Теоретические и методические основы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений в условиях гуманитаризации высшего математического образования

Одной из фундаментальных проблем в психологии является проблема исследования личности, которая находит свое развитие в работах Р.М.Асланова, А.Г. Асмолова, Б.М. Бим-Бада, П. Вайнцвайга, Г.Д. Глейзера, В.В. Давыдова, И.К. Журавлева, Т.А. Ивановой, В.С. Леднева, И.Я. Лернера, А.В. Петровского, К.К. Платонова и других. Рассмотрим проблему обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений в плоскости психологических аспектов. Решение обратных задач для дифференциальных уравнений играет важную роль в подготовке будущих специалистов в области прикладной математики. Достижение полноценного результата в обучении обратным задачам возможно при условии применения конкретных методов их решения. В этом случае решение обратных задач выступает и как цель, и как средство обучения. Этот вид учебной деятельности студентов служит средством формирования и развития прикладного математического мышления; способствует глубокому и прочному усвоению сложных определений, понятий, методов и подходов, используемых при решении обратных задач; способствует формированию умений и навыков исследования обратных задач; создает условия для осуществления профессиональной ориентации. Опираясь на исследования Н.М. Амосова, А.К. Артемова, А.Я. Блоха, Г.Д. Бухаровой, В.В. Давыдова, В.А. Гусева, М.И.Зайкина, Т.А. Ивановой, Ю.М. Колягина, Е.С. Канина, В.И. Крупича, Л.Д. Кудрявцева, Г.Л. Луканкина, Н.Г. Салминой, Г.И. Саранцева, И.М.Смирновой, А.А. Столяра, Н.А. Терешина, Р.С. Черкасова, П.М.Эрдниева, Л.М. Фридмана, И.А. Кузнецовой, Ю.М. Колягина, А.И.Фетисова, Н.Ф. Четверухина и других, выявлено, что решение обратных задач для дифференциальных уравнений выполняет в учебно-воспитательном процессе мотивационную, познавательную, развивающую, воспитывающую, управляющую, иллюстративную, контрольно-оценочную и другие функции. Успешное решение обратных задач для дифференциальных уравнений является достоверным способом проверки знаний и умений студентов не только по обратным задачам, но и по многим математическим дисциплинам, которые им преподавались ранее: математический анализ, функциональный анализ, алгебра и геометрия, обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных, методы оптимизации, интегральные уравнения, численные методы и др.

Одним из необходимых условий для формирования знаний, умений и навыков, необходимых студентам для решения обратной задачи, является хорошее владение математическим языком. К перечню языковых навыков относят и умение формулировать определения различных понятий. Оно играет важную роль при решении обратных задач для дифференциальных уравнений, представляющее собой, в большинстве случаев (ввиду их нелинейности и некорректности), доказательство условной корректности решения данной обратной задачи - теорем существования, единственности и условной устойчивости. При исследовании физических процессов или явлений с помощью обратных задач для дифференциальных уравнений понятия и рассуждения часто имеют такой же характер, как и в нематематических дисциплинах. Это объясняется тем, что исследуемые реальные объекты, свойства которых мы изучаем, неформальны. Конкретной математической моделью обратной задачи описаны реальные физические процессы, которые ею идеализированы. Поэтому эти понятия включают в себя больше, чем содержится в формальном определении. Развитие логической культуры мышления студентов - будущих специалистов в области прикладной математики - определяет направленность обучения обратным задачам, умению обосновывать реальные ситуации в прикладных областях. Логические рассуждения представляют собой метод математики, поэтому ее изучение воспитывает логическое мышление, позволяет правильно устанавливать причинно-следственные связи. Причинная связь является необходимой, так как при наличии причины следствие обязательно наступит. Стиль изложения математики, ее язык оказывают влияние на развитие речи будущих специалистов в области прикладной математики, которые должны иметь представления об основных понятиях, а именно: математическая модель, корректность математической модели, вычислительный эксперимент, конструктивный алгоритм, вероятность, оптимизация и др., которые являются важными в учебном курсе обратных задач для дифференциальных уравнений. Речь идет именно об основных понятиях и идеях, а не о наборе конкретных формул и теорем, с помощью которых можно успешно решить ту или иную обратную задачу. Тем более что не существует таких “универсальных” методов, приемов и формул, с помощью которых можно было бы решать те или иные классы обратных задач для дифференциальных уравнений. Такое отсутствие обусловлено математическими особенностями и индивидуальностями обратных задач. Здесь, конечно, подразумевается знание студентами и самих математических методов и приемов исследования обратных задач. Изучение чистой математики и обратных задач взаимно дополняют друг друга, как в смысле развития логической культуры мышления, так и в смысле освоения методов познания мира.

В педагогике большое внимание уделяется проблеме межпредметных связей, выражающих всевозможные объективно существующие связи между содержанием различных учебных дисциплин. “Все, что находится во взаимной связи, должно преподаваться в такой же связи”, - говорит Я.А.Коменский. Межпредметным связям уделяли внимание И.Ф. Гербарт, А.Дистервег, Д. Локк, В.Ф. Одоевский, И.Г. Песталоцци, К.Д. Ушинский и др. Проблеме межпредметных связей в области общего и среднего образования посвящены работы Н.С. Антонова, И.Ф. Борисенко, И.Д.Зверева, Д.М. Кирюшкина, К.П. Королевой, П.Г. Кулагина, И.Я.Лернера, Н.А. Лошкаревой, В.Н. Максимовой, В.Н. Федоровой и других; в области профессионально-технического образования - П.Р. Атутова, С.Я. Батышева, А.П. Беляевой, Г.Н. Варковецкой, В.А. Саюшева, В.А. Скакун и других. Определенный вклад в исследование проблемы межпредметных связей математики внесли Г.А. Бокарева, В.А. Гусев, А.Г. Головенко, Т.А. Иванова, Р.Л. Исаева, Р.А. Исаков, Б.С. Каплан, В.Н. Келбакиани, О.Е. Кириченко, А.А. Кузнецова, Т.Н. Миракова, А.Г. Мордкович, Л.А. Пржевалинская, Н.К.Рузин, Г.И. Саранцев, А.А. Столяр, Ю.Ф. Фоминых, Г.Г. Хамов, Н.В.Чхаидзе и другие. Среди обсуждаемых авторами аспектов межпредметных связей математики с другими предметами, близкими к нашему исследованию, являются ориентация на понимание обучаемыми прикладной математики, привлечение знаний из других учебных дисциплин в обучении и закреплении нового материала.

Взаимопроникновение методов исследования в учебный процесс, характерное для естественных и математических наук, особенно для обратных задач для дифференциальных уравнений, способствует обеспечению систематичности и развитию знаний у студентов в процессе обучения обратным задачам. Последовательное осуществление межпредметных связей в обучении обратным задачам в значительной степени способствует приобретению обобщенных знаний студентами по различным дисциплинам естествознания путем реализации единого подхода к формированию понятий, общих для этих курсов, математического моделирования физических и других явлений и процессов. В процессе обучения обратным задачам привлекаются сведения из различных предметных областей, в котором межпредметные связи раскрываются на уровне знаний. Математическое моделирование является одним из основных путей реализации межпредметных связей курса обратных задач. Таким образом, обучение обратным задачам для дифференциальных уравнений способствуют более глубокому пониманию студентами идеи целостности мира, глубокому усвоению как дисциплин прикладной математики, так и дисциплин из других предметных областей. Умение составлять математические модели реальных процессов и их исследовать, используя не только математические методы, но и методы исследования обратных задач для дифференциальных уравнений способствует развитию составной части общей культуры специалиста в области прикладной математики.

На развитие личности будущих специалистов в области прикладной математики оказывают влияние не только обучение физико-математическим дисциплинам, в том числе и обратным задачам, но и знания исторических предпосылок и фактов создания и развития тех научных теорий, которых касаются эти дисциплины; вклада этих научных теорий в научно-технический прогресс человеческого общества. История развития прикладной математики является неотъемлемой составляющей гуманитарного потенциала математики. “Под историей науки в школе понимается отражение в содержании образования единства двух процессов: истории развития конкретной науки, ее идей, понятий, взглядов, проблем теории и истории тех или иных открытий” (Л.Я. Зорина). Историко-математическая линия обучения находит свое развитие в диссертационных исследованиях Д. Икрамова, Т.А. Ивановой, И.М.Смирновой, О.В. Шабашовой и других авторов. Понимание взаимосвязи в развитии теории и практики исследования обратных задач для дифференциальных уравнений и общественного прогресса позволяет студентам, будущим специалистам в области прикладной математики, глубже осознать специфику учебного курса обратных задач и методов исследования обратных задач для дифференциальных уравнений. Знание истории создания и развития теории обратных задач для дифференциальных уравнений позволяет студентам глубже осознать гносеологический процесс познания в прикладной математике.

Таким образом, выявлен гуманитарный потенциал обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений, компоненты которого представлены на рисунке 1.

Во второй главе “Построение методической системы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений” проанализированы существующие подходы к обучению обратным задачам для дифференциальных уравнений; сформулированы цели и раскрыты основные принципы обучения; введены классификационные признаки и целевые модули, играющие роль инструментария для составления и анализа учебных программ, формирования содержания курсов обратных задач для дифференциальных уравнений; разработано содержание обучения, описаны организация лекционных и семинарских занятий, методы обучения, подходы к индивидуализации обучения, самостоятельной работы, методы проверки знаний, умений и навыков студентов; cпроектирована система гуманитарно-ориентированных учебных занятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений.

Рисунок 1. Гуманитарный потенциал обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений

Эффективность и результативность педагогической деятельности в учебных заведениях, в том числе и в высших, во многом зависит от сформулированных целей и принципов обучения, отбора и формирования содержания обучения, форм организации учебных занятий, методов обучения, намеченных путей их реализации. В традиционном учебном процессе одним из средств обучения являются печатные издания, к которым относятся учебники, учебно-методические пособия, методические разработки, указания и рекомендации, справочники. Обеспечение ими в обучении конкретной дисциплине является одной из важных составляющих эффективности организации учебного процесса. На сегодняшний день имеется большое количество монографий и научных статей, как российских, так и зарубежных ученых, посвященных теории и практике исследования обратных задач для дифференциальных уравнений. Вместе с тем, несмотря на то, что обратные задачи для дифференциальных уравнений начали преподаваться в высших учебных заведениях России с начала 70-х годов прошлого столетия, к настоящему времени имеется сравнительно небольшое количество опубликованных учебных пособий, адресованных студентам. Авторами таких пособий являются П.Н. Вабищевич, А.М. Денисов, М.М.Лаврентьев, Ю.П. Петров, А.В. Поляков, К.Г. Резницкая, В.Г. Романов, А.А. Самарский, В.С. Сизиков, Ю.М. Тимофеев, В.Д. Фурасова, В.Г. Яхно и другие. Этому есть объяснения: теория обратных задач для дифференциальных уравнений является сравнительно молодой; число ученых, работающих в этой области, относительно невелико. На университетских сайтах в Интернете размещено содержание специальных курсов по обратным задачам для дифференциальных уравнений, читаемых В.В. Васиным, А.Л. Агеевым, П.С. Мартышко, В.Б. Гласко, А.В. Баевым, А.О. Ватульяном, В.В. Сухановым, С.М. Берсеневым и другими, соответствующее современным достижениям теории обратных задач для дифференциальных уравнений.

Содержание вышеотмеченных пособий и спецкурсов по обратным задача соответствует современным достижениям теории обратных задач для дифференциальных уравнений. Авторы обращают внимание на физическую интерпретацию исследуемых физических процессов, межпредметные связи и прикладную направленность обучения, историю возникновения той или иной постановки обратной задачи. Цели обучения, являющиеся системообразующим фактором любой методической системы и отраженные в прогностической модели специалиста, позволяют осуществить отбор содержания обучения, которое прописывается в учебных планах соответствующих специальностей, типовых и рабочих программах конкретных учебных курсов. Методическая система обучения, согласно определению А.М. Пышкало, представляет собой целостное образование целей, содержания, методов, форм и средств обучения. Подобные вопросы исследовалась в работах С.И. Архангельского, Н.Я. Виленкина, В.А. Гусева, В.И. Загвязинского, Т.И. Ивановой, В.С. Леднева, Г.Л. Луканкина, Т.Н.Мираковой, В.М. Монахова, А.Г. Мордковича, В.А. Оганесян, И.П.Подласого, И.А. Рейнгарда, Е.А. Рябухиной, Г.И. Саранцева, Ю.В.Сидорова, Е.И. Смирнова, А.М. Сохора, Н.Л. Стефановой, Г.Г. Хамова, М.И. Шабунина и других авторов. При формировании целеполагания обучения студентов обратным задачам для дифференциальных уравнений необходимо исходить из объективных факторов социального заказа общества в подготовке специалистов в области прикладной математики, дидактических принципов обучения: наглядности, доступности, профессиональной направленности, научности, системности, связи теории с практикой, межпредметных связей и др.; задач ассоциативного и когнитивного научения, в том числе необходимости формирования у студентов знаний, умений, навыков и методов исследования обратных задач для дифференциальных уравнений, задач воспитания и развития. Эти факторы определяются в любой педагогической системе обучения и используются в диссертации при разработке теоретических и методических основ обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений в условиях гуманитаризации высшего математического образования. В обучении обратным задачам для дифференциальных уравнений главным являются сформулированные цели и принципы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений.

Целями обучения студентов обратным задачам для дифференциальных уравнений являются: обучить студентов современным методам исследований обратных задач для дифференциальных уравнений; развить навыки математического исследования прикладных задач, связанных с восстановлением неизвестных свойств исследуемых объектов и интерпретации результатов исследования; раскрыть гуманитарный потенциал обучения; сформировать основы гуманитарного анализа прикладных исследований; обосновать роль прикладной математики в современном мире; научить умению самостоятельно работать со специальной математической литературой. Основными принципами обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений являются: принципы наглядности, доступности, профессиональной направленности, научности, системности, связи теории с практикой, межпредметных связей. Обратные задачи способствуют более глубокому пониманию студентами идеи целостности мира, усвоению как дисциплин прикладной математики, так и дисциплин из других предметных областей. Прикладная направленность обучения обратным задачам включает в себя реализацию межпредметных связей не только с общеобразовательными и специальными курсами математического анализа, функционального анализа, алгебры и геометрии, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, методов оптимизации, интегральных уравнений, численных методов и демонстрирует широкое применение математического аппарата для исследования процессов и явлений реальной действительности, но и с учебными курсами физики, химии, биологии, экологии и др.

В соответствии с перечисленными целями и принципами обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений введены классификационные признаки и целевые модули, которые могут играть роль инструментария для составления и анализа учебных программ, формирования содержания курсов обратных задач для дифференциальных уравнений. К классификационным признакам, в рамках настоящего исследования, относятся прикладные знания, методы исследования обратных задач для дифференциальных уравнений, сведения об их преподавании, полученные в результате познавательной, практической и педагогической деятельности. Под целевыми модулями понимаются элементы программы курса обратных задач для дифференциальных уравнений, представляющие собой совокупность выбранных классификационных признаков. В диссертации выделены три целевых модуля, включающие квалификационные признаки, определяемые целями обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений, и модуль научного метода, включающий квалификационные признаки, соответствующие содержанию научных методов исследования обратных задач для дифференциальных уравнений, а именно: целевой модуль № 1. Теория и методика обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений - педагогическая наука; целевой модуль № 2. Обратные задачи для дифференциальных уравнений - научная область прикладной математики; целевой модуль № 3. Физическая картина исследуемых процессов и явлений - категориально-понятийный аппарат методологии целостного исследования обратных задач для дифференциальных уравнений; модуль научного метода. Математические методы исследования обратных задач для дифференциальных уравнений. Разработке критериев отбора содержания обучения посвящены исследования С.И. Архангельского, Н.Я. Виленкина, В.А. Гусева, В.И. Загвязинского, В.С. Леднева, Г.Л. Луканкина, Т.Н.Мираковой, А.Г. Мордковича, В.А. Оганесян, И.А. Рейнгарда, Ю.В.Сидорова, Е.И. Смирнова, А.М. Сохора, Н.Л. Стефановой, Г.Г. Хамова, М.И. Шабунина и других авторов.

Содержание и профессиональная направленность обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений должны учитывать характер современных и разумно-прогнозируемых требований к будущему специалисту в области прикладной математики, которые отражаются как на отборе материала по обратным задачам, так и на роли практических навыков решения обратных задач студентами, применения их в своей будущей профессиональной деятельности. Планирование, разработка методики обучения и осуществление самого процесса обучения студентов обратным задачам должно проводиться преподавателями - специалистами в области обратных задач для дифференциальных уравнений. Для правильной постановки обучения обратным задачам необходимо достичь определенного уровня взаимопонимания при планировании содержания обучения студентов физико-математическим дисциплинам, учитывающее “интересы” курса обратных задач как внутри кафедры, так и между кафедрами физико-математического и специального профилей соответствующих специальностей вузов. Разумным представляется положение, когда объем знаний по обратным задачам для дифференциальных уравнений, степень владения ими и характер приобретаемых студентами навыков определяется совместно с ведущими специалистами в области будущей специализации студентов. Содержание обучения определяется отбором конкретных обратных задач, которые имеют математические особенности (обратные задачи, как правило нелинейны, неединственны, некорректны); подразделяются на типы (коэффициентные, граничные, геометрические, эволюционные обратные задачи); обладают индивидуальностью; решаются различными математическими методами.

Разработанное содержание учебного курса обратных задач для дифференциальных уравнений включает следующие разделы:

1. Обратные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Обратные задачи определения коэффициентов линейных дифференциальных уравнений и анализ подходов и идей восстановления неизвестных причин по известным следствиям. Обратные задачи определения коэффициентов нелинейных дифференциальных уравнений и оценка красоты математических методов их решения. Обратные задачи определения правой части дифференциальных уравнений и оценка вклада методов их решения в развитие математических методов решения дифференциальных уравнений. Обратные задачи теории управления и оценка идей и подходов, используемых для восстановления свойств объектов, труднодоступных или недоступных для человека.

2. Обратные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Одномерные обратные задачи для гиперболических уравнений и анализ особенностей рациональных рассуждений при решении обратных задач. Многомерные обратные задачи для гиперболических уравнений и их гуманитарная роль в анализе характера загрязнения воздушного бассейна. Одномерные обратные задачи для уравнения теплопроводности и их применение в экологическом анализе окружающей среды. Многомерные обратные задачи для параболического уравнения и их ценность в анализе влияния функционирующих объектов на здоровье человека. Обратные задачи для эллиптических уравнений и их применение в гуманитарном анализе свойств стационарных процессов. Обратные задачи для системы уравнений Максвелла и их применение в гуманитарном анализе свойств земной среды. Обратные кинематические задачи сейсмики и их значение в развитии представлений о внутреннем строении Земли.

3. Задачи определения функции по значениям интегралов. Задача определения функции одной переменной по значениям ее интегралов и оценка математических методов ее решения для теории интегральных уравнений Фредгольма. 3адачи компьютерной томографии, их информативность и гуманитарная ценность. Задача об отыскании функции по ее сферическим средним и оценка вклада математических методов ее решения в теорию интегральных уравнений Вольтерра. Задачи интегральной геометрии и их связь с обратными задачами для дифференциальных уравнений.

4. Конечно-разностные методы решения обратных задач для дифференциальных уравнений. Приближенные методы решения обратных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков. Приближенные методы решения одномерных обратных задач для гиперболических уравнений. Приближенные методы решения обратных задач для уравнения теплопроводности. Приближенные методы решения одномерных обратных задач для уравнений эллиптического типа. Применение полученных численных результатов решений обратных задач в гуманитарном анализе прикладных исследований.

Остановимся на одном из разделов разработанного учебного курса. Непосредственное изучение внутреннего строения Земли с помощью бурения ограничено, поэтому главную роль здесь играют геофизические методы, основанные на изучении земной поверхности какого-либо физического поля, которое несет информацию о глубинном строении Земли. Таким полем, в частности, является электромагнитное поле, создаваемое с помощью специального источника электромагнитных колебаний. Процессы взаимодействия электромагнитного поля со средой описываются системой уравнений Максвелла

каждое из которых эквивалентно трем скалярным уравнениям.

Здесь , - вектора электрической и магнитной напряженности поля;

- диэлектрическая и магнитная проницаемости среды;

- проводимость среды;

- плотность внешнего электрического тока;

- роторы векторов .

Выписанные уравнения для векторов выполнены отдельно для точек

и

= ,

а при тангенциальные компоненты векторов удовлетворяют условиям непрерывности

,

При исследовании нестационарных задач принято, что электромагнитные колебания до момента времени отсутствуют

а затем индуцируются сторонним (внешним) током

,

носитель которого содержится в области .

Рассмотрим процесс взаимодействия электромагнитного поля с изотропной неоднородной средой, параметры которой зависят только от глубины

порождаемый импульсным источником вида

что соответствует мгновенному включению тока, параллельного оси , сосредоточенного на земной поверхности , плотность которого описывается функцией . В формуле источника: - дельта-функция Дирака, - тета-функция Хевисайда, T - знак транспонирования. В этом случае, расписав систему уравнений Максвелла, учтя, что в этом случае

,

можно получить двумерное волновое уравнение относительно второй компоненты вектора напряженности электрического поля :

где

,

,

.

Если считать, что плотность источника представляет собой сумму конечного числа гармоник вида

где черта над - знак комплексного сопряжения,

то выписанное волновое уравнение может быть сведено к - одномерным телеграфным уравнениям вида

,

в которых

.

Теперь сформулируем постановку обратной задачи для простейшего телеграфного уравнения, вошедшей в разработанный курс, и полученные по отношению к ней результаты. Из телеграфного уравнения

при начальных и граничных условиях

,

где

- предельные значения функции при , вычисленные изнутри областей и соответственно,

- дельта-функция Дирака,

известные постоянные,

определить неизвестный коэффициент в области по дополнительной информации о решении прямой задачи вида

.

Теорема 1. Пусть для функции выполнено соотношение

.

Тогда для достаточно малого решение обратной задачи, заключающееся в определении , существует, единственно и принадлежит классу .

Теорема 2. Пусть коэффициенты

и - отвечающие этим коэффициентам следы решения обратной задачи на полуоси Тогда имеет место неравенство

.

В процессе обучения до понимания студентов доводится тот факт, что по результатам решения данной обратной задачи, определив проводимость среды , можно сделать логические выводы гуманитарного характера, например, об экологическом состоянии окружающей среды и возможных последствиях его изменения.

Исследованию методов и форм обучения, особенностей организации и проведения учебных занятий и самостоятельной работы студентов в высших учебных заведений посвящены работы С.И. Архангельского, Р.М. Асланова, Н.Я. Виленкина, Н.А. Волгина, В.А. Гусева, В.И. Загвязинского, К.А.Звягина, Т.И. Ивановой, В.С. Леднева, Г.Л. Луканкина, Т.Н. Мираковой, В.М.Монахова, А.Г. Мордковича, В.А. Оганесян, Ю.Г. Одегова, И.П.Подласого, А.М. Пышкало, Б.В. Ракитского, И.А. Рейнгарда, Е.А.Рябухиной, Г.И. Саранцева, Н.Л. Стефановой, Ю.В. Сидорова, Е.И.Смирнова, А.М. Сохора, Г.Г. Хамова, М.И. Шабунина и др. Формами организации учебных занятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений являются лекционное занятие, семинарское занятие, лабораторное занятие. Передовой педагогический опыт отмеченных авторов был использован для организации лекционных и семинарских занятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений: в постановке целей лекционных и семинарских занятий с точки зрения формы обучения; в определении функций лекционных занятий; в анализе лекционного материала учебной темы курса и семинарских занятий по обратным задачам. Лекционное занятие является основной формой организации учебных занятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений, на котором преподавателем в устной форме (слово преподавателя является основным средством обучения) с использованием доски и мела, а в некоторых случаях - мультимедийных технологий, излагается учебный материал по обратным задачам. Семинарское занятие по обратным задачам для дифференциальных уравнений является активной формой обучения обратным задачам, дополняющей лекционные занятия и призванной помочь студентам освоить методы решения обратных задач; представляет собой комплексную форму обучения решению обратных задач, сочетающая: участие в решении обратных задач студентов и преподавателя; обсуждение мнений студентов по решению обратной задачи и полезными советами преподавателя; приобретение студентами опыта и навыков по решению обратных задач, способствующих освоению прочных знаний в области теории и практики исследования обратных задач для дифференциальных уравнений. Особенность семинарского занятия по обратным задачам для дифференциальных уравнений заключается в возможности активного участия каждого студента в обсуждении постановки обратной задачи, рассматриваемой на занятии, подходов и методов ее решения, применения результатов решения обратной задачи в гуманитарном анализе прикладных исследований и др. На семинарском занятии преподавателем могут быть подведены итоги самостоятельной и индивидуальной работы студентов по усвоению методологии решения обратных задач для дифференциальных уравнений.

Самостоятельная работа студентов высших учебных заведений в настоящее время является важной и необходимой учебной деятельностью, способствующей эффективному обучению. Роль преподавателя в ней - содействовать эффективному обучению студентов. Цель самостоятельной работы студентов по обратным задачам - систематическое обучение обратным задачам в течение учебного курса, закрепление и углубление полученных знаний и навыков исследования обратных задач, подготовка к предстоящим учебным занятиям, формирование прикладной математической культуры и самостоятельности в поиске и приобретении новых прикладных знаний. В процессе обучения студентов обратным задачам в качестве контроля знаний и умений предусмотрены текущий, промежуточный и итоговый контроль. Форма текущего контроля - устная или письменная. Виды текущего контроля: индивидуальный или групповой опрос студентов. Вид промежуточного контроля - коллоквиум в устной или письменной форме по пройденной части учебного курса обратных задач для дифференциальных уравнений. Промежуточный контроль, как правило, проводится в середине семестра. Итоговый контроль знаний и умений студентов, полученных ими в процессе обучения обратным задачам, проводится по завершению курса обратных задач для дифференциальных уравнений в форме зачета или экзамена.

Одно из наиболее существенных различий между чистой и прикладной математикой, по мнению И.М. Блехмана, А.Д. Мышкиса, Я.Г. Пановко, связано с характером применяемой логики рассуждений при решении математических задач. Логика прикладной математики обладает характерными чертами, связанными со способами доказательств, выбором критериев достоверности и т.д. При этом аналогичные способы и критерии, известные в чистой математике, в приложениях не всегда работают. Стиль рассуждений, составляющий логическую основу прикладной математики, состоит из дедуктивных и рациональных рассуждений, которые могут быть неприемлемы с точки зрения чистой математики, но способные при разумном их применении приводить к правильным результатам. Подобные рациональные рассуждения применены нами в обучении обратным задачам для дифференциальных уравнений.

Методы рациональных рассуждений в обучении обратным задачам для дифференциальных уравнений:

- Выдвижение и обоснование гипотез при решении обратной задачи

- Уточнения в ходе решения обратной задачи

- Разумные аналогии при решении обратной задачи

- Контроль замкнутости системы уравнений обратной задачи

- Рассмотрение частных случаев при решении обратной задачи

- Осмысление физических свойств исследуемого объекта

- Воспитание математической интуиции

- Прикидки в решении обратной задачи

- Поиск неожиданностей при решении обратной задачи

- Анализ и интерпретация решения обратной задачи

- Представление результатов исследования обратной задачи

Разработка технологий индивидуализации обучения студентов является одной из перспективных задач педагогической науки. Научное осмысление проблемы индивидуализации обучения отражено в работах Я.А. Коменского, Д. Локка, И.Г. Песталоцци, А. Дистервега, К.Д. Ушинского. Развитие дидактических аспектов индивидуализации обучения, идеи индивидуально-ориентированного обучения, индивидуальных способностей студентов в процессе учебной деятельности, индивидуального подхода в обучении как средства формирования индивидуального стиля деятельности преподавателя находит отражение в работах многих педагогов и психологов современности, а именно: Ю.К. Бабанский, М.Н. Берулава, Е.Д. Божович, Л.С. Выготский, П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, Л.В. Занков, Е.А. Климов, П.П. Машков, А.П.Околелов, С.Л. Рубинштейн, Ю.А. Самарин, И.С. Сергеев, И.Э. Унт, А.В. Хуторский, В.В. Шрейдер, Д.Б. Эльконин, И.С. Якиманская и др.

В педагогической энциклопедии индивидуализация обучения определяется как “организация учебного процесса, в котором выбор способов, приемов, темпа обучения учитывает индивидуальные различия студентов, уровень развития их способностей к учению”. При индивидуализации обучения студентов учитываются такие показатели, как обучаемость, обученность, познавательные интересы, профессиональная направленность обучения. В процессе обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений преследуются конкретные цели обучения, реализуются дидактические принципы обучения обратным задачам, что обеспечивает студентам овладение системой знаний, умений и навыков, дающей представление о теории обратных задачах для дифференциальных уравнений, математическом моделировании физических процессов и явлений, о конструктивных алгоритмах и методах исследования обратных задач, исторических периодах развития теории обратных задач; овладение основными общенаучными методами познания, используемыми в прикладной математике; формирование научного мировоззрения; логической составляющей мышления, воспитание нравственности, культуры общения, самостоятельности, активности; эстетическое воспитание, базирующееся на способности оценить красоту математических идей и формул; воспитание трудолюбия, ответственности за принятие решений, стремления к самореализации; формирование умений строить и исследовать корректные математические модели обратных задач; умения выводить из решенной обратной задачи следствия математического, прикладного, гуманитарного характера. Студентов необходимо научить умению самостоятельно работать со специальной математической литературой, добывать и осознанно применять полученные знания в своей будущей профессиональной деятельности; развить способности к самостоятельному математическому мышлению. Этим инициируется реализация индивидуальных подходов к обучению обратным задачам для дифференциальных уравнений.

Целями индивидуализации обучения студентов обратным задачам для дифференциальных уравнений являются: реализация учебных программ по курсу обратных задач; повышение знаний, умений и навыков каждого студента учебной группы; улучшение их учебной мотивации; усиление профессиональной направленности обучения; формирование и развитие логического мышления; формирование познавательных интересов; формирование личности, интересов и математических способностей студентов, направленность студентов на научно-исследовательскую деятельность в области обратных задач для дифференциальных уравнений. Индивидуальный подход в обучении обратным задачам выступает как дидактический принцип обучения, воспитания и развития студентов, учитывающий личные особенности обучаемых, уровень интеллектуального развития, познавательные интересы и другие факторы, оказывающие влияние на успешность обучения. Индивидуальная работа студента является формой осуществления данного принципа. В качестве наиболее значимых форм индивидуальной работы в учебном курсе обратных задач для дифференциальных уравнений являются: работа студентов над курсовыми и дипломными работами по обратным задачам для дифференциальных уравнений; написание студентами рефератов по материалам научных статей, посвященным обратным задачам для дифференциальных уравнений; участие студентов в научно-исследовательской работе по обратным задачам для дифференциальных уравнений; участие студентов в научных семинарах, посвященных обратным задачам для дифференциальных уравнений; участие студентов в студенческих научных конференциях; самостоятельная работа студентов по выполнению индивидуальных учебных заданий по обратным задачам для дифференциальных уравнений; консультации и беседы при подготовке к семинарским и лабораторным занятиям; участие студентов в студенческих научных кружках. Реализация индивидуального подхода в обучении обратным задачам для дифференциальных уравнений основывается на следующих положениях: методы и формы обучения и воспитания необходимо выбирать с учетом индивидуальности студентов; индивидуальный подход требует соблюдения психолого-педагогического такта в отношении студентов; качественная подготовка студента обеспечивается повседневной деятельностью преподавателя, выстроенной на основе знаний индивидуальных особенностей каждого студента обучаемой группы.

Ориентация высшего математического образования на гуманитарное развитие студентов является одним из актуальных принципов функционирования системы современного российского образовательного пространства. Одним из средств, реализующих идеи гуманитаризации естественнонаучного образования, считается задачный подход. Если в основу задачного подхода, по мнению Н.А. Алексеева, Г.А. Балла, В.И. Данильчука, Г.И. Ковалевой, Г.С. Костюка, И.Я. Лернера, Н.Ю. Посталюка, В.В.Серикова, В.М. Симонова, И.Г. Ступака, О.К. Тихомирова и других, будет заложена гуманитарно-ориентированная система задач, то в этом случае можно говорить о задачной технологии гуманитарного развития личности. Е.А.Смирновым, следуя Ю.М. Колягину и А.Г. Мордковичу, выделены основные функции математических задач в обучении в педвузе: обучающая, развивающая, воспитывающая, контролирующая, методическая. Это ставит задачу рассмотрения возможностей задачного подхода на технологическом уровне. Е.В. Бондаревская, А.И. Кузнецов, В.В. Гура обращают внимание на требования, которые связаны с воспитанием личной ответственности обучаемых за состояние окружающей среды, последствия своих действий по отношению к ней, за состояние своего здоровья и здоровый образ жизни, которые составляют важную грань принципа природосообразности, основы которого были заложены авторами природосообразной революции в педагогике - Я.А. Коменским, Д. Локком, И.Г. Песталоцци. Поэтому для целостного исследования свойств физических объектов необходим природосообразный подход и разнообразные интегративные способы их исследования. С позиции такого подхода появляются субъективные и гуманитарные начала знаний об окружающем мире. В ходе проведенного исследования были разработаны подходы к проектированию гуманитарно-ориентированных учебных занятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений, основанные на математическом и дидактическом анализе содержания учебного материала, отборе системы обратных задач, в числе которых обратные задачи геофизики, обратные экстремальные задачи теории распространения примеси, обратные задачи излучения звука в подводной акустике, обратные задачи для телеграфного уравнения и другие, постановке учебных целей и планировании системы учебных занятий по обратным задачам.

При определении теплофизических или фильтрационных параметров среды, а также плотности распределения тепловых источников естественным образом возникают обратные задачи для уравнений параболического типа. Сформулируем одну из таких обратных задач, вошедшую в разработанный учебный курс. Пусть в области , пространства переменных ,

,

, функция удовлетворяет параболическому уравнению

при начальных и граничных условиях

,

,

где - заданная функция,

- известная константа,

- неизвестная функция.

Постановка обратной задачи: из выписанных соотношений определить плотность тепловых источников , действующих в полупространстве , если о решении прямой задачи известна дополнительная информация

.

Эта обратная задача имеет конкретный физический смысл. Если функция

,

то она связана с задачей определения плотности радиоактивных источников тепла по тепловому излучению на поверхности Земли. При этом - период полураспада радиоактивного элемента.

В процессе обучения студенты совместно с преподавателем обосновывают, что сформулированная обратная задача обладает гуманитарным потенциалом, так как по результатам ее решения можно сделать логические выводы об экологии окружающей среды, о влиянии функционирующих объектов на здоровье человека и другие выводы.

Учебные занятия по обратным задачам направлены на создание ситуаций, требующих от студентов, по результатам решения обратной задачи, сделать логические выводы прикладного и гуманитарного характера, преодолеть нравственные противоречия, сделать обоснованный выбор правильной позиции в обществе. Подобные занятия приобщают студентов, как к проблеме гуманитаризации математического образования, так и к проблеме моральной ответственности перед обществом за последствия практической реализации прикладных исследований, которым необходим гуманитарный анализ с участием экспертов-гуманитариев. С этой точки зрения обратные задачи для дифференциальных уравнений могут быть рассмотрены как морально-нравственное приложение к различным физическим, экологическим, социальным, экономическим и другим процессам и явлениям.

В третьей главе “Использование информационных технологий при обучении обратным задачам для дифференциальных уравнений” проведен психолого-педагогический анализ использования компьютерных математических пакетов в высших учебных заведениях; сравнительный анализ исследований методических аспектов использования компьютерных математических пакетов в вузе при обучении дифференциальным уравнениям; описана организация проведения лабораторных работ по обратным задачам с использованием компьютерных математических пакетов; раскрыты дидактические принципы обучения обратным задачам при использовании компьютерных математических пакетов; излагается методика учебного исследования модельных обратных задач для дифференциальных уравнений с использованием компьютерных математических пакетов.

Процессы информатизации современного общества, свидетелями которых мы сегодня являемся, характеризуются совершенствованием и распространением информационных технологий во многие сферы человеческой деятельности, в том числе в сферу образования. Фундаментальный вклад в развитие информатизации образования, создание и применение средств информатизации в педагогической деятельности внесли Е.Ы. Бидайбеков, Т.А. Бороненко, С.Г. Григорьев, В.В. Гриншкун, С.А. Жданов, А.А. Кузнецов, С.И. Макаров, Е.В. Огородников, Е.С. Полат, И.В. Роберт, А.Н. Тихонов и другие авторы. Внедрение информационных технологий в науку и образование инициировало рост прикладных исследований во многих гуманитарных, социальных и естественнонаучных областях. В немалой степени успешные исследования прикладных задач с использованием ЭВМ стали возможны, благодаря тому что современные информационные технологии позволяют получать виртуальные трехмерные модели, включают различные компьютерные математические пакеты, реализуют современные вычислительные алгоритмы решения прикладных задач, осуществляют информационную поддержку поиска и выбора алгоритмов и программ численного решения задач, методы и средства контроля точности производимых вычислений и правильности работы применяемых программ. В результате осуществляются мобильные исследования прикладных задач.

В настоящее время в учебном процессе высших учебных заведений используются компьютерные математические пакеты, которые начали создаваться в начале 80-х годов прошлого столетия. Среди них: Maple, Mathematica, Matlab, MathCad и другие. Студентам предоставляются большие возможности творчески применять компьютерные математические пакеты при решении математических задач, что способствует развитию таких компонентов мышления, как гибкость, структурность и т.д. Студенты избавляются от рутинной работы, связанной с громоздкими математическими вычислениями и преобразованиями; приобретают уверенность в символьных вычислениях и практические навыки проведения математических рассуждений и анализа полученных результатов; получают возможность самостоятельно и быстро решать разнообразные математические задачи. Использование компьютерных математических пакетов в обучении дисциплинам прикладной математики дает преподавателю возможность использовать наглядно-демонстрационный метод обучения: на экране компьютера возможно быстро демонстрировать аналитические и приближенные решения математических задач, двухмерные и трехмерные графики их решения, таблицы, рисунки и т.д. Проведенный в диссертации психолого-педагогический позволяет сделать вывод о том, что использование в обучении компьютерных математических пакетов способствует развитию у студентов визуального мышления и наглядности обучения, что подтверждает целесообразность разработки методик обучения дисциплинам, в том числе прикладной математики с их использованием.

Включение в процесс обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений, помимо лекционных и семинарских занятий, такой формы организации обучения, как лабораторные занятия с использованием компьютерных математических пакетов Maple, Mathematica, Matlab, MathCad и других, позволяет достичь высокого уровня усвоения знаний, овладения необходимым прикладным математическим аппаратом путем активизации учебно-познавательной деятельности студентов и делает целесообразным использование данной формы организации обучения. В обучении обратным задачам с ее высоким математическим уровнем, сложным понятийным аппаратом, математическими методами исследования обратных задач и трудоемкостью исследований реализация этой формы организации обучения с использованием компьютерных математических пакетов не только возможна, но и методически оправдана. Лабораторные занятия по обратным задачам интегрируют теоретико-методологические знания, практические умения и навыки студентов в едином процессе деятельности учебно-исследовательского характера. При правильной организации лабораторной работы студенты выступают в роли исследователей обратных задач для дифференциальных уравнений. Содержание лабораторной работы по обратным задачам включает систему умственных и практических действий по овладению методами исследования обратной задачи для дифференциальных уравнений. Для проявления самостоятельности студентам может быть рекомендовано самостоятельно рассмотреть обратную задачу при аналогичных данных и дополнительной информации и применить компьютерный математический пакет для ее исследования. Организация и проведение лабораторных работ по обратным задачам не исключают общения преподавателя со студентами. При этом лабораторная работа как организационная форма учебной деятельности при обучении обратным задачам предполагает усиление роли преподавателя по консультационному и контролирующему сопровождению учебно-познавательной деятельности студентов, а также увеличение самостоятельной работы студентов с учебной и научной литературой по обратным задачам для дифференциальных уравнений. Применение компьютерных математических пакетов на лабораторных занятиях по обратным задачам для дифференциальных уравнений способствует реализации ряда дидактических принципов обучения: творчества и инициативы студентов, коллективного характера в сочетании с развитием индивидуальных особенностей личности каждого студента, профессиональной направленности, научности, системности, наглядности, интерактивности, межпредметных связей, опережающего обучения с передачей студентам мирового научного и культурного наследия. У студентов формируется необходимый уровень знаний, умений и навыков анализировать, сравнивать, обобщать полученные результаты по обратным задачам, который позволит в дальнейшем применять их в своей будущей профессиональной деятельности, что характеризует высокий уровень усвоения знаний.

Обратные задачи для дифференциальных уравнений, как правило, нелинейны - одновременно определяются и неизвестные функции (коэффициенты, правые части дифференциального уравнения), и само решение дифференциального уравнения. Поэтому в большинстве случаев решение соответствующей прямой задачи удается представить лишь в виде интегрального или интегро-дифференциального уравнения. Хотя, иногда, встречаются постановки обратных задач, решения которых, несмотря на их нелинейность, могут быть получены в виде формул. Схема исследования обратных задач для дифференциальных уравнений включает два этапа. На первом этапе конструируется решение прямой задачи и исследуются его свойства в предположении, что искомые функции являются известными и принадлежат конкретным функциональным пространствам. На втором этапе исследуется сама обратная задача. Используя построенное уравнение прямой задачи, последовательно строится соответствующая система уравнений обратной задачи. Затем доказываются теоремы существования, единственности и условной устойчивости решения обратной задачи, выявляются условия согласования данных обратной задачи. Цель исследования обратной задачи для дифференциального уравнений - конструктивное построение ее решения. В процессе исследования обратной задачи преодолеваются математические трудности: построение решения прямой задачи, которое имеет сложный вид; анализ свойств построенного решения прямой задачи; дифференцирование и интегрирование громоздких математических выражений, включая интегральные уравнения, применение приближенных методов решения и т.д. На это тратится много времени, есть вероятность сделать ошибку в вычислениях, которая может привести к неверному результату и ошибочным выводам.

С аналогичными трудностями сталкиваются и студенты при решении обратных задач для дифференциальных уравнений. Использование компьютерных математических пакетов на лабораторных занятиях по обратным задачам позволяет избежать некоторых трудностей при решении модельных обратных задач, хотя специальных команд, с помощью которых можно было строить решения обратных задач, у них нет. Студенты имеют возможность, не обращаясь к преподавателю, в результате последовательного выполнения соответствующих команд, находить аналитические и приближенные решения прямых задач для некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных, (см. рисунок 2) которые в дальнейшем будут использованы для выбора дополнительной информации о решении прямой задачи, построения системы интегральных уравнений обратной задачи; применять методы решения дифференциальных или интегральных уравнений; в процессе решения обратной задачи для наглядного анализа строить графики сложных функций и поверхностей, с помощью которых, например, оцениваются решения прямых и обратных задач, что существенно облегчает их анализ; находить решения различных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений; освободится тем самым от сложных рутинных математических преобразований; избавиться от страха допустить ошибку в процессе решения обратной задачи и т.д. Использование на лабораторных занятиях компьютерных математических пакетов в процессе обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений вносит позитивные изменения в деятельность студентов.