Математичне моделювання пружних властивостей слизових клаптів при проведенні клаптевих операції порожнини рота

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математичне моделювання пружних властивостей слизових клаптів при проведенні клаптевих операції порожнини рота

Каплун Дмитро Володимирович

Аветіков Давид Соломонович

Голованова Ірина Анатоліївна

Юнда Андрій Миколайович

Анотація

кістковий аугментат слизовий клапоть

На сьогоднішній день існують методики, що дозволяють хірургам-стоматологам відновлювати втрачений об'єм кісткової маси, але рівень ускладнень при проведенні кісткової аугментації залишається стабільно високим. Одними з основних видів післяопераційних ускладнень являються оголення кісткового аугментату та його інфікування в результаті ішемічних чи деструктивних процесів в слизових клаптях, які прикривають аугментат, що виникли в результаті їх перерозтягнення. В якості методу дослідження була обрана двохкомпонентна модель Муні-Рівліна, що враховує показники пружності та статичної міцності з плоскими зразками на розтяг, що дозволяє проаналізувати їх гіперпружну поведінку на малих та помірних деформаціях. Для комп'ютерного моделювання процесу деформації клаптя епітелію під час операції методом скінченних елементів за допомогою програмного середовища ANSYS. оскільки пружні сили потенційні, робота сил не залежить від шляху натягу. Грають роль тільки вихідне (початкова) і кінцеве стану зразка тобто його початкова та кінцева форми. Клапоть 30 х 25 мм можна розтягнути і таким чином усунути необхідний дефіцит тканини шириною до 5 мм в напрямку осі Y (вертикальна вісь). Відносне подовження при цьому становить X = 25/20 = 1,25 натяг клаптя спочатку відбувається в напрямку Y.

Ключові слова: клаптева операція, пружність слизового клаптя, розтягнення слизового клаптя, математичне моделювання.

В сучасній стоматологічні практиці все ясніше спостерігається тенденція допомоги хворим на вторинну адентію методом дентальної імплантації [1,16]. Разом з тим, цей діагноз не рідко супроводжується у пацієнтів втратою об'єму кісткової тканини, що унеможливлює широке використання дентальних імплантатів. На сьогоднішній день існують методики, що дозволяють хірургам- стоматологам відновлювати втрачений об'єм кісткової маси [3], але рівень ускладнень при проведенні кісткової аугментації залишається стабільно високим. Одними з основних видів післяопераційних ускладнень являються оголення кісткового аугментату та його інфікування в результаті ішемічних чи деструктивних процесів в слизових клаптях, які прикривають аугментат, що виникли в результаті їх перерозтягнення [14, 17].

Метою наших досліджень було підвищення ефективності проведення кісткової аугментації у хворих на вторинну адентію та зменшення ризику виникнення післяопераційних ускладнень викликаних ішемією слизових клаптів в результаті їх натягнення, шляхом математичного моделювання границь натягнення та допустимої деформації слизових клапів порожнини рота.

В якості методу дослідження була обрана двохкомпонентна модель Муні-Рівліна [2,5], що враховує показники пружності та статичної міцності з плоскими зразками на розтяг, що дозволяє проаналізувати їх гіперпружну поведінку на малих та помірних деформаціях. Для комп'ютерного моделювання процесу деформації клаптя епітелію під час операції методом скінченних елементів за допомогою програмного середовища ANSYS [14].

Результати

Майже всі матеріали мають в якійсь мірі пружні властивості. В тому числі це стосується біологічних тканин. Якщо зовнішні сили що викликають деформацію не перевищують деякої межі, то після зняття цих сил деформація зникає. В подальшому ми будемо передбачати, що тіла, які відчувають дію зовнішніх сил, є ідеально-пружними, тобто вони повністю відновлюють свою первісну форму після зняття навантаження.

Будемо вважати, також що матеріал пружного тіла однорідний і безперервно розподілений по всьому об'єму тіла, так що найменший елемент, вирізаний з тіла, має ті ж фізичними властивостями, що і все тіло. Для спрощення міркувань, будемо припускати, що тіло ізотропно - його пружні характеристики в усіх напрямках однакові.

На рис. 1 показано тіло, що знаходиться в стані рівноваги. Під дією зовнішніх сил Р₁,Е₂, -^,Р₆ між частинами тіла виникають внутрішні сили взаємодії. Щоб дослідити величину цих сил в довільній точці О, уявімо, що тіло розділене на дві частини А і В поперечним перерізом тт, які проходять через цю точку. Розглядаючи одну з цих частин, наприклад частина А, можна стверджувати, що вона знаходиться в рівновазі під дією зовнішніх сил Р₄,Р₅,Р₆ і внутрішніх сил, розподілених по поперечному перерізі тт і представляють дію матеріалу частини В на матеріал частини А . Припустимо, що ці сили безперервно розподілені по площі перетину тт подібно до того, як розподіляються по поверхні, на яку вони діють, гідростатичний тиск або тиск вітру. Величини таких сил зазвичай визначаються їх інтенсивністю, тобто величиною сили, віднесеної до одиниці площі, на яку вона діє. Інтенсивність внутрішніх сил називається напруженням.

У загальному випадку напруження розподілено по поперечному перетину нерівномірно (рис. 1, перетин тт). Щоб отримати величину напруги на деякій малій ділянці Д5, вирізаної з поперечного перерізу тт в точці О, перш за все відзначимо, що сили, які діють на цю елементарну ділянку з боку частини тіла В на частину тіла А, можна звести до результуючої Д ґ. Якщо ми будемо тепер безперервно зменшувати площу елементарної ділянки Д5, то граничне значення відношення ДР/ДБ дасть нам величину напруження, що діє в поперечному перерізі тт в точці О. Граничний напрям результуючої Дґ є напрямом напруження в даній точці. У загальному випадку вектор напруження нахилений до ділянки Д5, на яку воно діє, і його можна розкласти на дві компоненти: на нормальне напруження, перпендикулярне ділянці, і на дотичне напруження, що діє в площині ділянки Д5.

Існує два види зовнішніх сил, які можуть впливати на тіло. Сили, розподілені по поверхні тіла, такі, як тиск одного тіла на інше або гідростатичний тиск, називаються поверхневими силами. Сили, розподілені по масі тіла, такі, як сили тяжіння, магнітні сили або (в разі руху тіла) сили інерції, називаються масовими силами. Поверхневі сили, віднесені до одиниці площі та масові сили, віднесені до одиниці об'єму, звані об'ємними силами, розкладаються на три компоненти, паралельні декартовим координатним осям х, у, г.

Буквою а позначаэться нормальне напруження, а буквою т - дотичне. Щоб вказати орієнтацію площині, по якій діє напруга, до цих букв додаються індекси. Розглянемо дуже малий кубічний елемент (рис. 2) з гранями, паралельними координатним осям. Позначення для компонент напружень, що діють по гранях цього елемента, а також напрямки, які вважаються позитивними, показані на рис. 2.

Наприклад, для граней елемента, перпендикулярних осі у, нормальні компоненти напружень, що діють на цих гранях, позначаються через о_у. Індекс у показує, що напруги діють на ділянці, перпендикулярній осі у. Нормальна напруга вважається позитивним, коли воно викликає розтягнення елемента, і негативним, коли воно викликає стиснення.

Дотичні напруження розкладаються на дві компоненти, паралельні координатним осям. В цьому випадку використовуються вже два індекси, з яких перший показує напрямок нормалі до даної площини, а другий - напрямок компоненти напружень. Наприклад, якщо знову розглянути грані, перпендикулярні осі у, то компонента в напрямку х позначається через т_ух, а компонента в напрямку г - через і_у2. Позитивні напрямки компонент дотичних напружень на межі кубічного елемента приймаються співпадаючими з позитивними напрямками координатних осей, якщо напруження розтягування для тієї ж границі збігається з позитивним напрямком відповідної осі. Якщо напруження розтягування мають напрямок, протилежний позитивному напрямку осі, то позитивні напрямки компонент дотичного напруження змінюються на зворотні. Відповідно до цього правила позитивні напрямки всіх компонент напруження на правій грані кубічного елемента (рис. 2) збігаються з позитивними напрямками координатних осей. Якщо ж розглядається ліва грань того ж елемента, то позитивні напрямки змінюються на зворотні.

Щоб позначити напруги, що діють на шести гранях елемента, буде потрібно три символи а_х, а_у, а₂ для нормальних напружень і шість т_ху, і_Х2, т_ух, т_у2, і_2Х, і_2у для дотичних. З умови рівноваги елемента щодо моментів сил діючих на елемент слідує, що на двох перпендикулярних один одному гранях кубічного елемента компоненти дотичного напруження, перпендикулярні лінії перетину цих граней, рівні між собою:

Таким чином, для опису напруг, що діють на координатних площинах, що проходять через будь- яку точку, досить шести величин а_х, а_у, а₂, т_ху, і_Х2,

т_уг. Вони називаються компонентами напружень в цій точці.

При розгляді деформацій пружного тіла будемо припускати, що є достатня кількість зв'язків, які перешкоджають руху тіла як жорсткого цілого, в силу чого переміщення частинок тіла неможливі без його деформації.

Переміщення частинок деформованого тіла розкладаються на компоненти и, V, ш, паралельні відповідно координатним осям х, у, г. Вважається, що ці компоненти є досить малими величинами, мінливими безперервно за обсягом тіла.

Через є позначається відносне подовження, а через у - відносна деформацію зсуву. Для вказівки напрямків деформації використовуються ті ж індекси, що і для компонент напруження. Шість величин є_х, Ј_у, є₂, у_ху, у_Х2, Уу₂ називаються компонентами деформації:

Лінійні співвідношення між компонентами напружень і компонентами деформацій називаються законом Гука. Якщо уявити собі елементарний прямокутний паралелепіпед з гранями, паралельними координатним осям, схильний до дії нормального напруги а_х, рівномірно розподіленого по двох протилежних гранях, як це має місце в дослідженні на розтягнення. Аж до досягнення межі пропорційності відносне подовження елемента дається формулою

Таке подовження елемента в напрямку осі х супроводжується звуженням в поперечному напрямку (стисненням), що визначаються компонентами деформацій

де V - константа, яка називається коефіцієнтом Пуассона. Для багатьох матеріалів коефіцієнт Пуассона можна прийняти рівним 0,25. Для конструкційних сталей він зазвичай вважається рівним 0,3.

Якщо розглянутий елемент піддається одночасному дії нормальних напружень а_х, а_у, а₂, рівномірно розподілених по його гранях, то шляхом накладення компонент деформацій, викликаних кожним з трьох напружень, можна отримати співвідношення:

Ці співвідношення, підтверджуються численними експериментальними вимірюваннями.

У співвідношеннях (1) залежності між деформаціями і напруженнями повністю визначаються двома фізичними константами Е і у. Ті ж константи використовуються і для визначення залежності між деформацією зсуву і дотичним напруженням:

Розв'язуючи рівняння (1) відносно а_х, а_у, а₂, можна знайти:

За законом Лапласа [1] нормальна компонента напруження в окружному напрямку ад яке виникає в стінці судини внутрішнім радіусом Гі під дією внутрішнього Рі та зовнішнього тисків р₀ визначається за формулою:

де h=r₀-r_i - товщина стінки судини, а r_з відповідно її зовнішній радіус. Напруження розтягування у_x направлене вздовж осі судини вдвічі менше, ніж окружне напруження (див. рис. 3).

З формули (3) видно, що якщо зовнішній Ро буде РіП тиск (4)

З формули (3) видно, що якщо зовнішній тиск р₀ буде

окружному напруження у_? в стінці судини буде від'ємним, тобто воно буде стискаючим, і відповідно, до цього переріз судинного русла буде зменшуватися. Це саме відбувається при вимірюванні артеріального тиску за методом М.С. Короткова: коли тиск повітря, що нагнітається у манжету, вищий за систолічний (максимальний) тиск в артерії повністю припиняється кровотік.

Аналогічний процес відбувається при розтягуванні клаптя епітелію (див. рис. 4), але в цьому випадку роль тиску повітря у манжеті тонометра відіграє внутрішнє стискаюче напруження у напрямку у.

Рисунок 4. Переріз епітелію при витягуванні у напрямку осі х. F - сила розтягування, Н - початковий поздовжній розмір клаптя епітелію, X - поздовжнє видовження, Т₁ та Т₂ - початкова та кінцева товщина епітелію

Оцінимо спочатку величину стискаючого напруження у напрямку осі у, при якому відбувається звуження капілярного русла, за даними наведеними для капіляру [2] у таблиці 1 за формулою (4):

Далі оцінимо якій деформації у напрямку осі х відповідає стискаюче напруження у напрямку осі у. Зробимо це за формулою:

Таблиця 1

Коефіцієнт Пуассона для м'яких тканин, у зв'язку із великим вмістом води, яка як відомо нестислива рідина, близький до 0,5 [3-6]. Значення коефіцієнт Пуассона для слизової оболонки ротової порожнини частіше приймається рівним 0,45 [5]. Складніше питання з модулем пружності Е, його величина варіюється в дуже широких межах від 0,01 до 20 МПа [5,7-10]. Найчастіше зустрічаються дані про значення модуля пружності від 1 до 5 МПа

[5]. Візьмемо для оцінки середнє значення модуля пружності 3 МПа. Оцінка деформації дає: є_х = 0,135.

Таким чином, якщо дефіцит розміру X складає 3 мм то поздовжній розмір клаптя епітелію Н (величина відшарування) дорівнює 22,2 мм.

Ця оцінка досить приблизна для більш точних розрахунків треба розв'язувати рівняння (1) і (2) використовувати чисельні методи, а саме метод скінченних елементів. Це і є метою наших подальших досліджень.

Результати моделювання методом кінцевих елементів розтягування клаптя епідермісу розміром (ширина ^х висота ^х товщина) = 30 ^х 20 ^х 0,5 мм.

Малюнок 5. Розбиття клаптя на кінцеві елементи.

Клаптик натягується на розмір (ширина ^х висота) = 30 ^х 25 мм. Таким чином усувається необхідний дефіцит тканини шириною 5 мм в напрямку осі Y (вертикальна вісь). Відносне подовження при цьому становить X = 25/20 = 1,25 Натяг клаптя спочатку відбувається в напрямку Y.

а) б) в)

Малюнок 6. Зміна первісної форми зразка при розтягуванні. Пунктиром показаний вихідний розмір

Як видно з малюнка 6 в силу не стисливості матеріалу зразка (збереження обсягу) при подовженні зразка в напрямку Y відбувається його утонение в напрямках X (рис. 6 б) і Ъ (рис. 6 в). Чисельні значення наведені на малюнку 3.

а) б) в)

Малюнок 7. Переміщення вузлів елементів в напрямках: а) X; б) У; в) 2

З малюнка 7 випливає, що максимальне стоншення зразка в напрямку осі X становить 2 х 0,624 = 1,248 мм. А в напрямку осі 2 складає 2 х 0,0124 = 0,0248 мм.

Напруження, що виникають при цьому в зразку показані на малюнку 8.

в)

Малюнок 8. Розподіл компонент напружень в зразку виникає в результаті деформацій: а) ах;) Еу;) ^.

На малюнку 8 знак мінус компоненти напруги вказує на стискуюче напруга, а знак плюс на розтяжне напруга. З малюнка 8 в видно, що 2-компонента напруги cz практично у всьому об'ємі зразка негативна (44,04 кПа).Для того, щоб закрити зазори в напрямку X, що виникли в результаті стоншування зразка в цьому напрямку, необхідно дорастянуть зразок в напрямку X.

а) б)

Малюнок 9. Зміна первісної форми зразка при розтягуванні до розміру 30 х 25 мм. Пунктиром показаний вихідний розмір. б) проекція на площину YOZ.

Малюнок 10. Переміщення вузлів елементів в напрямку Z при остаточному розтягуванні зразка.

В остаточному стані зразок змінює свої геометричні розміри тільки в напрямках Y і ї. При цьому в напрямку Y зразок розтягується, а в напрямку ї стискається: максимальне стоншення осі ї складає 2 х 0,0144 = 0,0288 мм (див. Рис. 10).

а) б)

Малюнок 11. Розподіл компонент напружень в зразку виникає в результаті остаточного розтягування зразка: а) ох, ) Оу.

За розподілом компонент напружень cx і су в зразку (див. Рис. 11), що виникають в результаті остаточного розтягування зразка, ми можемо оцінити кут під яким повинна бути спрямована сила, що розтягує, прикладена до кутів зразка. Очевидно, що даний кут буде змінюватися в залежності від геометрії вихідного зразка і його геометрії після деформації.

Малюнок 12. Діаграма напруг в площині XOY

З малюнка 12 слід, що:

де tg?= ^х-.

Звідки знаходимо кут в:

Значення компонент напруги дорівнюють відповідно: с* = 275 кПа, су = 1,515 МПа. Розрахунок дає:

Деформований зразок

а) б) в) г)

Перемещения узлов элементов в направлениях: а) X; б) Y; в) Z, г) Z (увеличено)

Висновки

Як показав розрахунок, оскільки пружні сили потенційні, робота сил не залежить від шляху натягу. Грають роль тільки вихідне (початкова) і кінцеве стану зразка тобто його початкова та кінцева форми. Клаптем 30 х 25 мм можна розтягнути і таким чином усунути необхідний дефіцит тканини шириною до 5 мм в напрямку осі Y (вертикальна вісь). Відносне подовження при цьому становить X = 25/20 = 1,25 Натяг клаптя спочатку відбувається в напрямку Y. Таким чином можливо підвищити ефективність проведення кісткової аугментації у хворих вторинної адентії і зменшити державну ризик виникнення післяопераційних ускладнень викликаних ішемією слизового клаптя в процесі його натягу, математичне моделювання по запропонованій системі дозволяє підрахувати допустиму силу натягу і допустиму деформацію слизових клаптів порожнини рота.

Список літератури

1. Avetikov D. Experimental-morphological substantiation of expediency to use the skin glue «Dermabond» for postoperative wound closure / D. Avetikov, K. Loza, I. Starchenko, E.O. Loza, M.I. Marushchak //GeorgianMedicalNews. - 2015. - V.244-245, №7-8. - P. 90-93.

2. Alekseeva V., Lupyr A., Urevich N., Nazaryan R., Gargin V. Significance of Anatomical Variations of Maxillary Sinus and Ostiomeatal Components Complex in Surgical Treatment of Sinusitis. Novosti Khirurgii. 2019 Mar-Apr; Vol 27 (2):168-176 doi: 10.18484/2305-0047.2019.2.168.

3. Fung, Y.C., Biomechanics: Mechanical Properties of Living Tissues, New York: Springer, pp. 568, 1993.

4. Herman, I.P., Physics of the Human Body, Cham: Springer, pp. 953, 2016.

5. Choi, A.P.C. and Zheng, Y.P., Estimation of Young's modulus and Poisson's ratio of soft tissue from indentation using two different-sized indentors: finite element analysis of the finite deformation effect, Med. Biol. Eng. Comput., vol. 43, no. 2, pp. 258-264, 2005. DOI: 10.1007/BF02345964.

6. Delalleau, A., Josse, G., Lagarde, J.-M., Zahouani, H. and Bergheau, J.-M., Characterization of the mechanical properties of skin by inverse analysis combined with the indentation test, J. Biomech., vol. 39, no. 9, pp. 1603-1610, 2006. DOI: 10.1016/jjbiomech.2005.05.001.

7. Denga O, Pyndus T, Gargin V, Schneider S. Influence of metabolic syndrome on condition of microcirculatory bed of oral cavity. Georgian Med News. 2017 Dec;(273):99-104.

8. Chen, J., Ahmad, R., Li, W., Swain, M., and Li, Q., Biomechanics of oral mucosa, J. R. Soc. Interface, vol. 12, no. 109, pp. 20150325, 2015. DOI: 10.1098/rsif.2015.0325.

9. Gross, W. and Kress, H., Simultaneous measurement of the Young's modulus and the Poisson ratio of thin elastic layers, Soft Matter, vol. 13, no. 5, pp. 1048-1055, 2017. DOI: 10.1039/c6sm02470j.

10. Geerligs, M., van Breemen, L., Peters, G., Ackermans, P., Baaijens, F. and Oomens, C., In vitro indentation to determine the mechanical properties of epidermis, J. Biomech., vol. 44, no. 6, pp. 1176-181, 2011. DOI: 10.1016/jjbiomech.2011.01.015.

11. Goktas, S., Dmytryk, J.J., and McFetridge, P.S., (2011). Biomechanical Behavior of Oral Soft Tissues, J. Periodontol., vol. 82, no. 8, pp. 1178-1186, 2011. DOI: 10.1902/jop.2011.100573.

12. Kovach I, Buniatian K, Makarevych A, Verbyts'ka A, Gargin V. Influence of tricalcium silicate on course of traumatic pulpitis. Georgian Med News. 2018 Mar;(276):130-134.

13. Hara, Y., Masuda, Y., Hirao, T., and Yoshikawa, N., The relationship between the Young's modulus of the stratum corneum and age: a pilot study, Skin Res. Technol., vol. 19, no. 3, pp. 339-345, 2013. DOI: 10.1111/srt.12054.

14. Weickenmeier, J., Jabareen, M. and Mazza, E., Suction based mechanical characterization of superficial facial soft tissues, J. Biomech., vol. 48, ш. 16, pp. 4279-4286, 2015. DOI: mЛ016/j.jbюmech.2015Л0.039.

15. Аветіков Д. С. Біомеханічне обґрунтування одноосної деформації шкірно-жирових клаптів скроневої та виличної ділянок при виконанні верхньої рітідектомії / Д.С. Аветіков, А.А. Гутник, І.В. Бойко, О.С. Іваницька, Н.В. Цветкова // Клінічна хірургія. - 2015. - Вип. 5 (873). - С. 5557.

16. Ву Вьет Куонг. Возникновение одонтогенной флегмоны ассоциированной с полиморфным вариантом 896A/G гена TLR4, но не 2258G/A гена TLR2 / Ву Вьет Куонг, Д.С. Аветиков, О.А. Шлыкова [и др.] // Клінічна хірургія. - 2014. - № 10. - С. 54-56.

17. Лоза Х.О. Клінічна характеристика стану рубцево-змінених тканин шкіри після операції / Х.О. Лоза, С.О. Ставицький, Є.О. Лоза, Л.І. Волошина, Д.С. Аветіков // Клінічна хірургія. - 2016. - № 4 (885). - С. 61-63.

Размещено на Allbest.ru