На второй стадии преобладает наглядно-образное мышление; оно позволяет решать задачи на основе оперирования уже не реальными предметами, а образами восприятия и представлений, содержащимися в детском опыте. На третьей, высшей, ступени развития ведущую роль в мыслительной деятельности приобретает отвлеченное, абстрактно-теоретическое мышление. Мышление выступает здесь в форме отвлеченных понятий и рассуждений, отражающих существенные стороны окружающей действительности, закономерные связи между ними. Овладение в ходе усвоения основ наук понятиями, законами, теориями оказывает значительное влияние на умственное развитие школьников.

Полученная характеристика стадий мышления позволила наметить основную линию его развития - от практического мышления, скованного конкретной ситуацией, к отвлеченному абстрактно-теоретическому мышлению, безгранично расширяющему сферу познания, позволяющему выходить далеко за пределы непосредственного чувственного опыта.

Под влиянием всевозрастающих требований к школьному образованию психологи начали исследовать зону ближайшего развития детей. Была поставлена задача, выяснить, каковы возможности мышления детей, если так изменить содержание и методы обучения, чтобы они активизировали развитие отвлеченного, абстрактно-теоретического мышления (В. В. Давыдов, С. Ф. Жуйков, Л. В. Занков, А. В. Запорожец, А. А. Люблинская, Н. А. Менчинская, А. В. Скрипченко, Д. Б. Эльконин и др.).

Эксперименты блестяще подтвердили гипотезу о гораздо больших, чем считалось ранее, возможностях интеллекта детей. Оказалось, что уже первоклассники могут оперировать отвлеченными символами, решать задачи на основе формул, овладевать грамматическими понятиями и т. д.

Вместе с тем установка на более раннее развитие отвлеченного, понятийного мышления, на его формировании на основе движения от абстрактного к конкретному - вероятно, вследствие подчас ошибочного понимания сущности этого процесса -- на практике нередко приводит к недооценке роли наглядности, конкретизации знаний, а также значения деятельности и других видов мышления. Нельзя забывать о том, что и отвлеченное, абстрактно-теоретическое мышление, далеко выходя за пределы чувственного опыта, только тогда обладает действенной силой, позволяет проникать в суть познаваемой действительности, когда оно неразрывно связано с наглядно-чувственными данными. Форсированное развитие отвлеченного мышления, без достаточной конкретизации усваиваемого материала, без связи с наглядно-практическим и наглядно-образным мышлением может привести к формальному усвоению знаний, к образованию пустых абстракций, оторванных от живой действительности.

Гармоничное развитие личности предполагает активизацию всех видов мышления, их совершенствование.

Необходимость развивать различные виды мыслительной деятельности вытекает из специфики мышления. Процесс открытия новых знаний и у ребенка, впервые познающего давно открытые человечеством истины, и у ученого, впервые проникающего за пределы известного, не происходят в виде строгих логических рассуждений, непосредственно опирающихся на знакомые закономерности.

Решение проблемы в словесном плане, на основе теоретических рассуждений развертывается постепенно, звено за звеном, человеку невозможно при этом охватить все необходимые звенья, что затрудняет установление взаимосвязи между ними. Включение в этот процесс наглядно-образного мышления дает возможность сразу, одним взглядом охватить все входящие в проблемную ситуацию компоненты, а практические действия позволяют установить взаимосвязь между ними, раскрыть динамику исследуемого явления и тем самым облегчают поиск решения.

Преобладание практических, образных или понятийных видов мыслительной деятельности определяется не только спецификой решаемой проблемы, но и индивидуальными особенностями самих людей.

Вот почему мы полагаем, что одним из важнейших принципов развития мышления является оптимальное (отвечающее целям обучения и психическим особенностям индивида) развитие разных видов мыслительной деятельности: и абстрактно-логического, и наглядно-образного, и наглядно-действенного мышления.

1.7.4 Формирование приемов умственной деятельности

Исследования процесса усвоения и применения знаний показали, что обычно учащиеся усваивают содержательную сторону знаний и непосредственно с ней связанные конкретные приемы решения довольно узкого круга задач. Лишь у школьников с высокой обучаемостью на основе решения единичных задач формируются обобщенные приемы, методы решения целого класса задач. Формирование такого рода обобщенных приемов умственной деятельности чрезвычайно важно, так как оно означает существенный сдвиг в интеллектуальном развитии, расширяет возможности переноса знаний в относительно новые условия. Поскольку основная масса учащихся самостоятельно не овладевает более обобщенными приемами умственной деятельности, их формирование должно стать важной задачей обучения.

В соответствие с этим одним из принципов развития мышления является специальное формирование обобщенных приемов умственной деятельности. Обобщенные приемы умственной деятельности делятся на две большие группы - приемы алгоритмического типа и эвристические.

Остановимся сначала на характеристике приемов алгоритмического типа.

Это приемы рационального, правильного мышления, полностью соответствующего законам формальной логики. Точное следование предписаниям, даваемым такими приемами, обеспечивает безошибочное решение широкого класса задач, на который эти приемы непосредственно рассчитаны.

Вооружение учащихся правильными, рациональными приемами мышления, обучение тому, как определять понятия, классифицировать их, строить умозаключения, решать в соответствии с данным алгоритмом задачи, оказывает положительное влияние и на самостоятельное, продуктивное мышление, обеспечивает возможность решения задач-проблем.

Формирование приемов мыслительной деятельности алгоритмического типа, ориентирующих на формально-логический анализ задач, является необходимым, но не достаточным условием развития мышления. Необходимо оно, во-первых, потому, что содействует совершенствованию репродуктивного мышления, являющегося важным компонентом деятельности (особенно на начальном и конечном этапах решения проблем). Во-вторых, эти приемы служат тем фондом знаний, из которых ученик может черпать строительный материал для создания, конструирования методов решения новых для него задач. Недостаточным формирование алгоритмических приемов является потому, что не соответствует специфике продуктивного мышления, не стимулирует интенсивное развитие именно этой стороны мыслительной деятельности.

Вот почему формирование таких приемов должно сочетаться со специальным вооружением учащихся приемами эвристического типа.

Приемы другого типа назвали эвристическими потому, что они непосредственно стимулируют поиск решения новых проблем, открытие новых проблем, открытие новых для субъекта знаний и тем самым соответствуют самой природе, специфике творческого мышления. В отличие от приемов алгоритмического типа, эвристические приемы ориентируют не на формально-логический, а на содержательный анализ проблем. Многие эвристические приемы стимулируют включение в процесс решения проблем наглядно-образного мышления, что позволяет использовать его преимущество перед словесно логическим мышлением - возможность целостного восприятия, видения всей описываемой в условии ситуации.

Включая имеющиеся в условии задачи данные в различные связи, в новые ситуации, решающий тем самым вычерпывает их новые признаки, используя оптимальный для творческого процесса анализ через синтез.

К эвристическим приемам относится конкретизация, когда ученик придает абстрактным данным условиям более конкретную форму. Противоположным является прием абстрагирования, когда решающий отбрасывает конкретные детали, оголяя данные и соотношения между ними.

Наиболее распространенным приемом, облегчающим выявление функциональных связей между данными, является варьирование. Широко используются при решении проблем приемы аналогии, постановка аналитических вопросов.

Итак, алгоритмические приемы обеспечивают правильное решение задач известных учащимся типов; они учат школьников логике рассуждений, служат фоном, который возможно использовать при поисках решения проблем. Эвристические приемы позволяют действовать в условиях неопределенности, в принципиально новых ситуациях, облегчая поиск решения новых проблем.

Следовательно, одним из принципов развития мышления должно быть специальное формирование как алгоритмических, так и эвристических приемов умственной деятельности.

2. Некоторые пути развития мышления учащихся 5-7 классов при обучении их геометрии по учебникам В.А. Гусева

Ни один школьный предмет не может конкурировать с возможностями математики в воспитании мыслящей личности. Особое значение математики в умственном развитии отметил еще в ХVIII веке М. В. Ломоносов: "Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит".

Математика является тем предметом, на материале которого можно проводить целенаправленную работу по развитию мышления учащихся. В самом деле, развитие мышления школьников тесно связано с формированием приемов мышления в процессе их учебной деятельности. Эти приемы мышления (анализ, синтез, обобщение, абстрагирование и т. д.) выступают также как специфические методы научного исследования, особенно ярко проявляющиеся при обучении математике и в частности при решении задач.

Но зачастую у школьников возникают проблемы с усвоением систематического курса геометрии, связанные, прежде всего с тем, что геометрия - единственная школьная дисциплина, которая строится на дедуктивно-аксиоматической основе и поэтому предъявляет повышенные требования к развитию логического мышления.

2.1 Проблема содержания школьного курса геометрии. Требования к учебнику

Курс геометрии занимает большое место и играет важную роль в школьном математическом образовании. На него приходится около 40% учебного времени, отводимого на математику в 5-11 классах, причем геометрия изучается на протяжении всего времени обучения в школе.

Основное содержание школьного курса геометрии сохраняется стабильным почти 200 лет и своими истоками имеет «Начала» Евклида.

Например, в учебнике геометрии А.П. Киселева реализован последовательный теоретический курс элементарной геометрии Евклида. Большое внимание уделяется идеям движения. Они используются не только для доказательств, но и для изложения понятий вращения вокруг точки, перенесения. Данный учебник содержит наибольший объем материала по элементарной геометрии по сравнению с последующими учебниками геометрии. В нем нет элементов аналитической геометрии, теория пределов перенесена в учебник алгебры того же автора.

В развитии геометрического образования в то время отмечался неуспех, так как оно было направлено на развитие логического мышления как единственного типа в ущерб всем остальным, а эффективное использование преобразований для решения задач, доказательства теорем требовало определенного уровня развития образного мышления. Поэтому не только ученики, но и учителя не обладали должным уровнем развития образного мышления. Невнимание к формированию образного мышления объясняется тем, что в 50-70 годы ослаб интерес исследователей к проблеме развития образного мышления. Кроме того, отсутствовала эффективная методика изучения в школе оснований геометрии. Сыграла, на наш взгляд, свою отрицательную роль и психологическая неготовность учителей к альтернативному построению элементарной геометрии.

В учебнике геометрии для средней школы А.В. Погорелова делается упор на высокую квалификацию учителя, на его методические вкусы. Он видит свой учебник как книгу для самостоятельного чтения учениками после объяснения учителя, а все методические аспекты (в том числе и различные подходы к объяснению учебного материала) есть удел книги для учителя. Учебник представляет собой обновленное и более строгое изложение геометрии в духе А.П. Киселева.

Академик А.В. Погорелов на первое место ставит также развитие логического мышления учащихся. Он пишет: «Предлагая курс, мы исходили из того, что главная задача преподавания геометрии в школе научить учащихся логически рассуждать, аргументировать свои утверждения, доказывать» [19, 60].

В школах страны одновременно с учебником А.В. Погорелова проходил проверку учебник геометрии Л.С. Атанасяна. Изложение материала в данном учебнике носило дедуктивный характер. Гораздо больше внимания, чем А.В. Погорелов, автор уделял наглядности.

Несколько позже в школах появился учебник геометрии А.Д. Александрова.

Отметим, что А.Д. Александров считает, что в определенных условиях «ради наглядности можно жертвовать логической точностью и обоснованностью».

Как и в учебнике А.В. Погорелова, основным методом доказательства в учебниках А.Д. Александрова и Л.С. Атанасяна является метод равных треугольников, что сближает рассматриваемый учебник с учебником А.П. Киселева.

В течение последних лет ушедшего столетия в разных регионах России у разных авторов возникло желание изменить отношение к школьному учебнику вообще. Это привело к появлению большого количества новых учебных программ по геометрии, которые при всем многообразии общеобразовательных целей решают три основные задачи:

- преодоление существенного разрыва между изучением плоских и пространственных фигур;

- создание у учащихся гибких, многомерных пространственных образов, включающих в единстве топологические, проективные, метрические свойства и отношения изучаемых объектов;

- сочетание инвариантного и вариантного учебного материала, позволяющего учитывать познавательный профиль ученика, его индивидуальную избирательность к виду и форме предлагаемых заданий и упражнений.

Сейчас проводятся различные эксперименты по более раннему изучению курса геометрии, в котором преодолен существенный разрыв между изучением плоских и пространственных фигур.

Примером такого учебника является "Геометрия 5-6" В.А. Гусева. Данный учебник построен на идее фузионизма.

Основными целями обучения геометрии в этом возрасте по В.А. Гусеву является:

- развитие пространственного мышления как разновидности образного;

- познание окружающего мира ребенка с геометрических позиций как базы создания учащимися геометрической картины мира;

- развитие рефлексивных способностей учащихся.

В.А. Гусев, основываясь на свой учебник, написал статью, «Каким должен быть школьный учебник», в ней он говорит: «Школьные учебники непонятны и не интересны учащимся потому, что не для них писаны. Ученик не может пользоваться учебником без помощи учителя - такова, к сожалению, реальность»[10, 2]. Но это не особенность нашей страны, так сложилось исторически.

При сохранении в современной школе авторитарности учебника на учителя ложится дополнительная обязанность: обеспечение понимания учащимися учебного текста. Учитель вручает учебник ученику и руководит процессом «прохождения» материала. Темп «прохождения» задает исключительно учитель, без его указаний ученик, как правило, к учебнику не обращается, поскольку учебник по стилю изложения и отбору материала ему не адресован. Учебник не интересен ученику, он не интригует, не будит воображение, не предлагает в чем-либо убедиться или разубедиться. Учителя добросовестно стараются сделать неинтересные учебники интересными для учащихся.

В.А. Гусев считает: «Новые учебники должны становиться своеобразными «самоучителями» для учащихся. Учебник, а не учитель должен стать для ученика основным источником получения информации. Учебник нового типа должен писаться «под ученика»»[10, 3].

Каким должно быть отношение ученика и учителя к таким пособиям? Учебник должен в какой-то мере сразу заинтересовать ученика, должно возникнуть желание, без команды со стороны взрослых, полистать учебник. С течением времени учебник должен стать для него личностно значимой книгой, над которой хочется иной раз, поразмышлять, к которой хочется время от времени возвращаться. Очень важно, чтобы учитель ненавязчиво инициировал свободную работу учащихся с учебником и при этом старался сделать так, чтобы у них не возникало внутренней установки, что надо обязательно «пройти» весь учебник, усвоить все его разделы и выполнить все задания. Для этого учителю нужно, отталкиваясь от учебника, разработать и реализовать в классе собственную систему уроков. Учитель должен четко понять (и непременно разъяснить это родителям учеников), что данный учебник заведомо содержит избыточную информацию (по сравнению с госстандартами), и что принципиально исключается принудительное заучивание.

Завершая статью, В.А. Гусев подчеркивал, что следует обратить внимание на насущную необходимость появления рецептов по написанию новых учебников, разработки их концепций.

В течение ушедшего века математики, педагоги, методисты решали одну из сложнейших проблем теории обучения математике в средней школе - как эффективно построить и преподать школьную геометрию. Многочисленные выдающиеся математики, известные методисты занимались решением данной проблемы, но подошли к XXI в., так и не решив ее до конца. Перечислим те вопросы, решать которые предстоит в этом веке.

1. Какой геометрический материал должен сопровождать ребенка в дошкольном возрасте и в начальной школе?

Сформулированная проблема интересовала специалистов на протяжении всего XX в., но, к сожалению, удалось сделать не так уж много. Да, были предложены интересные концепции знакомства детей пяти-восьми лет с миром геометрии. Однако на данный момент невозможно четко выделить требования к знаниям, умениям, представлениям, которые дети получают при изучении геометрического материала к концу начальной школы. В целом в начальной школе о многом шла речь, но что осталось у ребенка и на что можно опереться в последующем обучении - остается неясным. Следует четко обозначить пусть то немногое, что должно быть сделано в начальной школе.

2. Каковы цели изучения геометрического материала в 5-6 классах?

Во-первых, геометрического материала мало, он в основном направлен на пропедевтику будущих систематических знаний, во-вторых, по отношению к начальной школе, что за эти два года изучено, сформировано, отработано хотя бы на уровне представлений - понять трудно, а это значит, что в последующих классах все придется начинать сначала.

Главная проблема состоит в том, что для этого возраста необходимо создать специальный курс геометрии, соответствующий огромной активности и большим возможностям, присущим ученикам 5-6 классов. Должна быть построена четко спланированная, продуктивная, интересная работа по усвоению геометрических знаний, которая к 11 классу даст свой эффект.

3. Проблема содержания геометрии 7-9, 10-11 классов

Следует отметить, что учебники в значительной степени похожи друг на друга. Хотя менялись формулировки определений, аксиом, теорем, менялась последовательность тем, появлялись оригинальные технологии изложения учебного материала. Безусловно, во второй половине XX в. в школьный курс вошли такие темы, как координаты, векторы, геометрические преобразования, но и они были введены фактически в объеме углубленного изучения и на уровне массовой школы не срабатывали.

Можно назвать два, «революционных» момента в методике преподавания геометрии в России за последние полвека.

А.Н.Колмогоров в своем учебнике «Геометрии 7-9» предложил вводить понятие равенства фигур как их тождественное совпадение и использовал с этой целью термин конгруэнтность фигур. Это привело к многочисленным теоретико-множественным проблемам, решение которых не было посильным массовому ученику, да и вряд ли ему нужным. В результате предложенная попытка не прижилась.

Любой из существующих на данный момент учебников геометрии, если в нем четко не выделен обязательный для всех учащихся учебный материал, можно отнести к углубленному изучению, особенно если учесть, что при этом приходится решать определенное количество задач, которые, как правило, посильны не для всех.

Большая ошибка заключается в том, что углубленное изучение геометрии связывают с работой специализированных школ и классов и при этом забывают, что на подавляющей части территории России нет возможности открывать такие школы и классы: просто нет квалифицированного учителя математики.

Нужна хорошая учебная книга - учебник, который бы содержал и необходимый минимум для всех, и материал для продвинутого обучения, так как рассчитывать, что ученик купит разные книги в зависимости от своего уровня развития, просто не приходится.

До недавнего времени всякое углубленное изучение формально начиналось в 10 классе и продолжалось два года. В настоящее время углубленное изучение геометрии часто начинается в 7 классе. В учебниках для 5-7 классов есть материал от минимального уровня, посильного каждому, до достаточно высокого уровня продвинутого обучения. Начиная с 7 класса, будет две версии учебников: одна для массового обучения и одна для углубленного, где на геометрию выделяется дополнительное учебное время.

4. Разумно ли изучать геометрию на абстрактном формализованном уровне в отрыве от процессов познания окружающего мира?

Прежде всего, следует определить свое отношение к проблеме знакомства учащихся с идеями аксиоматического метода. Действующие учебники по геометрии содержат серьезную аксиоматику, правда, как ею должен пользоваться и учитель, и ученик, остается неясным. К концу века многие педагоги пришли к мысли о том, что в массовой школе невозможно сколь-либо полное знакомство учащихся с аксиоматическим построением курса геометрии.

Что же касается взаимосвязей изучения курса геометрии и познания окружающего мира, то лучше, чем популяризатор математических и естественнонаучных знаний Я.И. Перельман, об этом не скажешь: «Какой, в самом деле, интерес может представлять для учащегося изучение формальной геометрии? Почти никакого главным образом потому, что ему непонятна цель се изучения. Перебирая возможные цели преподавания школьной геометрии, мы должны, конечно, исключать такие отвлеченные и непонятные ученику цели, как развитие пространственной интуиции воспитание логического мышления: цели эти могут ставиться учителем, но для ученика являются лишь результатом изучения геометрии, а не заранее осознанной целью. Третья цель - познание свойств геометрических фигур - могла бы служить для учащегося воодушевляющим стимулом только в том случае, если бы он ощущал потребность в знании этих свойств. Само же по себе изучение свойств воображаемых фигур, заведомо не существующих в реальной действительности, не может большинству учащихся казаться нужной и осмысленной работой. И до тех пор, пока в глазах ученика единственное применение свойств геометрических фигур состоит лишь в том, что с помощью их выводятся другие геометрические свойства, которые, в свою очередь, служат для обоснования новых, - нельзя ожидать, чтобы такая неуловимая цель могла поддерживать интерес к изучению предмета.

Другое дело, когда учащиеся почти на каждом шагу убеждаются, что знание свойств геометрических фигур с успехом применимо к разрешению многочисленных и разнообразных задач, возникающих в действительной жизни - в обиходе, в технике, в естествознании. Тогда, и только тогда, изучение геометрии с первых же уроков приобретает живой интерес для учеников, для всех, а не ограниченного числа лишь наиболее одаренных. И если желательно, чтобы преподавание геометрии не было в глазах учащихся бесцельным занятием, лишенным смысла и интереса, необходимо поставить обучение так, чтобы ученик приучался широко и уверенно распоряжаться приобретаемыми геометрическими знаниями для решения разнообразных реальных задач. Он должен чувствовать, что геометрия снабжает его применимыми к жизни сведениями, вооружает могущественным орудием познания действительности» [10, 5].

Эта большая цитата из книги И.Я. Перельмана остается весьма актуальной. К сожалению, в практике создания учебников геометрии для школ вне зависимости от того, массовая это школа или школа с углубленным изучением математики, почему-то полностью или почти полностью игнорировались эти мудрые высказывания. Вместе с тем появилось довольно много книг и исследований, посвященных так называемой прикладной направленности изучения геометрии.

5. Следует ли по-прежнему в школе вначале долго изучать планиметрию и лишь в двух старших классах переходить к изучению пространства?

Вопрос этот имеет большую историю, и ответ на него совершенно не очевиден. Рассмотрим некоторые методологические аспекты.

Прежде всего, следует исходить из того, что вокруг нас нет ни одного плоского объекта. Все в мире трехмерно, все школьные дисциплины изучают пространственные объекты и процессы. Но кто же тогда разделил геометрию на две части: планиметрию и стереометрию? И зачем?

Хорошо известно, что это сделал Евклид в своих «Началах». Вместе с тем исторически доказано, что Евклид никогда не считал свои «Начала» учебником по геометрии для начинающих и полагал, что эту книгу должны читать люди, которые уже изучали геометрию ранее. Вот почему Евклид «отодвигает стереометрию в самый конец своего курса, как можно дальше от планиметрии, что можно объяснить целью развития планиметрии ее собственными средствами, не прибегая к стереометрии. Эта цель объясняется сверхзадачей, поставленной Евклидом перед курсом геометрии - логическим строением замкнутой в себя системы геометрии».

Тем не менее, многие столетия в школах мира, это относится и к России, «изучают геометрию по Евклиду».

У детей младшего школьного возраста наиболее развитым является наглядно-образное мышление, и поэтому курс геометрии строится на идеях фузионизма - взаимосвязанного изучения свойств плоских и пространственных фигур.

6. Какое изложение в школьных учебниках доказательства теорем?

Казалось бы, смешно учить авторов школьных учебников рассуждать и доказывать, тем более таких, как А.Н. Колмогоров, Л.С. Атанасян, А.В. Погорелов, А.Д. Александров и многие другие. Вместе с тем неверно считать, что дети должны рассуждать и доказывать как профессиональные математики и повторять и заучивать наизусть имеющиеся в учебниках доказательства.

Так вот одним из самых противоречивых сторон реализации поставленных проблем в школьных учебниках по геометрии является то, что в них совершенно не показано, как думало человечество, создавая ту или иную теорию, более того, там нет попыток показать, как думал математик, проводя то или иное доказательство, и уж практически совсем нет попыток учить ученика рассуждать и доказывать. Казалось бы, тогда зачем учитель. Во-первых, учитель тоже должен учиться на примере учебника, а, во-вторых, совсем не все учителя в состоянии удовлетворительно решать поставленные выше проблемы. Как правило, все учебники излагают уже готовые мысли, часто совершенно непонятно откуда взявшиеся, и без достаточных ссылок на те положения, из которых эти мысли получены. Это приводит к неприятию массовым учеником соответствующих текстов. Конечно, учитель старается преодолевать эти трудности, опытный квалифицированный учитель переписывает многие доказательства, ищет пути обучения учащихся рассуждать и доказывать. Вместе с тем, если бы этих трудностей не было, учитель мог бы свою деятельность направлять по более эффективному пути.

Перечислены далеко не все серьезные проблемы, которые на рубеже тысячелетий остаются нерешенными и волнуют всех, кто связан с преподаванием геометрии. Но это не значит, что надо относиться ко всему созданному, ко всему накопленному, ко всему сделанному в области математического образования негативно.

Мы кратко сформулировали проблемы, стоящие перед курсом школьной геометрии на рубеже веков. Покажем, что для этого делается в новых учебниках «Геометрия 5-6», «Геометрия 7» В.А. Гусева.

2.2 Программа курса «Геометрия» В.А. Гусева для 5-7 классов

В 2002 г. Министерство образования РФ выдало гриф «Департаментом образовательных программ и стандартов общего среднего образования Министерства образования Российской Федерации допущено в качестве экспериментальной программы» на программу В.А. Гусева курса «Геометрия 5-11».Одновременно с этим вышло учебное пособие В.А. Гусева «Геометрия 5-11», на которое было получено Заключение секции математики Федерального экспертного совета Министерства образования России: «Допущено Министерством образования России в качестве учебного пособия для 5 -11 классов общеобразовательных учреждений».

Программа курса «Геометрия» для 5-6 классов общеобразовательных учреждений состоит из двух глав: Введение в геометрию и геометрические фигуры. Первая глава состоит из двух тем - это «Геометрия как учебный предмет»(2 часа) и «Плоскости, точки, прямые и их расположение в пространстве» (10 часов). Вторая глава «Геометрические фигуры» состоит из 7 тем - это «Общее представление о геометрических фигурах» (7 часов), «Отрезки. Измерение отрезков. Расстояния» (9 часов), «Ломаная» (4 часа), «Окружность и круг. Сфера и шар» (8 часов), «Разбиение прямой» (3 часа), «Углы, их измерение и применение» (6 часов) и «Треугольники. Многоугольники Многогранники» (13 часов).

Для 7 класса программа состоит из трех глав. Первая - продолжение главы второй 5-6 классов «Геометрические фигуры», состоит из четырех тем - это «Смежные углы» (3 часа), «Многогранные углы» (4 часа) и «Пирамиды» (3 часа). Вторая - «Симметрии и равенство фигур», состоит из трех тем - «Задачи на построение» (11 часов), «Повороты и вращения. Изометрии» (4 часа), «Симметрии» (6 часов). И третья глава «Взаимное расположение прямых» состоит из двух тем - «Перпендикулярные прямые» (14 часов), «Геометрические величины» (9 часов).

2.3 Методические особенности учебников «Геометрия 5-6», «Геометрия 7» В.А. Гусева

1. Общие задачи курса

Основной задачей курса «Геометрия 5-6», «Геометрия 7» является обеспечение всех учащихся необходимым базовым уровнем математической подготовки в области геометрии, определенным в существующих временных стандартах математического образования средней школы (1-11 классы), а также закладывание основ развивающего и непрерывного образования. Этот курс способствует получению всеми учащимися необходимых знаний и умений для изучения смежных дисциплин, гарантирует возможность продолжения общего среднего образования, а также получение высшего образования в соответствии с потребностями, интересами и способностями учащихся.

Курсы «Геометрия 5-6», «Геометрия 7» опираются на геометрические представления, некоторые знания и умения, полученные учащимися в процессе обучения с 1 по 4 классы.

Учебник содержит:

* обязательный для усвоения всеми учащимися теоретический материал, содержащий четко выделенный объем изучаемых вопросов (он выделяется сплошной чертой на полях учебника с левой стороны);

* дополнительный теоретический материал, позволяющий обеспечить развивающее и углубленное обучение;

* задачный материал, гарантирующий прочное усвоение базовых знаний;

* систему проблемных вопросов, творческих задач и исследовательских заданий, позволяющих учащимся удовлетворять свои потребности в более глубоком познании геометрического материала, а также задачи межпредметного содержания;

* исторические материалы, связанные с изучением соответствующих тем курса, и т. д.

Курс должен преподаваться таким образом, чтобы не ограничивать учащихся уровнем обязательного теоретического материала, выделенного на полях учебника чертой. Учебный материал должен стимулировать учебную деятельность учащихся, способствовать мотивации обучения.

В курсе «Геометрия 5-11» реализованы следующие методические принципы изложения учебного материала:

1. В учебнике выделяется обязательный для усвоения всеми учащимися учебный материал, полностью соответствующий государственному стандарту.

2. Наряду с возможностью получения каждым учеником необходимого базового геометрического образования учебник дает широкие возможности по расширению и углублению изучаемого материала. Изложение материала должно быть непрерывным, поскольку четкую границу перехода от базового курса к углубленному провести невозможно.

3. Программа применима и в случае перехода к 12-летней школе, при этом изменяется лишь календарное планирование изучения учебного материала.

2. Основная концепция курса: «Я в пространстве»

Школьный курс геометрии традиционно состоит из двух основных разделов: планиметрии, изучающей плоские фигуры и их свойства, и стереометрии, изучающей пространственные фигуры и их свойства.

Такой подход к построению школьного курса геометрии имеет ряд отрицательных сторон.

* Прежде всего, раздельное изучение свойств фигур на плоскости и в пространстве не позволяет ученику увидеть многих общих закономерностей геометрии, ему представляется, что планиметрия и стереометрия - это две различные науки.

* Приложения планиметрии достаточно искусственны или слишком упрощенны, они не отражают в достаточной мере связь геометрии с окружающим миром, тем более что многое об окружающем мире изучается довольно рано, параллельно с курсом геометрии 5-7 классов. Без изучения свойств пространственных фигур школьный курс черчения не имеет никакой теоретической базы. Это же относится и к курсам физики, географии, химии, которые изучают свойства трехмерного окружающего мира.

* В настоящее время многие учащиеся завершают или прерывают математическое образование в 9 классе, то есть, изучив фактически только планиметрию, поскольку преподавание стереометрии начинается только с 10 класса. Это приводит к тому, что базовое образование не дает необходимого эффекта для развития личности ученика, не готовит его к жизни, к практической деятельности.

В последнее время в различных вариантах учебников для начальной школы помещается все больше геометрического материала, в котором преобладает изучение свойств фигур в пространстве.

Существует очень много аналогий между некоторыми плоскими и пространственными фигурами (линейные и двугранные углы, многоугольник и многогранник, круг и шар, окружность и сфера, площадь и объем). Аналогия помогает не возвращаться к излишним повторениям, на которые расходуется большое количество учебного времени (уменьшение числа постулатов, теорем, утверждений).

Поэтому основной методической линией курса «Геометрия 5-6», «Геометрия 7» является взаимосвязанное изучение свойств плоских и пространственных фигур. Плоские фигуры и их свойства изучаются не сами по себе, а как части пространственных геометрических фигур. Например, плоскость изучается как часть пространства (например, пол, стена и потолок класса)

3. Учебник для ученика

Практически все учебники по геометрии, написанные в XX веке, нельзя считать учебниками для учащихся - сам стиль изложения материала в них наводит на мысль, что эти учебники были написаны для учителя, который будет по нему работать лишь после соответствующего обучения. Нередки случаи, когда не только ученики не понимают, что написано в учебниках, но и учителя испытывают большие трудности при работе с ними.

Учебники «Геометрия 5-6», «Геометрия 7» написаны в принципиально другом стиле - для ученика. Ученик должен полностью понимать и принимать излагаемый материал, по крайней мере, тот, который выделен в качестве обязательного. Учитель избавлен от необходимости «переводить» учебник для ученика, он может просто «дирижировать процессом изучения материала».

Что понимается под словами учебник для ученика?

* Прежде всего, это стиль диалога с учеником, обсуждение с ним всех возникающих проблем, обязательная постановка этих проблем и совместное движение вперед. Надо стараться учить математике так, чтобы у ученика создавалось ощущение, будто он сам ее открывает.

* Большое значение имеет оформление книги, большое количество иллюстраций, без которых ученика трудно увлечь математикой. Традиционные учебники по геометрии в большинстве своем довольно бесцветны.

* Геометрия и познание окружающего мира, геометрия и формирование научного мировоззрения учащихся, геометрия и этапы развития человеческой культуры - все это объединяется в рамки учебника. Этим обусловлено наличие эпиграфов, цитат, исторических экскурсов и т. д.

* Часть материала учебника доступна каждому ученику. Но главное в учебнике - «пища для ума» для учащихся с различным уровнем математических способностей. С этой целью излагается и более сложный материал в приемлемом для ученика виде.

4. Формирование общей картины мира

Курс «Геометрия 5-6», «Геометрия 7» направлен на формирование у учащихся общей картины мира, предоставляет широкие возможности его познания с использованием геометрических знаний. Материал курса развивает представления учащихся, полученные ими в начальной школе, и позволяет совместно с другими естественнонаучными дисциплинами познавать окружающий мир.

Автор решает следующую методическую задачу: показать, как геометрия помогает познавать окружающий мир, как с помощью геометрии понять его закономерности, как использовать геометрию в практической жизни. Например, полупространство имеет практическое значение. Плоскость, проходящая через экватор Земли - это граница двух полупространств, в которых находится два земных полушария (Северный и Южный полюс Земли находятся в разных полупространствах, и можно сделать вывод, что Россия находится в одном полупространстве).

5. Развитие мыслительной деятельности

Курс «Геометрия 5-6», «Геометрия 7» открывает широкие возможности для формирования мыслительной деятельности всех учащихся. Курс направлен на формирование умственного развития учащихся посредством отработки конкретных приемов умственной деятельности: прежде всего синтеза и анализа, а затем абстрагирований, сравнения, обобщения, конкретизации, аналогии. Одной из основных целей курса является формирование дедуктивного мышления учащихся.

Процесс формирования приемов мыслительной деятельности осуществляется с помощью специально подобранной системы упражнений. Вопросы, задачи и задания к каждому разделу изучаемой темы объединены в шесть групп. Каждая группа задач обозначена соответствующим знаком и имеет свои четко обозначенные цели:

Это «задачи на синтез», задачи, формулирующие синтетическую деятельность учащихся. Задачи-вопросы для самоконтроля учат делать выводы, т.е. получать следствия из условия задачи, из промежуточных результатов и т. д.; с их помощью легко проверить, усвоен ли основной теоретический материал: уметь решать такие задачи должен каждый ученик;

более сложные задачи для самоконтроля, в которых нужно не только получить следствие из условия задачи, но и выяснить причину появления этого следствия. Это «задачи на анализ», т. е. задачи, формирующие умение владеть приемом «анализ», а затем и аналитической деятельностью.

Например, если в задачах на синтез мы спрашиваем: «На прямой отмечены 6 точек. Сколько отрезков при этом получилось?», то в задачах на анализ вопрос ставится так: «Сколько точек нужно поставить на прямой, чтобы получилось 6 отрезков?»

стандартные задачи -- наиболее простые задачи, без умения решать которые нельзя получить положительную оценку;

учебные задачи - самая многочисленная группа задач, которые приходится решать в классе и дома; они позволяют усвоить основной материал учебника и перейти к решению более сложных геометрических задач;

творческие задачи, которые не удается решить стандартными методами, для их решения нужно выдвинуть некоторую идею;

исследовательские задания, которые требуют для своего решения знаний сразу нескольких тем курса: такие задачи не могут полностью решаться в классе, они предполагают работу дома.

Взаимосвязи приемов синтеза и анализа всегда многогранны. Следует выделить еще такие два приема умственной деятельности - это «синтез через анализ» и «анализ через синтез».

Также в учебниках В.А. Гусева есть задачи, несущие новую информацию, которые делятся на пять видов: К первому и второму виду относятся задачи, составляющие основу содержания обучения.

Первый вид задач попадает это выделенный для обязательного изучения материал, а второй вид не попадает.

Третий и четвертый вид составляют систему задач, относящихся к углубленному изучению.

Решения третьего вида задач используются при рассмотрении различных фактов и их приложений, но они не могут решаться в массовой школе, так как для их решения просто нет соответствующего учебного времени.

Четвертый вид задач содержат интересные яркие факты, эти задачи явно предназначены для углубленного изучения.

К пятому виду относятся задачи, которые раскрывают перед учащимися новые свойства изучаемого ими объекта, но решение таких задач во время изучения данного объекта нет возможности, так как у учащихся нет для этого необходимых теоретических фактов или методов.

6. Наглядность обучения

В курсе «Геометрия 5-6», «Геометрия 7» большое внимание уделено наглядности изучаемого материала. Логика выступает как средство подтверждения выводов, сделанных из соображений наглядности и практической значимости, а не наоборот. Вместе с тем логика составляет основу рассуждений и практических действий.

Реализацией этого принципа изложения учебного материала является большое число рисунков. В традиционных учебниках геометрические рассуждения иллюстрируются, как правило, одним рисунком, который содержит и исходные данные, и предположения, и дополнительные построения. В учебнике каждому действию соответствует свой рисунок, что превращает действие в осмысленное, раскрывает динамику построений и рассуждений.

7. Определения понятий

В курсе геометрии приходится иметь дело с большим числом понятий, так как изучаются свойства большого числа фигур и различные отношения между ними. Для объяснений содержания новых понятий используются определения.

При определении любого нового понятия употребляются другие понятия, которые должны быть уже известны. Но нельзя дать определения всем понятиям, так как иначе цепочка ссылок на ранее известные понятия была бы бесконечной. Поэтому некоторые понятия необходимо принимать без определений в качестве основных (точка, прямая, плоскость). Выбор понятий, принимаемых без определения, и их число, как правило, зависят от автора, разрабатывающего данный курс. В чисто математических работах количество неопределяемых понятий стараются свести к минимуму. В курсе неопределяемые геометрические понятия специально не выделяются, их количество не обсуждается.

Среди неопределяемых отношений можно назвать: принадлежность, лежать между. Следует отметить, что характеристика неопределяемых отношений в меньшей степени участвует в курсе, чем характеристика геометрических фигур.

Умение определять фигуры, работать с определениями, требовательность к формулировкам определений являются необходимыми элементами общей культуры каждого человека.

Суть работы, связанной с определениями геометрических фигур, состоит в следующем:

* Все фигуры состоят из точек (понятие геометрической фигуры определяется как произвольное множество точек);

* В некоторых случаях определения содержат интуитивно ясные слова: «часть плоскости», «часть пространства», «переходить», «соответствовать» и т.д.

В курсе геометрии есть одна методическая особенность, связанная с введением понятий. Традиционно новому понятию сначала дают определение, а затем используют. Так получается далеко не всегда. Поэтому разрешается сначала говорить о том или ином понятии на интуитивно-наглядном уровне и лишь потом строго его определять (например, определение треугольника).

8. Аксиомы, теоремы, доказательства

Изучая курс геометрии, учащиеся должны понять, что геометрические предложения логически связаны между собой. Это означает, что одни предложения можно выводить из других, не пользуясь свойствами фигур, взятыми из опыта, из наблюдений, из «наглядных соображений». Процесс получения логических следствий называют рассуждениями или доказательствами.

Но доказать логически все предложения геометрии невозможно. Некоторые из предложений геометрии принимаются без логического доказательства. Такие предложения, как известно, называют аксиомами геометрии.

В течение XX века, как в России, так и за ее пределами предпринимался целый ряд попыток аксиоматического построения школьной геометрии, при этом роль и место аксиоматического метода в изучении курса геометрии были различны. Аксиоматическое построение курса геометрии оказалось практически невозможным, прежде всего потому, что для такого изучения просто нет учебного времени. Кроме того, такой подход требует учета индивидуальных особенностей общего и математического развития каждого ученика.

Однако изложение геометрического материала, лишенное какой-либо основы, не закладывающее возможности обосновывать и доказывать рассматриваемые утверждения, также невозможно. В курсе «Геометрия 5-6», «Геометрия 7» используется лишь традиционные аксиомы пространства. Их наглядность, доступность и проверенность практикой не вызывает сомнений, но вместе с тем они обеспечивают необходимый уровень логического и общего развития.

Особое внимание уделяется проведению доказательств.

Геометрия и ее изучение должны учить рассуждать, обосновывать и доказывать, а существующие методики направлены в значительной степени на заучивание готовых доказательств. Идея курса геометрии В.А. Гусева состоит в том, чтобы доказательства не сообщались в готовом виде, не навязывались ученику. Главное, чтобы ученик всегда чувствовал необходимость того или иного рассуждения или доказательства и сам пытался что-то предложить и проверить (например, теорема 4 - у любого многоугольника каждый угол меньше 180є, ученики сами предлагали какие-то идеи и пытались доказать).

Основными требованиями к проведению доказательства являются:

* полная ясность в том, что дано и что требуется доказать;

* усиление роли чертежа, причем чертежи сопровождают весь ход доказательства;

* формирование у учащихся потребности в проведении доказательств; общая стратегия доказательства и любого его этапа должны быть мотивированы, обсуждены, самостоятельно осмыслены и зафиксированы;

* указание ссылок на использование в доказательстве аксиом, определений, доказанных ранее теорем или ссылок на предыдущие пункты доказательства.

2.4 Роль фузионизма в развитии мышления учащихся

Термин фузионизм происходит от латинского слова fusio - слияние. Именно так в XIX веке называли слитное преподавание различных школьных предметов. Фузионизмом также называли слитное преподавание нескольких разделов математики: алгебры и геометрии; геометрии и арифметики; планиметрии и стереометрии.

Еще в середине XVIII века во Франции одно из первых упоминаний о слитном преподавании (фузионизме) планиметрии и стереометрии можно найти в знаменитом плане Даламбера. План курса геометрии стал известен в России и привлек внимание Николая Ивановича Лобачевского, которому очень понравилась идея слитного преподавания плоской и пространственной геометрии. В дальнейшем он разработал и представил единый фузионистский курс геометрии.

Действительно очень много аналогий существует между некоторыми плоскими и пространственными фигурами и, изучая их раздельно друг от друга, мы отказываемся видеть то, что дает полная аналогия между ними: она помогает не возвращаться к излишним повторениям. То есть это и уменьшение числа постулатов и теорем, некоторых утверждений, выяснение внутрипредметных связей между разделами геометрии. Например, линейные и двугранные углы, многоугольник и многогранник, круг и шар, окружность и сфера, площадь и объем. Мы ограничиваем таким образом свои силы и добровольно отказываемся от научного материала, с помощью которого можно упрощать построения и доказательства.

У детей младшего школьного возраста наиболее развитым является наглядно-образное мышление, и поэтому курс геометрии должен строиться на идеях фузионизма - взаимосвязанного изучения свойств плоских и пространственных фигур. Педагог Бретшнейдер говорил: «Очень вредно молодой ум ученика долго задерживать на изучение плоской геометрии, так как от этого замедляется развитие пространственных представлений, а от этого и развитие вообще»[12, 115].

Основной целью обучения геометрии в 5-6 классах В.А. Гусев считает развитие пространственного мышления как разновидности образного.

Традиционное выделение трех стадий развития мышления (1.1.6.) привело, по мнению И.С. Якиманской, к недооценке самостоятельной роли образного мышления в умственном развитии учащихся. В частности, «…не учитывалось, что образное мышление само развивается, что оно является равноценной формой интеллектуальной деятельности, имеет довольно сложные формы проявления и разнообразные функции»[33, 48].

Многими исследователями процесс развития мышления понимается не как последовательная смена форм мыслительной деятельности, перечисленных ранее (1.1.6.), а как постепенное усложнение механизмов переработки информации. С.Л. Рубинштейн писал, что «…генетически более ранние виды наглядного мышления не вытесняются, а преобразуются, переходя к высшим формам наглядного мышления»[28, 82]. О.К. Тихомиров также считал, что «…эти три вида мышления сосуществуют у взрослого человека и функционируют при решении различных задач»[14, 44]. По мнению В.В. Мадера, «…мышление не может быть беспредметным, чисто абстрактным - оно нуждается в опоре на конкретные образы»[12, 122].