постоянно шутят, а поэтому всегда лгут. Жители одного племени бывают в селении другого, и наоборот. В одно из селений попал путешественник, но не знает, в какое именно. Доказать, что путешественнику достаточно первому встречному задать вопрос: «Вы местный?», чтобы по ответу определить, в селении какого племени он находится.

Решение: Путешественник может попасть или в селение «правдолюбов», или в селение «шутников» - появляются два различных варианта. В селении «правдолюбов» путешественник может встретить как «правдолюба», так и «шутника». Аналогично, в селении «шутников» путешественник может встретить как «шутника», так и «правдолюба». Возможных вариантов стало уже четыре (рисунок 1.3).

Рисунок 1.3

Блок-схема позволяет их представить наглядно и заметить, что положительный ответ в любом случае возможен только в селении «правдолюбов», а ответ «нет» - только в селении «шутников».

2 ПОВТОРЕНИЕ, ЕГО ВИДЫ И СПОСОБЫ РЕАЛИЗАЦИИ В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ

2.1 Виды повторения

В процессе обучения повторению изученного материала отводится важное место. Правильно организованное повторение - один из факторов, способствующий интеллектуальному развитию каждого ученика, достижению им глубоких и прочных знаний. Без прочного сохранения приобретенных знаний, без умения воспроизвести пройденный материал в необходимый момент изучение нового материала всегда сопряжено с большими трудностями и не дает надлежащего эффекта. Ранее пройденный материал должен служить фундаментом, на который опирается изучение нового материала; последний, в свою очередь, должен обогащать и расширять уже изученные понятия. Таким образом, цель повторения - установить логические связи между вновь изучаемым и ранее изученным материалом; обогатить память; расширить кругозор; привести знания в систему; самоорганизовать ученика [10].

Необходимость повторения обусловливается задачами прочного усвоения учащимися изучаемого материала, особенностями развития памяти обучающихся, обладающей свойством не только запоминания, но и забывания, закономерностями образования умений и навыков, требующих многократного повторения. «Лучшие из дидактов, - писал К.Д. Ушинский, - только и делают, что повторяют, а между тем быстро идут вперед». Хорошо поставленное повторение не заменяет прохождение предмета, а ускоряет его. Повторение вместе с тем способствует наиболее сознательному и активному усвоению знаний. В процессе повторения учащиеся не только воспроизводят в памяти известный им материал, но и осмысливают факты, вскрывают новые стороны изучаемых явлений, уточняют понятия, углубляют выводы; они не просто вспоминают пройденный материал, но делают сравнения нового со старым, самостоятельно придумывают примеры, решают новые задачи и т.д. [11].

Повторение протекает в различных сочетаниях с другими частями урока. Ознакомление учащихся с новым материалом начинается с установления логической связи с ранее пройденным. В процессе изучения и закрепления нового материала учителя и учащиеся опираются на пройденное, делают на него ссылки, проводят сравнения. При выполнении различных практических работ и упражнений ранее пройденный материал органически объединяется с новым.

Материалы для повторения позволят учителю организовать повторение как при актуализации знании - на этапе подготовки к изучению нового материала, так и при формировании новых понятий, закреплении изученного ранее, организации самостоятельных работ различных видов, при проверке.

И, что особенно важно, старые знания включаются в новые связи, одни и те же законы операций рассматриваются на разных числовых множествах.

Повторение учебного материала требует от учителя творческой работы. Он должен обеспечить четкую связь между видами повторения, осуществить глубоко продуманную систему повторения. Овладеть искусством организации повторения - такова задача учителя, от её решения во многом зависит прочность знаний учащихся.

Без прочного сохранения приобретенных знаний, без умения воспроизвести в необходимый момент, ранее пройденный материал, изучение нового материала всегда будет сопряжено с большими трудностями и не дает надлежащего эффекта.

«Обучение нельзя довести до основательности без возможно более частых и особенно искусно поставленных повторений и упражнений», - говорил Я.А. Коменский.

Изучать предмет, не повторяя повседневно на каждом уроке ранее пройденный материал, это значит - передать, пересказать учащимся определенную сумму различных законов, теорем, формул и т.п., совершенно не заботясь о том, насколько прочно и сознательно освоили наши питомцы; это значит не дать детям глубоких и прочных знаний. Работать так, это, по меткому выражению К.Д. Ушинского, уподобится «пьяной вознице с дурно увязанной кладью: он все гонит вперед, не оглядываясь назад, и привозит домой пустую телегу, хвастаясь только тем, что сделал большую дорогу».

Повторение пройденного материала должно стать необходимым элементом и органической и неотъемлемой частью каждого урока [10, 12].

В связи с этим мы различаем следующие виды повторения ранее пройденного материала:

1) Повторение пройденного в начале года

При повторении в начале учебного года на первый план должно выдвигаться повторение тем, имеющих прямую связь с новым учебным материалом. Новые знания, приобретаемые на уроке, должны опираться на прочный фундамент уже усвоенных.

При повторении в начале года необходимо наряду с повторением тем, тесно связанных с новым материалом, повторить и другие разделы, которые пока не примыкают к вновь изучаемому материалу. Здесь необходимо сочетать обе задачи: провести общее повторение в порядке обзора основных вопросов из материала прошлых лет и более глубоко повторить вопросы, непосредственно связанные с очередным материалом по программе учебного года.

Само повторение следует проводить как в классе, так и дома. При решении вопроса, какой материал должен быть повторен в классе и какой оставлен учащимся для самостоятельного повторения дома, нужно исходить из особенности материала. Наиболее трудный материал повторили в классе, а менее трудный дали на дом для самостоятельной работы.

2) Текущее повторение пройденного

Текущее повторение в процессе изучения нового материала - весьма важный момент в системе повторения. Оно помогает устанавливать органическую связь между новым материалом и ранее пройденным.

Текущее повторение может осуществляться в связи с изучением нового материала. В этом случае повторяется материал, естественно увязывающийся с новым материалом. Повторение здесь входит составной и неотъемлемой частью во вновь изучаемый материал.

Под руководством учителя ученики на уроке воспроизводят ранее изученный ими необходимый материал. В результате этого доказательство новой теоремы воспринимается учащимися легко, а дальнейшая работа учителя - воспроизведение доказанного и упражнения, обеспечивающие вторичное осмысление теоремы и её закрепление.

Во втором случае все связи с новым материалом, когда повторяемый материал не находит естественной увязки с новым и его приходится повторять на специальных уроках.

При текущем повторении вопросы и упражнения могут быть предложены учащимся из различных разделов программы.

Текущее повторение осуществляется в процессе разбора упражнений, включается в домашнее задание. Оно может быть проведено как в начале или в конце урока, так и во время опроса учащихся.

Текущее повторение дополняется сопутствующим повторением, которое нельзя строго планировать на большой период.

Сопутствующее повторение не вносится в календарные планы, для него не выделяется специальное время, но оно является органической частью каждого урока. Сопутствующее повторение зависит от материала, привлекаемого для изучения очередного вопроса, от возможности установить связи между новым и старым, от состояния знаний учащихся в данный момент. Успех сопутствующего повторения в значительной степени обусловливается опытом и находчивостью учителя. Сопутствующим повторением учитель по ходу работы устраняет неточности в знаниях, напоминает вкратце давно пройденное, указывает их связь с новым.

3) Тематическое повторение

В процессе работы над материалом особенно большое значение приобретает повторение каждой законченной темы или целого раздела курса.

При тематическом повторении систематизируются знания учащихся по теме на завершающем этапе его прохождения или после некоторого перерыва. Для тематического повторения выделяются специальные уроки, на которых концентрируется и обобщается материал одной какой-нибудь темы.

В процессе работы над темой вопросы, предлагаемые учащимся по каждому разделу, следует вновь пересмотреть; оставить наиболее существенные и отбросить более мелкие. Обобщающий характер вопросов при тематическом повторении отображается и на их количестве. Учителю приходится основной материал темы охватить в меньшем числе вопросов.

Повторение на уроке проводится путём беседы с широким вовлечением учащихся в эту беседу. После этого учащиеся получают задание повторить определённую тему и предупреждаются, что будет проведена контрольная работа.

Контрольная работа по теме должна включать все ее основные вопросы. После выполнения контрольной работы проводится разбор характерных ошибок и организуется повторение для их устранения.

При тематическом повторении полезно составить вопросник, а затем логический план по теме и завершить работу составлением итоговых схем. Таблица или схема экономно и наглядно показывает общее для понятий, входящих в данную тему, их взаимосвязь в логической последовательности.

Процесс составления таблиц в одних случаях, подбор и запись примеров после анализа готовой таблицы в других случаях является одновременно и формами письменных упражнений при обобщающем и систематизирующем повторении. Последовательное изучение различных особых случаев при повторении весьма полезно закончить их классификацией, что поможет учащимся яснее различить отдельные случаи и группировать их по определенному признаку.

4) Заключительное повторение

Повторение, проводящееся на завершающем этапе изучения основных вопросов курса математики и осуществляемое в логической связи с изучением учебного материала по данному разделу или курсу в целом, будем называть заключительным повторением.

Цели тематического повторения и заключительного повторения аналогичны, материал повторения (отбор существенного) весьма близок, а приемы повторения в ряде случаев совпадают.

Заключительное повторение учебного материала преследует цели:

1) Обозрение основных понятий, ведущих идей курса соответствующего учебного предмета; напоминания в возможно крупных чертах пройденного пути, эволюции понятий, их развития, их теоретических и практических приложений.

2) Углубления и по возможности расширения знаний учащихся по основным вопросам курса в процессе повторения.

3) Некоторой перестройки и иного подхода к ранее изученному материалу, присоединения к повторному материалу новых знаний, допускаемых программой с целью его углубления.

Заключительное повторение включает в себя и обобщающее, которое проводится в конце изучения курса или учебного года. Некоторые преподаватели сводят его исключительно к воспроизведению пройденного программного материала в памяти учащихся. Обобщающее повторение - это не простой пересказ ранее изученного. Необходимо ставить такие вопросы, которые заставили бы учащихся мыслить, делать анализ и обобщения, работать с книгой и справочной литературой. Если учащиеся готовятся к экзаменам, не следует их ограничивать повторением по билетам, что в конечном итоге приводит к бессистемности и шаблонным ответам. Только разумно и правильно организованное повторение в период подготовки к экзаменам будет способствовать систематизации и углублению знаний учащихся, большему осмыслению теоретических и практических вопросов [13].

2.1.1 Обобщающее повторение

Урокам обобщения в планировании учебного материала уделяется мало внимания. Однако такие уроки очень важны, особенно в старших классах. Поэтому остановимся более подробно на этом виде повторения.

На обобщающих уроках завершается процесс выявления сущности основных понятия, закономерностей, практического их применения. На обобщающем уроке имеется возможность выявить степень усвоения материала учащимися, а сами ученики при подготовке к этому уроку имеют возможность расширить и углубить знания по научаемой теме. Эти уроки позволяют восполнить знания у тех ребят, которые по каким-либо причинам пропустили занятия.

На повторительно-обобщающих уроках выделяют наиболее общие и существенные понятия, законы, основные теории и ведущие идеи изученной темы, устанавливают причинно-следственные связи, приводят в систему усвоенные на уроках знания. Все идеи обобщения учителю необходимо свести в единую систему, чтобы она как система представляла собой действенное знание, которое учениками должно быть, признано как необходимое и значимое.

К урокам обобщающего повторения следует готовить учащихся постепенно. Вырабатывать у них умение обобщать различные факты и положения по тексту учебника, по рассказам учителя, по прочитанной дополнительной литературе; развивать умения находить главное и существенное в тексте, научить ориентироваться в содержания разделов программы, формулировках, научить применению знаний из других предметов, если учитель не уверен, что дети могут правильно разобраться в тексте учебника, надо проверять, как они поняли задание, как намерены решать задачи или примеры, и, может быть, рассказать, в какой последовательности следует работать, выделяя существенный и важный материал, который надо повторить при подготовке к уроку.

Каждое последующее обращение к изученному материалу способствует лучшему его пониманию, восполняет различные частности, отдельные детали, которые были пропущены при изучения нового.

Следует отметить, каким бы полным ни было объяснение учителя, почти всегда из поля зрения может уйти какой-нибудь факт, деталь, пример, использование которых на обобщающем уроке еще более укрепило бы в памяти учащихся весь изученный материал. Обобщающий урок - это заключительный этап прочного усвоения темы.

Задача обобщения - не пересказывать учебник, а подвести учащихся к тому, чтобы они могли оперативно использовать изученный материал при дальнейшем изучении материала.

Необходимо, чтобы факты, законы, положения стали достоянием ученика как инструмент к дальнейшему познанию.

Обобщающий урок поможет учащимся привести в систему изученные методы и приемы решения задач, покажет прикладную направленность научаемой темы, учителю еще раз представится возможность удостовериться в степени прочности знаний, умений и навыков по данной теме.

Можно к обобщающему уроку дать конкретные задания некоторым учащимся. Например, приготовить небольшой доклад (сообщение) по истории развития данной темы, подобрать 2-3 задания, в решении которых используются приёмы, требующие особо прочного усвоения материала. Учитель должен подготовить самостоятельную работу, которую предложит учащимся на уроке, чтобы окончательно убедится в сформированности знаний, умений и навыков по данной теме [14, 15].

2.1.2 Методические рекомендации к проведению обобщающего повторения

Актуальность проблемы обобщающего повторения в процессе обучения вытекает из ряда причин. Прежде всего, будущий учитель должен владеть не просто определенной суммой знаний, а системой основ поучительных знаний. При этом следует иметь в виду, что в современных условиях важными компонентами содержания образования являются овладение учащимися приемов умственной деятельности и умениями самообразования.

Необходимые подходы к изысканию средств разрешения поставленной проблемы дают исследования психологов о характере умственной деятельности обучающегося, протекающим в виде обобщения ассоциаций путем включения их в связи более высокого порядка.

Так, например, Л.С. Выготский раскрыл иерархию обобщений, согласно которой каждая новая ступень в развитии опирается на суммирование предыдущих ступеней. Новая ступень развития возникает как общение общений. Положение Л.С. Выготского о постоянно-усложняющейся системе обобщений находит дальнейшее развитие в работах С.Ю.Самарина о системе ассоциаций, в которых показан системный характер разных уровней умственной деятельности обучающегося /16/.

Необходимость обобщения и систематизации заложено в самой природе мышления и обусловлена объективными законами психологии и физиологии. Поэтому будущий учитель должен усвоить то, что успешное проведение почти каждого урока математики требует творческой работы учителя и ученика по установлению связи между новым и ранее изученным учебным материалом. Полезно раскрывать перед учениками возможность эффективной реализации обобщающего повторения в обучающей деятельности учителя и учебно-познавательной деятельности ученика. Совместно с учениками «разрабатывать» возможную систему средств и методов реализации обобщающего повторения на всех этапах обучения.

Следует отметить, что, учитывая системный характер разных уровней умственной деятельности обучаемого, разнофункциональность процесса повторения в его единстве с содержанием знаний и конкретных дидактических задач учебного процесса, мы выделяем два вида повторения - фиксирующее и обобщающее, первый относим к процессу усвоения (запоминания наизусть), второй - и к обучению и к усвоению.

Обобщающим повторением в процессе обучения является ранее изученный учебный материал, воспроизводящий наиболее существенные факты, понятия - элементы знаний и умений, причём устанавливаются логические связи между ними, прослеживается их возникновение и развитие. Это переосмысливается в целом, под углом зрения более полных и новых знаний, что приводит к упрочению усвоенного, выстраиванию знаний в структурную систему, обусловленную основной идеей повторяемого материала.

Новый этап развития школы, появившийся в последние годы, позволяет рассчитывать на повышение эффективности обучения учеников и на повышение качества их подготовки в процессе обучения. Полагаем, что одним из средств разрешения такой задачи является организация обобщающего повторения на всех этапах обучения.

Уточнена модель обучающей деятельности преподавателя и учебно-познавательного труда учеников в процессе реализации всей системы повторительно-обобщающих занятий, проводимых в начале учебного года и в ходе изучения курса.

К основным компонентам первой модели относятся:

- конструирование (отбор и распределение) системы ведущих понятий (элементов) повторяемой порции ранее изученного учебного материала;

- организация эффективной, творческой самостоятельной деятельности учеников.

Основными компонентами второй модели считаются:

- самостоятельное обобщающее повторение изученного учебного материала через выделенный учителем круг вопросов, указаний и выполнение системы упражнений индивидуализированного характера;

- выполнение определенных заданий по составлению и изготовлению систематизированных опорных конспектов, таблиц-схем - структурных предметно-знаковых моделей повторяемого учебного материала на уровне его обобщения и систематизации.

Определяя, какой должна быть структура учебного материала, выносимого для обобщающего повторения, предлагаем руководствоваться некоторыми принципами, например, такими:

- содержание учебного материала должно соответствовать стабильной части программы курса;

- повторительно-обобщающие занятия в начале учебного года проводить в русле основных содержательно-методических линий курса.

Система упражнений, предлагаемая ученикам для самостоятельной работы в классе и дома как одно из средств реализации обобщающего повторения, должна раскрывать структуру его содержания, носить индивидуализированный и творческий характер. Причем задания должны быть экономными по структуре, емкими по содержанию и требующими минимума затрат учебного времени на их предъявление, организацию выполнения, контроля и самоконтроля.

Входя в учебную деятельность ученика, направленную на преобразованное усвоение ранее изученного учебного материала, такие предметно-знаковые модели становятся ориентиром умственной деятельности ученика на уровне внутрисистемных ассоциаций. Составление и изготовление таких опор подчиняем трем основным требованиям, включающим: синтактику, выражающую взаимосвязь элементов, знаний и умений, в основном через определенные знаки; семантику, раскрывающую основной смысл повторяемого и прагматику, обеспечивающую восприятие повторяемой порции учебного материала как на словесно-логическом, так и на образном уровне.

Выделенные основные содержательно-методических линий обеспечит системность, оперативность знаний у учеников, обеспечит формирование такого качества знаний и умений, как целостность.

В силу значимости задач организации: обобщающего повторения в самом начале учебного года и ограниченности на то учебного времени разработан и осуществляется такой методический прием: на первой занятии учитель сам осуществляет обзор знаний и умений.

На втором повторительно-обобщающем занятии осуществляется контроль и анализ проведенной учениками самостоятельной работы, актуализация обобщенных, систематизированных знаний и умений курса. На самостоятельную домашнюю работу предлагаются составление четырех опор и решение системы упражнений, составленной учениками.

С помощью учителя ученики работают на более широкой теоретической и практической основе, результаты работы отражаются в их «опорах». Отмечается повышенная активизация самостоятельной работы учеников, создаются желаемые условия их профессионально - методические модели от последних, не только по форме, но и по содержанию.

Таким образом, динамичность построенной системы самостоятельной работы в период обобщающего повторения курса математики способствует динамичности умственной деятельности учеников выражающая в способности включать известные им понятия, факты - элементы знаний и умений, навыки в новые, более глубокие и широкие связи и отношения, причем эти включения происходят не спонтанно, а целенаправленно, по нужному руслу, что способствует повышению качества знаний и умений.

2.2 Требования к повторению

2.2.1 Требования к организации повторения

Большую и серьезную ошибку допускает тот учитель, который побуждает ученика повторять материал в том порядке, в котором он изучался. Повторение в этом случае сводится и механическому воспроизведению в памяти пройденного материала.

К.Д.Ушинский воспитывал против механического повторения. «Нет никакой надобности повторять выученное в том порядке, в каком оно было пройдено, а напротив, ещё полезнее повторения случайные, сводящие выученное в новые комбинации», - говорил он.

Особое значение при повторении приобретают вопросы: Когда повторять? Что надо повторять? Как повторять?

При планировании повторения необходимо отобрать материал, установить последовательность и время повторения, распределить отобранный материал по урокам, установить формы и методы для осуществления повторения, разумеется, надо учитывать и свойство памяти.

Основные требования к организации повторения должны исходить из целей повторения, специфики как учебного предмета и методов.

Первое требование к организации повторения, исходящее из его целей, это определение времени: когда повторять? Оно должно осуществляться по принципу: «Учить новое, повторяя, и повторять, изучая новое» (В. П. Вахтеров).

Это не означает, однако, что нельзя специально отводить уроки для повторения, скажем, для таких вопросов программы, которые трудно увязать с текущим материалом.

План повторения и выбор тем для повторения учитель должен составлять в каждом отдельном случае на основании общих теоретических соображений с учетом того, как усвоен учащимся материал соответствующих разделов.

К сказанному добавим еще то, что специфика урока в связи с переходом учащихся из одного класса в другой значительно меняется. В старших классах существенно перестраивается закрепление и повторение учебного материала. Увеличивается объем фактического материалами, выносимого на закрепление и повторение; поурочное закрепление в ряде случаев переходит и тематическое или перерастает в обобщающее повторение, увеличивается доля самостоятельности учащихся при закреплении и повторении.

Второе требование к организации повторения должно отвечать на вопрос: что повторять? Исходя из высказываний классиков педагогики, можно выдвинуть следующие положения при отборе учебного материала:

1) Не следует повторять все ранее пройденное. Нужно выбрать для повторения наиболее важные вопросы и понятия, вокруг которых группируется учебный материал.

2) Выделять для повторения такие темы и вопросы, которые по трудности своей недостаточно прочно усваиваются.

3) Выделять для повторения надо то, что необходимо обобщить, углубить и систематизировать.

4) Не следует повторять все в одинаковой степени. Повторять основательно надо главное и трудное. При отборе материала для повторения необходимо учитывать степень его связи с вновь изучаемым материалом.

Третье требование к организации повторения должно отвечать на вопрос, как повторять? Необходимо осветить те приемы, с помощью которых должно осуществляться повторение.

При повторении необходимо применять различные приемы и методы, сделать повторение интересным путём внесения, как в повторяемый материал, так и в методы изучения некоторых элементов новизны. Только разнообразие методов повторения может устранить то противоречие, которое возникает ввиду отсутствия желания у части учащихся повторять то, что ими усвоено однажды.

Из требований вытекают следующие условия организации повторения:

1) Изучение материала не может стоять на одном уровне, а знания учащихся не будут достаточно полными и прочными, если в работе учителя отсутствует система повторительно-обобщающих уроков.

Это объясняется психологическими особенностями процесса познания и свойств памяти. Только постоянное в определенной системе осуществляемое включение новых знаний в систему прежних знаний может обеспечить достаточно высокое качество усвоения предмета. Только через повторение можно приходить к логическим выводам. Без повторения невозможно, раскрыть сущность вещей и явлений, их развитие. Не даром говорят: «Повторение - мать учения».

2) Повторение изученного материала необходимо как для учащихся с целью углубления, упрочнения и систематизации своих знания, так и для самого учителя в четности совершенствование методов в обучения и поднятия эффективности своей работы.

3) Повторение должно систематически проводиться на уроках, органически сочетаясь с основным содержанием урока.

При сообщении нового материала одновременно надо повторять ранее изучаемый материал. Учащиеся должны чувствовать потребность к повторению. Это достигается тем, что при изучении нового материала учитель сравнивает его, сопоставляет со старым, устанавливает аналогии между ними, проводит обобщение, углубление и систематизацию.

4) Перед началом учебного года или четверти необходимо тщательно спланировать материал для повторения, указать виды повторения, через которое оно может проводиться, т.е. устанавливается, какой материал будет проводиться параллельно с изучением новой темы, а какой на специально отведенных уроках повторения.

5) Необходимо систематически практиковать уроки повторения, на которых устанавливаются более широкие логические связи между темами и разделами, подчеркиваются те основные и ведущие идеи, которые лежат в основе данной учебной дисциплины.

6) Для повышения интереса и активности, учащихся при повторении необходимо применять различные приемы и методы работы, разнообразить повторяемый материал, старый материал рассмотреть с новых точек зрения, устанавливать все новые и новые логические связи, стимулировать самостоятельную работу учащихся.

Только таким путём можно устранить то противоречие, которое возникает, с одной стороны, ввиду отсутствия желания у части учащихся повторять то, что ими усвоено однажды, а с другой в силу необходимости повторять с целью углубления, обобщения и систематизации ранее изученного материала.

7) Необходима хорошо продуманная теоретическая и практически обоснованная система повторения, которая должна обеспечить высокое качество и прочность знаний учащихся. Только в этом случае преподаватель достигает тех целей, которые он преследует повторением.

8) Необходимо тщательно проанализировать теорию и практику повторения с целью установления положительных и отрицательных сторон работы школ при повторении.

Ранее пройденный материал должен служить фундаментом, на который опирается изучение нового материала, который в свою очередь, должен обогащать и расширять ранее изученные понятия. «Старое должно подпирать новое, а новое обогащать старое» [17, 18].

Правильно организованное повторение помогает ученику увидеть в старом нечто новое; помогает установить логические связи между вновь изучаемым материалом и ранее изученным; обогащает память ученика; расширяет его кругозор; приводит знания ученика в систему; дисциплинирует ученика; приучает в нем уменье находить необходимого для ответа на поставленный вопрос материал; воспитывает в ученике чувство ответственности.

2.2.2 Принцип непрерывного повторения

В однотипную систему упражнений по новой теме с первого момента ее изучения включаются задачи из предшествующих разделов. При этом одновременно осуществляется систематическое, непрерывное повторение изученного материала. Обозначим условно такую систему в виде Т₁,Т₂,Т_3,М₁,М₂,Т₄,Т₅,М₃,Т₆,Т₇,Т₈,К₁,Т₉, где Т₁,Т₂,Т₃ ,- задачи одного типа по новой теме; М_1, М₂,..., К₁,К₂...- задачи других типов из пройденных тем.

О непрерывном повторении писал еще К. Д. Ушинский, но, не касаясь вопросов построения системы упражнений. В виде предлагаемой схемы (1) принцип непрерывного повторения использовался отдельными учителями до его упоминания в методической литературе. В 70-е гг. принцип непрерывного повторения стал использоваться в школьных учебниках. В настоящее время некоторые методисты выступают против данного принципа, другие понимают его различным образом: одни рекомендуют сначала давать минимум упражнений по новой теме, а остальные предлагать на последующих уроках, а вторые подчеркивают, что сначала надо давать большую часть упражнений по новой теме. При этом все авторы, высказывающие противоположные суждения, ссылаются на педагогический опыт и не оговаривают условия, при которых более удобна именно их точка зрения. Чтобы объективно разобраться в этих противоречивых суждениях, рассмотрим данный вопрос на основе системы закономерностей.

В предложенной системе (1) существенно то, что упражнения одного типа группируются подряд по два-три, изредка - по четыре. Целесообразность именно такой группировки следует из системы закономерностей.

Ошибки анализируются, и уверенность учащихся в безошибочности своих действий уменьшается. Поэтому учащиеся в большей мере начинают вдумываться в решения следующих одной - двух задач. Если ошибка не допускается, то все равно активность мыслительной деятельности учащихся возрастает. Если способ решения задачи M₁ некоторые учащиеся забыли, то для восстановления навыков учитель сразу предлагает задачу М₂, в противном случае эта задача опускается, так как главная цель урока - изучение новой темы.

Мы показали, что однотипная система упражнений ослабляет внимание некоторых учащихся. Система (1), наоборот, позволяет в большей мере концентрировать внимание всех учащихся. Покажем это на примере устных упражнений. Для объяснения решения 1-й задачи (T₁) приходится обычно вызывать учащихся по желанию. Слабоуспевающие только слушают; если они по опыту знают, что следующая задача будет такого же типа, что для ее решения могут быть вызваны и те, кто руки не поднимает, то они ожидают вызова. Ожидание, вызывает у них внимание к следующей задаче. Так как она аналогична предшествующей, то эти учащиеся успевают решить ее самостоятельно. В результате у них углубляется понимание материала, возникает уверенность, укрепляются навыки. Следовательно, к 3-й задаче такого же типа у них еще более усиливается внимание.

У хорошо успевающих учащихся внимание к 3-й задаче, наоборот, ослабляется. Чтобы у них восстановился интерес к работе, учитель следующую задачу дает другого типа. В такие моменты на уроках наблюдается любопытный факт. К 4-й задаче другого типа приковывается внимание также и слабоуспевающих школьников. Это можно объяснить тем, что у них в результате самостоятельного решения 2-й и 3-й задач возникает удовлетворенность своим успехом. Положительные эмоции, вызывают, и некоторое время поддерживают их внимание к 4-й задаче. По аналогии они ожидают, что и эту задачу смогут решить, как и две предыдущие. Эта уверенность может оказаться неоправданной, но вместе с другими условиями она позволяет сохранить внимание учащихся к 4-й задаче. Можно показать, что и после обдумывания решения задачи эти учащиеся продолжают сосредоточенно участвовать в обсуждении решения.

Из приведенных рассуждений вытекают следующие условия применимости принципа непрерывного повторения:

Последовательность упражнений в системе (1) определяется не столько автором задачника, сколько учителем. Только он может, учитывая уровень знаний и развития своих учащихся, при подготовке и по ходу урока изменять число задач одного типа, следующих друг за другом.

Основная цель урока - изучение новой темы. Поэтому большинство задач в системе (1) должно быть по новой теме.

Главная цель использования принципа непрерывного повторения - устранение отрицательного влияния закономерностей Шеварева. Отсюда вывод: из пройденных тем желательно подбирать такие упражнения, которые по отдельным внешним признакам сходны с упражнениями новой темы.

Когда решаются комбинированные задачи, насыщенные разнообразным материалом из предшествующих разделов, принцип непрерывного повторения осуществляется сам собой. Однако когда удается решать подряд много комбинированных задач, то необходимость чередования задач различных типов ощущается особенно остро.

При использовании принципа непрерывного повторения общее число упражнений того или иного типа фактически не уменьшается в сравнении с однотипной системой. Только упражнения этого типа рассредоточиваются на более длительное время /19/.

2.3 Методы, приемы и формы повторения

Примерно до 50-х гг. в психологической и педагогической литературе считали, что склонность учащихся к механическому запоминанию - возрастная особенность. Такая точка зрения приводила к тому, что многие учителя мирились с фактами механического заучивания как с неизбежным злом. А. А. Смирнов и П. И. Зинченко экспериментально опровергли это мнение. Они показали, что тенденция к механическому заучиванию является лишь результатом недостаточного руководства развитием памяти ученика. К механическому заучиванию ученика побуждают не возрастные особенности, а трудности, которые возникают перед ним при попытке понять материал. Когда понимание сразу не достигается, а помощь со стороны отсутствует и задание выполнить все равно надо, школьник становится на путь механического заучивания. Если трудности понимания часты, школьник много раз обращается к механическому заучиванию, и у него вырабатывается привычка: не делать, попыток понять материал, а сразу учить, не вникая в смысл /20/.

Чтобы изжить тенденцию учащихся к механическому заучиванию, необходимо научить их пользоваться приемами логического запоминания.

2.3.1 Формирование умений и навыков применения приемов мыслительной деятельности

Одна из главнейших задач учителя сводится к тому, чтобы учащиеся

1) овладели разнообразными приемами мыслительной деятельности;

2) научились в зависимости от содержания материала выбирать приемы, наиболее удобные для данного, конкретного материала.

Реализация этой концепции приводит к тому, что усилия учителя направляются на развитие учащихся, на овладение ими определенными приемами мыслительной деятельности. Применяя эти приемы, учащиеся активно мыслят, что приводит к углубленному пониманию изучаемого материала и к его запоминанию. В зависимости от содержания материала удобно использовать тот или иной прием мыслительной деятельности. Рассмотрим примеры.

Учитель постоянно напоминает, что, прочитав в книге или услышав на уроке при объяснении учителя, при ответе ученика какое-либо утверждение, полезно проверить, действительно ли оно справедливо, поставив перед собой вопросы: почему? На каком основании? (Прием соотнесения). Он широко используется многими учителями. Ссылки на определения, теоремы, аксиомы - все это углубляет понимание изучаемого материала и, следовательно, облегчает запоминание. Однако далеко не все учителя достаточно часто используют прием соотнесения. Выслушав доказательство теоремы, учителя не всегда задают вопросы, выясняющие понимание. А это приводит к тому, что при чтении учебной литературы, при опросе и объяснении нового материала учащиеся не используют рассматриваемый прием запоминания, не ставят никаких вопросов.

Учащимся говорят, что преобразования, приведенные в книге, полезно воспроизводить, по возможности видоизменяя их (приемы воспроизведения и реконструкции). Реконструкция также широко используется при изучении материала. Например, знакомясь с теоремой, мы конкретизируем и детализируем ее доказательство, особенно те положения, которые даются как очевидные, а для нас они не вполне очевидны. Нередко мы стараемся найти другое доказательство теоремы, изложить материал по-своему, а затем сопоставляем найденный вариант с изучаемым материалом и тем самым добиваемся лучшего понимания.

Чтобы реконструировать и притом не исказить изучаемый материал, учащийся должен хорошо понять его. А для этого он должен выполнить активную мыслительную деятельность. Следовательно, пользуясь приемом реконструкции, учащийся успешно усваивает изучаемый материал, а главное, избавляется от тенденции к буквальному запоминанию, зубрежке. Чтобы совершенно изжить эту тенденцию, учителю желательно изживать такие случаи, когда учащиеся воспроизводят изученный материал в неизменном виде. Доказательство теорем, выводы формул они должны излагать, как правило, по измененному чертежу и с другими буквенными обозначениями, чем в учебнике или в конспекте. Желательно поощрять всякую попытку учащегося изложить по-своему хотя бы какую-то часть материала. Если учащиеся воспроизводят определения, теоремы, законы и т.д., то желательно, чтобы формулировки они сопровождали своими примерами и контрпримерами. Поощряя также попытки учащихся формулировать определения, аксиомы и т. д. своими словами, следует при этом тщательно анализировать случаи искажения формулировок: не просто отвергать неправильную формулировку, а добиваться с помощью контрпримеров, чтобы весь класс понял сущность допущенной ошибки.

Учащихся приучают везде, где это возможно, сопоставлять изучаемый материал с прежними знаниями, устанавливая сходство и различие (прием сравнения). Например, для лучшего запоминания формул учащимся даются следующие рекомендации:

1) их лучше запоминать не по одной, а группами, отмечая сходство и различия между ними;

2) желательно запоминать их вывод и те преобразования, которые помогают восстановить связь, данной формулы с другими;

3) в процессе решения задач полезно воспроизводить словесные формулировки формул.

Учитель постоянно требует при воспроизведении изучаемого материала приводить свои примеры и контрпримеры (прием конкретизации).

Чтобы учащиеся действительно выполняли перечисленные рекомендации, чтобы целенаправленно управлять их мыслительной деятельностью, целесообразно руководствоваться дидактическим правилом: сначала учитель ставит конкретное задание, направляющее усилия учащихся на использование определенных мыслительных процессов, а затем предлагает читать тот или иной абзац учебника, слушать объяснение.

Перечисленные приемы мыслительной деятельности соотносятся с педагогическими приемами, которые используются при повторении, такие как:

Составление алгоритма

Для повторения методов решения задач, выполнения действий и операций полезно использовать прием составления алгоритма.

Алгоритм оформляется следующим образом:

- словесно;

- блок-схемой;

- иллюстрацией;

- образцом решения.

Многие учителя обучение решению задач понимают как выработку навыков операционного этапа, которую строят по алгоритмам, по образцам.

Сначала этот образец или алгоритм дается учителем как нечто готовое, затем таким образцом служит ранее решенная задача, алгоритм или решение подобной задачи, представленные на дидактической карточке и т.п. Не отметая полезности таких приемов в принципе, следует, однако, признать, что они сводят ученика до положения биоробота. Мыслительные операции ученика сводятся к тому, чтобы проанализировать условие задачи, выбрать один из знакомых алгоритмов и выполнить предписанный набор действий. Практически выпадает то, что собственно и отличает человека от компьютера: умение самостоятельно составить план, алгоритм, программу своей деятельности.

Составление плана

Использование приема составление плана включает в себя следующие этапы:

- анализ ситуации;

- планирование;

- выполнение намеченного плана;

- осмысление результата, коррекция или переход к следующему витку деятельности, постановка новых целей.

Из этих этапов в обычной практике наиболее отчетливо проявляются два: анализ ситуации и операционный этап, этап выполнения некоторой последовательности вычислительных действий. Наиболее творческий этап - этап планирования. Следовательно, именно этому этапу и надо уделить основное внимание при обучении: объяснять, обсуждать, контролировать. А для этого необходимо, чтобы план как-то фиксировался и на доске, и в тетрадях учеников, и в разработках учителя. Описание словами неудобно из-за длительности, неоднозначности, малой наглядности. План можно изображать в виде схемы, используя при этом понятные всем условные обозначения.

Суть методики структурного планирования:

- разработать систему условных обозначений для элементарных вычислительных операций, используемых при решении большинства задач;

- научить ученика разбивать задачу на отдельные структурные элементы, элементарные вычислительные операции;

- научить изображать план в виде наглядной схемы построенной из этих условных обозначений.

Условные обозначения должны даваться ученикам параллельно с изучением тех или иных величин. Желательно, чтобы они, так же как и основные формулы, были среди постоянных наглядных пособий. При решении простейших задач зарисовываем на доске соответствующее условное обозначение. При переходе к более сложным задачам эти условные обозначения объединяются, образуя структурные схемы.

Ученики, слушая объяснение учителя, зарисовывают схемы в своих рабочих тетрадях. Учитель обращает внимание на то, что прогнозировать решение задачи нужно и при самостоятельной работе в классе и дома. Проверка решения задачи может заключаться в обсуждении структурной схемы, представленной учеником, и правдоподобности полученного ответа. Подобное обсуждение может проводиться и в ходе групповой или парной работы учеников.

Можно существенно изменить содержание работы ученика над задачей, дав задание не решить ее, а проанализировать и составить план решения. Поскольку при этом снимается этап вычислений, за то же время ученик может проработать большее число задач, различных по своему строению. Конечно, полностью отказаться от этапа вычислений тоже нельзя, поэтому задание может формулироваться так: «Проанализировать и составить план решения трех задач, одну из них прорешать».

Особенно оправданным становится этот прием при задании домашней работы массивом. Для сильных учеников, интересующихся предметом, здесь открываются дополнительные возможности по классификации и сравнению задач на основе их структурных схем, составлению задач определенного типа.

Написание конспекта

Написание конспекта является одним из приемов повторения. Наиболее эффектно сочетать его с приемом стимулирующих звеньев. Учащимся советуют при конспектировании располагать записи в наиболее удобной форме. Им рекомендуют различным образом оформлять свои записи, используя всевозможные символы: стрелки, подчеркивания, цветовые выделения.

В качестве стимулирующих звеньев могут выступать:

1) применение, вспоминание походу ознакомления с материалом или решения задачи определений, теорем, аксиом, законов, различных правил;

2) представление наглядных образцов (моделей, чертежей, графиков, рисунков), любая деятельность с ними;

3) оперирование знаками и символами (введение стрелок и других условных обозначений, подчеркивание записей и т. д.);

4) любые рассуждения, действия, помогающие устанавливать причинно-следственные связи между данными процессами или связывающие их по внешним, косвенным признакам.

Работа с учебником

Наиболее распространенным способом самостоятельной работы учащихся является работа с учебником или книгой:

1. Самостоятельное изучение по учебнику отдельных вопросов программы. Учитель не может и не должен излагать и объяснять учащимся весь материал, предусмотренный учебной программой. Самостоятельное изучение учащимися некоторых вопросов по учебнику дает более высокие результаты, чем при устном изложении их учителем. Все будет зависеть от характера материала и подготовленности, учащихся к самостоятельной работе.

2. Выполнение различных заданий учителя: составление простых и развернутых планов, отбор и выписывание примеров, иллюстраций, цитат, составление сравнительных характеристик изучаемых явлений и событий и т. п.

3. Чтение художественной и научно-популярной литературы, хрестоматий, документов и т. п.

4. Подготовка сообщений, рефератов и докладов по отдельным вопросам изучаемой темы в классе и дома.

Перечисленные виды работ с учебником не исчерпывают всей методики работы с ними. Они лишь подчеркивают, в каком направлении должна проводиться эта работа.

Как быть, чтобы ни ученикам, ни педагогу не погрязнуть в однообразии одинаковых операций? Ну, во-первых, подойдут многие приемы из уже названных. Да плюс еще и неназванные, потому только, что они больше известны и чаще, хотя, на наш взгляд, все равно недостаточно, применяются в образовании: кроссворды и ребусы по учебному материалу, различные познавательные игры (они широко представлены в различиях пособиях).

Во-вторых, приведем некоторые специальные (для нарушения «сознательно однообразной» деятельности) рекомендации:

1) Варьирование несущественных признаков материала.

2) Полезно иногда предложить ученикам опровергнуть правила, теории, выводы, которые педагог давал при объяснении нового материала.