Пропедевтика функциональной зависимости в курсе математики начальной школы

Кризисная ситуация в области преподавания математики вызвала необходимость пересмотра и проверки методов школьной работы.

Четвертый этап обусловлен переводом экономики РСФСР на плановую основу.

В 1931-34 годы была предпринята попытка перехода школьного образования на позиции систематического и прочного усвоения наук. В данный период срок обучения в школе был увеличен до десяти лет, основной формой работы в школе был утвержден урок, была восстановлена роль учебника как основного руководства для ученика, с систематическим изложением основ наук и полным охватом содержания программы по предмету.

В 1934 г. школа получила первый стабильный учебник А. П. Киселева "Алгебра", переработанный под редакцией А. П. Барсукова в двух частях [15, 61]. В его вторую часть были включены разделы "Функции и их графики", "Квадратичная функция". Кроме того, в разделе "Обобщение понятия степени" рассматривались показательная функция, ее график, а в разделе "Логарифмы" - логарифмическая функция и ее график.

В первом стабильном учебнике функция определялась через понятие переменной величины: "Та переменная величина, числовые значения которой изменяются в зависимости от числовых значений другой, называется зависимой переменной, или функцией другой переменной величины" [1, с. 24]. В этом определении нет упоминания об аналитическом выражении, однако не отражена также и идея соответствия. Эта идея остается в тени и при дальнейшем изложении функционального материала в учебнике А. П. Киселева. Однако, поскольку изучение элементарных функций и их свойств большей частью начиналось с формулы, задающей соответствующую зависимость, можно предположить, что и при таком определении понятие функции связывалось в сознании учащихся с ее аналитическим выражением, и они не могли уже представить себе функцию в отрыве от формулы.

Этот недостаток методики преподавания особенно ярко проявился при изучении студентами математики в высшей школе. Большое внимание данной проблеме уделял в своих работах И. Я. Хинчин [ 19,166, 18, 170].

Формирование представления о функции, прежде всего как об аналитическом выражении, ученый расценивал как проявление формализма в преподавании, для которого "характерно неправомерное доминирование в сознании и памяти учащихся привычного внешнего (словесного, символического или образного) выражения математического факта над содержанием этого факта" [18, с. 110].

Он считал, что в средней школе понятие функции необходимо изучать на основе понятия соответствия. Для нашего диссертационного исследования важным является подход А. Я. Хинчина к разработке системы упражнений, способствующих усвоению понятия функции. Он указывал, что традиционные примеры, рассматриваемые непосредственно после введения понятия функции, способны разрушить положительный эффект определения и привить учащимся мысль, что формальное определение само по себе, а в действительности функция есть просто формула. По его мнению, уже среди первых примеров функциональной зависимости наряду с традиционными алгебраическими и геометрическими соотношениями необходимо рассматривать и функции, заданные без использования формулы [17].

Данный период характеризуется недостаточностью времени на изучение функций, непродуманностью систем упражнений, непониманием учащимися истинной сущности понятия функции, низким уровнем функциональных и графических навыков выпускников школ [9].

Таким образом, вновь возникла потребность в реформировании преподавания математики в средней школе. Перестройка всей школьной математики на основе теоретико-множественного подхода ознаменовала пятый этап развития идеи функциональной зависимости. Идея, теоретико-множественного подхода была предпринята группой французских ученых, объединившихся под псевдонимом Николя Бурбаки [27]. В г. Роймоне (Франция, 1959 г.) состоялось международное совещание, на котором было провозглашено свержение всех обычных курсов. В центре внимания оказались структуры и объединения всей школьной математики на базе теории множеств.

Важную роль в развитии идей реформы сыграли статьи В. Л. Гончарова [4, 41], в которых автор указывал на важность ранней и длительной функциональной пропедевтики, предлагал использовать упражнения, заключающиеся в выполнении ряда заранее указанных числовых подстановок в одном и том же заданном буквенном выражении. Эти упражнения, наряду с совершенствованием вычислительных навыков, могли бы служить и идеям функциональной пропедевтики. Ученый особое внимание отводил построению графика функции, заданной использованным для вычислений буквенным выражением. Особую целесообразность он видел в том, "чтобы две капитальной важности и высокой трудоемкости проблемы -- сообщения учащимся прочных навыков арифметических вычислений и пропедевтическое ознакомление их с идеей функции могли быть разрешаемы совместно" [4, с. 112].

Учебники алгебры этого периода ("Учебник алгебры для восьмилетней школы" А. Н. Барсукова, переработанный под редакцией С. И. Новоселова (1961г.) [19], "Алгебра и элементарные функции" Е. С. Кочеткова и Е. С. Кочетковой (9-10-е классы) (1965 г.) [75]) были написаны на основе теории множеств.

В учебнике А. Н. Барсукова был сохранен традиционный стиль примеров, которые, по мнению А. Я. Хинчина, способны разрушить положительный эффект определения и привить учащимся мысль о том, что функция есть просто формула. В учебнике же Е. С. Кочеткова и Е. С. Кочетковой уделялось недостаточное внимание формированию понятия соответствия. Только глава "Функции, пределы" содержала примеры функций, заданных несколькими формулами на разных промежутках, но отсутствовали примеры функций, заданных без использования формулы.

Стабилизация программ [28] и учебников создала почву для возникновения положительных сдвигов в качестве функциональных знаний учащихся. В конце шестидесятых - начале семидесятых, наряду с отрицательными отзывами [18, 11, 17], в печати стали появляться и такие, в которых отмечалось определенное улучшение знаний выпускников школ о функциях и графиках [6, 12, 23, 24]. Однако общий уровень математического развития учащихся в целом оставался недостаточным. В школьном курсе математики по-прежнему неоправданно много времени отводилось формальной подготовке и не уделялось должного внимания развитию способности учащихся самостоятельно учиться.

2.3 Функциональная пропедевтика в начальном курсе математики

Пропедемвтика (от др.-греч. рспрбйдеэщ -- предварительно обучаю) -- введение в какую-либо науку или искусство, сокращенное систематическое изложение науки или искусства в элементарной форме, приготовительный (предварительный, вводный) курс, предшествующий более глубокому изучению предмета. Пропедевтикой называется совокупность сведений и знаний, которыми необходимо запастись до начала какого-нибудь научного или специального занятия. Проблема пропедевтики основных понятий математики возникает при обнаружении определенных трудностей в их формировании в систематическом курсе. Ее можно осуществлять непрерывным образом, через основное содержание учебного материала предыдущих курсов. В этой связи возникает вопрос об организации учебной работы на основе содержания математического образования на каждой ступени, одним из условий ее осуществления является наличие содержательно-логических линий в предметном курсе. Проблема логической цельности школьной математики имеет вековую историю: в начале ХХ века определилась тенденция к алгебраизации курса, и ныне в основе преподавания лежит функциональный подход.

Понятие функциональной зависимости является одним из ведущих в математической науке, поэтому сформированность этого понятия у учащихся представляет важную задачу в целенаправленной деятельности учителя по развитию математического мышления и творческой активности детей. Развитие функционального мышления предполагает прежде всего развитие способности к обнаружению новых связей, овладению общими учебными приемами и умениями.

Пропедевтика функциональной зависимости способствует формированию мыслительных операций и воспитанию интеллектуальных качеств личности. Направления подобной работы выражаются в характере задач, предлагаемых учащимся. Материал начального математического курса содержит достаточное количество примеров, на которых можно разъяснить зависимость одной величины от другой. К ним, в частности, относятся: задачи на составление и решение уравнений, оптимизационные и комбинаторные задачи, задачи с величинами, находящимися в прямой и обратной зависимости, задачи с использованием таблиц, числовой оси и координатной плоскости.

аким образом, опосредованная пропедевтика предполагает постепенную функциональную подготовку, не требующую ни специальной терминологии, ни символики; достаточно последовательно проводить идею изменяемости окружающего мира; взаимозависимости между величинами, используя для этой цели материал школьных учебников. Объективные возможности для пропедевтики имеются, учитель должен их видеть и использовать в обучении школьников.

В дидактике под пропедевтикой вообще понимают подготовительный курс, представляющий введение в какую-либо науку или учебный предмет и отличающийся элементарной формой изложения. Наиболее характерным примером является существующий сейчас пропедевтический курс обыкновенных дробей в начальных классах, (основной курс дробей начинается в 5-6 классах). Вопрос о пропедевтике возникает тогда, когда обнаруживаются определенные трудности в формировании некоторых понятий или при слишком компактном изложении конкретной темы, что влечет за собой целесообразность распределения материала на больший промежуток времени. Если сделать это с выделением начального концентра, то получится пропедевтический курс, можно же осуществить подобное действие непрерывным образом, распределяя часть материала по другим темам, то есть опосредованно, через основное содержание учебного материала.

Например, чтобы подготовить учащихся к восприятию математической статистики в старших классах, нужно дать основы теории вероятностей в основной школе, а необходимые для этого сведения из комбинаторики учащиеся могут получить уже в начальных классах.

Очевидно, что одним из важнейших условий осуществления опосредованной пропедевтической работы является идейная стройность школьного курса математики, наличие логической связи между элементарной и высшей математикой.

Проблема логической цельности школьного курса математики имеет вековую историю. К концу 19 века сложилась международная традиционная система математического образования, которая характеризовалась оторванностью от высшей математики и вообще науки математики, разделением элементарной математики на 4 учебных предмета: арифметику, алгебру, геометрию, тригонометрию, существующих самостоятельно и независимо друг от друга. Во многих странах мира прогрессивные математики и педагоги выступали с критикой данной системы обучения и с позитивными предложениями по реформе математического образования. В 1897 году в Цюрихе на I Международном конгрессе математиков выступил с докладом известный геометр, педагог высшей немецкой школы Феликс Клейн, в котором содержалась мысль о том, что в математике средней школы «функциональная идея» должна быть центральной: «Руководящую роль в школьном курсе математики должно играть понятие функции. Оно должно быть усвоено очень рано и должно пронизывать все преподавание алгебры и геометрии» [2, с. 10]. В движение за реформу математического образования включились и российские ученые, методисты, педагоги, в частности, О.А. Вольберг, К.Ф. Лебединцев , В.Е. Сердобинский, С.И. Шохор-Троцкий.

Так, С.И. Шохор-Троцкий (1853-1923), выступал против отрыва геометрии, алгебраического материала от арифметического. Возражая против всего «ненужного, излишнего и неуместного» в арифметике, он признавал глубокую ценность понимания функциональной зависимости и рекомендовал к этой идее «возвращаться при всяком удобном случае» [3, с. 66]. В.Е. Сердобинский в своей статье «Знакомство с понятием функции» сформулировал тезис о необходимости включения идеи функциональной зависимости в элементарную математику. В статье В.П. Шереметевского «Математика как наука и ее искусственные суррогаты» читаем: «Какое бы мировоззрение ни лежало в основе наших знаний о природе, обоснование процесса мировой жизни выразится основным понятием - изменения… Если вся математика есть, в сущности, учение о функциях, то ясно, что и элементарный курс должен группироваться вокруг основного понятия о функциональной зависимости» [4, с. 106].

Современная алгебра исходит из определения рассматриваемого понятия, предложенного в 19 веке российским ученым Н.И. Лобачевским, выражающего зависимость между переменными величинами: функцией от х называется число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется; функция - это зависимая переменная. Через понятие функции в математике моделируются реальные диалектические процессы, изменения, взаимозависимости и взаимообусловленности. Идея функциональной зависимости находит свое отражение не только в математике, но и в ряде других наук - физике, химии, биологии, медицине, истории, кибернетике. Велика роль функции как мощного аппарата в познании процессов, происходящих в реальном мире. Знание функциональных зависимостей помогает найти ответы на разнообразные вопросы - от расшифровки памятников древности до управления сложнейшими производственными процессами. Наблюдая веками явления природы, человек замечал соответствие между ними. Систематизируя и обобщая устойчивые взаимосвязи в природе, он познал закономерности и учился применять их для объяснения разнообразных явлений природы. Математическими моделями таких закономерностей и являются функции.

Таким образом, в начальном курсе математики значительная роль должна отводиться функциональной пропедевтике, которая предусматривает подготовку учащихся к изучению систематических курсов алгебры и геометрии, а также воспитывает у них диалектический характер мышления, понимание причинных связей между явлениями окружающей действительности. В этой связи обозначим основные направления пропедевтической работы на начальной ступени обучения предмету по программе Л.Г. Петерсон:

- Понятие о множествах, о соответствии элементов двух множеств и функциях. Зависимость результатов арифметических действий от изменения компонентов.

- Числовые выражения с 3-4 арифметическими операциями (со скобками и без них), вычисление их значений.

- Буквенные выражения. Переменные величины. Вычисление их значений при подстановке численных значений переменных.

- Представление о числовых последовательностях.

- Изменение численных значений величин при использовании различных единиц измерения.

- Математические исследования.

- Табличный, словесный, аналитический, графический способы задания функции.

- Линейная зависимость.

- Система координат, первая и вторая координата, упорядоченная пара.

- Решение простейших комбинаторных задач: составление и подсчет числа возможных перестановок, подмножеств элементов конечного множества.

- Представление о возможности неограниченного увеличения натурального числа или уменьшение его доли.

- Использование систематического перебора натуральных значений одной и двух переменных при решении сюжетных задач.

- Заполнение таблиц с арифметическими вычислениями, данными из условий прикладных задач. Выбор данных из таблицы по условию.

- Зависимость между пропорциональными величинами; прикладное исследование их графиков.

Проиллюстрируем сказанное конкретными примерами из учебников по начальной математике Л.Г. Петерсон

Содержание начального курса математики позволяет сформировать у учащихся представление об одной из важнейших идей математики - идее соответствия. При выполнении заданий на нахождение значений выражений, заполнение таблиц ученики устанавливают, что каждой паре чисел соответствует не более одного числа, полученного в результате. Однако для осознания этого содержание таблиц необходимо анализировать.

Составь все возможные примеры на сложение двух однозначных чисел с ответом 12.

При выполнении этого задания учащиеся устанавливают взаимосвязь между двумя множествами значений слагаемых. Установленное соответствие - функция, так как каждому значению первого слагаемого соответствует единственное значение второго слагаемого при постоянной сумме.

В вазе 10 яблок. Сколько яблок останется, если возьмут 2 яблока? 3 яблока? 5 яблок? Запиши решение в таблице. От чего зависит результат? На сколько единиц он изменяется? Почему?

В данной задаче фактически представлена функция у = 10 - х, где переменная х принимает значения 2, 3, 5. В результате выполнения данного задания учащиеся должны сделать вывод: чем больше вычитаемое, тем меньше значение разности.

Идея функционального соответствия присутствует и в упражнениях вида:

Соедини стрелкой математические выражения и соответствующие численные значения:

15 + 6 18 + 9 21 - 4 38 - 19

27 19 17 21 35 40 15

Введение буквенной символики позволяет познакомить учащихся с важнейшими понятиями современной математики - переменная, уравнение, неравенство, что способствует развитию функционального мышления, поскольку с ними тесно связана идея функциональной зависимости. При работе с переменной школьники осознают, что буквы, входящие в выражение, могут принимать различные числовые значения, а само буквенное выражение является обобщенной записью числовых выражений.

Одни из примеров системного использования буквенной символики являются задачи, представленные в блиц-турнирах. Отсутствие конкретных чисел заставляет учеников искать путь решения задачи, опираясь на существенные связи между данными и искомыми. Эта модель задачи - знаковая, она более абстрактна, чем числовое выражение. При этом ученик не может вычислить промежуточные результаты, а должен представлять всю цепочку связей между величинами и выстраивать соответствующую последовательность действий. Исследование решения задач с буквенными данными предполагает рассмотрение различных соотношений между значениями букв, а так же выявление возможности или невозможности принятия буквой конкретных числовых значений, установление влияния числовых значений переменных на количество способов решения задачи.

Огромное пропедевтическое значение имеет опыт общения учащихся с упражнениями на установление закономерностей в числовых последовательностях и их продолжение:

1, 2, 3, 4… (у = х + 1)

1, 3, 5, 7… (у = 2 · х + 1)

Понятие величины, наряду с понятием числа, является основным понятием начального курса математики. Материал данного раздела является богатейшим источником для осуществления опосредованной функциональной пропедевтики. Во-первых, это зависимость (обратнопропорциональная) между выбранной единицей величины (меркой) и ее численным значением (мерой) - чем больше мерка, тем число, полученное в результате измерения величины данной меркой, меньше. Поэтому важно, чтобы при работе с каждой величиной (длиной, массой, площадью, объемом и пр.) учащиеся приобретали опыт измерения величин разными мерками с целью осознанного выбора сначала удобной, а затем и единой мерки.

Во-вторых, при изучении величин, характеризующих процессы движения, работы, купли-продажи формируются представления о зависимости между скоростью, временем и расстоянием, ценой, количеством и стоимостью в процессе решения текстовых задач следующих видов - на приведение к единице (нахождение четвертого пропорционального), нахождение неизвестного по двум разностям, пропорциональное деление.

Особую сложность для учащихся представляет осознание взаимосвязи между этими величинами, поскольку понятие «пропорциональная зависимость» не является предметом специального изучения и усвоения. В программе Л.Г. Петерсон методически эта проблема решается за счет использования следующих приемов:

- Решение задач с недостающими данными («открытым» условием):

Васе от дома до школы 540 м, а Паше - 480 м. Кто ближе живет? Кто быстрее дойдет?

Саша купил на 30 рублей тетради и на 45 рублей карандаши. На покупку каких предметов он истратил денег больше? Каких предметов он купил больше?

Анализируя тексты этих задач, учащиеся обнаруживают, что в них не хватает данных и что ответы на вопросы зависят от цены и скорости.

- Фиксация условия задач не только в таблице (как это предложено в классической методике), но и в виде схемы. Это позволяет «визуализировать» зависимости, рассматриваемые в задаче. Так, если одно и тоже расстояние в 12 км движущиеся объекты проходят за разное время (2 ч, 3 ч, 4 ч, 6 ч), то с помощью схемы наглядно интерпретируется обратная зависимость - чем больше частей (время), тем меньше каждая часть (скорость).

- Изменение одного из данных задачи и сравнение результатов решения задач.

В школьную столовую привезли 48 кг яблок. Сколько ящиков могли привезти, если во всех ящиках яблок было поровну?

Учащиеся дополняют условие задачи и фиксируют зависимость между величинами с помощью различных средств структурирования теоретических знаний - в таблице, схеме и словесно.

Здесь же полезно обратить внимание на кратное отношение рассматриваемых величин - во сколько раз больше одна из величин, во столько же раз больше (меньше) другая при постоянной третьей.

В начальной школе учащиеся в неявном виде знакомятся с табличным, аналитическим, словесным, графическим способами задания функций.

Так, например, зависимость между скоростью, временем и расстоянием можно выразить:

а) словесно: «чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время»;

б) аналитически: s= ·t;

в) таблично: =5 км/ч

t	1	2	3	t
s	5 · 1	5 · 2	5 · 3	5 • t

г) графически (с помощью координатного луча или угла).

Графический способ задания зависимости между , t, s позволяет сформировать представление о скорости как изменении местоположения движущего объекта в единицу времени (наряду с общепринятым - как расстояния, пройденного в единицу времени) А сравнение графиков движения двух тел (движущихся независимо друг от друга) уточняет представление о скорости как величине, характеризующей быстроту движения.

Составные числовые выражения (со скобками и без них), вычисление их значений по правилам порядка выполнения действий позволяет учащимся осознать, что от порядка выполнения действий зависит результат.

Расставьте скобки так, чтобы получились верные равенства.

20 + 30 : 5=10 20 + 30 : 5 = 26

В курсе Л.Г. Петерсон учащиеся в неявном виде знакомятся с линейной зависимостью, как частным случаем функции. Эту функцию можно задать формулой вида у = kх + b, где х - независимая переменная, k и b - числа. Ее областью определения являются множество всех действительных чисел.

Пройдя 350 километров, поезд стал идти в течение t часов со скоростью 60 км/ч. Сколько всего километров прошел поезд? (350 + 60 · t)

Выполняя задания с именованными числами, учащиеся осознают зависимость численного значения величин от использования различных единиц измерения.

Один и тот же отрезок измерили сначала в сантиметрах, затем в дециметрах. В первом случае получили число на 135 больше, чем во втором. Какова длина отрезка в сантиметрах? (Зависимость у = 10 · х)

В процессе изучения начального курса математики у учащихся формируется понятие натурального ряда чисел, отрезка натурального ряда, усваиваются свойства натурального ряда чисел - бесконечность, упорядоченность и др., формируется представление о возможности неограниченного увеличения натурального числа или уменьшение его доли.

В курсе математики 3-4 классов значительное внимание уделено обучению учащихся использованию формул, их самостоятельному выводу. Здесь важно научить учащихся представлять одну и ту же информацию в различной форме - графически и аналитически, предоставив школьникам право выбора формы в соответствии с их познавательными стилями.

Значительный интерес у учащихся вызывают задания, связанные с анализом таблиц значений переменных, «открытие» зависимостей между ними и запись в виде формулы.

А	1	2	3	4	5	6	а
b	5	9	13	17	21	25	а · 4 + 1

При анализе чисел, представленных в таблице, учащиеся легко подмечают, что числа первой строки увеличиваются на один, числа второй строки увеличиваются на четыре. Задача учителя - обратить внимание на взаимосвязь значений переменных а и b. В целях усиления прикладной направленности математического образования следует «оживить» данную ситуацию, перевести ее в сюжетный статус.

Чтобы сформировать у учащихся способность к выводу формул, нужно научить их записывать различные утверждения на математическом языке (в виде равенств):

- ручка в три раза дороже карандаша (р = к + 3);

- число а при делении на 5 дает в остатке 2 (а = 5 · b + 2);

- длина прямоугольника на 12 см больше ширины (а = b + 12).

Обязательным условием является обсуждение возможных вариантов значений данных величин с заполнением соответствующих таблиц.

Особое место в курсе Л.Г. Петерсон занимают задания, связанные с математическими исследованиями:

Представь число 16 в виде произведения двух множителей разными способами. Для каждого способа найди сумму множителей. В каком случае получилась меньшая сумма? Проделай это же с числами 36 и 48. Каково предположение?

При выполнении подобных заданий (на исследование зависимости между количеством углов многоугольника и суммарным значением градусных мер углов, между значением периметра различных по форме фигур с одинаковой площадью и пр.) учащиеся совершенствуют навыки работы с таблицей, так как решение удобно фиксировать в таблице. Кроме этого табличный способ фиксации решения используется при решении нестандартных математических задач методом упорядоченного перебора или рационального подбора.

В классе 13 детей. У мальчиков столько зубов, сколько у девочек пальцев на руках и ногах. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек? (У каждого мальчика ровно 32 зуба).

Мальчики	Девочки	Проверка
8	5	32 · 8 # 20 · 5
7	6	32 · 7 # 20 · 6
5	8	32 · 5 = 20· 8

Обучение математике по программе Л.Г. Петерсон обеспечивает усвоение учащимися взаимосвязи между результатами и компонентами арифметических действий, формируется представление о «скорости» изменения результата арифметических действий в зависимости от изменения компонентов:

- упражнения на состав числа;

- частные приемы вычислений (36 + 19 = 35 + 20; 36 - 19 = 37 - 20; 12 · 5 = 12 · 10 : 2);

- оценка суммы, разности, произведения, частного.

При выполнении подобных заданий важно представлять информацию многосенсорно.

Как изменится сумма, если одно слагаемое увеличить на 10, а второе уменьшить на 5?

Как изменится площадь прямоугольника (или произведение двух чисел), если одну из сторон (одно из чисел) увеличить на 3?

Наши исследования показывают, что значительная часть учащихся выполняют подобные задания методом подстановки конкретных числовых значений. Методически грамотным в данной ситуации будет графически и аналитически интерпретировать условие.

(а + 3) · b = а · b + 3 · b

Понятие функции в старших классах связано с системой координат. В курсе Л.Г. Петерсон содержится материал для пропедевтической работы в этом направлении:

- числовой отрезок, числовой луч, координатный луч;

- таблица Пифагора, координаты на плоскости (координатный угол);

- графики движения;

- круговые, столбчатые и линейные диаграммы, наглядно представляющие зависимость между дискретными величинами.

Итак, изучение арифметических операций, увеличения и уменьшения числа на несколько единиц или в несколько раз, зависимости между компонентами и результатами арифметических действий, решение задач на нахождение четвертого пропорционального, на связь между скоростью, временем и расстоянием; ценой, количеством и стоимостью; массой отдельного предмета, их количеством и общей массой; производительностью труда, временем и работой; и т. Д., с одной стороны, лежат в основе формирования понятия функции, а с другой - изучаются на основе функциональных понятий. Следует отметить, что достаточно большое пропедевтическое значение имеет графическое моделирование: графическая интерпретация условия задачи, рисунок, чертеж и другое. Информация, представленная в графической форме, легче для восприятия, емкая и достаточно условная, призвана опредмечивать абстрактные понятия, нести информацию лишь о существенных признаках объекта, формировать графические навыки учащихся.

Обобщая, отметим, что основные цели изучения учебного содержания функциональной линии курса Л.Г. Петерсон:

1) развитие функционально-аналитического мышления школьников, характеризующегося способностью рассматривать объекты, в том числе и математические, во взаимосвязи и взаимозависимости;

2) формирование у учащихся способности к выражению зависимости между величинами разными способами (таблично, аналитически, графически).

Кроме этого, результатом пропедевтики функциональной зависимости должна стать высокая умственная активность младших школьников, развитие интеллектуальных, общепредметных и специфических математических умений и навыков. Все это создает прочную основу не только для решения методических проблем начальной математики - формирование вычислительных навыков, умения решать текстовые задачи и др., но и для реализации развивающих возможностей математического содержания и, что не менее важно, для успешного изучения функций в средней школе.

Заключение

Методическая система изучения функциональной зависимости в начальной школе, разработанная в контексте модульного обучения, представляет собой целостность, составляемую взаимосвязью основных компонентов (целевого, содержательного, организационного, технологического, диагностического) и принципов (модульности, осознанной перспективы, открытости, направленности обучения на развитие личности ученика, разносторонности методического консультирования).

Модульный подход является средством совершенствования процесса изучения функциональной зависимости у учащихся начальной школы, которое позволяет: учащимся - овладевать системой функциональных знаний и способов действий, практических (операционных) умений; учителю - развивать их математическое мышление на основе функционального материала, воспитывать самостоятельность в обучении.

Методическое обеспечение процесса изучения функций в начальной школе строится на основе модульных программ, являющихся основой для выделения фундаментальных закономерностей, обязательных для понимания темы, успешного и полного усвоения содержания учебного материала, приобретения учащимися прочных знаний, умений и навыков.

Список использованной литературы

1. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах. / Под ред. М.И. Моро, А.М. Пышкало. - М.: Педагогика, 1977. - 262 с.

2. Аргинская И.И., Ивановская Е.А. Математика: Учебник для 3 класса четырехлетней начальной школы. - Самара: изд. дом «Федоров», 2000. - 192 с.

3. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах. - М.: Педагогика, 1984. - 301 с.

4. Гонин Е.Г. Теоретическая арифметика. - М.: Учпедгиз, 1961. - 171 с.

5. Давыдов В.В. Математика, 3 класс: Учебник для 4-летней начальной школы. - М.: Издательский центр «Академия», 1998. - 212 с.

6. Давыдов В.В. Психическое развитие в младшем школьном возрасте. / Под ред. А.В. Петровского. - М.: Педагогика, 1973. - 167 с.

7. Зак А.З. Развитие умственных способностей младших школьников. - М.: Вагриус, 1994.

8. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. - М.: Издательский центр «Академия», 1998. - 288 с.

9. Истомина Н.Б., Нефедова И.Б. Математика, 3 класс: Учебник для 4-летней начальной школы. - Смоленск: изд-во «Ассоциация XXI век», 2001. - 196 с.

10. Каган В.Ф. О свойствах математических понятий. - М.: Наука, 1984. - 144 с.

11. Когаловский С. Р., Шмелева Е. А., Герасимова О. В. Путь к понятию. Иваново, 1998. - 208 с.

12. Колмогоров А.Н. О профессии математика. М.: Изд-во МГУ, 1959. - 134 с.

13. Мойсенко А. В. Концепция школьного математического образования. В кн. Школа самоопределения. Шаг второй. М.: АО "Политекст". 1994. С.392-422.

14. Моро М.И. и др. Математика: Учебник для 3 класса трехлетней начальной школы и 4 класса четырехлетней начальной школы. / Под ред. Калягина Ю.М. - М.: Просвещение, 1997. - 240 с.

15. Моро М.И., Пышкало А.М. Методика обучения математике в 1-3 классах. - М.: Педагогика, 1978. - 312 с.

16. Петерсон Л.Г. Математика, 3 класс. Ч. 1, 2. Учебник для 4-летней начальной школы. - М.: «Баласс», 2001.

17. Пиаже Ж. Избранные психологические труды. - СП-б: Изд-во «Питер», 1999.

18. Пойя Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1976. - 448 с.

19. Сергеенко А.В. Преподавание математики за рубежом. - М.: изд. Центр «Академия», 1995. - 197 с.

20. Сойер У. У. Прелюдия к математике. М.: Просвещение, 1972. - 192 с.

21. Тестов В. А. Стратегия обучения математике. М.: ГШБ, 1999. - 304 с.

22. Чуприкова Н.И. Умственное развитие и обучение. Психологические основы развивающего обучения. - М.: Альматея, 1995. - 244 с.

23. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Математика: Пробный учебник для 3 класса четырехлетней начальной школы. - М.: Педагогика, 1999. - 232 с.

24. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Теория и методика обучения математике в начальной школе. - М.: Педагогика, 1988. - 208 с.

25. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике.- М.: Педагогика, 1986. - 197 с.

26. Архангельский А. В. О сущности математики и фундаментальных математических структурах // История и методология естественных наук (Москва) - 1986. - №32. - С.14-29.

27. Брейтнгам Э.К. Обучение математике в личностно-ориентированной модели образования. // Педагогика. - 2000. - № 10. - С. 45-48.

28. Волошкина М.И. Активизация познавательной деятельности младших школьников на уроке математики. // Начальная школа. - 1992. - № 9/10. - С. 15-18.

29. Гальперин П.Я., Георгиев Л.С. К вопросу о формировании начальных математических понятий. Сообщения I - V. // Доклады АПН РСФСР, 1960, № 1, 3, 4-6.

30. Доронина И.М. Использование методики УДЕ на уроках математики в III классе. // Начальная школа. - 1999. - № 11. - С. 29-30.

31. Концепция математического образования (в 12-летней школе) // Математика в школе. - 2000- № 2. - С.13-18.

32. Мартынова О.А. Из опыта обучения математике по системе УДЕ. // Начальная школа. - 1993. - ; 4. - С. 29-31.

33. Пентегова Г.А. Развитие логического мышления на уроках математики. // Начальная школа. - 2000. - № 11. - С. 74-77.

34. Укурчиева Т.А. Актуализация резервов мыслительных операций при обучении математике. // Начальная школа. - 1999. - № 11. - С. 17-18.

35. Шатуновский Я. Математика как изящное искусство и ее роль в общем образовании. // Математика в школе. - 2001. - № 3. - С. 6-11.

36. Шикова Р.Н. Решение задач на движение в одном направлении. // Начальная школа. - 2000. - № 12. - С. 48-52.

37. Эльконин Д.Б. Психологические исследования в начальной школе. // Советская педагогика. - 1961. - № 9. - С. 22-31.

38. Эрдниев П.М. Укрупненные знания как условие радостного обучения. // Начальная школа. - 1999. - № 11. - С. 4-11.