11

Растяжение (сжатие)

1. Теория вопроса

Центральным (осевым) растяжением или сжатием называется деформация стержня под действием внешних сил, приложенных по его оси.

В произвольном сечении такого стержня возникает внутреннее усилие - продольная сила N, которая равна алгебраической сумме всех внешних сил, лежащих по одну сторону от проведенного сечения:

(1)

Условие прочности для каждого участка прямолинейного стержня, нагруженного силой N_max и имеющего площадь поперечного сечения F, записывается:

(2)

где [] - допускаемое нормальное напряжение, механическая
характеристика, постоянная величина для каждого материала, определяемая из эксперимента и приводимая в справочниках.

Величину N_max на каждом участке определяют сравнением значений N в начале и в конце участка. Для наглядности решения принято строить эпюру (график) изменения продольной силы по длине стержня.

Удлинение (укорочение) стержня l определяют по закону Гука:

при действии сосредоточенной силы Р

(3)

при действии распределенной нагрузки q

(4)

В выражениях (3), (4) l - длина стержня, Е - механическая характеристика материала, модуль нормальной упругости.

2. Пример расчета

Для прямолинейного стержня (рис. 1) записать уравнения продольных сил по участкам. Построить график (эпюру) продольных сил. Подобрать площади поперечных сечений по участкам. Найти перемещение свободного конца стержня. Данные задачи:

q₁ = 20 кН/м; q₃ = 10 кН/м; P₂ = 30 кН; P₃ = 40 кН; l₁ = 1м; l₂ = 0,8 м;
l₃ = 1,5 м; [] = 16010³ кН/м² ; E = 210⁸ кН/м² .

Рис. 1

Зарисуйте в тетрадь схему стержня, перепишите все данные задачи.

Договоримся положение всех сечений стержня определять координатой x, отсчитываемой от левого (свободного) конца стержня.

Порядок расчета

Вопрос 1. Укажите пределы изменения х₁ на первом участке?

Ответ: 0 х₁ l₁

Вопрос 3. Найдите значения N₁ в крайних точках участка

Решение: N₁ (0) = 0

Вопрос 4. Найдите N_1max

Ответ: N_1max = 20 кН

Вопрос. Найдите площадь F₁ на первом участке в соответствии с условием прочности (2)

Решение:

1,8 х₃ 3,2 , N₃ = q₁l₁ - P₂ + P₃ - q₃ (x₃ - 1,8)

N₃(1,8) = 30 кН , N₃(3,2) = 15 кН, N_3max = 30 кН

По результатам расчетов строится график изменения продольной силы вдоль стержня (рис. 2).

Рис. 2

Вопрос. Запишите выражение для перемещения свободного конца стержня согласно рекомендациям (3) и (4).

Решение:

Подставляя данные задачи, получим результат:

= 0,0658 см.

3. Самостоятельное решение задач

Вам предоставляется возможность проверить, как Вами усвоен материал путем самостоятельного решения задач. Каждый этап решения контролируется машиной, которая подтверждает или нет правильность решения.

Количество решаемых задач неограниченно.

Для вызова варианта задачи наберите на клавиатуре любые 6-7 букв русского алфавита.

Зарисуйте с экрана в тетрадь схему стержня, перепишите все данные задачи.

Последовательно отвечайте на вопросы ЭВМ. При решении руководствуйтесь порядком примера решения 2. Первым участком следует рассматривать левый участок.

Первый участок

Вопрос 1. Укажите пределы изменения х₁ на первом участке

на левой границе участка х₁

(в случае верного ответа загорается надпись «Верно» и следует следующий запрос;

в случае неверного ответа загорается надпись «Нет, не верно. Исправьте Ваше решение». Если верного ответа нет три раза подряд, текст «Нет, не верно. Вернитесь и еще раз проработайте пример расчета 1.2»);

на правой границе участка х₁

(в случае верного ответа загорается надпись «Верно» и следует следующий запрос;

в случае неверного ответа загорается надпись «Нет, не верно. Исправьте Ваше решение». Если верного ответа нет три раза подряд, текст «Нет, не верно. Вернитесь и еще раз проработайте пример расчета 1.2»).

Вопрос 2. Запишите уравнение продольной силы на первом участке N₁

(в случае верного ответа загорается надпись «Верно» и следует следующий запрос;

в случае неверного ответа загорается надпись «Нет, не верно. Исправьте Ваше решение». Если верного ответа нет три раза подряд, текст «Нет, не верно. Вернитесь и еще раз проработайте пример расчета 1.2»);

Найдите значение N₁ на левой границе участка N₁(лев)

(в случае верного ответа загорается надпись «Верно» и следует следующий запрос;

в случае неверного ответа загорается надпись «Нет, не верно. Исправьте Ваше решение». Если верного ответа нет три раза подряд, текст «Нет, не верно. Вернитесь и еще раз проработайте пример расчета 1.2»);

Найдите значение N₁ на правой границе участка N₁(прав)

(в случае верного ответа загорается надпись «Верно» и следует следующий запрос;

в случае неверного ответа загорается надпись «Нет, не верно. Исправьте Ваше решение». Если верного ответа нет три раза подряд, текст «Нет, не верно. Вернитесь и еще раз проработайте пример расчета 1.2»);

Укажите N_max на первом участке N_max

(в случае верного ответа загорается надпись «Верно» и следует следующий запрос;

в случае неверного ответа загорается надпись «Нет, не верно. Исправьте Ваше решение». Если верного ответа нет три раза подряд, текст «Нет, не верно. Вернитесь и еще раз проработайте пример расчета 1.2»).

Вопрос 3. Подберите площадь поперечного сечения на первом участке F₁

(в случае верного ответа загорается надпись «Верно» и следует следующий запрос;

в случае неверного ответа загорается надпись «Нет, не верно. Исправьте Ваше решение». Если верного ответа нет три раза подряд, текст «Нет, не верно. Вернитесь и еще раз проработайте пример расчета 1.2»).

Второй участок

Вопрос. Укажите пределы изменения x₂ на втором участке на левой границе участка x₂

(в случае верного ответа загорается надпись «Верно» и следует следующий запрос;

в случае неверного ответа загорается надпись «Нет, не верно. Исправьте Ваше решение». Если верного ответа нет три раза подряд, текст «Нет, не верно. Вернитесь и еще раз проработайте пример расчета 1.2»);

на правой границе участка x_2.

Вопрос. Запишите уравнение продольной силы на втором участке N₂

(в случае верного ответа загорается надпись «Верно» и следует следующий запрос;

в случае неверного ответа загорается надпись «Нет, не верно. Исправьте Ваше решение». Если верного ответа нет три раза подряд, текст «Нет, не верно. Вернитесь и еще раз проработайте пример расчета 1.2»);

Найдите значение N₂ на левой границе участка N₂(лев)

(в случае верного ответа загорается надпись «Верно» и следует следующий запрос;

в случае неверного ответа загорается надпись «Нет, не верно. Исправьте Ваше решение». Если верного ответа нет три раза подряд, текст «Нет, не верно. Вернитесь и еще раз проработайте пример расчета 1.2»);

Найдите значение N₂ на правой границе участка N₂(прав)

(в случае верного ответа загорается надпись «Верно» и следует следующий запрос;

в случае неверного ответа загорается надпись «Нет, не верно. Исправьте Ваше решение». Если верного ответа нет три раза подряд, текст «Нет, не верно. Вернитесь и еще раз проработайте пример расчета 1.2»);

Укажите N_max на втором участке N_max

(в случае верного ответа загорается надпись «Верно» и следует следующий запрос;

в случае неверного ответа загорается надпись «Нет, не верно. Исправьте Ваше решение». Если верного ответа нет три раза подряд, текст «Нет, не верно. Вернитесь и еще раз проработайте пример расчета 1.2»);

Вопрос. Подберите площадь поперечного сечения на втором участке: F₂

(в случае верного ответа загорается надпись «Верно» и следует следующий запрос;

в случае неверного ответа загорается надпись «Нет, не верно. Исправьте Ваше решение». Если верного ответа нет три раза подряд, текст «Нет, не верно. Вернитесь и еще раз проработайте пример расчета 1.2»).

Третий участок

Вопрос. Укажите пределы изменения x₃ на третьем участке на левой границе участка x₃

(в случае верного ответа загорается надпись «Верно» и следует следующий запрос;

в случае неверного ответа загорается надпись «Нет, не верно. Исправьте Ваше решение». Если верного ответа нет три раза подряд, текст «Нет, не верно. Вернитесь и еще раз проработайте пример расчета 1.2»);

на правой границе участка x₃

(в случае верного ответа загорается надпись «Верно» и следует следующий запрос;

в случае неверного ответа загорается надпись «Нет, не верно. Исправьте Ваше решение». Если верного ответа нет три раза подряд, текст «Нет, не верно. Вернитесь и еще раз проработайте пример расчета 1.2»);

Вопрос. Запишите уравнение продольной силы на третьем участке N₃

(в случае верного ответа загорается надпись «Верно» и следует следующий запрос;

в случае неверного ответа загорается надпись «Нет, не верно. Исправьте Ваше решение». Если верного ответа нет три раза подряд, текст «Нет, не верно. Вернитесь и еще раз проработайте пример расчета 1.2»);

Найдите значение N₃ на левой границе участка N₃(лев)

(в случае верного ответа загорается надпись «Верно» и следует следующий запрос;

в случае неверного ответа загорается надпись «Нет, не верно. Исправьте Ваше решение». Если верного ответа нет три раза подряд, текст «Нет, не верно. Вернитесь и еще раз проработайте пример расчета 1.2»);

Найдите значение N₃ на правой границе участка N₃(прав)

(в случае верного ответа загорается надпись «Верно» и следует следующий запрос;

в случае неверного ответа загорается надпись «Нет, не верно. Исправьте Ваше решение». Если верного ответа нет три раза подряд, текст «Нет, не верно. Вернитесь и еще раз проработайте пример расчета 1.2»);

Укажите N_max на третьем участке N_max

(в случае верного ответа загорается надпись «Верно» и следует следующий запрос;

в случае неверного ответа загорается надпись «Нет, не верно. Исправьте Ваше решение». Если верного ответа нет три раза подряд, текст «Нет, не верно. Вернитесь и еще раз проработайте пример расчета 1.2»);

Вопрос. Подберите площадь поперечного сечения на третьем участке

F₃

(в случае верного ответа загорается надпись «Верно» и следует следующий запрос;

в случае неверного ответа загорается надпись «Нет, не верно. Исправьте Ваше решение». Если верного ответа нет три раза подряд, текст «Нет, не верно. Вернитесь и еще раз проработайте пример расчета 1.2»);

Определение перемещений

Вопрос. Запишите выражение для перемещения свободного конца стержня

(в случае верного ответа загорается надпись «Верно» и следует следующий запрос;

в случае неверного ответа загорается надпись «Нет, не верно. Исправьте Ваше решение». Если верного ответа нет три раза подряд, текст «Нет, не верно. Вернитесь и еще раз проработайте пример расчета 1.2»);

Эпюра продольной силы

По результатам Вашего расчета можно построить эпюру изменения продольной силы по длине стержня.

Требуется просмотр эпюры N D/N ?

(Если D на экране вид стержня и эпюра N, eсли N - конец решения).

Надпись «Решение задачи окончено. Хотите ли решить еще одну задачу D/N?»

(Если D выход на раздел 1.3, eсли N - выход на раздел 1.4)

4. Индивидуальный вариант задачи для контрольной работы

Наберите с клавиатуры свою фамилию заглавными русскими буквами.

Нажмите клавишу ENTER.

На экране дисплея представлена Ваша индивидуальная задача по данной теме

Зарисуйте схему задачи и перепишите данные задачи. Выполните решение задачи согласно условия примера расчета 1.2.

Оформите решение в виде пояснительной записки или контрольной работы и вышлите (для заочников) или сдайте (для очников) на кафедру «Прикладная математика и механика» ОмГУПС.