Проста гамма (структура музичної шкали)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Проста гамма (структура музичної шкали)

Житомир - 2011

В основі музики лежить музичний тон, або звук, певної висоти, що представляє собою коливальний процес у повітрі з певною частотою. Хоча наше вухо сприймає тони з достатньо широким діапазоном частот, в музиці ми користуємося порівняно невеликим числом тонів.

Питання про те, які саме тони повинна містити, музична шкала, вирішується математичними методами. Цьому і присвячена ця брошура, в основу якої лягла лекція викладена автором у шкільному математичному гуртку при МДУ.

Наприклад, тон «ля1» відповідає процесу з частотою 440 герц (коливань в секунду) *1 А взагалі наше вухо здатне сприймати тони в широкому діапазоні частот від 16 до 20000 герц, причому в області до 4000 герц здатне відрізнити за висотою тони, що розрізняються лише на одне коливання в секунду.

Тим не менше для музики використовується лише дуже не велика кількість тонів. Погляньмо на клавіатуру фортепіано (рис. 1), Ми побачимо всього 90 білих і чорних клавіш. Натискаючи їх, ми зможемо отримати тільки 90 різних звуків - тонів різної висоти. Які ж саме ці тони? Ось таблиця частот для середнього, найбільш уживаної ділянки в діапазоні фортепіано - першої октави (рис. 2):

На перший погляд, частоти цих тонів утворюють чудну послідовність, в якій, крім її зростання, важко вловити якусь закономірність. До того ж, за винятком числа 440, решта з вказаних частот виражаються в дійсності зовсім не цілими числами, а ірраціональними; в таблиці же дано їх округлення до найближчих цілих чисел. Так, частота, що відповідає тону ми, насправді не 330, а 329,63 ... і т. д.

Чому ж саме ці тони обрані для музичної шкали? Питання, які тони слід покласти в основу музики, виник ще в давнину, але остаточне рішення отримав порівняно недавно, на початку XVIII століття. Питання це, можливо, і не виникло б, якби на всіх музичних інструментах можна було отримувати звуки будь-якої висоти, без пропусків. На багатьох музичних інструментах-на скрипці, віолончелі - дійсно, можна отримати будь-який тон (у межах діапазону інструмента). Але є й інструменти, конструкція яких допускає лише порівняно невеликий фіксований набір можливих тонів - орган, фортепіано, арфа, а збільшувати набір допустимих тонів означало б сильно ускладнити конструкцію інструментів. Ми бачимо, що з технічної необхідності музична шкала повинна містити лише порівняно невелике число тонів, і ми хочемо з'ясувати, які саме тони слід включити в цю шкалу.

Тут розташування не таке просте, як при побудові наприклад, температурної шкали, де відзначають точки плавлення льоду і кипіння води і ділять інтервал що отримали на 100 рівних частин. У музиці величезну роль грають співзвучності - одночасні звучання кількох звуків різної висоти. Але далеко не будь-які поєднання звуків благозвучні. Тому в музичну шкалу бажано включити разом з цим звуком такі, які звучать одночасно з ним найбільш природно. Ці міркування поки ще дещо невизначені; але далі буде ясно, що саме мається на увазі.

Інструменти, на подобі арфи (ліра, кіфара), були відомі в далекій давнині. Джерелами звуків у цих інструментів, так само як і у фортепіано, є струни. Можливо, що вже в давнину проводилися експерименти зі струнами, схожі на той, який ми зараз опишемо в застосуванні фортепіано. На струнах фортепіано в початковому стані лежать демпфери - обклеєні цупким матеріалом колодочки, які не дають струнам звучати. При натисканні клавіші спочатку відводиться демпфер, звільняючи струну, а потім по струні ударяє молоточок. Якщо клавішу залишити натиснутою, то вільна струна буде звучати довго, якщо ж клавішу відпустити, демпфер впаде на струну і припинить її звучання. Якщо натискати клавішу повільно, то демпфер звільнить струну, але молоточок не вдариться по ній, і ми не почуємо її звучання. Тепер зробимо наступний досвід. Повільно натиснемо клавішу ля1, що відповідає тону частотою в 440 герц, для того щоб звільнити відповідну струну без звуку. Потім вдаримо клавішу лям (малої октави) і відразу її відпустимо. Ми почуємо коротке звучання струни лям (220 герц), яке припиниться, коли клавіша повернеться на місце. Але після цього ми будемо чути звук звільненої нами струни ля1. Звільнена струна ля1 почала звучати «сама» внаслідок резонансу зі звучанням струни лям. Це показує, що. коливання струни більш складний процес, ніж це здається на перший погляд. Струна з основною частотою 220 герц виробляє коливання також і з частотою 440 герц, які й збуджують шляхом резонансу струну, налаштовану на цю частоту. Цей експеримент можна повторювати на різних струнах фортепіано та інших музичних інструментів, і завжди буде один і той же результат: струна з основною частотою, припустимо герц, більш-менш сильно випромінює також і звук з частотою герц * 2. Це ж явище спостерігається в тій чи іншій мірі і в інших музичних інструментах - духових, ударних (за винятком одного-єдиного - камертона, випромінюючого практично чистий тон без призвуків).

Як ми вже говорили, музичну шкалу природно будувати так, щоб вхідні в неї тони були найбільш «співзвучні» один з одним. Тон подвійної частоти дуже «співзвучний» з тоном вихідної частоти (струна звучить як єдине ціле, і тільки спеціальні експерименти дозволяють виділити з її звучання тон подвійної частоти).

Тому природно ввести таку умову: музична шкала разом з частотою повинна містити частоту. Якщо ж говорити про частоти, менших ніж, то в першу чергу природно вимагати, щоб разом з частотою на шкалі була і частота /2. Інтервал між цим звуком і звуком подвійної частоти називається октавою. Він досить широкий; заспів «Пісні про Батьківщину» Дунаєвського: «Від Москви до самих до окраїн» починається з інтервалу октави. Для музики одних октавних інтервалів явно недостатньо. Далі ми продовжимо наші експерименти зі струною для того щоб знайти інші тони, співзвучні з основним її тоном. Але спочатку розглянемо ще одне загальне міркування, яке бажано було б також врахувати при побудові музичної шкали. Саме, потрібно забезпечити можливість відтворювати дану нам мелодію за бажанню вище або нижче, ніж в оригіналі. Всі знають, наприклад, що одну й ту ж пісню можна співати по-різному, вище або нижче, дивлячись по характеру голосу; тенору зручно співати вище, басу - нижче. Мелодія, якщо відволіктися від її ритму, описується послідовними інтервалами між складовими її тонами. Для інтервалу характерне відношення частот звуків, що утворюють інтервал; як ми вже бачили, в інтервалі октавам це відношення дорівнює 2. Перенести мелодію вище - це означає відтворити її іншими звуками * відповідно більш високими, але з точним збереженням відносин частот тонів в кожному інтервалі. Наприклад, якщо ми граємо мелодію «чижика» в оригіналі (мі - до - мі - до - фа - мі - ре), в першій октаві, то послідовні частоти (в герцах), що ми використовуємо, такі;

330 - 262 - 330 - 262 - 349 - 330 - 294.

Якщо ми перенесемо цю мелодію на три клавіші вище (сі - соль - сі - соль - до - сі - ля), то на слух мелодія не спотвориться. Послідовні частоти будуть такими:

494 - 392-494 - 392 - 523 - 494 - 440.

Неважко перевірити, що відношення частот у кожному з інтервалів мелодії збереглися:

і т. д.

Якщо б нам довелося використовувати інтервали з іншим відношенням, ніж в оригіналі, ми на слух помітили б, що мелодія спотворилася. Зокрема, якщо перенести «чижикам» тільки на одну клавішу вище і спробувати грати фа - ре-фа - ре - соль - фа-ми, тобто на частотах

349 - 294 - 349 - 294 - 392 - 349 - 330,

то на слух характер мелодії явно спотворюється, якщо ж підрахувати відношення частот, ми побачимо, що

і т. д.

Насправді «чижик» можна почати з фа, але прийдеться використовувати чорні клавіші; про це ми скажемо нижче.

Тепер припустимо, що ми побудували шкалу тонів, що задовольняє двом умовам:

а) разом з кожним тоном на шкалі є тони і ;

б) шкала допускає можливість перенесення мелодій без спотворень.

Нехай у межах однієї октави тони шкали наступні:

Самі ці звуки вже утворюють найпростішу мелодію. Перенесемо її вгору без спотворення так, щоб нижній тон піднявся з на .

Нова мелодія буде починатися зі звуку, і буде кінчатися деяким звуком, який повинен бути октавним повторенням звуку, (оскільки). Звук вже вище останнього звуку октави, але ми стверджуємо, що він є першим, наступним за. Дійсно, якщо б на нашій шкалі був тон між і то на цій же шкалі був би тон причому з нерівності випливало, що

Але, за умовою, є перший звук, наступний за, тому ніякого між і бути не може.

Після перенесення на одну сходинку наша мелодія, за умовою, може бути зображена за допомогою тонів тієї ж шкали, починаючи від, і закінчуючи . Оскільки вихідна мелодія складається з різних звуків, а від до

на нашій шкалі є рівно різних тонів: нова мелодія має вигляд

Так як вона відповідає початковій мелодії без спотворень, ми маємо або, що те ж саме ,

Ми бачимо, що частоти утворюють геометричну прогресію. Знайдемо знаменник цієї прогресії. Позначимо його через тоді ми маємо таким чином, Сама шкала повністю визначається, якщо відомо число -- число її сходинок між частотою і частотою .

Для зручності подальших побудов перейдемо від частот до їх двійковим логарифмам

Октава перейде при цьому в проміжок від до тобто в проміжок довжини 1, а геометрична прогресія перейде в арифметичну прогресію з різницею таким чином, на осі логарифмів наша шкала буде складатися з точок де через А ми позначили величину

З яких же міркувань слід вибирати число? Ми знову звернемося до експериментів зі струною, щоб з'ясувати, які ще звукові частоти випромінюються при її коливаннях. Перевіримо, природно, наявність потрійний частоти. Для цього використовуємо клавішу «лям» (малої октави), яка відповідає частоті 220 герц, і клавішу «мі2» (другої октави), відповідну частоті 660 герц (октавне повторення частоти 330 герц, що відповідає тону мі1 першої октави). Повільно натиснемо мі2 (без звуку), звільняючи струну від демпфера; потім, як і раніше, сильно натискаємо клавішу лям і відпускаємо її, вслід за цим ми чуємо звучання звільненої струни ми2. Отже, потрійна частота також присутня у звучанні струни. Можна продовжувати дослід і далі і виявити послідовно присутність тонів четвертої кратності, що, втім, вже не дивно, оскільки далі - п'ятої кратності і т. д.; але наступні тони, після третього, вже досить слабо виражені. Всі ці тони називаються обертонами основного тону; їх спільне звучання надає звуку струни характерний тембр, який дозволяє нам відрізнити звук, узятий на фортепіано, від того ж звуку, взятого на трубі або на скрипці. Краса співочого голосу залежить від кількості і відносного значення обертонів. Камертон, що дає тільки основний тон без обертонів, має найбільш «одноманітний» тембр, і, можливо, через це не використовується в художній музиці.

Тепер, відповідно, вводимо далі таку умову:

в) разом з кожною частотою в музичній шкалі має бути присутня частота .

Оскільки ми раніше домовилися, що разом з кожною частотою на шкалі повинна бути присутня, то ми бачимо, що разом з частотою має бути присутня Ця частота цікавить нас тому, що вона укладена саме в тому проміжку в якому ми будуємо нашу шкалу. Отже, число т сходинок в одній октаві повинно бути вибрано так, щоб одна з отриманих сходинок збіглася з частотою . Логарифм частоти-ї сходинки є логарифм частоти є

Звідси отримуємо рівняння

яке повинно бути задоволено за якихось цілих k і m. Але легко переконатися, що це рівняння зовсім не має розв'язку в цілих числах ; інакше кажучи, є число ірраціональне. Дійсно, за визначенням ло ¬ гаріфма з (2) ми виводимо або, зводячи до степеня m,

Але ліва частина отриманої рівності за будь-яких цілих k і m є число парне, в той час як права частина - число непарне. Таким чином, наш принцип привів нас до протиріччя: умова рівномірності логарифмічної шкали тонів несумісне з вимогою наявності у шкалі частоти разом з частотою f. Інтервал називається чистою квінтою; ми бачимо, що в рівномірній логарифмічною шкалою тонів чисті квінти нездійсненні.

Виходить, від чогось потрібно відмовлятися - або від рівномірності шкали, або від чистих квінт. Рівномірність шкали необхідна для забезпечення неспотвореного перекладу мелодії вгору або вниз і нею ми не хотіли б поступитися. Легше відмовитися від чистих квінт: ми можемо постаратися провести драбину з раціональних чисел так близько до ірраціонального числа що різниця відповідних частот буде менше 1 герца і тим самим на слух не відчутною. Підберемо необхідну точність обчислень. Уся перша октава є інтервал від 262 до 523 герц, отже, загальної довжини близько 260 герц, і на логарифмічною шкалою вона відповідає проміжку довжини 1; таким чином, 1 герц відповідає приблизно 0,004 на логарифмічній шкалі; ми повинні забезпечити розрив між числами і і … менший, ніж в половину другого знака після коми.

Крім квінти , є і ще точки на інтервалі , в яких бажано було б мати музичні сходинки. Аналіз більш - менш усталених прикладів народної музики *3 показав, що там найчастіше зустрічаються інтервали, висловлені за допомогою наступних відношень частот:

2 (октава), 3 / 2 (квінта), 5 / 4 (терція), 4 / 3 (кварта), 5 / 3 (секста), 9 / 8 (секунда), 15 / 8 (септима).

Випишемо відповідні значення двійкових логарифмів:

.*4

Нам бажано провести рівномірну шкалу по можливості ближче до цих чисел; при цьому найбільше значення має число як відповідає самому природному інтервалу в межах октави.

Для побудови раціональних наближень ірраціональних чисел дуже хорошим засобом є ланцюговий дріб, тобто дріб виду

де - цілі позитивні числа.

Відомо, що будь-яке число а на відрізку [0,1] може бути розкладено в ланцюговий дріб (нескінченний, якщо ірраціональне). Вирази, очевидно раціональні,

і так далі.

називаються підходящими дробами ланцюгового дробу (3). Той що проходить дріб ланцюгового дробу, складеного для числа ,

відрізняється від числа а не більше, ніж на і не далі, ніж будь-який дріб зі знаменником, не переважаючим. Детальний виклад теорії ланцюгових дробів можна знайти, наприклад, в Енциклопедії елементарної математики (т. I, стаття А. Я. Хинчина).

Знайдемо першу підходящі дробу розкладу числа в ланцюговий дріб. За визначенням логарифма маємо.

Так як , то при підстановці будемо мати. Рівняння (4) перетворюється до виду

Очевидно, що шукане значення у лежить між 1 і 2 (оскільки ). Ми покладемо тепер при цьому завідомо Рівняння (5) перетвориться до виду

Звідки

Очевидно, невідоме знаходиться між 1 і 2 і ми вважаємо рівняння (6) перетворюється до виду

Звідки

Тут і полягає вже між 2 і 3 тому робимо підстановку де знову. Для з (7) отримуємо

або

Далі обчислення легше вести з таблицями десяткових логарифмів. Логарифмуючи (8), знаходимо

або, використовуючи таблиці десяткових логарифмів,

звідки

Ясно, що укладено між 2 і 3. Можна було б продовжувати обчислення безкінечно, але ми зупинимося на цьому. У результаті ми отримаємо

це і дає нам перші члени шуканої ланцюгового дробу.

Відповідні підходящі дробу мають такий вигляд:

Перші дві підходящі дробу явно занадто грубі. Третя дає вже порівняно невелику помилку 0,015, у порівнянні з цікавою для нас величиною але ця помилка все ж перевершує бажану 0,004 в чотири рази.Крім того, якщо ми розглянемо відповідну шкалу з чисел, кратних тобто з чисел то ми побачимо, що деякі числа що цікавлять нас, саме і лежать далеко від її поділів.

Переходимо до останнього наближення, Воно вже досить близьке до шуканого 0,585, помилка в 0,002 становить половину допустимої. Відповідна музична шкала будується на логарифмічній осі діленням відрізка довжини 1 на 12 рівних частин точками ділення:

сьома з яких дуже близька до квінті.

Ми бачимо, що і значення що нас цікавлять потрапляють близько до точок шкали (рис. 3), хоча і не з такою точністю, як

Таким чином, саме дванадцятиступінчаста музична шкала успішно вирішує наші завдання.

Тепер ми в змозі повністю пояснити закономірності частот октави. По-перше, ми фіксуємо дванадцятиступінчасту драбину тією умовою, що ставлення сусідніх частот, більшої до меншої, постійне і рівне

Відповідний найменший звуковий інтервал називають півтоном; інтервал з двох сусідніх півтонів називається тоном (не плутати тон - інтервал і тон - звук фіксованої висоти). Вся октава поділяється на шість тонів або 12 півтонів. Основні частоти, що входять в октаву, виходять невеликою зміною частот показаних на рис. 3 , так що замість звуку частоти розглядається (рис. 4) найближча точна сходинка замість - точна сходинка і т. д. Якщо початковий звук октави тобто до, то наступний основний звук, віддалений на один тон, називається ре; звук, розташований ще одним тоном далі, називається ми; наступний, на півтон вище, називається фа. Ці чотири основних звуки утворюють так званий тетрахорд («чотири струни»). У другій половині октави є другий тетрахорд, тотожний з першим в сенсі рівності відносин відповідних частот; він починається з звуку соль, відповідного частоті , далі через тон йде звук, який називається ля; за ним, ще через тон, звук сі; завершується тетрахорд через півтон звуком до2, октавним повторенням нижнього до1. Саме ці частоти фігурують у першій октаві, яку ми розглянули спочатку. Дійсно, виконавчі логарифми частот, зазначених у таблиці, наступні:

Ми бачимо, що різниці логарифмів-якраз ті самі числа, які фігурували у нашій музичній шкалі для основних звуків. Таким чином, структура першої октави з'ясована.

Окрім семи основних звуків, в октаві є ще п'ять допоміжних звуків, в сукупності з першими створюють повну дванадцятиступеневу шкалу. Вони позначаються за допомогою сусідніх основних звуків з додаванням слова «дієз» або «бемоль», що означає на півтон вище або нижче. Так, звук півтону вищий до зазначених до дієз чи ре бемоль. Ці п'ять додаткових звуків виходять за допомогою п'яти чорних клавіш першої октави (рис. 2).

Якщо мелодія виконується тільки на основних звуках гами, тобто з допомогою білих клавіш, чорні клавіші не приймають участі (наприклад, в мелодії «чижика», починаючи з тону ми). Але якщо ми бажаємо перенести мелодію, наприклад на півтон вище, доведеться використовувати і чорні клавіші, тому що другий звук мелодії «до» має перейти в «ре бемоль», який розташований на півтону вище «до».

«Мелодія» з основних звуків до -- (тон) -- ре -- (тон) -- ми -- (півтон) -- фа -- (тон) -- соль -- (тон) -- ля -- (тон) -- сі -- (півтон) -- до утворює, як кажуть, натуральну гаму до мажор. Переносячи цю мелодію зі збереженням інтервалів догори на різні відстані в межах октави, ми можемо отримати ще 11 гам, у назвах яких на першій місці ставиться назва першої ноти гами, а на другому -- слово «мажор», вказуючи на інтервальний склад мелодії (тон -- тон -- півтон -- тон -- тон -- тон -- півтон). Наприклад, при перенесенні гами до мажор на тон вгору отримуємо гаму ре мажор, що складається зі звуків ре -- (тон) -- ми -- (тон) -- фа дієз -- (півтон) -- соль -- (тон) -- ля -- (тон) -- сі -- (тон) -- до дієз -- (півтон) -- ре.

Існує ще кілька гам також із семи ступенів, але з іншим співвідношенням інтервалів. Так, «натуральна гама до мінор» складається з звуків до, ре, мі бемоль, фа, соль, ля бемоль, сі бемоль, до з інтервальним складом тон - півтон - тон - тон - півтон - тон - тон. Основні три звуки до мажорної гами до - мі - соль - це саме ті звуки, які входять до складу повного звучання струни до з точністю до октавних переміщень (соль2 - потрійна частота по відношенню до до1, мі3-п'ятикратна). Можливо, тому цей тризвук сприймається так стійко і виразно. Основні три звуки до мінорній гами - до - мі бемоль - соль виходять зниженням на півтон середнього із звуків мажорного тризвуку, внаслідок чого виникає прихований дисонанс між звуком мі бемоль і звуком мі3, що входять до складу повного звучання струни до1: може, цим пояснюється особливий «мінорний» колорит мінорного тризвуку. Класичні музичні твори побудовані на тій чи іншій мажорній або мінорній гамі, тому до їх назв часто приєднується відповідні вказівки «балада Шопена соль мінор» або «полонез ля-бемоль мажор».

Побудова логарифмічно рівномірної дванадцяти-тонової музичної шкали стало результатом тривалого розвитку музики і математики. Природно, що вона не могла з'явитися раніше створення алгебри ірраціональних величин і логарифмів, а всім цим арсеналом математичних засобів і вчені стали вільно володіти лише в XVII столітті. А близько 1700 року німецький учений і музикант Андреас Веркмейстер запропонував описану тут шкалу і виготовив фортепіано налаштоване відповідно до неї. До того часу музичні інструменти налаштовувалися за принципом чистих інтервалів (квінт, Герцена і ін.), що неминуче призводило до ускладнень у використанні інших тональностей і до шорсткості в модуляції (переходах з однієї тональності в іншу) і тим ставило межі розвитку музики. Далеко не всі музиканти відразу взяли шкалу Веркмейстера; наприклад, відомий французький філософ і музикант Дідро був її противником, він вважав, що шкала без чистих інтервалів не може лежати в основі музики. Але найбільший німецький композитор XVIII століття Іоганн Себастьян Бах справою довів життєздатність нової системи; він склав два томи музичних творів під загальною назвою «Добре темперований клавір» (1722-1744). Кожен з цих томів містив по 24 п'єси (прелюдії і фуги): по одній на кожну з 12 мажорних і 12 мінорних тональностей. Твори Баха склали епоху в розвитку нової музики; всі наступні композитори створювали свою музику в цій системі. До теперішнього часу можливості її представляють все ще невичерпними. У нашому столітті з'явилися пропозиції про збільшення числа ступенів в октаві до 24, 48 або 53 для, щоб отримати у межах величини октави інтервали, більш близькі до чистих, і навіть були виготовлені експериментальні інструменти, але в музичну практику вони не ввійшли.

На закінчення відзначимо ще один факт, який музикальною наукою поки ще теоретично не пояснений. Згідно з нашими побудовами всі 12 мажорних, так само як і всі 12 мінорних тональностей повинні бути тотожні один з одною за звучанням. Тим не менш музиканти вважають що тональності володіють і індивідуальними якостями. Так, наприклад, вважається, що до мажор характерний для світлого, сонячного, спокійного настрою (соната Бетховена «Аврора»), мі мажор - для схвильованого, пристрасно-18 напруженого переживання (багато творів Ліста, романс «День чи панує » Чайковського); фа дієз мажор - для радісно піднесених відчуттів (« Навесні » Гріга); до мінор - для мужньої печалі (« Похоронний марш »з Героїчної симфонії Бетховена); мі бемоль мінор - для глибоко трагічних станів (романс Поліни з «Пікової Дами» Чайковського). Поки ще не з'ясовано, чи відображаються в такого роду судженнях будь-які об'єктивні закономірності, або ж ми маємо справу лише з усталеною традицією. Можливо, втім, що процес налаштування музичних інструментів в силу особливостей слуху призводить фактично не до рівномірним, дещо жорстким, а до дещо пом'якшеним інтервалам музичної шкали, так що в дійсності, наприклад, відношення частот для інтервалу до - соль не цілком збігається з аналогічним відношенням для інтервалу мі - сі, як слід було б за ідеальним налагодженням. У всякому разі, наука не стоїть на місці і раніше чи пізніше прийде до пояснення і цієї та інших непояснених ще закономірностей музики.

* 1 Згідно з міжнародним стандартом. Існує легенда, що в незапам'ятні часи близько давньоєгипетського міста Фіви щоранку на світанку цей звук видавала величезна статуя, відома під ім'ям колоса Мемнона, і Фівського музиканти приходили до неї налаштовувати свої інструменти. Колос Мемнона перестав звучати на початку нашої ери і перевірити істинність легенди зараз неможливо.

* 2 Той факт, що коливання однорідної струни представляє собою накладення коливань з частотами можна обґрунтувати і теоретично, але це потребує коштів вищої математики. Можна обчислити і амплітуди окремих складових. Наприклад, якщо молоточок ударяє по струні довжини l на відстані h від її кінця, то ставлення амплітуди збуджуваного цим ударом тону частоти 2f і амплітуди тону частоти f рівне

Тільки в єдиному випадку, коли удар попадає точно посередині струни (h = l/2), звук частоти 2f не випромінюється. Але в цьому випадку (як і в інших) випромінюється звук частоти 3f і т. д. У фортепіано удар молоточка припадає на 1/8 довжини струни. Ця точка близька до тієї, де виходить максимум відносної амплітуди тону частоти 2f, але не збігається з нею, оскільки конструктори враховують також роль частот 3f, 4f і т. д.

* 3 Ці ж відношення природно виходять і з теоретичних міркувань. Терція 5/4 є представник п'ятикратного основного тону, кварта 4/3 є квінта вниз від 2, секста 5/3-квінта вниз від 5/2=25/4, секунда 9/8 = Ѕ3/23/2, тобто - представник подвійний квінти; нарешті, септима 15/8 є квінта вгору від терції.

* 4 Якщо немає під рукою таблиць двійкових логарифмів, обчислювати їх через десяткові, логарифмуючи за основою 10 формулу; ми отримуємо звідки

ЛІТЕРАТУРА

проста гамма музична шкала октава

1. Простая гамма (устройство музыкальной шкалы). М.- Физматгиз, 1963

2. Г. Гельмгольц, Учение о слуховых ощущениях.

3. Л. Г. Немировский, Акустика физическая, физиологическая и музыкальная, М.-П., 1923.

4. Музыкальная акустика, под ред. проф. Н. А. Гарбузова Музгиз, 1940 и 1954.

Размещено на Allbest.ru